2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí) 初中數(shù)學(xué) 旋轉(zhuǎn)的綜合及詳細(xì)答案

2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)一一初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合及詳細(xì)答案

一、旋轉(zhuǎn)

1.如圖1,在口ABCD中，＞48=6,NB=a（60。＜＜區(qū)90。）.點(diǎn)E在BC上，連接AE,把&BE沿

AE折疊，使點(diǎn)B與A。上的點(diǎn)F重合，連接EF.

⑴求證：四邊形ABEF是菱形；

⑵如圖2,點(diǎn)M是BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM,把線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到線段

MN,連接FN,求FN的最小值（用含。的代數(shù)式表示）.

（圖D（圖2）

3

【答案】⑴詳見解析；（2）FE-sin（2?-90o）

【解析】

【分析】

⑴由四邊形ABCD是平行四邊形得AFIIBE,所以NFAE=NBEA,由折疊的性質(zhì)得

NBAE=NFAE,NBEA=NFEA,所以NBAE=NFEA,故有ABIIFE,因此四邊形ABEF是平行四

邊形，又BE=EF,因此可得結(jié)論；

1

⑵根據(jù)點(diǎn)M在線段BE上和EC上兩種情況證明NENG=90。一/，利用菱形的性質(zhì)得到

3_

ZFEN=_a-90°,再根據(jù)垂線段最短，求出FN的最小值即可.

【詳解】

（1）四邊形ABCD是平行四邊形，

ADIIBC,

ZFAE=ZBEA,

由折疊的性質(zhì)得NBAE=ZFAE,ZBEA=ZFEA,BE=EF,

ZBAE=ZFEA,

ABHFE,

.四邊形ABEF是平行四邊形，

又BE=EF,

■四邊形ABEF是菱形；

（2）①如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在線段BE上時(shí)，在射線MC上取點(diǎn)G,使MG=AB,連接GN、

EN.

(圖D

,/ZAMN=NB=a,ZAMN+Z2=N1+ZB

/.Z1=N2

又AM=NM,AB=MG

「.△ABM之△MGN

/.ZB=N3,NG=BM

MG=AB=BE

/.EG=AB=NG

11

/.Z4=ZENG=_(180°-a)=90°--a

又在菱形ABEF中，ABHEF

/.ZFEC=NB=a

13

/.ZFEN=NFEC-Z4=a~(90°--a)=_?-90o

同理可得：NFEN=NFEC-Z4=a~（90°—寸）=寸一90°

3

綜上所述，ZFEN=/—90。

A當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N在射線EH上運(yùn)動(dòng)（如圖3）

3

當(dāng)FN_LEH時(shí)，F(xiàn)N最小，其最小值為FE?sin（mJ90。）

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及求最短距離的問題，解題的關(guān)鍵是分類討論得出ZFEN

3

—90°,再運(yùn)用垂線段最短求出FN的最小值.

2.如圖1,在RtjBC中，N4CB=90。，AC=BC.點(diǎn)。、E分另lj在AC、BC邊上，DC=

(I)P/W與BE的數(shù)量關(guān)系是,BE與MN的數(shù)量關(guān)系是.

(2)將△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷(1)中BE與MN的數(shù)量關(guān)系結(jié)論

是否仍然成立，如果成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)若CB=6.CE=2,在將圖1中的△OEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)B、E、

。三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求MN的長度.

【答案】⑴PM=gBE,BE=OMN；(2)成立，理由見解析；(3)MN=yfn-

1或JT7+1

【解析】

【分析】

(1)如圖1中，只要證明VPMV的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線定理即可解

決問題；

(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立，連接A。、延長BE交AD于點(diǎn)〃.由VEC6MVDC4,

推出5E=A。，NDAC=/EBC,即可推出5〃JLAD,由M、N、尸分別AE、

BD、A3的中點(diǎn)，推出PM//BE,PM=^BE,PN//AD,PN=^AD,推出

PM=PN,ZMPN=90°,可得BE=2PM=2義6MN=&MN；

2

(3)有兩種情形分別求解即可.

【詳解】

(1)如圖1中，

■PMWBE,PM=-BE,

2

BN=DN,AP=PB,

.PNWAD,PN=-AD,

2

???AC=BC,CD=CE,

：.AD=BE,

:.PM=PN,

■：ZACB=90°,

ACA.BC,

：.'：PMWBC,PNWAC,

：.PM±PN,

△PMN的等腰直角三角形，

MN=&PM,

MN=J2-BE,

2

BE=J2MN,

故答案為9=：8石，BE=y[2MN.

理由：連接AD、延長BE交AD于點(diǎn)兒

?-?AABC和△CDE是等腰直角三角形，

CD=CE,CA=CB,ZACB=^DCE=90°,

???ZACB-ZACE=ADCE-ZACE,

ZACD=NECB,

：.△ECB^△DCA,

BE=AD,ZDAC=NEBC,

'：ZAHB=180°-QHAB+NABH)

=180°-(45°+ZHAC+NABH)

=N180°-(45°+ZHBC+NABH)

=180°-90°

=90°,

BHLAD,

M、N、P分別為AE、BD、AB的中點(diǎn)，

.PMWBE,PM=iBE,p/viiAD,PN=—AD,

22

PM=PN,ZMPN=90°,

/2

?，-BE=2PM=2x；MN=J2MN.

則CG=GE=DG=8

當(dāng)D、E、B共線時(shí)，在RtABCG中，BG=4BC2—CG2==用，

BE=BG-GE=用-母,

MN=”BE=yf^-1.

2

當(dāng)。、E、B共線時(shí)，在RtABCG中，BG=xlBC2—CG2==用，

BE=BG+GE=6+F,

MN=^-BE=J17+1.

綜上所述，MN=。萬-1或JT7+1.

【點(diǎn)睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾

股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問

題，屬于中考?jí)狠S題.

3.如圖1,在銳角△ABC中，NABC=45。，高線AD、BE相交于點(diǎn)F.

(1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(2)如圖2,將AACD沿線段AD對(duì)折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)M,AM與BE相交于點(diǎn)N,

當(dāng)DEIIAM時(shí)，判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【答案】(])BF=AC,理由見解析；(2)NE--AC,理由見解析.

【解析】

試題分析：(1)如圖1,證明AADC^△BDF(AAS),可得BF=AC；

(2)如圖2,由折疊得：MD=DC,先根據(jù)三角形中位線的推論可得：AE=EC,由線段垂直

平分線的性質(zhì)得：AB=BC,則NABE=NCBE,結(jié)合(1)得：△BD這△ADM,則

ZDBF=ZMAD,最后證明NANE=ZNAE=45°,得AE=EN,所以EN=J-AC

2'

試題解析：

(1)BF=AC,理由是：

如圖1,AD±BC,BE_LAC,

ZADB=ZAEF=90°,

???ZABC=45°,

△ABD是等腰直角三角形，

AD=BD,

丁ZAFE=ZBFD,

/.ZDAC=ZEBC,

在小ADC^DABDF中，

ADAC=ZDBF

.?<ZADC=ZBDF,

AD=BD

：.△ADC合△BDF(AAS),

BF=AC；

1

(2)NE=-AC,理由是：

如圖2,由折疊得：MD=DC,

,/DEIIAM,

AE=EC,

,/BE±AC,

/.AB=BC,

ZABE=ZCBE,-

由（1）得：△ADC^△BDF,

△ADCM△ADM,

△BD0△ADM,

ZDBF=ZMAD,

???ZDBA=ZBAD=45°,

ZDBA-ZDBF=NBAD-ZMAD,

即NABE=N-BAN,

?/ZANE=ZABE+ZBAN=2ZABE,

ZNAE=2ZNAD=2ZCBE,

ZANE=ZNAE=45°,

AE=EN,

1

EN=-AC.

2

4.如圖1,△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊AB在射線0M上，且OA=6cm,點(diǎn)D

從。點(diǎn)出發(fā)，沿OM的方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△BCE,連結(jié)DE.

(1)求證：ACDE是等邊三角形；

(2)如圖2,當(dāng)6Vt<10時(shí)，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小

周長；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角

三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)存在

【解析】

試題分析：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NDCE=60。，DC=EC,即可得到結(jié)論；

(2)當(dāng)6Vt<10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=A。，于是得到

c=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)

△UDC

CDLAB時(shí)，ABDE的周長最小，于是得到結(jié)論；

(3)存在，①當(dāng)點(diǎn)。于點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，②當(dāng)04<6時(shí)，由旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NABE=60。，ZBDE<60°,求得NBED=90。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

ZDEB=60°,求得NCEB=30°,求得。D=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2+l=2s；③當(dāng)6cte10s

時(shí)，此時(shí)不存在；④當(dāng)t>10s時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NOBE=60。，求得NBDE>60。，于是

得到t=14-M=14s.

試題解析：（1）證明：1,將△AC。繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△BCE,

ZDC￡=60°,DC=EC,

△CDE是等邊三角形；

（2）存在，當(dāng)6<t<10時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=AD,

&DB=BE+DB+DE=AB+DE=^+DE,

由（1）知，ACDE是等邊三角形，

DE=CD,

C△DBE=CD+4,

由垂線段最短可知，當(dāng)C0_L4B時(shí)，ABDE的周長最小，

止匕時(shí)，CD=26cm,

「.△BDE的最小周長=CO+4=2.+4；

（3）存在，①二?當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，

「?當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意；

②當(dāng)0。<6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，ZABE=60°,ZBDEV60。，

/.ZBED=90°,

由（1）可知，△CDE是等邊三角形，

/.ZDEB=6Q09

ZCEB=30°,

,/ZCEB=NCDA,

/.ZCDA=30°,

,/ZCAB=60°f

/.ZACD=NADC=30°,

/.DA=CA=4,

/.OD=OA-DA=6-4=2,

t=24-l=2s；

③當(dāng)6<t<10s時(shí)，由NDBE=120°>90°,

此時(shí)不存在；

④當(dāng)t>10s時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，NDBE=60。,

又由（1）知NCDE=60°,

ZBDF=ZCDE+NBDC=60°+ZBDC,

而NBDC>0°,

ZBDE>60°,

二只能NBDE=90°,

從而NBCD=30a,

：.BD=BC=4,

/.OD=Ucm,

t=14-rl=14s.

綜上所述：當(dāng)t=2或145時(shí)，以。、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

點(diǎn)睛：在不帶坐標(biāo)的幾何動(dòng)點(diǎn)問題中求最值，通常是將其表達(dá)式寫出來，再通過幾何或代

數(shù)的方法求出最值；像第三小問這種探究性的題目，一定要多種情況考慮全面，控制變

量，從某一個(gè)方面出發(fā)去分類.

5.如圖①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE=120°.

(1)求證：AABD2△ACE；

(2)把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接CD,點(diǎn)M、P、N分別為DE、

DC、BC的中點(diǎn)，連接MN、PN、PM,判斷△PMN的形狀，并說明理由；

(3)在(2)中，把AADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=6,請(qǐng)分別求出

△PMN周長的最小值與最大值.

圖①圖②

【答案】(1)證明見解析；(2)△PMN是等邊三角形.理由見解析；(3)APMN周長

的最小值為3,最大值為15.

【解析】

分析：(1)由NBAC=NDAE=120°,可得NBAD=NCAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即

可判定△ABD2△ADE；(2)△PMN是等邊三角形，利用三角形的中位線定理可得

11

PM=-CE,PMIICE,PN=-BD,PNIIBD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所

以^PMN是等腰三角形；再由PMIICE,PNIIBD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDPM=ZDCE,

ZPNC=ZDBC,因?yàn)镹DPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,所以

ZMPN=NDPM+NDPN=NDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+

NABD+NDBC=NACB+NABC,再由NBAC=120°,可得NACB+NABC=60°,即可得

NMPN=60。，所以△PMN是等邊三角形；(3)由(2)知，△PMN是等邊三角形，

1

PM=PN=-BD,所以當(dāng)PM最大時(shí)，APIVIN周長最大，當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，PM

最小，求得此時(shí)BD的長，即可得△PMN周長的最小值；當(dāng)點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最

大，PM的值最大，此時(shí)求得△PMN周長的最大值即可.

詳解：

(1)因?yàn)镹BAC=ZDAE=120°,

所以NBAD=NCAE,又AB=AC,AD=AE,

所以△ABD合△ADE；

（2）APMN是等邊三角形.

理由：,點(diǎn)P,M分別是CD,DE的中點(diǎn)，

PM=J-CE,PMIICE,

2

,?,點(diǎn)N,M分別是BC,DE的中點(diǎn)，

PN=-BD,PNIIBD,

2

同（1）的方法可得BD=CE,

PM=PN,

△PMN是等腰三角形，

PMIICE,ZDPM=ZDCE,

?，,PNIIBD,ZPNC=ZDBC,

?，-ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

ZMPN=NDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+NDBC=ZACB+ZABC,

???ZBAC=120°,ZACB+ZABC=60",

ZMPN=60°,

△PMN是等邊三角形.

1

（3）由（2）知，△PMN是等邊三角形，PM=PN=-BD,

二.PM最大時(shí)，APMN周長最大，

.?.點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，PM最小，

.BD=AB-AD=2,APMN周長的最小值為3；

點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最大，PM最大，

BD=AB+AD=10,APMN周長的最大值為15.

故答案為4PMN周長的最小值為3,最大值為15

點(diǎn)睛：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判

定，解決第（3）問，要明確點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，PM最小，△PMN周長的最??；

點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最大，PM最大，△PMN周長的最大值為15.

6.在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形。ABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、X軸的正

半軸上，點(diǎn)。在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形0ABe繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)一次落在直線＞=x上

時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，A8邊交直線了=尤于點(diǎn)M,BC邊交X軸于點(diǎn)N（如圖）.

(1)求邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；

(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形0ABe旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

(3)設(shè)AMBN的周長為P,在旋轉(zhuǎn)正方形0ABe的過程中，P值是否有變化？請(qǐng)證明

你的結(jié)論.

【答案】(1)兀龍(2)22.5。⑶周長不會(huì)變化，證明見解析

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來求得邊0A在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；

(2)解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出NA0M的度數(shù)；

(3)利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關(guān)的式子.

試題解析：(1)rA點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是

45°,

???0A旋轉(zhuǎn)了45°.

???0A在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為45兀義22=三.

3602

(2)???MNIIAC,

ZBMN=NBAC=45°,ZBNM=ZBCA=45°.

ZBMN=ZBNM./.BM=BN.

又BA=BC,AM=CN.

又0A=0C,Z0AM=ZOCN,/.△0AM空△OCN.

ZA0M=ZCON=-(AOC-ZMON)=一(90°-45°)=22.5°.

2Z2

二旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45。-22.5。=22.5。.

(3)在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化.

證明：延長BA交y軸于E點(diǎn)，

則NAOE=45°-ZAOM,ZCON=90°-45°-ZAOM=45°-ZAOM,

ZAOE=ZCON.

又：OA=OC,ZOAE=180°-90°=90°=ZOCN.

△OAE2△OCN.

/.OE=ON,AE=CN.

文:ZM0E=ZMON=45°,0M=0M,

△OME合△OMN.MN=ME=AM+AE.

MN=AM+CN,

p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.

二在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化.

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

7.在RtAACB和△AEF中，NACB=NAEF=90°,若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC,PE.

特殊發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若點(diǎn)E、F分別落在邊AB,AC上，則結(jié)論：PC=PE成立(不要求證明).

問題探究:

把圖1中的△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

⑴如圖2,若點(diǎn)E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若

不成立，請(qǐng)說明理由；

⑵如圖3,若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成

立，請(qǐng)說明理由；

AC

⑶記寸=k,當(dāng)k為何值時(shí)，ACPE總是等邊三角形？（請(qǐng)直接寫出后的值，不必說）

【答案】（DPC=PE成立（2）,PC=PE成立（3）當(dāng)k為近時(shí)，VCPE總是等邊三

3

角形

【解析】

【分析】

（1）過點(diǎn)P作PM_LCE于點(diǎn)M,由EF_LAE,BC±AC,得到EFIIMPIICB,從而有

EMFP

,再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得EM=MC,據(jù)此得到PC=PE.

MCPB

（2）過點(diǎn)F作FDLAC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD,先證

ADAa△EAF,即可得出AD=AE；再證△DAP'&EAP,即可得出PD=PE；最后根據(jù)

FD±AC,BC±AC,PM±AC,可得FDIIBCIIPM,再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，推得PC=PD,

再根據(jù)PD=PE,即可得到結(jié)論.

（3）因?yàn)锳CPE總是等邊三角形，可得NCEP=60。，ZCAB=60°；由NACB=90。，求出

ACAC

NCBA=30。；最后根據(jù)=左，=tan30。，求出當(dāng)△CPE總是等邊三角形時(shí)，k的值是

BCBC

多少即可.

【詳解】

解：（1）PC=PE成立，理由如下：

如圖2,過點(diǎn)P作PM_LCE于點(diǎn)M,EF±AE,BC_LAC,/.EFIIMPIICB,

EMFP

,I=K，丫點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，，EM=MC,又PM_LCE,PC=PE；

MCPB

c

(2)POPE成立，理由如下：

如圖3,過點(diǎn)F作FD_LAC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PM_LAC于點(diǎn)M,連接PD,「NDAF二NEAF,

ZFDA=ZFEA=90°,在^DAF和^EAF中

,,/ZDAF=ZEAF,ZFDA=ZFEA,AF=AF,

△DAa△EAF(AAS),

AD=AE,在^DAP和^EAP中,

「AD=AE,ZDAP=ZEAP,AP=AP,

?.△DAP合△EAP(SAS),

PD=PE,

「FD±AC,BC±AC,PM±AC,

FDIIBCIIPM,

.DM_FP

..點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，

DM=MC,又PM_LAC,

PC=PD,又＜PD=PE,

PC=PE；

￡

圖3

(3)如圖4,???△CPE總是等邊三角形,

ZCEP=60°,

/.ZCAB=60°,

,/ZACB=90°,

/.NCBA=90°-ZACB=90°-60°=30°,

ACAC

2,z由M3。。,

k=tan3O°=0

3

二當(dāng)k為近時(shí)，△CPE總是等邊三角形.

3

04

【點(diǎn)睛】

考點(diǎn)：L幾何變換綜合題；2.探究型；3.壓軸題；4.三角形綜合題；5.全等三角形的

判定與性質(zhì)；6.平行線分線段成比例.

8.已知:在△ABC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3,且NACB=60°,則CD=—；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6,且NACB=90°,則CD=—；

(3)如圖3,當(dāng)NACB變化且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相應(yīng)

的NACB的度數(shù).

【答案】(1)3\尸；⑵3\四一3\巴⑶當(dāng)NACB=120。時(shí)，CD有最大值是a+b.

【解析】

【分析】

(1)a=b=3,且NACB=60。，△ABC是等邊三角形，且CD是等邊三角形的高線的2倍，據(jù)

此即可求解；

(2)a=b=6,且NACB=90。，△ABC是等腰直角三角形，且CD是邊長是6的等邊三角形的

高長與等腰直角三角形的斜邊上的高的差；

(3)以點(diǎn)D為中心，將△DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.連接

AE,CE,當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí)，CD有最大值，CD=CE=a+b.

【詳解】

(1)a=b=3,且NACB=60°,

AABC是等邊三角形，

30

0C=2,

CD=3\B；

(2)3、后M串;

(3)以點(diǎn)D為中心，將△DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.連接AE,CE,

:CDE為等邊三角形，

CE=CD.

當(dāng)點(diǎn)E、A、C不在一條直線上時(shí)，

有CD=CE<AE+AC=a+b；

當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí)，

CD有最大值，CD=CE=a+b；

只有當(dāng)NACB=120°時(shí)，ZCAE=180°,

即A、C、E在一條直線上，此時(shí)AE最大

ZACB=120°,

因此當(dāng)NAC此120°時(shí),CD有最大值是a+b.

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確理解CD有最大值的條件，

是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6cm,D為邊AB中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P、Q在邊AB上同時(shí)從

點(diǎn)D出發(fā)，點(diǎn)P沿D玲A以：Lcm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿DfBfD以2cm/s的速度

運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)D停止.以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN.將APQN繞QN的中點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)180。得到AMNQ.設(shè)四邊形PQMN與AABC重疊部分圖形的面積為S（cm2）,點(diǎn)P運(yùn)

動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0<t<3）.

（1）當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，求t的值.

（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，求t的值.

（3）當(dāng)點(diǎn)Q沿D玲B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式.

（4）設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,直接寫出四邊形PEMF

與四邊形PQMN的面積比為2：3時(shí)t的值.

3型99

【答案】）2）（）菱形424）

（1（223S=S1MN=2SAPNQ=2t2；'（4

15

1或七

【解析】

試題分析：（1）由題意知：當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，此時(shí)DQ=3；

（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，此時(shí)PD=DQ；

333

（3）當(dāng)OStG時(shí)，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當(dāng)Xt.時(shí)，四

邊形PQMN與4ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN.

312

（4）MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)5ct<5,列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的

面積表達(dá)式后，即可求出t的值.

試題解析：（1）,「△PQN與△ABC都是等邊三角形，

:?當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合.

「?DQ=3

/.2t=3.

3

t=2;

（2）?.?當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上,

PD=DQ,

3

當(dāng)o<t<5時(shí)，

止匕時(shí)，PD=t,DQ=2t

t=2t

.t=0(不合題意，舍去)，

3

當(dāng)24t<3時(shí)，

此時(shí)，PD=t,DQ=6-2t

t=6-2t,

解得t=2；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，t=2；

(3)由題意知：此時(shí)，PD=t,DQ=2t

當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，

MN=BQ

PQ=MN=3t,BQ=3-2t

/.3t=3-2t

3

二解得t=5

3

如圖①，當(dāng)時(shí),

但90

94

S=S2

菱牘MN=2SAPNQ=t2,

33

如圖②，當(dāng)時(shí)，

設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,

,/MN=PQ=3t,NE=BQ=3-2t,

/.ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3,

?「△EMF是等邊三角形，

??.SAEMF"ME2='(5L3)2

S=S箜形PQMN-SxMEF=-±(5t-3)2

（4）MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,

312

此時(shí)5ct<5,

15

t=l或

cc

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

10.如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,E是邊AC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,C不重

合)，以CE為一直角邊作RtAECD,ZECD=90°,連接BE,AD.

(1)若CA=CB,CE=CD

①猜想線段BE,AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；

②現(xiàn)將圖1中的RtAECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角a,得到圖2,請(qǐng)判斷①中的結(jié)論是否

仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

(2)若CA=8,CB=6,CE=3,CD=4,RtAECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)銳角a,如圖3,連接BD,

AE,計(jì)算的值.

【答案】(1)①BE=AD,BEJ_AD；②見解析；⑵125.

【解析】

試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD,BE±AD；設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)

F,BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,根據(jù)NACB=ZECD=90。得出NACD=ZBCE,然后結(jié)合AC=BC,

CD=CE得出△ACDV△BCE,貝I]AD=BE,ZCAD=ZCBF,根據(jù)NBFC=NAFG,

NBFC+ZCBE=90。得出NAFG+ZCAD=90°,從而說明垂直；首先根據(jù)題意得出

△ACD-ABCE,然后說明NAGE=NBGD=90。，最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線

段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案.

試題解析：(1)①解：BE=AD,BE±AD

②BE=AD,BE_LAD仍然成立

證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖1.

???ZACB=ZECD=90°,/.ZACD=ZBCE；AC=BCCD=CE二△ACDV△BCE

AD=BEZCAD=ZCBF：ZBFC=ZAFGZBFC+ZCBE=90°/.ZAFG+ZCAD=90°

ZAGF=90°BE±AD

(2)證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,BE的延長線與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖2.

.?ZACB=ZECD=90°,/.ZACD=ZBCE；AC=8,BC=6,CE=3,CD=4:&ACD-&BCE

ZCAD=ZCBEZBFC=ZAFGZBFC+ZCBE=90°/.ZAFG+ZCAD=90°

■.ZAGF=90°BE±ADZAGE=ZBGD=90°

■_AE2=AG2+EG2,BD2=BG2+DG2,...BD2+AE2=AG2+EG2+BG2+￡)G2.

,AG2+BG2=AB2,EG2+DG2=ED2,

-BD2+AE2=AB2+ED2=CA2+CB2+CD2+CE2=125

考點(diǎn)：三角形全等與相似、勾股定理.

11.我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊那么這個(gè)三角形叫做"等高底"三角

形，這條邊叫做這個(gè)三角形的"等底"。

（1）概念理解：

如圖1,在AABC中,AC=6,8。=3.44。8=30。,試判斷兒48。是否是“等高底"三角

形，請(qǐng)說明理由.

（2）問題探究：

如圖2,AABC是"等高底”三角形,6。是"等底"，作AABC關(guān)于6c所在直線的對(duì)稱圖形得

AC

到AA'BC,連結(jié)A4'交直線BC于點(diǎn)D.若點(diǎn)8是4=3-ai,z=1+2i的重心，求—的直

12rsf.

（3）應(yīng)用拓展：

如圖3,已知//（I與/2之間的距離為2."等高底"AABC的“等底"在直線〈上，點(diǎn)A在

直線（上,有一邊的長是的JT倍.將AABC繞點(diǎn)c按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到

AA'B'C,AC所在直線交/,于點(diǎn)。.求的值.

【解析】

分析：（工）過點(diǎn)A作直線CB于點(diǎn)D,可以得到AD=BC=3,即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)ZMBC是"等高底"三角形，BC是"等底"，得到AD=BC,再由AABC與AABC關(guān)于

直線BC對(duì)稱，得到NAOC=90。，由重心的性質(zhì)，得至ljBC=2B0.設(shè)BD=x,則AD=BC=2x,

CD=3x,由勾股定理得AC=即可得到結(jié)論；

(3)分兩種情況討論即可：①當(dāng)AB=JIBC時(shí)，再分兩種情況討論；

②當(dāng)AC=JTBC時(shí)，再分兩種情況討論即可.

詳解：(1)是.理由如下：

如圖1,過點(diǎn)A作A。，直線CB于點(diǎn)。，

,AAOC為直角三角形，ZADC=90Q.

1

???NACB=30。，AC=6,：.AD=-AC=3,

：.AD=BC=3,

即MBC是"等高底"三角形.

(2)如圖2,???MBC是"等高底"三角形，BC是"等底"，,AD=BC,

1,A/VBC與ZMBC關(guān)于直線BC對(duì)稱，^ADC=90°.

,點(diǎn)B是AAA'C的重心，BC=2BD.

設(shè)BD=x,則AD=BC=2x,CD=3x,

由勾股定理得AC=jI7x,

,AC_巫x_713

fiC-2丁-2,

昭2

(3)①當(dāng)AB=V?BC時(shí)，

I.如圖3,作AEJJ［于點(diǎn)￡,DFJ/C于點(diǎn)F.

?.?"等高底"MBC的"等底”為BC,〃兒，

人與4之間的距離為2,AB=y/2BC,

：.BC=AE=2,AB=2y/2,

：.BE=2,即EC=4,:.AC=20

MBC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到MBCNCDF=45。.

設(shè)DF=CF=x.

DFAE1

1//1,：.ZACE=NDAF,：.-,即AF=2x.

12AFCE

二.AC=3x=21s,可得x=2石',二CD=5/^x=彳.

33

n.如圖4,此時(shí)AABC是等腰直角三角形，

???MBC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到A4B'C,

..MCD是等腰直角三角形，

CD=72AC=242.

出4

②當(dāng)AC="BC時(shí)，

I.如圖5,此時(shí)“BC是等腰直角三角形.

MBC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到AAB'C,

CD=AB=BC=2.

往

HC'

陽5

II.如圖6,作AE，、于點(diǎn)金則AE=BC,

AC=y/2BC=y/2AE,：.ZACE=45°,

■■■AABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到MEC時(shí),

點(diǎn)A在直線/I上，

12,即直線AC與4無交點(diǎn).

2I--

綜上所述：C。的值為§回，2應(yīng)，2.

點(diǎn)睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題.考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀

理解能力.解題的關(guān)鍵是對(duì)新概念"等高底”三角形的理解.

12.正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，連接EF.

（1）如圖1,若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG,則EF與FG關(guān)系為：；

（2）如圖2,若點(diǎn)P為BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP,將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FQ,連接EQ,請(qǐng)猜想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論.

（3）若點(diǎn)P為CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫

出BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系：.

【答案】（1）證明見解析（2）BF+EQ=BP（3）BF+BP=EQ

【解析】

試題分析：（1）EF與FG關(guān)系為垂直且相等（EF=FG且EF_LFG）.證明如下:

?點(diǎn)E、F、G分別是正方形邊AD、AB、BC的中點(diǎn)，

二△AEF和4BGD是兩個(gè)全等的等腰直角三角形.

EF=FG,ZAFE=ZBFG=45".二ZEFG=90°,即EF±FG.

（2）取BC的中點(diǎn)G,連接FG,則由SAS易證AFCJE空△FPG,從而EQ=GP,因此

EF=72（BP-EQ）.

（3）同（2）可證△FQE號(hào)△FPG（SAS）,得EQ=GP,因此,

EF=GF=V2BG=V2（GP-BP）=V2（EQ-BP）.

13.（1）發(fā)現(xiàn)

如圖，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且=AB=b.

填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為.

（用含。的式子表示）

（2）應(yīng)用

點(diǎn)A為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且6c=3,A3=1.如圖所示，分別以AB,AC為邊，作等

邊三角形45。和等邊三角形ACE,連接C。，BE.

①找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段3E長的最大值.

（3）拓展

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)尸為線段

A3外一動(dòng)點(diǎn)，且24=2,PM=PB,ZBPM=90°,求線段AM長的最大值及此時(shí)

點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①DC=BE,理由見解析；②BE的最大值是4;

（3）AM的最大值是3+201，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-/，y/2）

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE,NBAD=NCAE=60。，推出

△CAD^△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD

的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）連接BM,將AAPM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△PBN,連接AN,得到△APN是等

腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延

長線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+3；如圖2,過P作PE_Lx軸于

E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）?.?點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a,AB=b,

當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b,

故答案為CB的延長線上，a+b；

（2）①CD=BE,

理由：△ABD與△ACE是等邊三角形，

AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

二ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即NCAD=ZEAB,

在4CAD與公EAB中，

AD=AB

ZCAD=ZEAB,

AC=AE

:&CAD之△EAB,

CD=BE；

②;線段BE長的最大值=線段CD的最大值，

由（1）知，當(dāng)線段CD的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長線上,

最大值為BD+BC=AB+BC=4；

（3）?.?將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△PBN,連接AN,

則△APN是等腰直角三角形，

圖1

PN=PA=2,BN=AM,

rA的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,0）,

/.OA=2,OB=5,

AB=3,

線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

二當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段BN取得最大值,

最大值=AB+AN,

■-AN=>/2AP=2V2,

最大值為2、歷+3；

△APN是等腰直角三角形，

???PE=AE=7T,

???OE=BO-AB-AE=5-3-72=2-72,

?P（2-/,72）.

【點(diǎn)睛】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).正

確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

14.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0；在RtAPMN中，NMPN=90。.

(1)如圖1,若點(diǎn)P與點(diǎn)。重合且PM_LAD、PN±AB,分別交AD、AB于點(diǎn)E、F,請(qǐng)直

接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；

(2)將圖1中的RtAPMN繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a(00<a<45°).

①如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中(1)中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說

明理由；

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ND0M=15。時(shí)，連接EF,若正方形的邊長為2,請(qǐng)直接寫出

線段EF的長；

③如圖3,旋轉(zhuǎn)后，若RtAPMN的頂點(diǎn)P在線段0B上移動(dòng)(不與點(diǎn)0、B重合)