江蘇省2024屆高三年級下冊（3月）一模適應性考試數(shù)學試卷(含答案)

江蘇省前黃高級中學2024屆高三下學期（3月）一模適應性考試數(shù)

學試卷

學校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.設全集為。定義集合A與5的運算:=3},則（4*5）*4=（）

A.AB.BC.A型

2.已知向量0,8滿足忖=2炳=6，且（。+“,人則°與沙的夾角為（）

A.-B.-C.—D.—

6336

3.“l(fā)og?。〉log2?！笔?2。>2='的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

4.如圖,將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體,四個部分為直三棱柱，四個

部分為四棱錐.已知每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1,則該正四棱臺的體

C.28D.24

c°s0，則sin。+20=()

1+sin。

C.交

A.1B.

22

6.已知一個玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線，其通徑長為1,現(xiàn)有一個半徑為

r（r>0）的玻璃球放入該玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底（盛酒部分），則廠的取值

范圍是()

A.(0,2]B,1,2C.|0,-D.|0,-

[2」I2」I4」

7.設實數(shù)滿足x〉|,y〉3，不等式k[2x-3)(y-3)<8x3+—12/—3)?恒成立，貝ij

實數(shù)左的最大值為（）

A.12B.24C.2若D.4G

8.已知函數(shù)〉與y=lnx+x的圖象有兩個交點,則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.1十3D『T

二、多項選擇題

9.若機，〃為正整數(shù)且〃>機>1,則（）

1

A.C；=C；B.C；=苧C,根C：=（”—1）心D,A：+mA：-=A：+1

10.已知等差數(shù)列｛風｝的前〃項和為的公差為〃則（）

A.S]3=13s7B.S5=44+%

C.若｛w〃｝為等差數(shù)列，則d=—lD.若｛瘋｝為等差數(shù)列，則d=2ax

11.在平面直角坐標系中,將函數(shù)/（x）的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)a（0<a<90°）后,

所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱/（%）為“。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.那么（）

A.存在90。旋轉(zhuǎn)函數(shù)

B.80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是70。旋轉(zhuǎn)函數(shù)

C.若g（x）=ax+L為45。旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則a=l

D.若以》）=如為45。旋轉(zhuǎn)函數(shù)，貝1J—e2<b<0

ex

三、填空題

12.[2+3]（x-的展開式中丁丁的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

22

13.已知尸是雙曲線0：1_一q=〃/〉0）上任意一點，若P到C的兩條漸近線的距離

之積為2,則。上的點到焦點距離的最小值為.

3

14.在正方體A3CD-中，球a同時與以A為公共頂點的三個面相切，球0?同時

與以G為公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點E若以R為焦點,A用為準線的拋物

線經(jīng)過&,。2，設球。1,。2的半徑分別為小馬,則+=_______..

四,解答題

15.如圖，在梯形ABCD中,ADIIBC，BD=5,ZCBD=60°-

(1)若sin/BCD=L求CO的長；

4

(2)若A￡>=2,求cosNABD

16.如圖，正四棱柱ABCD-的底面邊長為1,高為2,點般是棱CC］上一個動點

(點時與eq均不重合).

(1)當點M是棱CG的中點時，求證:直線AM±平面B］MD［；

(2)當平面將正四棱柱ABC。-44GA分割成體積之比為1：2的兩個部分時，

求線段的長度.

17.已知過點(1,0)的直線與拋物線E：/=2px(p>0)交于A,B兩點為坐標原點，當

直線A3垂直于x軸時,△AOfi的面積為夜.

(1)求拋物線E的方程；

(2)若。為△ABC的重心，直線AC,BC分別交y軸于點MN,記AMC/V,/\AOB的面積

分別為航，$2,求m的取值范圍.

s2

18.七選五型選擇題組是許多類型考試的熱門題型.為研究此類題型的選拔能力,建立以

下模型.有數(shù)組用嗎,…嗎和數(shù)組4也，…，4+2，規(guī)定%(1W小，+2)與bj相配對則視為“正

確配對"，反之皆為“錯誤配對”.設「(〃)為，=“時，對于任意j(l<j<n)都不存在“正確配

對”的配對方式數(shù)，即錯排方式數(shù).

(1)請直接寫出P⑴,P(2)的值；

(2)已知尸("+1)=(“+2)尸(〃)+nP(n-1).

①對見,出，…嗎和4也，…也進行隨機配對，記X為“正確配對”的個數(shù).請寫出x的分布

列并求E(X)；

②試給出P(n+1)=(〃+2)P(n)+nP(n—1)的證明.

19.若一個兩位正整數(shù)機的個位數(shù)為4,則稱機為“好數(shù)”.

(1)求證：對任意“好數(shù)”辦療-16一定為20倍數(shù)；

(2)若加二/一八且P以為正整數(shù)，則稱數(shù)對(夕⑷為“友好數(shù)對”，規(guī)定：”(旬=￡例

如24=52―仔,稱數(shù)對(5,1)為“友好數(shù)對"，則“(24)=1,求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好

數(shù)對"的H(m)的最大值.

參考答案

1.答案：B

解析：,A*B={A-|xeAI3且xcAB}=(BgA)(ACVB)

.?.(A*B)*A=[A1瘠(A*B)][(A*B))VA]=(A3)3(34A)=3

故選:B

2.答案：D

解析：因為(a+b)J_人，所以(a+=0,即a.b+片=Q,

又=2,k|=G，所以a./?+//=2厲cos(a,6)+3=0,

解得cos卜,0)=

又0W(a,A)4兀，則a與b的夾角為

故選:D.

3.答案：A

解析："2">2h"="a>b",

t4

log2a>log2b"c"a>b>0”,

“a>b>0”是“a>b”的充分而不必要條件，

故"log?a>log2b”是"2">2"”的的充分而不必要條件，

故選:A.

4.答案：C

解析：設每個直三棱柱高為每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊長

為b,

設正四棱臺的高為九因為每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1,

1,,、

—abh=3

222

則:，可得abh=(Th-及h=/03=36，可得a2fl=12,

-b~h=1

[3

所以,該正四棱臺的體積為V=Q2無+4x3+4xl=12+16=28-

故選:C.

5.答案：A

cosasin.D

解析：由題意tanB----------=-------coscrcos3=sin0+sinsinB,

1+sinacos°

sin(3=cosacos/3-sinasin/3=cos(a+/?),

a,/.sin/?>0,.\cosQ+/?)>0,a+夕￡[o,

jr

/3+{a+/3)=—,sin(tz+2/7)=1.

故選:A.

6.答案：C

解析：以軸截面拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸建立平面直角坐標系,

22

當玻璃球能夠與杯底接觸時，該玻璃球的軸截面的方程為好+⑶_r)=r(r>o).

因為拋物線的通徑長為1,則拋物線的方程為丁=必，

代入圓的方程消元得：/卜2+Q—2/)]=0,

所以原題等價于方程x2[%2+(1-2/)]=0在[-r,廠]上只有實數(shù)解％=().

因為由V[尤2+(1-2廠)]=0,得％=0或f=2廠一1，

所以需2r—1W0或2―1>,，即r?或(—1)2<o.

因為廠>o,所以o<廠vL

2

故選:C.

7.答案：B

a

解析：元〉jy>3,變形為2x-3>0,y-3>0,

令〃=2%-3>0,人=y一3>0,

貝IJ左(2x—3)(y—3)<8x3+—12*—3/轉(zhuǎn)化為

8x3+y3-12x2-3y24x2y2,

k<—廣-------/,即0n----+」一>k,

(2x-3)(y-3)y-32x-3

故選:B

8.答案：A

解析：由題意，“函數(shù)》=以^與y=lnx+x的圖象有兩個交點”等價于“方程

依e，=lnx+x有兩個實數(shù)根”，等價于“方程役，=皿+1有兩個實數(shù)根，即等價于

X

“g(x)=al與/i(x)=53+1的圖象有兩個交點”,如圖所示，

X

顯然a>0,否則aWO時,g(x)=ae*與陽)=皿+1只有一個交點.

X

另一個臨界狀態(tài)為g(x)="與7z(x)=皿+1相切時，不妨設兩個曲線切于點P(x0,%),

X

［小=2+1

又’00=茂，,〃(乃=匕坐,所以，可得爪+1=匕”，即

%ae*0-1-1口%o*0%o

(4+l)ln3=1一端

又多>0,所以In%。=1一%,即In/-1+/=0,

令夕(％)=lnx-l+x,貝(jp\x)=—+1>0-fi夕(1)=0,

x

故p(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，因此％=1是p(x)唯一的零點，

所以x°=l,代入。物=皿+1,可得所以0<a<L則實數(shù)°的取值范圍為I。」］.

尤oeeIej

故選:A.

9.答案：AD

解析：對A:由組合數(shù)性質(zhì):C：=C；F可知,A正確；

對B：c；=&,故B錯誤；

73!

n\n\(n—1)!

對C:mC；=mx-----=---------=nxy——\/——u，

———(m——mJ!

-：=(l)x鬲瑞城故仁〃H(1)C》C錯誤；

萬/\川

對D:A：+mA'，=7-f+mx----——=(n-m+l)x----——+mx----——

nnyn—my.(n-m+lj!(n-m+1)!(n-m+lj!

(幾+1)!,,

=J——=A，",故D正確.

(n-m+1)!n+1

故選:AD.

10.答案：BD

解析：A選項,s="(%+?)=13x2^=，而邑,%不一定相等,A不正確；

22

B選項，因為S5="%；%)=5a3,44+%=4(q—d)+q+42=5%,

所以S5=4g+%,故B正確;

C選項，因為=〃[,+(九—l)d]=/d+(q—d)n,

2

若｛〃%｝為等差數(shù)列，則(〃+l)%+i-次z八=(〃+1)2d+(q-^)(zi+l)-ziJ-(tz1-d^n

=2nd+%,

要想2nd+%為常數(shù)，則［=0,故C不正確;

2

D選項，由題可知S“=叫+=|H+L1-1V

d]

為關于〃的一次函數(shù),

所以q—=0,即d=2al，故D正確.

故選:BD

11.答案：ACD

解析：對A,如y=x滿足條件，故A正確；

對B,如傾斜角為20。的直線是80。旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是70。旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯誤;

對C,若g(x)=公+工為45。旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得,g(x)=ax+工逆時針旋轉(zhuǎn)

XX

45。后，不存在與％軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個以上的交點.故不存在傾斜角為

45。的直線與且(%)=奴+工的函數(shù)圖象有兩個交點.即y=與g(%)=〃%+工至

xx

多1個交點.聯(lián)立廣融+最可得(〃-1)/—區(qū)+i=o.

y=x+b

當a=l時,_瓜+1=0最多1個解，滿足題意；

當awl時-瓜+1=0的判別1式A=爐1對任意的a,都存在人使得判別

式大于0,不滿足題意，故。=1.故C正確；

對D,同C,/z(x)=處與y=x+a(acR)的交點個數(shù)小于等于1,即對任意的=史-x

exe*

至多1個解，故g(x)="-X為單調(diào)函數(shù)，即/(力=嗎6—1為非正或非負函數(shù).

ee

又=—1,故一1W0,即b(x—1)恒成立.

“1e*

即y=e'圖象在丁=一人(％—1)上方，故一/720,即Z?VO.

當y=與y=-z?(x-1)相切時，可設切點(Xo，e^，對y=d求導有V=e',故上=e2,

%—1

解得/=2，此時b=-e%=-e2，故-e?WbW0?故D正確.

故選:ACD

12.答案：-40

解析：(x_2y『的通項公式為&I=q?-r(-2y)r=C[(—2)’/「y,

令廠=2得，n=C；(-2)2尤4y2=60尤4y2，此時60%4y2.?=⑵”,

令廠=3得,n=C：(—2)3X3y3=-160%3/，此時-160x3y3.1=-160x4y2,

故/丁2的系數(shù)為i2()_i60=T0

故答案為:―40

13.答案：73-V2

22

解析：所求的雙曲線方程為充―3=；1(；1〉0)，則漸近線方程為x±0y=O，

22

設點P(%,%),則會-卷="片一2y=82，

點P到c的兩條浙近線的距離之積為卜。+⑸.卜。一⑸=匠叫=陰=2,

333

i2

解得：幾=工,故雙曲線C方程為：--y2=1，

42

故a=0，c=g，故雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為c-a=6-&-

故答案為：73-V2.

14.答案：2-6或-6+2

解析：如圖所示：

根據(jù)拋物線的定義，點。2到點R的距離與到直線A片的距離相等，

其中點。2到點R的距離即半徑伯也即點。2到面CDAG的距離，

點02到直線ABX的距離即點02到面ABB^的距離，

因此球。2內(nèi)切于正方體.

不妨設&=1，兩個球心孰,R和兩球的切點F均在體對角線AG上,

兩個球在平面AgCQ處的截面如圖所示，

則—“夸"弋三S所以”59

=6—1.

丁2

因為啟=工萬，所以44=石弓，所以4/=40；+q/=百｛+個

因此（6+1）弓=百-1,得弓=2-VL所以二=2-6.

r2

故答案為：2-百

15.答案：（1）10石

⑵巫

19

解析：（1）在△BCD中,由正弦定理得一些一=—歿一

sinZBCDsinZCBD

「八_BDsinNCBD5sin600V3^

則8=氤BCD=20x=1Q

j_2

4

(2)因為AD〃BC，所以NAD6=NCBD=60°.

由余弦定理得AB-=BD2+AD2-2BD-AD-cosZADB=19，

則A5=/25+4—2x5x2xg=M，

人玄+9-AD?19+25-4_4^/19

所以cosZABD=

2ABBD2x719x5-19

16.答案：（1）證明見解析

⑵-1+75

解析：（1）因為航是棱eq的中點,

所以AM=VAC2+ow2=VAB2+BC2+OW2=J1+1+1=百,

B[M=y/B^+QM2=VT+T=萬旦A=4B閡+=Vl+4=也，

由勾股定理與屋=印陵+.2,得A“，片“洞理可得,人知，,

又B[M0/=〃，耳M,￡＞幽u平面4MD1,

所以直線AM,平面4MDi；

（2）連接QD，作MN平行于3D，交CD于點N,連接AN,BM,

因為AD〃與Ci，AD=51G，

所以四邊形AB}QD是平行四邊形，所以AB\gD,

所以A3J/70N,則截面為平面B[ANM,

設線段CM的長為M0</i<2),

因為MN〃G。，所以空=工，得CN=4

h22

i，\(h\1h

故Sc梯形ABCN=2X[A1+2JX1=2+45

可得%.4BCN

又由%ABB=」x(工x2xl]xl=L可得ZNMBAB=—+-+-，

M-ADDI312)3cNM-BABjJ263

由題意久+2+J.=J_x（i*ix2），整理的/+2/z—4=0,解得"=-1+逐,

12633v7

所以線段MC的長度為一1+6.

17.答案：（1）E的方程為y=2x

解析：（1）當％=1時,>=2〃,y=±,2p，

所以|ABk2月，

由題意可知,SA0B=gxlx2同=0,

所以p=l,

所以拋物線E的方程為f=2x

（2）如圖，

設孫％），。（毛，為卜

因為。為△ABC的重心，

所以％+%+七=0,SAAOB=S^AOC=S^BOC；

MC|2VC|-X

因為"MOC\\S^NOC3

□△AOC|AC|玉-*3S^BOC\BC\X2-X3

且^AMOC+S&NOC=S]，^AAOC=*^ABOC=^2，

（石+%）2石+彳2)2

所以縣=+-%_工1+X]+X]+X]______3________________3_(_________

%2%1+2

S2%1-x3一退2x1+x22X2（2X1+X2）（X1+2X2）2（xt+X2）

設AB:x=）+1,與y2=2%聯(lián)立得：y2一2）一2=0,所以必%=-2,

2

所以玉々=（x%）=1,貝U玉+%222dxia=2；

4

Si3f2

G

所以52-2+—1352J；

所以gs,的取值范圍為-3

32

18.答案：⑴P（1）=2,P⑵=7

⑵①分布列見解析,E(X)=5；

②證明見解析

解析：（1）P（1）=2,P（2）=7；

⑵⑴?！?=黑之黑"】）=*繇

7.7

P（X-2）-尸⑶C.320/、P（2）C70P⑴C；10

（）?2520,pX=3）={{5=—^-,P（X=4）

）

7'A7；2520A12520

C61

尸（X=5）=T———，

''A；2520

X01234