2024年高考數(shù)學(xué) 直線與圓（解析版）

直線與圓

目錄一覽

2023董題展現(xiàn)

考向一直線與圓相切

考向二直線與圓相交

真題考查解讀

近年真題對比

考向一直線與圓相切

考向二直線與圓的位置關(guān)系

命題規(guī)律解密

名校模擬探源

易錯易混速記/二級結(jié)論速記

2。23年真題展現(xiàn)

考向一直線與圓相切

1.（2023?新高考I?第6題）過點(diǎn)（0,-2）與圓N口2_敘-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=

A.1B.叵C.叵D.亞

444

【答案】B

解：圓x2+y2-4x-1=0可化為(x-2)2+儼=5,則圓心C(2,0),半徑為r=器;

設(shè)0(0,-2),切線為P/、PB,則PC=M22+22=2退,

△尸"C中，Sinj=^,所以c濾=3=瑞，

所以sina=2si■靖=2x磊x居=乎.

故選：B.

考向二直線與圓相交

2.(2023?新高考II?第15題)已知直線x-叼+1=0與OC：(x-1)2切2=4交于g兩點(diǎn)，寫出滿足

“△Z5C面積為g”的m的一個值____.

【答案】2(或-2或，或一方

解：由圓C：(%-1)2+y2—4,可得圓心坐標(biāo)為C(1,0),半徑為丫=2,

8_-Io

因?yàn)椤鰽BC的面積為9可得SAABC=萬X2X2XsmZACB=

414

解得sinN4c5=-,設(shè)5/408=8所以.)Zsinecose=-,

_2sin0cos04.2tan0

可r得za----------=..--------|,tan0=1或tan0=2,

sin23+cos205tan？-O+1

COS0=又或COS0=店，

，圓心眼到直線x-叼+1=0的距離2或烹

24.、22

**y/l+ni2價或,1+m2非,

解得"=土:或m=±2.

故答案為：2(或-2或9或4)

B=

.真題考查解讀,

【命題意圖】

考查直線的傾斜角與斜率、直線方程、兩直線平行與垂直、距離公式、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)

系、圓與圓的位置關(guān)系.

【考查要點(diǎn)】

常考查直線與圓的位置關(guān)系、動點(diǎn)與圓、圓與圓的關(guān)系。常考查由直線與圓相切或相交來解決問題(解

析法、幾何法)，常與平面向量、幾何概型、三角函數(shù)、函數(shù)與最值等聯(lián)合考查.

【得分要點(diǎn)】

1.直線的傾斜角與斜率

V

y/1

i

圖示0ra.

0X0x

7\x0V

傾斜角4=0°0°<。<90°a=90°90°<^<180°

斜率k—Qk>0不存在衣0

2.直線方程的五種形式

形式方程局限

點(diǎn)斜式y(tǒng)-%=A（x一胸）不能表示斜率不存在的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示斜率不存在的直線

y—jz1x一x1

兩點(diǎn)式修W茲，為W及

211

j—7JT2-jr

x.P

截距式--1--=1不能表示與坐標(biāo)軸平行及過原點(diǎn)的直線

ab

一般式Ax~\~By~\-C=0無

3.距離公式

（1）兩點(diǎn)間的距離同“01-乂2）2+

（2）點(diǎn)到線的距離

（3）平行線的距離言.

4.直線的夾角

（1）定義：兩條直線人和，2相交，到，2的角是9P，2到A的角是。2=口-?I，當(dāng)直線A與，2

相交但不垂直時，"和“-<h，僅有一個角是銳角，我們就把其中的銳角叫做兩條直線的夾角9.

（2）直線A和，2的夾角公式：tane=I署名|（9不為90。），么與&的夾角的取值范圍是（。，

十（27cl

2J,

5.圓的方程

（1）圓的一般方程：/+/+為+為”=0（-4Q0）,其中圓心坐標(biāo)為（_今_|）,半徑

^D2+￡2-4F.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+（y-6）2=/,其中圓心坐標(biāo)為（a,0,半徑為二

6.圓的切線方程

（1）過圓上一點(diǎn)的切線方程：對于這種情況我們可以通過圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線求出切線的斜率,

繼而求出直線方程

（2）過圓外一點(diǎn)的切線方程.這種情況可以先設(shè)直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個解（交

點(diǎn)）時斜率的值，進(jìn)而求出直線方程.

7.直線與圓的位置關(guān)系

相惠楣懷相交

8.直線4r+"5=0與圓（x-a）2+Qy-b）2=/位置關(guān)系的判斷方法

（1）幾何方法：利用圓心到直線的，和半徑r的關(guān)系判斷.

圓心到直線的距離d=^=fl

7A4十B乙

①相交：d<r；②相切：d=r；③相離：d>r.

（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用△判斷.

由償+y2+DXZEy+F=0消元，得到一元二次方程的判別式△

①相交：△>（）；②相切：△=（）；③相離：△<（）.

9.圓與圓的位置關(guān)系

10.圓與圓的位置關(guān)系的判定

設(shè)兩圓圓心分別為無小，半徑分別為右，r2,\OYO,\=d

（1）幾何法：利用兩圓的圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷

①外離（4條公切線）：0>八+%

②外切（3條公切線）：，=百+調(diào).

③相交（2條公切線）：|71-72|<4<71+?2.

④內(nèi)切（1條公切線）：￡/=|A-12|.

⑤內(nèi)含（無公切線）：0<^<|A-r2|.

（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，但要注意一個x值可能對應(yīng)兩個y值.

『近年真題對比］

考向一直線與圓相切

3.（2022?新高考I）寫出與圓/+爐=1和（x-3）2+（>-4）2=16都相切的一條直線的方

程.

【解答】解：圓/+廿=1的圓心坐標(biāo)為。（0,0）,半徑尸1=1,

圓（%-3）2+（y-4）2=16的圓心坐標(biāo)為C（3,4）,半徑尸2=4，

如圖：

???|OC|=n+r2，???兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條.

Vkoc=y的斜率為整，設(shè)直線小尸-1x+b，即3x+4y-4b=0,

由?YbI=],解得6=$（負(fù)值舍去），則小3x+4y-5=0；

54

由圖可知，6：x=-1；，2與，3關(guān)于直線y=9x對稱，

3

x=-l

聯(lián)立I4，解得/2與/3的一個交點(diǎn)為（-1，一^），在4上取一點(diǎn)（-1，0），

yfx3

,O

y（）_4,X0-l

A2327r）A

該點(diǎn)關(guān)于y=^x的對稱點(diǎn)為Go,澗），貝Uv，解得對稱點(diǎn)為3-2生）.

3o32525

Ik%

—，貝!I13：尸工

（x+1）等即7x-24y-25=0.

2424O

與圓x2t/=i和（x-3）2+（廠4）2=16都相切的一條直線的方程為:

x=-1（填3x+4y-5=o,7x-24y-25=0都正確）.

故答案為：x=-1（填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正確）.

考向二直線與圓的位置關(guān)系

4.（多選）（2021?新高考I）已知點(diǎn)尸在圓（x-5）2+⑶-5）2=16上，點(diǎn)/（4,0）,8（0,2）,

貝I（）

A.點(diǎn)P到直線的距離小于10

B.點(diǎn)尸到直線的距離大于2

C.當(dāng)NPA4最小時，|尸引=3&

D.當(dāng)/PA4最大時，|依|=3近

【解答】解：（4,0）,B（0,2），

.?.過/、3的直線方程為亳心=1，即x+ly-4=0,

圓(%-5)2+(y-5)2=16的圓心坐標(biāo)為(5,5),

x

圓心到直線x+2y-4=0的距離d=J,l5+2X5-4111_=11V5>4,

712+22娓5

...點(diǎn)尸到直線的距離的范圍為［坦叵.4,豆近■+41，

55

V112ZL<5,讓+4<10,

555

點(diǎn)尸到直線N2的距離小于10,但不一定大于2,故/正確，5錯誤;

如圖，當(dāng)過2的直線與圓相切時，滿足NPA4最小或最大（P點(diǎn)位于B時NPA4最小，位于尸2時NPR4

最大），

此時|8C|=1（5-0）2+（5-2）2=V25+9=V34，

|尸8尸＞7|BC12-42=V18=3V2'故C。正確?

故選：ACD.

5.（多選）（2021?新高考H）已知直線/：辦+勿-戶=0與圓C：x^y2—}2,點(diǎn)、A（a,b）,則下列說法

正確的是（）

A.若點(diǎn)/在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)N在圓C外，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)N在直線/上，則直線/與圓C相切

D.若點(diǎn)/在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

2

【解答】解：/中，若/在圓上，則。2+廬=八，而圓心到直線/的距離〃=獸^=|r|,所以直線與

圓相切，即4正確；

2

8中，點(diǎn)N在圓C外，則。2+62＞：2,而圓心到直線/的距離"=獸_.＜|r|,所以直線/與圓相交，

77^

所以B不正確;

2

C中，點(diǎn)/在直線/上，則那+房二八，而圓心到直線/的距離]=獸_,=|r|,所以直線/與圓相切,

47^

所以C正確;

2

。中，點(diǎn)/在圓C內(nèi)，則層+廬<戶,而圓心到直線/的距離]=獸_.>|r|,所以直線/與圓相離,

77^

所以D正確;

故選：ACD.

6.（2022?新高考II）設(shè)點(diǎn)/（-2,3）,B（0,a）,若直線N8關(guān)于y=a對稱的直線與圓（x+3）2+

（y+2）2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

【解答】解：點(diǎn)”（-2,3）,2（0,a）,心8=呼，所以直線48關(guān)于y=a對稱的直線的斜率為：

芋，所以對稱直線方程為：了-。=要?*，即：（3-a）x-2y+2a=0,

（x+3）2+（尹2）2=1的圓心（-3,-2）,半徑為1,

所以」對aT）+4+2a|《得12層-22a+6W0,解得。日上，1].

山+（3一產(chǎn)32

故答案為：-1].

命題規(guī)律解密

近幾年的考查方式及難度變化不大，主要考查直線、圓的方程及位置關(guān)系，考查直線方程的求解、直

線過定點(diǎn)問題的求解、含參直線方程中參數(shù)取值范圍求解、直線與圓的位置關(guān)系中涉及的弦長與切線方程

的求解，以常規(guī)題型、常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合基本不等式、函數(shù)、三角形面積等知識考查最值問題。

名校模擬探源

--軌跡方程（共2小題）

1.（多選）（2023?保定三模）在平面直角坐標(biāo)系中，A（1,0）,5（3,0）,C（-1,4）,動點(diǎn)尸滿

足|尸/|2+『砰=10.則（）

A.點(diǎn)P的軌跡方程為（X-2）2+y2=4

B.△P42面積的最大值為2

C.過點(diǎn)C與點(diǎn)尸的軌跡相切的直線只有1條

D.設(shè)的最小值為0,當(dāng)m+w=a（m>0,n>0）時，3二的最小值為4+2,百

mn3

2

【解答】解：設(shè)尸（x,歹），I尸4陽尸砰=（X-1）2+/+（x-3）2+y2=io,即（X—2）+/=4,故Z正

確；

|AB|rX2X2=2,

SAPABniaX4''"2故正確；

因?yàn)椋?1-2）2+42=25>4,所以點(diǎn)C在圓外，切線有兩條，故C錯誤;

22>

|PClmim=V（-l-2）+4-2=3貝叫+"=3，

（3J）吟吟）

mnmn333m3n3V33

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故。正確.

故選：ABD.

2.（2023?河南模擬）圓M：/+/+2X-8=0與x軸交于4,2兩點(diǎn)（/在3的左側(cè)），點(diǎn)N滿足

4^叫~=2，直線/：加（左>0）與圓M和點(diǎn)N的軌跡同時相切，則直線/的斜率為限.

|NBl-12一

【解答】解：圓M的圓心新（-1,0）,半徑力=3,

令y=0可得/+2x-8=0,解得x=-4或x=2,由題意可得/（-4,0）,5（2,0）,

設(shè)N（x,y）,由題意可得&+4）2+了2=2,整理可得：/+廿_。=0,

22

7（x-2）+y

可得N的軌跡為圓，且圓心（4,0）,半徑為4,

「「k+b=.

Vl+k2,_

因?yàn)橹本€/與兩個圓相切，所以，1妹+b|'兩式相除可得4|-左+句=3|4人+外

24

LVl+k

可得4(-k+b)=3(4左+6)或4〈k-b)=3(4K6),

即b—16k或b--J,

7

當(dāng)6=164時，代入」；k+b1=3中,整理可得24廬=1,因?yàn)樽?gt;0,解得人=近；

百商12

當(dāng)6=-%時，代入」：k+b[=3中,整理可得24廬+49=0,顯然無解，

771^?

綜上所述直線I的斜率k=垣,

12

故答案為：近.

12

圓的切線方程（共14小題）

3.（2023?豐臺區(qū)一模）已知圓（%-2）2+（》+3）2=戶與〉軸相切，貝ljr=（）

A.&B.V3C.2D.3

【解答】解：由圓（x-2）2+（尹3）2=/的方程可得圓心的坐標(biāo)（2,-3）,

再由圓與y軸相切，可得半徑r=2,

故選：c.

4.（2023?潮州模擬）過圓/+72=4上一點(diǎn)尸作圓。：/+廿=加2（OT>0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,B,

若NAPB=5~，則實(shí)數(shù)優(yōu)=（）

A.工B.工C.1D.2

32

【解答】解：根據(jù)題意，如圖：/+廿=4的圓心為（0,0）,半徑R=2,即。尸|=2,

圓。：x2+y2=m2,圓心為（0,0），半徑尸=冽，則|。4|=|。5|=加，

若NAPB==，則

36

又由則|OP|=2Q/|,貝?。C(jī)=1,

故選：C.

5.（2023?延慶區(qū)一模）若直線x-y+l=0與圓X2+J?-2X+1”=0相切，則。等于（）

A.2B.1C.A/2D.4

【解答】解：因?yàn)橹本€尤-尹1=0與圓/+^-2x+l-a=0相切,

又圓x2+y2-2x+l-a=0可化為（x-1）2+y2=a,

\>0

由題意得,

11-0+1Ir,

解得a=2.

故選：A.

6.（2023?瓊海校級模擬）過點(diǎn)（3,2）作圓（％-1）2+廿=戶的切線有且只有一條，則該切線的方程是x+v

-5=0（用一般式表示）.

【解答】解：設(shè)切線方程為）；-2=后（x-3）,

因?yàn)檫^點(diǎn)（3,2）作圓（x-1）2+廿=八的切線有且只有一條，

則（3,2）在圓上，切點(diǎn)與圓心連線的斜率k1h^j=l，

所以切線的斜率左=7,則切線方程為廠2=-IX（x-3）,即x+y-5=0.

故答案為：x+y-5=0.

7.（2023?石家莊模擬）過圓。：/+/=2上一點(diǎn)尸作圓C：（x-4）2+（y-4）2=2的切線，切點(diǎn)為Q,

則|尸。|的最小值為4.

【解答】解：圓O：/+爐=2上一點(diǎn)尸作圓C：G-4）2+（廠4）2=2,

可得。（0,0）,C（4,4）,半徑/=加,

可得|OC|=4&,

所以|PC|》QC|-&=4&-a=3&,

所以2V|CP|2-r2=V（3V2）2-（V2）2=4，

故答案為：4.

8.（2023?東城區(qū)二模）已知點(diǎn)H（1,我）在圓C：/+72=,〃上，過M作圓C的切線/,則/的傾斜角

為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解答】解：圓C：%2+/=171,

則圓C的圓心為C（0,0）,

V3-0

=?，

kcir^ry

過朋r作圓C的切線/,

則kcM.ki=-1,即ki

13

故/的傾斜角為150°.

故選：D.

9.（2023?自貢模擬）過直線/：x+y-5=0上的點(diǎn)作圓C：（x-1）2+（了+2）2=6的切線，則切線段長的

最小值為（）

A.娓B.2V3c.V15D,342

【解答】解：設(shè)直線上任意一點(diǎn)為P,過尸作圓的切線，切點(diǎn)為圓C圓心C為（1,-2）,半徑

r=加，

則IMPI=V|PC|2-r2W|PCI2-6'

要使陶尸|最小，則|PC|最小，易知|PC|最小值為圓心C到直線/的距離,

IMP|>V（3V2）2-6=2V3-

故選:B.

10.（2023?河南模擬）過圓/+廿=4上的動點(diǎn)作圓/+y2=i的兩條切線，則連接兩切點(diǎn)線段的長為（）

A.2B.1C.近D.如

2

【解答】解：令點(diǎn)P是圓/+/=4上的動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓/+產(chǎn)=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,如

圖，

則OA±PA,而|0A|卷|0P|=1，于是//P8=2NO尸/=60。，

又|PB|=|PA|=V3-

因此△P/8為正三角形，|AB|=|PA|一、行，

所以連接兩切點(diǎn)線段的長為

故選：D.

11.（2023?貴陽模擬）過/（0,1）,B（0,3）兩點(diǎn)，且與直線y=x-1相切的圓的方程可以是（

A.（x+1）2+（廠2）2=2B.（X-2）2+⑶-2）2=5

C.（X-1）2+（廠2）2=2D.（x+2）2+（廠2）2=5

【解答】解：對于/,圓心為（-1,2）,半徑為r=&,

直線y=x-1,即x-y-1=0,

圓心（7,2）到直線的距離d=/73-I?=2^Wr,故/錯誤；

Vi2+（-）l2

對于8,圓心為（2,2）,半徑為，=遙，

直線y=x-1,即x-y-l=0,

圓心（2,2）到直線的距離d=-J2-2-1|中故8錯誤；

22

7I+（-D

對于C,圓心為（1,2）,半徑為r=、歷，

直線y=x-1,即％-1=0,

圓心（1,2）到直線的距離d=J1-2-1?==,

22

Vi+（-D

（x-1）2+（y-2）2=2過點(diǎn)/（0,1）,B（0,3）,故C正確；

對于。，圓心為（-2,2）,半徑為r=7后，

直線y=x-l,即x-y-l=0,

圓心（-2,2）到直線的距離?=/'--Il半丫,故。錯誤.

22

7I+（-D

故選：C.

12.（2023?敘州區(qū)校級模擬）已知圓C的圓心坐標(biāo)是（0,機(jī)），若直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)/

（2,7）,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐+（廣8）2=5.

【解答】解:如圖所示，

由圓心C（0,m）與切點(diǎn)/的連線與切線垂直，得M二二=-工，解得m=8.

0-22

所以圓心為（0,8）,半徑為r=J（2-0）2+（7-8）2=

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+（y-8）2=5.

故答案為：x2+S-8）2=5.

13.（2023?瀘縣校級模擬）已知直線1：y=k（x+\^）和圓C：/+（廠1）2=1相切，貝ij實(shí)數(shù)上=_日

或o.

【解答】解：由直線與圓相切可知，上卑幺U=1，化簡得k2f巧k=0,解得kS或0.

Vk2+1

故答案為：愿或0.

14.（2023?延邊州二模）經(jīng)過尸（2,3）向圓/+廿=4作切線，切線方程為（）

A.5x-12y+26=0B.13x-12y+10=0

C.5x-12j+26=0或x=2D.13x-12y+10=0或x=2

【解答】解：（1）當(dāng)切線的斜率不存在時，直線x=2是圓的切線；

（2）當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為/：y-3=k（x-2）,

由（0,0）到切線距禺為d」充一工工=2,得k—J，

12

此時切線方程為丫-3=備（x-2），即5x-12y+26=0.

故選：C.

15.（2023?瓊中縣模擬）已知尸是直線3x+4尸43=0上的動點(diǎn)，PA,總是圓（尤-1）2+（廠1）2=i的

切線，A,8是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形P4C8面積的最小值是（）

A.V10B.遍C.V15D.3娓

【解答】解：如圖，設(shè)PC=d,

則由圓的知識和勾股定理可得PB=PA=Yd2T,

四邊形R4C5面積S=2X/XP/X2C=g一］，

當(dāng)d取最小值時S取最小值，

由點(diǎn)P在直線上運(yùn)動可知當(dāng)PC與直線垂直時d取最小值，

此時d恰為點(diǎn)C到已知直線的距離，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得I3X1+4XJ+13|=4,

V9+16

四邊形PACB面積S的最小值為J后.

故選：C.

16.（2023?濟(jì)寧二模）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)尸（3,0）作圓0：+2=4的兩條

切線，切點(diǎn)分別為4B.則直線Z5的方程為（）

A.x-V3y+3=0B.x+V3y+3=0C.V3x-y+3=0D.V3x+y+3=0

【解答】解：圓o：（x-l）2+（y-W§）2=4的圓心為。（1，2?）,半徑為2,

以尸（3,0）、0（1,2如）為直徑，則P。的中點(diǎn)坐標(biāo)為N（2,V3）,

|P0|=7（3-l）2+（2V3-0）2=4>

以N為圓心，PO為直徑的圓的方程為（x-2）2+（y-V3產(chǎn)=4，

因?yàn)檫^點(diǎn)P（3,0）圓0：（x-l）2+（y-W^）2=4的兩條切線切點(diǎn)分別為aB,

是兩圓的公共弦，

將兩圓的方程相減可得公共弦的方程為：x-V3y+3=0.

故選:A.

三.直線與圓相交的性質(zhì)（共4小題）

17.（2023?紅橋區(qū)二模）已知直線x-J^y+8=0和圓苫2+廿=/（r>0）相交于N,B兩點(diǎn).若|N8|=6,

則r的值為.

【解答】解：根據(jù)題意，圓N+y2=r2的圓心為（0,0）,半徑為r；

則圓心到直線x-V3y+8=0的距離，=廠8_=4.

V1+3

若恒為=6,則有/=/+（J^L）2=16+9=25,

故r=5；

故答案為：5

18.（2023?順義區(qū)二模）若圓G-1）2+^=4與>軸交于4,3兩點(diǎn)，則回尸（）

A.2B.4C.2^2D.2百

【解答】解：當(dāng)X=0時，圓（X-1）2+y2=4與y軸交于/（0,M）、3（0,-,

，弦4B的長|/引=?+加=2近.

故選：D.

19.(2023?曲靖模擬)已知圓C的圓心是拋物線/=句的焦點(diǎn)，直線4x-3廠2=0與圓C相交于4B

兩點(diǎn)，且［48|=6,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【解答】解：由題意可知，圓心C(0,1),

圓心C(0,1)到直線4x-3y-2=0的距離d=b3-2|二

"+(-3)2

又?.,直線4x-3y-2=o與圓C相交于/、3兩點(diǎn)，且|/。=6,

.?.圓C的半徑r=-J(l|AB|)2+d2=5/^l=V10.

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/+(y-1)2=10,

故答案為：/+(y-1)2=10.

20.(2023?南關(guān)區(qū)校級模擬)已知圓C：(x-a)2+。-2)2=4(°>0)及直線/：x-y+3=0,當(dāng)直線/

被C截得弦長為時，則。=.

【解答】解：由題意可得圓心C(a,2)半徑廠=2

則圓心(°,2)到直線x-j+3=0的距離d=_hz弊J_=_L^LL

V2V2

RtACW中由勾股定理可得，d1+BM1=BC2

Va>0

/?a=V2T或a=-V2-1（舍去）

故答案為：&-1

四.直線與圓的位置關(guān)系(共23小題)

21.(2023?福建模擬)設(shè)圓C：x2-2x+y2-3=0,若直線/在y軸上的截距為1,則/與C的交點(diǎn)個數(shù)為

）個

A.0B.1

C.2D.以上都有可能

【解答】解：???直線/在y軸上的截距為1,

直線/過定點(diǎn)（0,1）,

VO2-2X0+12-3=-2<0,

.?.點(diǎn)（0,1）在圓內(nèi)，

直線/與C的交點(diǎn)個數(shù)為2個.

故選：C.

22.（2023?三模擬）已知/乜2=2苫，則_Y_的最大值為（）

x+2

A.—B.—C.近D.近

2343

【解答】解：設(shè)工=k，貝1履-尹2左=0,

x+2k

x2-f^2=2x,即（x-1）2+y2=1,圓心為（1,0）,半徑為1,

?.?圓心（1,0）到直線依-尹2左=0的距離小于等于1,

解得正4k4近，

4X4

工的最大值為巨.

x+24

故選：C.

23.（2023?北京模擬）若直線與圓（x+l）2+（尹2）2=1交于8兩點(diǎn)，且|/8|=2,則加=（）

A.-1B.-2C.1D.2

【解答】解：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)公式可知圓的圓心為（-1,-2）,直徑為2,

因?yàn)閨/2|=2,所以直線過圓的圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，

得-2=-l+m,解得m=-\.

故選：A.

24.（2023?海淀區(qū)校級模擬）直線/：ax+勿=0和圓C：/■92_25-2勿=0在同一坐標(biāo)系的圖形只能是

，圓心C(a,b),r=^a2+b2>0,

又直線l的方程可化為：》=-曳x,

b

又4個選項(xiàng)的圓心C都在第三象限,

6<0,.,.0*<0，.,.排除C,。選項(xiàng)；

b

又圓心C到直線的距離d=f+b=7a2+b2;r，

J2—2v

va+b

???直線/與圓C相切，力選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤.

故選：A.

25.(2023?忻州模擬)已知直線A：(6Z-1)x-(2q+3)y+a+4=0與圓。：/+/+2、-冽-2=0,則“加>

2”是“直線/與圓。一定相交”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：直線l\：(tz_1)x-(2a+3)y+a+4=0,BPa(x-2y+l)+(-x-3y+4)=0,

令[x-2y+l=°,解得卜=1,即直線a過定點(diǎn)(i,i),

l-x-3y+4=0{y=l

圓C：x2+y2+2x-m-2=0,即(x+1)2+/=冽+3,圓心為(-1,0),半徑為A/m+3,

充分性：當(dāng)加>2時，V(l+l)2+(l-0)2<\^+3,則定點(diǎn)(1，1)在圓內(nèi)，充分性成立，

必要性：當(dāng)直線/與圓C相交時，根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)可得圓心到直線的距離小于半徑，

由于直線中的。沒有范圍界定，故無法求得加的范圍，

這里結(jié)合圖象思考，舉出反例：當(dāng)直線/1為了=無，加=1時，滿足圓與直線相交，但不滿足機(jī)>2,

故必要性不成立；

故“別>2”是“直線/與圓C一定相交”的充分不必要條件.

故選：A.

26.(2023?連云港模擬)設(shè)直線(a+1)x-ay-1=0(aeR)與圓/+廿=4交于48兩點(diǎn)，貝力/目的取值

范圍為()

A.[&,2]B.[&,4]C.[2,4]D.[272,4]

【解答】解：設(shè)直線(a+1)x-ay-1—0(tzGR)為直線I,

直線(。+1)x-ay-1=0,BPa(x-y)+x-1=0,

.?.直線恒過定點(diǎn)。(b1),

圓x2+y2=4,

，圓心C(0,0),半徑r=2,。在圓的內(nèi)部，

當(dāng)直線時，弦最短，

??,卬=丘2+12=&,

.?.朋=242_|CD4=24,

當(dāng)直線/過圓心時，弦必用最長，為2r=4,

故|/目的取值范圍為［2加,4］.

故選：D.

27.(2023?海淀區(qū)一模)已知直線^=X+加與圓。：/乜2=4交于4,8兩點(diǎn)，且為等邊三角形，

則m的值為()

A.±V2B.c.±2D.±V6

【解答】解：由題意，圓心到直線的距離為近，

...

V2

A/6，

故選：D.

28.(2023?天津模擬)P點(diǎn)是圓C：(x-3)2+廿=9上一點(diǎn)，則P到直線/：s-y+〃?+2=0距離的最大

值是—2^+3—.

【解答】解：?圓C：(尤-3)2+廿=9,

圓心C為(3,0),半徑廠=3,

又直線/：mx-y+m+2=0,

即m(x+1)+(2-y)=0,

.?.直線/過定點(diǎn)/(-1,2),

,當(dāng)過點(diǎn)A的直線/與CA垂直時，滿足圓C上的點(diǎn)P到直線/的距離最大，

且最大值為［。什="16+4+3=275+3.

故答案為：2^5+3.

29.(2023?酒泉模擬)點(diǎn)/在圓C：/+(y-1)2=4上，點(diǎn)N(W^,3),則1MM的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：?圓C：/+(y-1)2=4的圓心C(0,1),半徑為廠=2,

又|NC|=V(2Af3)2+(3-l)2=4>2'在圓外，

\MN\max=\NC\+r=4+2=6.

故選：D.

30.（2023?濟(jì)寧一模）若過點(diǎn)P（0,-1）的直線/與圓（乂//5）2+了2=1有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角

的最大值（）

*1.—B.—C.—D.

6433

【解答】解：直線的傾斜角最大時，直線與圓相切，此時斜率存在，如圖所示:

圓（*-7§）2+丫2=]的圓心為，（通，0）,半徑「=1,

設(shè)直線方程y=Ax-1,即Ax-y-1=0,

直線到圓心的距離為方1儼7?口,解得kS或左=0,

Vk2+1

當(dāng)kS時，傾斜角最大為工，

3

故選：C.

31.（2023?密云區(qū)三模）已知A/是圓C：/+廿=1上一個動點(diǎn)，且直線A：加x-即-3加+〃=0與直線6：

nx+my-3m-n=0（m,加ER,加2十幾2/。）相交于點(diǎn)尸，則1PM的取值范圍是（）

A.[V3-1,273+1]B.[V2-1,272+1]C.[V2-1,372+1]

D.[V2-1,373+1]

【解答】解：依題意，直線4：加x-即-3〃?+〃=0恒過定點(diǎn)/（3,1）,直線校內(nèi)+町-3加-〃=0恒

過定點(diǎn)8（1,3）,

顯然直線因此，直線/i與打交點(diǎn)尸的軌跡是以線段為直徑的圓，

其方程為：（x-2）2+（y-2）2=2,圓心N（2,2）,半徑，2=&，而圓C的圓心C（0,0）,半徑

r\=\,如圖：

|NC|=2&>n+，2，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得『M""R=WC|-n-廠2=我-1，|尸加1儂?=卬。+4+/2

=3&+1,

所以1PM的取值范圍是：[&-L372+1].

故選：C.

32.（2023?北京模擬）已知/,2為圓C：（x-加）2+-ri'）2=4（加，〃eR）上兩個不同的點(diǎn)（C為圓

心），且滿足|族+而|=2731則⑷8|=（）

A.2A/3B.2V2C.2D.4

【解答】解：設(shè)圓C：（x-%）2+⑶-〃）2=4與y軸交于/,8兩點(diǎn)，取線段48的中點(diǎn)。，

61..__

則由弦的性質(zhì)可得CDL/5,且CD=L（CA+CB），故CD的長度即為圓心C到弦的距離.

2

圓心C到AB的距離為d=-^-|CA+CB|=-1-X273=%，由于圓的半徑為r=2,

故AB=2yJ4-3=2,

故選：C.

33（多選）.（2023