湖南省長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

九年級數(shù)學(xué)學(xué)科（閉卷）時量：120分鐘滿分：120分一、單選題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.下列各式中，，，，，，二次根式的個數(shù)有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個答案：A解析：是二次根式；中被開方數(shù)3a可能是負(fù)數(shù)，故不是二次根式；中，=35>0，則是二次根式；中，a2+b2≥0，則是二次根式；中，m2+20≥0，則是二次根式；中，-144是負(fù)數(shù)，則不是二次根式.綜上，二次根式有4個，故選A.2.函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為()A. B. C. D.答案：C解析：函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，且，解得，故選：C．本題主要考查的是二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．3.如圖，矩形中，交于點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)．若，則的長為（）A.2 B.4 C.8 D.16答案：B解析：解：四邊形是矩形，交于點(diǎn)，，，，即，，分別為的中點(diǎn)，是的中位線，，故選：B．本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，解題的關(guān)鍵是找到線段間的倍分關(guān)系．4.已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x增加3時,y減小2,則k的值是()A. B. C. D.答案：D解析：由題意得：y=kx+b，y-2=k（x+3）＋b，兩式相減得2=-3k，∴k=-．故選D本題考核知識點(diǎn)：一次函數(shù)的值.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解函數(shù)值的意義.5.若，則的值為（）A.2或 B.或6 C.6 D.2答案：D解析：解：設(shè)，則有，∴，，或，∴，，∵，∴，故D正確．故選：D．本題考查用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握用用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的運(yùn)用．6.兩個物體A，B所受的壓強(qiáng)分別為，（都為常數(shù)）．它們所受壓力F與受力面積S的函數(shù)關(guān)系圖象分別是射線、，已知壓強(qiáng)，則（）A. B. C. D.答案：B解析：解∶觀察圖象得：當(dāng)受力面積S相同時，射線位于的上方，即，∵，∴．故選：B本題考查了反比例函數(shù)的的應(yīng)用，函數(shù)的圖象，是學(xué)科綜合題，還考查綜合運(yùn)用知識的能力，反映學(xué)生在理科方面的水平．7.節(jié)約用水是全社會的共識，小明統(tǒng)計(jì)了學(xué)校5日的用水量，并繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖，對于統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.平均數(shù)是6 B.眾數(shù)是7 C.中位數(shù)是11 D.方差是8答案：D解析：由折線統(tǒng)計(jì)圖可得到樣本數(shù)據(jù)為：．按從小到大的順序排列依次為：．平均數(shù)為；眾數(shù)為；中位數(shù)是7．故均錯誤．方差，D正確．故選：D．本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖中的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)和方差，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知相關(guān)定義．8.將拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位后所得到的拋物線的解析式為（）A. B.C. D.答案：D解析：解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴平移后拋物線的解析式為．故選：D．此題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律：上加下減,，左加右減．9.如圖，在矩形中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，則A，C兩點(diǎn)間的距離是（）A. B. C. D.6答案：B解析：解：如圖，連接，，∵四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)，∴，∴A，C兩點(diǎn)間的距離為，故選：B．本題考查矩形的對角線相等，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)以及勾股定理．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，，點(diǎn)為軸上的一個動點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為（）A. B. C. D.答案：B解析：解：如圖，以為邊在右側(cè)作等邊，∴，連接并延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在矩形中，∵，∴，，∴，∵是等邊三角形，

∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在過定點(diǎn)且與垂直直線上運(yùn)動，即點(diǎn)在直線上運(yùn)動，∵是等邊三角形，

∴，∴，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)與不重合時，，當(dāng)點(diǎn)與重合時，，綜上所述：，∴的最小值為，故選：B．本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.已知關(guān)于x的方程的兩個根是0和，則的值為_______．答案：2解析：解：∵關(guān)于x的方程的兩個根是0和，∴，解得：，∴，故答案為：2．本題考查了一元二次方程的解，根據(jù)定義得出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．12.已知兩條線段的長為和，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長為_________時，這三條線段能組成一個直角三角形.答案：13或解析：解：根據(jù)勾股定理，當(dāng)12為直角邊時，第三條線段長為=13；當(dāng)12為斜邊時，第三條線段長為=；故答案為13或．本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握并正確運(yùn)用勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵，注意要分兩種情況討論．13.一個樣本為1、3、2、2、a，b，c．已知這個樣本的眾數(shù)為3，平均數(shù)為2，那么這個樣本的方差為_____．答案：．解析：解：因?yàn)楸姅?shù)為3，可設(shè)a=3，b=3，c未知平均數(shù)=（1+3+2+2+3+3+c）=2，解得c=0根據(jù)方差公式S2=[（1-2）2+（3-2）2+（2-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（3-2）2+（0-2）2]=故答案為：．14.已知二元一次方程組的解為，則圖中兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為______．答案：解析：解：因?yàn)殛P(guān)于，的二元一次方程組的解為，則直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組，解題的關(guān)鍵是理解兩一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)就是兩函數(shù)解析式所組成的方程組的解．15.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若=14cm，則陰影部分的面積是___cm2答案：解析：解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，∴AC=AB=7cm,在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，∴CF=AC=7cm，則陰影部分的面積是()故答案為：16.已知直線的解析式為，菱形，，，…按圖所示的方式放置，頂點(diǎn)，，，，…均在直線上，頂點(diǎn)，，，…均在軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是____．答案：解析：設(shè)與軸交于點(diǎn)，如圖，由一次函數(shù)，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，解得：，∴，∵四邊形是菱形,∴垂直平分,∴，把代入得，∴，∵同理：，把代入得，∴，依次規(guī)律：，∴當(dāng)時，，故答案為：．此題考查了菱形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確得到點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共9題，第17題8分，第18-19題各5分，第20-21各8分，第22-23各9分，24-25各10分，共72分．）17解方程：（1）；（2）．答案：（1）（2）小問1解析：解：，，，，，，，原方程的解為；小問2解析：解：，或，解得：，原方程的解為：．本題考查了一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接開平方法、配方法、因式分解法，選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵．18.計(jì)算：．答案：

解析：解：原式．本題考查了二次根式的運(yùn)算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解題關(guān)鍵是牢記公式．19.如圖，中，，平分，交于點(diǎn)，，．求線段的長．答案：的長為解析：解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，即，且，∴，在中，，在中，，∴，∴，設(shè)，則，且，∴在中，，∴，解得，，∴的長為．本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用的綜合，掌握以上知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．20.甲、乙兩名運(yùn)動員在次百米跑訓(xùn)練中的成績?nèi)缦卤恚海▎挝唬好耄?/p>

甲

乙

請你比較這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，并利用這些數(shù)據(jù)對甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行評價？答案：從眾數(shù)上看，乙的整體成績大于甲的整體成績；從平均數(shù)上看，乙的平均成績優(yōu)于甲的平均成績；從中位數(shù)看，甲、乙的成績一樣好解析：甲：數(shù)據(jù)出現(xiàn)次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是；平均數(shù)；中位數(shù)；乙：數(shù)據(jù)出現(xiàn)次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)；平均數(shù)；中位數(shù)；所以從眾數(shù)上看，乙的整體成績大于甲的整體成績；從平均數(shù)上看，乙的平均成績優(yōu)于甲的平均成績；從中位數(shù)看，甲、乙的成績一樣好．本題主要考查了平均數(shù),中位數(shù)，解本題的要點(diǎn)在于了解平均水平的判斷主要分析平均成績，優(yōu)秀成績的判斷從中位數(shù)不同可以得到，眾數(shù)比較整體成績等知識點(diǎn).21.如圖，在矩形中，、分別是邊、上的點(diǎn)，，連接、，與對角線交于點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）若，求的長．答案：（1）見解析（2）小問1解析：證明：四邊形是矩形，，．在和中，，，．小問2解析：解：如圖：連接．，，，在中，．，．四邊形是矩形，，．，即，．，，．本題主要考查的是矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形等知識點(diǎn)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．22.某水晶廠生產(chǎn)的水晶工藝品非常暢銷，某網(wǎng)店專門銷售這種工藝品，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果規(guī)定每天工藝品的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，當(dāng)捐款后每天剩余利潤不低于3600元時，試確定該工藝品銷售單價的范圍和每天的最大銷量．答案：（1）y=-10x+700．（2）銷售單價為46元時，利潤最大為3840元．（3）當(dāng)45≤x≤55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元；最大銷量為250件．小問1解析：解：設(shè)y與x之間的關(guān)系式：y=kx+b，由題意可得：解得∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+700；小問2解析：解：設(shè)利潤為w，由題意得：-10x+700≥240解得x≤46則w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000∵-10＜0∴x＜50時，w隨x的增大而增大∴x=46時，w最大值=-10（46-50）2+4000=3840∴當(dāng)銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元；小問3解析：解:設(shè)捐款后的利潤為P，則P=-10x2+1000x-21000-150,整理得：P=-10x2+1000x-21150根據(jù)題意得：P≥3600∴-10x2+1000x-21150≥3600-10(x-50)2≥-250又∵-10<0∴解集為45≤x≤55∴當(dāng)45≤x≤55時,捐款后每天剩余利潤不低于3600元；又∵y=-10x+700∴當(dāng)45≤x≤55時，x=45時，y取最大值∴y最大銷量=-10×45+700=250(件)．本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用．利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出最值，能從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．23.為了推動長沙旅游業(yè)跨越發(fā)展，某旅行社推出“湖南博物院岳麓書院+橘子洲”一日游活動團(tuán)隊(duì)旅游收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：如果人數(shù)不超過人，人均費(fèi)用為元；如果超過人，每增加人，人均費(fèi)用降低元，但人均費(fèi)用不得低于元．（1）當(dāng)旅游人數(shù)為人時，人均費(fèi)用為元，求的取值范圍；（2）若某團(tuán)隊(duì)其支付旅游費(fèi)用元，求該團(tuán)隊(duì)有多少人．答案：（1）（2）人小問1解析：解：∵，∴當(dāng)人均費(fèi)用為元時，人數(shù)一定超過人∴，解得：，∴當(dāng)時，人均費(fèi)用為元；小問2解析：解：設(shè)該團(tuán)隊(duì)這次旅游共有人．∵，∴人數(shù)一定超過人，∴，∴，整理得，解得：，，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，故舍去．答：該團(tuán)隊(duì)有人．本題考查了一元一次方程與實(shí)際問題，一元二次方程與實(shí)際問題，讀懂題意找出數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24.閱讀下列各題并按要求完成：（1）定義：若兩個一元二次方程有一個相同的實(shí)數(shù)根，則稱這兩個方程為“友好方程”，已知關(guān)于的一元二次方程與為“友好方程”，求的值；（2）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，且二次根式有意義，若，求的取值范圍．答案：（1）的值為或（2）的取值范圍為小問1解析：解：因式分解得，，∴，，∵關(guān)于的一元二次方程與為“友好方程”，∴一元二次方程解為，，當(dāng)時，代入方程得，，解得，；當(dāng)時，代入方程得，，解得，；∴的值為或．小問2解析：解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，∴，整理得，，解得，，∵二次根式有意義，∴，解得，，∴，∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，∴，，∵把，代入，∴，∴，即或，∴，∵，∴，即，又∵或，∴，且∴的取值范圍為．本題主要考查解一元二次方程的方法，一元二次方程判別式與根的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，韋達(dá)定理的運(yùn)用，解不等式的方法的綜合，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊，，，點(diǎn)P、Q分別是邊、上的動點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒2個單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒個單位的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________；（2）連接、交于點(diǎn)E，過Q點(diǎn)作于D，當(dāng)___________時，D、E、P三點(diǎn)在一條直線上；（3）將沿翻折到的位置，當(dāng)四邊形是菱形時，則___________；（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到的中點(diǎn)時，在平面內(nèi)找一點(diǎn)M，使得以C、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為___________．答案：（1）（2）4（3）（4）或或小問1解析：解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如圖所示：∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴；小問2解析：解：如圖所示，由題意得：，是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，當(dāng)點(diǎn)D、E、P三點(diǎn)共線時，如圖，∴，∴，∴，∴，解得：，∴當(dāng)時，D、E、P三點(diǎn)