2024屆吉林省重點高中高二年級上冊數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆吉林省重點高中高二上數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若直線/的斜率為貝！1/的傾斜角為（）

TC

B.—

4

71-2%

C.一D.——

33

2.命題“對任何實數(shù)x,都有尤2—2%+120”的否定形式是（）

A.VxGR,使得％2一2%+1<0

2

B.3%0GR,使得xQ—2x0+1<0

C.3%QeR,使得x0~-2x0+120

2

D.3x0GR,使得XQ—2XQ+1<0

22

3.已知雙曲線。：二—當=1（。＞0,6〉0）右頂點為A,以A為圓心，b為半徑作圓A,圓A與雙曲線。的一條漸

a2b2

近線交于M,N兩點，若ZMAN=60°,則C的離心率為（）

R2若

A.2D.-------------

3

y2

4.已知直線/：y=x+l,橢圓C:二+y2=l.若直線/與橢圓C交于A,B兩點,則線段A5的中點的坐標為（）

3'

J_33

4J44J4

1_33

2,22，-2

5.雙曲線C：［―斗=1（a〉0,b>0）的左、右焦點分別為片（—c,0）、8（c,0）,點尸在雙曲線上，|PO|=Z?,

ZF.PF,=—,則。的離心率為（

A.75-1

-----D.V3

2

6.已知橢圓C的焦點為￡（—L0），6（1,0）,過八的直線與C交于A,5兩點.若|A居|=2|居劇，|AB|=|3百|(zhì),

則C的方程為

7.已知數(shù)列｛4｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，｛2｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)的=%，

Tn=ci+c2++c?（neN*）,則當北<2022時，”的最大值是（）

8.在等差數(shù)列｛4｝中，S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，q+4=9,S5=-10,則數(shù)列｛%｝的公差為（）

9.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若2a=5+c,sin2A-sinBsinC?則AABC的形狀為()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

10.定義在R上的函數(shù)/（%）=-三+祖與函數(shù)g（x）=/（x）-日在［1,2］上具有相同的單調(diào)性，則"的取值范圍是。

——12]B.[-3,+OO)

C.(-3,+co)

11.已知向量a=（2,l,4）,ft=（1,0,2）,且（Z+小仔-B）,則左的值是（

151

B.-

5

D.1

12.甲、乙、丙、丁共4名同學進行黨史知識比賽，決出第1名到第4名的名次(名次無重復)，其中前2名將獲得參

加市級比賽的資格，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽的資格對乙說：“你

當然不會是最差的從這兩個回答分析，4人的排名有()種不同情況.

A.6B.8

C.10D.12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”，如圖，一位古人在從右到

左依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿三進一，用來記錄每年進的錢數(shù).由圖可得，這位古人一年的收入的錢數(shù)為.

14.過點/(—2,1)作斜率為1的直線與橢圓三+菅=1(?！?〉0)相交于A、3兩個不同點，若河是A3的中點,

則該橢圓的離心率e=.

15.點P(8,1)平分橢圓好+4產(chǎn)=4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是.

16.已知點P(a,2),Q(-3])，其中a,beR,若線段PQ的中點坐標為(2,0),則直線PQ的方程為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知拋物線E：J2=8X

(1)求拋物線的焦點及準線方程；

(2)過點尸(-1,1)的直線6與拋物線E只有一個公共點，求直線/1的方程；

(3)過點"(2,3)的直線b與拋物線E交于點A,B.若弦A8的中點為求直線b的方程

18.(12分)已知直三棱柱ABC—A與￡中，BA=BC=BB]=2,ABC^90，E、F分別是AC、的中

點，。為棱與G上的點.

cD

------------^7*Bi

/F

A

（1）證明：BFLDE；

（2）當4G=44。時，求直線3尸與平面。E歹所成角的正弦值.

V221

19.（12分）已知橢圓河：—+v方=1（。〉6〉0）的離心率為5,以坐標原點為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的

圓與直線x-y+46=Q有且只有一個公共點

（1）求橢圓”的標準方程；

（2）過橢圓拉的右焦點尸的直線4交橢圓拉于4,B兩點,過尸且垂直于直線4的直線4交橢圓M于C,O兩點，

則是否存在實數(shù)彳使|A5|+|CD|=；l|AB|?|CD|成立？若存在，求出X的值；若不存在，請說明理由

20.（12分）已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，的=7,$3=5%.

（1）求｛4｝的通項公式；

21

（2）設(shè)數(shù)列1+不的前”項和為北，用符號國表示不超過x的最大數(shù)，當［1］+區(qū)］+…+［以=52時，求”的

值.

21.（12分）2018年世界人工智能大會已于2018年9月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會展示

項目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，A、3兩個信號源相距10米，。是A3的中點，過。

點的直線/與直線A3的夾角為45，機器貓在直線/上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到A點的信號比接收

8

到B點的信號晚丁秒（注：信號每秒傳播%米）.在時刻九時，測得機器鼠距離。點為4米.

%

(1)以。為原點，直線AB為％軸建立平面直角坐標系(如圖)，求時刻J時機器鼠所在位置的坐標；

(2)游戲設(shè)定：機器鼠在距離直線/不超過1.5米的區(qū)域運動時，有''被抓”的風險.如果機器鼠保持目前的運動軌跡

不變，是否有“被抓”風險？

22.(10分)已知ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,若向量加=僅—2c,cosB),n=(-a,cosA),且

mlIn

(1)求角A的值；

(2)已知ABC的外接圓半徑為辿，求ABC周長的最大值.

3

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】設(shè)直線/傾斜角為。，根據(jù)題意得到tan，=Q,即可求解.

【題目詳解】設(shè)直線/的傾斜角為氏

因為直線的斜率是百，可得tan6=G，

7TTT

又因為0K9<〃，所以。=”，即直線的傾斜角為；.

33

故選：c.

2、B

【解題分析】可將原命題變成全稱命題形式，而全稱命題的否定為特稱命題，即可選出答案.

【題目詳解】命題“對任何實數(shù)x,都有無2一2%+120”，可寫成：VXGR,使得k_2%+120,此命題為全稱

命題，故其否定形式為：3x0eR,使得為2一2%+1<0.

故選：B.

3、B

【解題分析】NM4N=60°,得出A到漸近線的距離為電6，由此可得風仇。的關(guān)系，從而求得離心率e

2

J3

【題目詳解】因為NM4N=60。，而==所以一是等邊三角形，A到直線的距離為、2人

2

b

又A(Q,O),漸近線方程取y=—x,即施-紗=0,

a

=冬化簡得可喘=￥

所以

故選：B

4、B

3

【解題分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理可得/+/=-］，進而得

出中點的橫坐標，代入直線方程求出中點的縱坐標即可.

【題目詳解】由題意知，

y=x+1

</，消去y,得2/+3%=0，

——+V=1

13'

3

則A=9-8=1>0,xA+xB=――,

13

所以A、5兩點中點的橫坐標為：—(xA+,

31

所以中點的縱坐標為：1-一二一,

44

31

即線段AB的中點的坐標為?

44

故選：B

5、C

【解題分析】根據(jù)雙曲線定義、余弦定理，結(jié)合題意，求得c關(guān)系，即可求得離心率.

【題目詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

2.2A2

在△PKK中，由余弦定理可得：cos120。=〃，，代值得：-m77=m2+n2-4c2,②；

2mn

4b2

聯(lián)立①②兩式可得：mn=—；

3

在aPOFl和aPOF2中，由cos4POF[+cosZPOF2=0,

可得：------------1-----------=0,整理得：m2+n2=2c2+2b2，③；

2bc2bc

4b2

聯(lián)立②③可得：4c2-mn=2c2+2b\又mn二匕,

3

57

故可得：C2=-b2,則〃2=/-〃=—匕2,

33

則；=9,故離心率為典.

a222

故選：C.

6、B

【解題分析】由已知可設(shè)區(qū)同=〃，則|A周=2",|即|=|AB|=3九,得|叫|=2",在中求得

cosZFlAB=~,再在9片居中，由余弦定理得〃=無，從而可求解.

32

【題目詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)|「目=〃,貝！||你|=2」，忸￡|=|AB|=3m由橢圓的定義有

2a=\BF\+\BF^An,:.\AF\=2a-\AF^=2n.在4A43中，由余弦定理推論得

cosZEAB=4n2+9zi2-9n2=-.在工中，由余弦定理得4"+4〃2—2.2〃2〃2=4,解得〃=立

2?2n?3n332

22

2a=4H=2\/3,a=y/3,b2=a~—c~=3—1=2,;.所求橢圓方程為1--^―=1,故選B

32

法二：由已知可設(shè)同同=〃,則|A囚=2〃，忸凰=|AB|=3〃，由橢圓的定義有

2<a=|B2\|+|B7s|=4n,>'.|AFj|=2tz—|A/^|=2n.在△Af；乙和AB4月中，由余弦定理得

4n2+4-2-2n-2-cosZAE,E=4n2,,,八

<,,又NABK,ZB居耳互補，.?.cosNA^K+cos/B巴4=0,兩式消去

2

n+4-2-n-2'cosZ.BF2FX=9n

cosNA6耳，cos/B巴耳，得31+6=111,解得

n=-；.2a=4〃=a=人？=/—。2=3—i=2,.,.所求橢圓方程為—F―1,故選B

232

【題目點撥】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、

邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)

7、B

【解題分析】先求出數(shù)列｛%,｝和｛2｝的通項公式，然后利用分組求和求出北，再對〃進行賦值即可求解.

【題目詳解】解：因為數(shù)列｛4｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列

所以4=l+(ra-l)x2=2w-l

因為他,｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列

所以4=2"T

由c“=旬得：-=2"—1

T?=CI+C2++c”(〃eN*)

=(21+22+23++2")-n

—n

1-2

=r+x-n-2

當T"<2022時，即2同—〃—2<2022

2向<2024+〃

當〃=9時，21°<2033

當”=10時，2"=2048>2034

所以”的最大值是9.

故選：B.

【題目點撥】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出，，再通過賦值法即可求出使不等式成立的〃的最大值.

8、A

【解題分析】由已知條件列方程組求解即可

【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因為%+%6=9,S5=-10,

所以t口z,++21d。+上俑-+1。5d=9CL——4

解得1

d=l

故選：A

9、B

【解題分析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出。、b,。的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀

【題目詳解】解：在AABC中，已知2a=b+c,sin2A=sinBsinC（a,b,c分別為角A,B,。的對邊）,

由正弦定理可知：a2=be>

2a-Z?+c

所以12,，解得。=>=c,所以AABC為等邊三角形

a=be

故選：B

【題目點撥】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題

10、B

【解題分析】判定函數(shù)/(%)單調(diào)性，再利用導數(shù)結(jié)合函數(shù)g(x)在［1,2］的單調(diào)性列式計算作答.

【題目詳解】由函數(shù)/(%)=—d+相得：/'(￡)=—3為2^0,當且僅當x=o時取“="，則/(%)在R上單調(diào)遞減,

于是得函數(shù)g(x)=—三+加―自在［1,2］上單調(diào)遞減，即Vxe［l,2］,/(X)=-3X2-^<0,即左2—3V,

2

而-3f在［1,2］上單調(diào)遞減,當光=1時，(-3x)max=-3,貝”之一3,

所以★的取值范圍是［—3,+“).

故選：B

11、A

【解題分析】求出向量。+〃，h-。的坐標，利用向量數(shù)量積坐標表示+可?(左。)=0即可求解.

【題目詳解】因為向量a=(2,1,4),Z>=(l,0,2),

所以a+Z?=(3』,6),左￡—3=左(2』,4)—(1,0,2)=(2左一1,左,4左一2),

因為(a+Z?)±{ka—b^,

所以(a+b)?(左a-Z?)=3(2左一1)+左+6(4左一2)=0,解得：左=!|,

故選：A.

12、C

【解題分析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.

【題目詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒有限制，4人排名即為團=6,

若甲是第三名，4人的排名為凡?用=2x2=4,

所以4人的排名有6+4=10種情況.

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、25

【解題分析】將原問題轉(zhuǎn)化為三進制計算，即可求解

【題目詳解】解：由題意可得，從左到右的數(shù)字依次為221,

即古人一年的收入的錢數(shù)為2x32+2x31+1x3°=25

故答案為：25

14、好

2

b2

【解題分析】利用點差法可求得勺的值，利用離心率公式e1-^-的值.

aa

z、z、Xi+=—4y,—y91

【題目詳解】設(shè)點A(%,％)、B(x2,y2),貝!J?一0,由已知可得KB=工^=片

[X+%=2xi-x22

f22

i+4=12222

由題意可得￡白,，將兩個等式相減得王子+丘/=0,

羽y；yab

2

b=寸-y；=(——%)(%+%)=￡

a2%；1%；(xi-x2)(xi+x2)4

故答案為：立.

2

15、2無+y—17=0

【解題分析】結(jié)合點差法求得正確答案.

V-2

【題目詳解】橢圓方程可化為土+丁=1,

4-

設(shè)4(%,%),3(%2,%)是橢圓上的點，P是弦AB的中點，

%122_1

-----Fy=1[

則4,，兩式相減并化簡得-11=y1+y7^?yJ-2K,

與24占+々占一%2

1I%f

即

48Xj-x2xx-x2

所以弦AB所在直線方程為y—l=—2(%—8),即2x+y—17=0.

故答案為：2x+y-17=0

16、2x—5y—4-=0

【解題分析】根據(jù)中點坐標公式求出再根據(jù)直線的兩點式方程即可得出答案.

【題目詳解】解：由尸(a,2),Q(-3,b),

〃-3b+2

得線段PQ的中點坐標為

22

a—3

二2

2a—1

所以7。解得<

匕+2b=-2

二0

y—2x-7

所以直線PQ的方程為？;即2x-5y-4=0.

-2-2-3-7

故答案為：2x-5y-4=0.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）焦點為（2,0）,準線方程為x=-2；

（2）y=l或x-y+2=0或2x+y+l=0；

（3）4x-3j+l=0.

【解題分析】（1）根據(jù)拋物線的方程及其幾何性質(zhì)，求焦點和準線；

（2）分直線/i的斜率為0和不為0兩種情況，根據(jù)直線與拋物線只有一個公共點，由直線與x軸平行或A=0,得解;

（3）利用點差法求出直線，2的斜率，即可得直線b的方程

【小問1詳解】

由題意，p=4,則焦點為（2,0）,準線方程為x=-2

【小問2詳解】

當直線的斜率為0時，y=l;

當直線/i的斜率不為0時，設(shè)直線A為尤+1=m3-1）,

fx+1=m（y-l）.

聯(lián)立〈2">得產(chǎn)8ffly+8m+8=0,

y=8x

因為直線/i與拋物線E只有一個公共點，

所以A=64,"2-4（8/n+8）=0,解得m=1或—工，

2

所以直線h的方程為x-j+2=0或2x+j+l=0,

綜上，直線6為y=l或x-y+2=0或2x+y+l=0

【小問3詳解】

由題意，直線/2的斜率一定存在，設(shè)其斜率為A,A（xi,yi）,B（X2,垃），則y；=8xi,yf=8x2,

—％884

兩式作差得：才7―￡9=8（X1-X2）,即左=2^上=------=；=￡，

xr-x2X+y22x33

4

所以直線h為J-3=—(x-2),即4x-3j+l=0

18、(1)證明見解析

⑵強

10

【解題分析】(1)由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，

(2)求出平面OEf的法向量，利用空間向量求解

【小問1詳解】

證明：因為三棱柱ABC—A用C是直三棱柱，且NABC=90，

所以R4,30,54兩兩垂直，

所以以3為原點，以3ABe,8耳所在的直線分別為x，%z軸建立空間直角坐標系，則

5(0,0,0),E(l,L0),尸(0,2,1),

設(shè)D(t,0,2),則8?=(0,2,1),DE=(1T,1,—2),

所以8尸?DE=0+2—2=0，所以3/，￡)后，

所以3-，。石

【小問2詳解】

因為4G=44￡>,所以o]g,0,2),

所以DE=6，L-2),DF=[-g,2,-l),

設(shè)平面OE產(chǎn)一個法向量為〃z=(x,y,z),

m?DE=—x+y-2z=0

2

則1令％=2,則根=(2,1,1),

m-DF=x+2y-z=0

設(shè)直線5b與平面DEF所成角為。，則

mBF0+2+1V30

sin0=cos(m,BF

m\BFJ4+1?J4+1+1~w

所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為叵

10

22

19、(1)—+^-=1

43

,7

(2)存在，丸=—

12

【解題分析】(1)求出后可得橢圓的標準方程.

(2)設(shè)直線乙：'=%。-1),聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達定理可用人表示從而可求彳的值.

【小問1詳解】

C

a2

|1X0+(-1)X0+76|/=4

據(jù)題意，得J-----------------------[=b,A

b2-3

a=b2+c2

22

???所求橢圓M的標準方程為—+^=1

43

【小問2詳解】

據(jù)(1)求解知，點廠坐標為(L0)

若直線4的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線4：y=依％-1)

y=k(x-l),

2222

據(jù)Xy得(3+4二)》2-8kx+4k-12=0

-----1---=1,

143

/、/、4"2一19

設(shè)4（石，％），5（%2，%），則玉+々二心2，小九2=-4心2，

3+4左3+4左

二IAB|=4％-七）2+（%-1）2=/（々-占）2+，2（々一占）2

\2

8人24左2—12

-4x

3+4VJ3+4左2

12(1+^)

''^AB\\CD\~n(l+k2)12(^2+1)-12,

77

：.\AB\+\CD\=-\AB\-\CD\,即此時存2=一滿足題設(shè)；

1212

若直線4的斜率不存在，貝！JIA31=3,|CD|=4；若直線4的斜率為0,貝！J|AB|=4,|CD|=3,

7

此時若|AB|+|CD|=；l|A5|?|CD|,則

12

7

綜上，存在實數(shù)X,且;1='使|A5|+|CD|=；l|AB|?|C￡)|

20、(1)an=2/7+1

（2）9

【解題分析】⑴首先根據(jù)已知條件分別求出｛4｝的首項和公差，然后利用等差數(shù)列的通項公式求解即可；（2）首先利用

等差數(shù)列求和公式求出S“，然后利用裂項相消法和分組求和法求出T,,進而可求出國』的通項公式，最后利用等差數(shù)

列求和公式求解即可.

【小問1詳解】

不妨設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

故。3=囚+2d=7,S3=3q+3d=5q,

解得％=3,d=2,

從而an=%+(n-1)J=2"+1,

即｛4｝的通項公式為??=2〃+1.

【小問2詳解】

由題意可知，S"=+g=n(n+2),

2

12121II

所以I+一=l+---------=l+-----------,

S〃(〃+2)n〃+2

IIII

故(=lxn--+-+-----------1------------

i32435n-ln+lnn+2

II

n+ln+2

因為當時，-——-----—<0；當〃23時，-——------—>0,

2"+ln+22n+ln+2

n.n<2

所以±]=

n+1,n>3

由[Z]+[(]+…+[<]=52可知，1+2+4+5++〃+l=52,

(n—2)(4+"+1)

即3+^——----------=52,解得〃=9,

2

即n值為9.

21、(1)(4,0)；(2)沒有.

IPAI\PB\8.,,,

【解題分析】（1）設(shè)機器鼠位置為點P,由題意可得J_L-J~,gpW-PB=8<10,