19.2 正比例函數(shù)（解析版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》19.2正比例函數(shù)知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一正比例函數(shù)的概念◆正比例函數(shù)的概念：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．◆正比例函數(shù)反應(yīng)的是兩個變量之間的關(guān)系，是正比例關(guān)系.【注意】判斷一個函數(shù)是正比例函數(shù)：（1）所給等式是形如y＝kx的等式，自變量的指數(shù)只能是1.（2）比例系數(shù)k是常數(shù)，且k≠0，必須同時滿足這兩個條件的才是正比例函數(shù).知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)◆1、正比例函數(shù)的圖象：正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)(1，k)的一條直線.◆2、正比例函數(shù)的性質(zhì)：正比例函數(shù)y＝kx（k是常數(shù)，k≠0），我們通常稱之為直線y＝kx．當(dāng)k＞0時，直線y＝kx依次經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，直線y＝kx依次經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，y隨x的增大而減小．◆3、若某函數(shù)圖象是直線且經(jīng)過原點(diǎn)（坐標(biāo)軸除外），那么它對應(yīng)的函數(shù)是正比例函數(shù).◆4、正比例函數(shù)的圖象的位置、函數(shù)的增減性是由比例系數(shù)k的符號決定的；反過來也是成立的.知識點(diǎn)三知識點(diǎn)三正比例函數(shù)解析式的確定◆1、確定正比例函數(shù)的解析式就是確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx（k≠0）中的常數(shù)k．◆2、求正比例函數(shù)解析式一般步驟是：（1）設(shè)：設(shè)出正比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx；（2）代：將自變量與函數(shù)的一組對應(yīng)值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解：解方程求出待定系數(shù)k的值；（4）還原：寫出函數(shù)解析式．題型一正比例函數(shù)的概念題型一正比例函數(shù)的概念【例題1】（2022秋?金塔縣期中）下列函數(shù)中y是x的正比例函數(shù)的是（）A．y＝x﹣3 B．y=3x C．y＝3﹣x D．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義即可判斷．【解答】解：A、y＝x﹣3中，y是x的一次函數(shù)，不符合題意；B、y=3x中，y是C、y＝3﹣x中，y是x的一次函數(shù)，不符合題意；D、y=x3中，y是故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉正比例函數(shù)的定義：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．注意：正比例函數(shù)的定義是從解析式的角度出發(fā)的，注意定義中對比例系數(shù)的要求：k是常數(shù)，k≠0，k是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)．【變式1-1】（2022春?汶上縣期末）下列式子中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（）A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y=【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如y＝kx（k是常數(shù)且k≠0），即可解答．【解答】解：A、y＝x，是正比例函數(shù)，故A符合題意；B、y＝x+1，是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)，故B不符合題意；C、y＝x2，是二次函數(shù)，故C不符合題意；D、y=4x，是反比例函數(shù)，故故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022春?長安區(qū)校級期中）已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如y＝kx（k為常數(shù)且k≠0），逐一判斷即可解答．【解答】解：已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝其中屬于正比例函數(shù)的有：②，只有1個，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022秋?無為市月考）若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣4）x+b是正比例函數(shù)，則a，b應(yīng)滿足的條件是（）A．a(chǎn)≠4且b≠0 B．a(chǎn)≠﹣4且b＝0 C．a(chǎn)＝4且b＝0 D．a(chǎn)≠4且b＝0【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式及b＝0，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣4）x+b是正比例函數(shù)，∴a-4≠0b=0解得：a≠4且b＝0．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，牢記正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2021秋?靜安區(qū)校級期末）下列問題中，兩個變量成正比例的是（）A．圓的面積和它的半徑 B．長方形的面積一定時，它的長和寬 C．正方形的周長與邊長 D．三角形的面積一定時，它的一條邊長與這條邊上的高【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義解決此題．【解答】解：A．設(shè)圓的半徑為r，面積為S，則S＝πr2，那么S與r不是正比例關(guān)系，故A不符合題意．B．設(shè)長方形的面積為a，長為x，寬為y，則a＝xy，那么x與y成反比例函數(shù)關(guān)系，故B不符合題意．C．設(shè)正方形的邊長為x，周長為C，那么C＝4r，那么C與r成正比例關(guān)系，故C符合題意．D．設(shè)三角形的面積為S，它的一條邊長與這條邊上的高分別為x與y，則S=12xy，那么x與y故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查正比例函數(shù)關(guān)系，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則m的值為（）A．2 B．1 C．0或2 D．0【分析】根據(jù)x的次數(shù)為1，系數(shù)不等于0，計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：|m-1|=1m-2≠0∴m＝0，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，解題時注意x的系數(shù)不等于0這個條件．【變式1-6】（2022春?豐南區(qū)期末）若函數(shù)y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函數(shù)，則k的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的定義列出關(guān)于k的方程組，求出k的值即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函數(shù)，∴k+1≠0k解得k＝1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的定義，即形如y＝kx（k≠0）的函數(shù)叫正比例函數(shù)．【變式1-7】（2022春?金川區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函數(shù)，則m+n＝．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如y＝kx（k為常數(shù)且k≠0），可得|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，n﹣4＝0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，n﹣4＝0，∴m＝±2且m≠2，n＝4，∴m＝﹣2，n＝4，∴m+n＝﹣2+4＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-8】（2022春?信都區(qū)期末）若一次函數(shù)y＝b﹣2x是正比例函數(shù)，則b＝，此時的比例系數(shù)是．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，形如y＝kx（k為常數(shù)且k≠0），即可解答．【解答】解：若一次函數(shù)y＝b﹣2x是正比例函數(shù)，則b＝0，此時的比例系數(shù)是﹣2，故答案為：0，﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-9】（2022秋?高陵區(qū)期末）若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函數(shù)，求m，n的值．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義得到m+1≠0且|m+2|＝1，﹣2n+8＝0，然后解方程求出m與n的值．【解答】解：∵y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函數(shù)，∴m+1≠0且|m+2|＝1，﹣2n+8＝0，解得m＝﹣3，n＝4，所以m的值為﹣3，n的值為4．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．【變式1-10】（2021秋?臨渭區(qū)期末）已知：函數(shù)y＝（b+2）xb2-3且y是x的是正比例函數(shù)，5a+4的立方根是4，c（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+c的平方根．【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)的定義、立方根、估算無理數(shù)的大小確定a、b、c的值；（2）把（1）中a，b，c的值代入計(jì)算求得2a﹣b+c，進(jìn)而即可求得2a﹣b+c的平方根．【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝（b+2）xb2-3且y是∴b+2≠0b∴b＝2，∵5a+4的立方根是4，∴5a+4＝43，∴a＝12，∵c是11的整數(shù)部分，∴c＝3；（2）2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，則2a﹣b+c的平方根為±5．【點(diǎn)評】本題考查正比例函數(shù)、立方根、估算無理數(shù)的大小，掌握正比例函數(shù)的定義、立方根的意義是正確解答的前提，確定a、b、c的值是正確解答的關(guān)鍵．題型二題型二正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【例題2】（2022?南京模擬）正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過坐標(biāo)系的（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可求直線所經(jīng)過的象限．【解答】解：根據(jù)k＝﹣3＜0，所以正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過第二、四象限．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：它是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線．當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。忸}技巧提煉本題考查的是正比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷k的范圍是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022春?古冶區(qū)期末）下列關(guān)于正比例函數(shù)y＝3x的說法中，正確的是（）A．當(dāng)x＝3時，y＝1 B．它的圖象是一條過原點(diǎn)的直線 C．y隨x的增大而減小 D．它的圖象經(jīng)過第二、四象限【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、當(dāng)x＝3時，y＝9，故本選項(xiàng)錯誤；B、∵直線y＝3x是正比例函數(shù)，∴它的圖象是一條過原點(diǎn)的直線，故本選項(xiàng)正確；C、∵k＝3＞0，∴y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)錯誤；D、∵直線y＝3x是正比例函數(shù)，k＝3＞0，∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過一三象限，故本選項(xiàng)錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?太原期中）下列正比例函數(shù)中，y隨x的增大而增大的是（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=-12x D．y＝﹣【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)中，y隨x的增大而增大判斷出k的符號，再對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵正比例函數(shù)中，y隨x的值增大而增大，∴k＞0，A、k＝2＞0，故本選項(xiàng)符合題意；B、k＝﹣2＜0，故本選項(xiàng)不符合題意；C、k=-12D、k＝﹣8＜0，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021?湘西州模擬）下列圖象中，表示正比例函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的直線解答即可．【解答】解：A、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項(xiàng)錯誤；B、是正比例函數(shù)圖象，故此選項(xiàng)正確；C、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項(xiàng)錯誤；D、不是正比例函數(shù)圖象，故此選項(xiàng)錯誤；故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了正比例函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)．【變式2-4】在下列各圖象中，表示函數(shù)y＝﹣kx（k＜0）的圖象的是（）A． B． C． D．【分析】由于正比例函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，由此即可確定選擇項(xiàng)．【解答】解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴函數(shù)y＝﹣kx（k＜0）的值隨自變量x的增大而增大，且函數(shù)為正比例函數(shù)，故選：C．【點(diǎn)評】此題比較簡單，主要考查了正比例函數(shù)的圖象特點(diǎn)：是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線．【變式2-5】在直角坐標(biāo)系中，y隨x的增大而減小的正比例函數(shù)y＝kx的圖象是（）A． B． C． D．【分析】利用和第二、四象限進(jìn)行判斷．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx，y隨x的增大而減小，∴k＜0，∴直線y＝kx經(jīng)過原點(diǎn)和第二、四象限．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)圖象：正比例函數(shù)y＝kx的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，當(dāng)k＞0，直線經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)k＜0，直線經(jīng)過第二、四象限．【變式2-6】（2022秋?豐順縣校級期末）在y＝k1x中，y隨x的增大而減小，k1k2＜0，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，y＝k1x和y＝k2x的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出k1的符號，即可根據(jù)k1k2＜0判斷k2的符號，再根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵在y＝k1x中，y隨x的增大而減小，∴k1＜0，∴函數(shù)y＝k1x圖象在二、四象限，∵k1k2＜0，∴k2＞0，∴函數(shù)y＝k2x的圖象在一、三象限，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-7】已知正比例函數(shù)y=57x，下列結(jié)論：①y隨x的增大而增大；②y隨x的減小而減??；③當(dāng)x＞0時，y＞0；④當(dāng)x＞1時，y＞A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】正比例函數(shù)y＝kx，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小，進(jìn)而判斷①②是否正確；再運(yùn)用上述正比例函數(shù)的單調(diào)性即可得到當(dāng)x＞0時與當(dāng)x＞1時，y的取值范圍，進(jìn)而再判斷③④是否正確．【解答】解：∵正比例函數(shù)y=57x中5∴y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小，故①正確，②正確；③當(dāng)x＞0時，y＞0，正確；④當(dāng)x＞1時，y＞5∴正確的是①②③，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-8】（2022秋?渠縣校級期中）三個正比例函數(shù)的表達(dá)式分別為①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根據(jù)所在象限判斷出a、b、c的符號，再根據(jù)直線越陡，則|k|越大可得答案．【解答】解：∵y＝ax，y＝bx，y＝cx的圖象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＜0，∵直線越陡，則|k|越大，∴b＞a＞c，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，y＝kx中，當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。瑫r注意直線越陡，則|k|越大．【變式2-9】已知正比例函數(shù)y＝（m﹣1）x5-m2【分析】當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限可得其比例系數(shù)為負(fù)數(shù)，據(jù)此求解．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（m﹣1）x5-∴m﹣1＜0，5﹣m2＝1，解得：m＝﹣2．【點(diǎn)評】此題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：它是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線．當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。}型三題型三畫正比例函數(shù)的圖象【例題3】畫出正比例函數(shù)y＝2x的圖象．【分析】根據(jù)直線的解析式知其圖象過原點(diǎn)，再令x＝1求出y的值，描出各點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線畫出函數(shù)圖象．【解答】解：如圖所示：．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵找出該直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)．解題技巧提煉正比例函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，因此可以用“兩點(diǎn)法”畫正比例函數(shù)的圖象，所以經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)（1，k）的直線是y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象．【變式3-1】請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出y＝﹣2x，y=13【分析】利用描點(diǎn)法畫出圖象即可解決問題．【解答】解：如圖所示，直線y＝﹣2x與直線y=13【點(diǎn)評】此題主要考查了畫正比例函數(shù)圖象，關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)求法．【變式3-2】在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)y＝2x，y=-13x，y＝﹣0.6【分析】分別在每個函數(shù)圖象上找出兩點(diǎn)，畫出圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．【解答】解：x01y＝2x02y=-10-1y＝﹣0.6x0﹣0.6【點(diǎn)評】本題考查了畫函數(shù)的圖象，考查的是用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是描出各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象找出規(guī)律．【變式3-3】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象．（1）y=32x；（2）y＝﹣3【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可得出它們所經(jīng)過的兩點(diǎn)：原點(diǎn)和（1，k），畫圖象即可．【解答】解：采用兩點(diǎn)法，并且取各點(diǎn)的坐標(biāo)值為整數(shù)最簡單．（1）該函數(shù)是正比例函數(shù)，函數(shù)圖象是過原點(diǎn)的一條直線．當(dāng)x＝0時，y＝0；當(dāng)x＝2時，y＝3，則該直線經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（2，3）．其圖象如圖所示．（2）該函數(shù)是正比例函數(shù)，函數(shù)圖象是過原點(diǎn)的一條直線．當(dāng)x＝0時，y＝0；當(dāng)x＝1時，y＝﹣3，則該直線經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（1，﹣3）．其圖象如圖所示．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象一定過（0，0），（1，k）．【變式3-4】用你認(rèn)為最簡單的方法畫出下列函數(shù)的圖象．（1）y＝5x；（2）y=-52【分析】經(jīng)過（0，0）和（1，k）作出正比例函數(shù)y＝kx的圖象即可．【解答】解：（1）y＝5x的圖象經(jīng)過（0，0）和（1，5），圖象為：（2）正比例函數(shù)y=-52x的圖象經(jīng)過（0，0）和（1，【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象的知識，了解正比例函數(shù)的圖象所經(jīng)過的點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-5】（1）畫出函數(shù)y＝﹣x的圖象；（2）判斷點(diǎn)A（-32，32），B（0，0），C（32，-3【分析】（1）畫出函數(shù)圖象即可；（2）把各點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式判斷即可．【解答】解：（1）圖象如圖：（2）把x=-32代入y＝﹣x=3把x＝0代入y＝﹣x＝0，所以B在圖象上；把x=32代入y＝﹣x=-3【點(diǎn)評】此題考查正比例函數(shù)問題，關(guān)鍵是把各點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式判斷．題型四題型四利用正比例函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小【例題4】（2022春?倉山區(qū)校級期中）如果一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點(diǎn)A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0【分析】利用正比例函數(shù)的性質(zhì)，可得出點(diǎn)A，B分別在一、三象限，結(jié)合點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得出m＞0，n＜0．【解答】解：∵一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點(diǎn)A（3，m）、B（n，﹣2），∴點(diǎn)A，B分別在一、三象限，∴m＞0，n＜0．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)k＞0時，正比例函數(shù)y＝kx的圖象在第一、三象限；當(dāng)k＜0時，正比例函數(shù)y＝kx的圖象在第二、四象限”是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用正比例函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小的方法一般有三種：（1）利用求值比較法；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想；（3）利用函數(shù)的增減性來比較大小.【變式4-1】已知，函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，y1），點(diǎn)B（﹣2，y2），則（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．y1、y2無法比較大小【分析】分別把點(diǎn)A（1，y1），點(diǎn)B（﹣2，y2）代入函數(shù)y＝3x，求出點(diǎn)y1，y2的值，再比較其大小即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，y1），點(diǎn)B（﹣2，y2），∴y1＝3，y2＝﹣6．∵3＞﹣6，∴y1＞y2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-2】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直線y＝﹣3x上的兩點(diǎn)，且x1＞x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．以上都有可能【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小，結(jié)合x1＞x2，即可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝﹣3＜0，∴y隨x的增大而減?。帧選1＞x2，∴y1＜y2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函數(shù)y＝x的圖象上的兩點(diǎn)，則y1，y2的大小關(guān)系為（）A．y1＝y(tǒng)2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1，y2的大小關(guān)系不確定【分析】由1＞0結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出該正比例函數(shù)為增函數(shù)，再結(jié)合1＜2即可得出結(jié)論．【解答】解：∵1＞0，∴正比例函數(shù)y隨x增大而增大，∵1＜2，∴y1＜y2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出y＝x為增函數(shù)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)確定一次函數(shù)的增減性是關(guān)鍵．【變式4-4】（2022秋?玄武區(qū)期末）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣5x圖象上的兩個點(diǎn)，若x1﹣x2＜0，則y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小，再結(jié)合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣5x+1圖象上的兩個點(diǎn)，且x1﹣x2＜0，∴y1＞y2．故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2022秋?丹東期末）已知點(diǎn)A（﹣1，m），點(diǎn)B（2，n）在直線y＝8x上，則mn（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】由8＞0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而增大，結(jié)合﹣1＜2，可得出m＜n．【解答】解：∵5＞0，∴y隨x的增大而增大，又∵點(diǎn)A（﹣1，m），點(diǎn)B（2，n）在直線y＝8x上，且﹣1＜2，∴m＜n．故答案為：＜．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】（2022?賓陽縣二模）已知點(diǎn)（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直線y＝﹣3x上，則y1，y2，y3的值的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2【分析】先根據(jù)直線y＝﹣3x判斷出函數(shù)圖象的增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵直線y＝﹣3x，k＝﹣3＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的增減性，即正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）中，當(dāng)k＞0，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，y隨x的增大而減?。咀兪?-7】（2022?榆陽區(qū)一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在該函數(shù)的圖象上，那么a和b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b【分析】利用正比例函數(shù)的定義，可求出m的值，進(jìn)而可得出m﹣1＝﹣2＜0，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小，結(jié)合1＞﹣1，即可得出a＜b．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，∴m-1≠0m解得：m＝﹣1，∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，∴y隨x的增大而減?。帧逜（1，a）和B（﹣1，b）在函數(shù)y＝（m﹣1）x+m2﹣1的圖象上，且1＞﹣1，∴a＜b．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的定義，牢記“當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小”．【變式4-8】（2021春?沙河口區(qū)期末）已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在該函數(shù)的圖象上，那么a和b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)≥b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)＜b【分析】由正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第二、四象限可知k＜0，則y隨x的增大而減小，進(jìn)而可得a＜b．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴k＜0，∴y隨x的增大而減小，∵﹣1＜1，∴a＜b，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定k的取值范圍．【變式4-9】已知函數(shù)y＝x；y＝﹣2x．y=12x，y＝3（1）在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．（2）探索發(fā)現(xiàn)：觀察這些函數(shù)的圖象可以發(fā)現(xiàn)，隨|k|的增大直線與y軸的位置關(guān)系有何變化？（3）靈活運(yùn)用已知正比例函數(shù)y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則k1與k2的大小關(guān)系為．【分析】（1）由兩條直線的解析式可知其圖象均過原點(diǎn)，再分別令x＝1求出y的值，描出各點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線畫出函數(shù)圖象；（2）比較分析可得答案．（3）由（2）分析的規(guī)律即可判斷．【解答】解：（1）如圖：（2）觀察這些函數(shù)的圖象可以發(fā)現(xiàn)，隨|k|的增大直線與y軸的夾角越?。?）由（2）規(guī)律可知，k1＞k2，故答案為k1＞k2．【點(diǎn)評】本題考查了畫出正比例函數(shù)的圖象，以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，正確畫出圖象是解題的關(guān)鍵．題型五利用正比例函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的問題題型五利用正比例函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的問題【例題5】（2022春?道里區(qū)期末）已知函數(shù)y＝（k﹣3）x，y隨x的增大而減小，則常數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝（k﹣3）x，y隨x的增大而減小，∴k﹣3＜0，解得k＜3．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉由正比例函數(shù)的性質(zhì)y隨x的增大而增大（或減?。梢耘袛啾壤禂?shù)的符號，當(dāng)y隨x的增大而增大時，比例系數(shù)大于0，反之，比例系數(shù)小于0.【變式5-1】（2023?惠陽區(qū)開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝mx|m|，它的圖象除原點(diǎn)外都在第二、四象限內(nèi)，則m的值為．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，得到m＜0，|m|＝1，然后求解即可．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝mx|m|，它的圖象除原點(diǎn)外都在第二、四象限內(nèi)，∴m＜0，|m|＝1，解得m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】此題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．【變式5-2】（2022秋?任城區(qū)校級期末）在正比例函數(shù)y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y隨x的增大而減小，則m＝．【分析】x的次數(shù)為1且x的系數(shù)為負(fù)．【解答】解：∵|m|﹣1＝1，∴m＝±2，又∵y隨x的增大而減小，∴m+1＜0，∴m＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的概念與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．【變式5-3】（2022秋?句容市期末）在正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x中，y的值隨著x值的增大而減小，則m的取值范圍是．【分析】先根據(jù)在正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x中，y的值隨著x值的增大而減小得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【解答】解：∵在正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x中，y的值隨著x值的增大而減小，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故答案為：m＜2．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022春?曲阜市期末）已知正比例函數(shù)y＝（3m﹣1）x|m|（m為常數(shù)），若y隨x的增大而減小，則m＝．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得|m|＝1，求出m的值，再根據(jù)正比例函數(shù)的增減性，可得3m﹣1＜0，求出m的取值范圍，從而確定m的值．【解答】解：正比例函數(shù)y＝（3m﹣1）x|m|（m為常數(shù)），∴|m|＝1，∴m＝±1，∵y隨x的增大而減小，∴3m﹣1＜0，∴m＜1∴m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2021秋?上蔡縣校級月考）若正比例函數(shù)y＝（a﹣2）x的圖象經(jīng)過第一、三象限，化簡(a-1)2的結(jié)果為【分析】由正比例函數(shù)的圖象位置判斷a的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（a﹣2）x的圖象經(jīng)過第一、三象限，∴a﹣2＞0，∴a﹣1＞0，∴(a-1)2=|a﹣1|＝a﹣故答案為：a﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-6】（2021秋?楊浦區(qū)期中）如果函數(shù)y＝（m﹣1）xm2-3是正比例函數(shù)，且y的值隨x的值的增大而增大，那么m的值【分析】根據(jù)題意得不等式，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)y＝（m﹣1）xm2-3是正比例函數(shù)，且y∴m2﹣3＝1且m﹣1＞0，∴m＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）中，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-7】（2021?包河區(qū)校級開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝kx，當(dāng)﹣2≤x≤2時，函數(shù)有最大值3，則k的值為．【分析】根據(jù)函數(shù)的增減性，再由x的取值范圍得出x＝﹣2時，y＝3或x＝2時，y＝3，分別代入代入函數(shù)解析式得出k的值即可．【解答】解：當(dāng)k＞0時，函數(shù)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝2時，y＝3，∴2k＝3，解得k=3當(dāng)k＜0時，函數(shù)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝﹣2時，y＝3，∴﹣2k＝3，解得k=-3∴k的值為32或-故答案為32或-【點(diǎn)評】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-8】按照下列條件求k的取值范圍：（1）正比例函數(shù)y＝（k﹣2）x的圖象經(jīng)過一、三象限；（2）正比例函數(shù)y＝（1-22k）x中，y隨（3）已知y＝（1﹣m）xm【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與系數(shù)的關(guān)系作答；（2）先根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可；（3）根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，得k﹣1＞0，解不等式即可求得k的取值范圍；【解答】解：（1）由正比例函數(shù)y＝（k﹣2）x的圖象經(jīng)過第一、三象限，可得：k﹣2＞0，則k＞2；（2）∵正比例函數(shù)y＝（1-22k）x中，y隨∴1-22k＞0，解得k（3）由正比例函數(shù)y＝（1﹣m）xm可得：m2﹣1＝1，且1﹣m＞0，則m=-2【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，即正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）中，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大．【變式5-9】已知正比例函數(shù)y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的圖象經(jīng)過第一、三象限．（1）求m的值；（2）當(dāng)-34≤x＜2【分析】（1）根據(jù)k＞0時，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：由正比例函數(shù)y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的圖象經(jīng)過第一、三象限，可得：3m﹣2＞0，3﹣|m|＝1，解得m＝2；（2）由（1）知，m＝2，∴正比例函數(shù)的解析式為y＝4x，當(dāng)x=-34時，y＝﹣3，當(dāng)x＝2時，y＝∴當(dāng)-34≤x＜2時，y【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，對于正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。咀兪?-10】已知函數(shù)y=(k+12)（1）當(dāng)k為何值時，該函數(shù)是正比例函數(shù)？（2）當(dāng)k為何值時，正比例函數(shù)y隨x的增大而增大？（3）當(dāng)k為何值時，正比例函數(shù)y隨x的增大而減??？【分析】（1）由正比例函數(shù)的定義得到方程組解得即可；（2）由正比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）由正比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）依題意有k2-3=1k+12∴當(dāng)k＝±2時，該函數(shù)是正比例函數(shù)；（2）由（1）得，當(dāng)k＝2時，正比例函數(shù)y隨x的增大而增大；（3）由（1）得，當(dāng)k＝﹣2時，正比例函數(shù)y隨x的增大而減少．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的定義，熟記函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型六求正比例函數(shù)解析式題型六求正比例函數(shù)解析式【例題6】（2022秋?南海區(qū)校級月考）已知一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，3），則這個正比例函數(shù)的表達(dá)式是（）A．y＝x+5 B．y=-32x C．y=-23x D．y【分析】根據(jù)待定系數(shù)法即可得到函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx，將（﹣2，3）代入函數(shù)解析式，得﹣2k＝3．解得k=-3函數(shù)解析式為y=-32故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉求正比例函數(shù)解析式一般步驟是：（1）設(shè)：設(shè)出正比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx；（2）代：將自變量與函數(shù)的一組對應(yīng)值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解：解方程求出待定系數(shù)k的值；（4）還原：寫出函數(shù)解析式．【變式6-1】（2022?廣州）點(diǎn)（3，﹣5）在正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象上，則k的值為（）A．﹣15 B．15 C．-35 D【分析】直接把已知點(diǎn)代入，進(jìn)而求出k的值．【解答】解：∵點(diǎn)（3，﹣5）在正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象上，∴﹣5＝3k，解得：k=-5故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，正確得出k的值是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2022春?望城區(qū)期末）已知y關(guān)于x成正比例，且當(dāng)x＝2時，y＝﹣6，則當(dāng)x＝1時，y的值為（）A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12【分析】先利用待定系數(shù)法求出y＝﹣3x，然后計(jì)算x＝1對應(yīng)的函數(shù)值．【解答】解：設(shè)y＝kx，∵當(dāng)x＝2時，y＝﹣6，∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3，∴y＝﹣3x，∴當(dāng)x＝1時，y＝﹣3×1＝﹣3．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），然后把一個已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k即可．【變式6-3】（2022春?聊城期末）若正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)(-1，12)，則k＝【分析】本題中只需把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求得k值，從而解決問題．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，12∴12=-k即k∴該正比例函數(shù)的解析式為y=-12故答案為：-1【點(diǎn)評】考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，此類題目可直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，然后利用方程解決問題．【變式6-4】（2021?碑林區(qū)校級模擬）若一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（m，6），B（5，n）兩點(diǎn)，則m，n一定滿足的關(guān)系式為（）A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D．m【分析】設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，再根據(jù)正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)可得6＝km，n＝5k，再利用含m、n的式子表示k，進(jìn)而可得答案．【解答】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，∵圖象經(jīng)過A（m，6），B（5，n）兩點(diǎn)，∴6＝km，n＝5k，∴k=6m，k∴6m∴mn＝30，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，解決問題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)必須滿足函數(shù)解析式．【變式6-5】（2021?上海）已知函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1），請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)圖象是點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求解．【解答】解：∵函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，∴k＜0．若函數(shù)y＝kx經(jīng)過（﹣1，1），則1＝﹣k，即k＝﹣1，故函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1）時，k＜0且k≠﹣1，∴函數(shù)解析式為y＝﹣2x，故答案為y＝﹣2x．【點(diǎn)評】考查了正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-6】（2021春?晉江市期末）已知y是x的正比例函數(shù)，且當(dāng)x＝2時，y＝﹣6．（1）求這個正比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)（a，y1），（a+2，y2）在該函數(shù)圖象上，試比較y1，y2的大?。痉治觥浚?）利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx，把x＝2，y＝6代入得2k＝﹣6，解得k＝﹣3，所以這個正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣3x；（2）因?yàn)閗＝﹣3＜0，所以y隨x的增大而減小，又因?yàn)閍+2＞a，所以y1＞y2．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式：先設(shè)出一次函數(shù)的解析式為y＝kx（k≠0），再把一組對應(yīng)值代入得到k得到正比例函數(shù)解析式．也考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)．【變式6-7】已知正比例函數(shù)的自變量x減少2時，對應(yīng)的函數(shù)值y增加4，求該正比例函數(shù)的解析式．【分析】設(shè)該正比例函數(shù)解析式為y＝kx①，由題意得到：y+4＝k（x﹣2）②，聯(lián)立方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)該正比例函數(shù)解析式為y＝kx①，由題意得到：y+4＝k（x﹣2）②，聯(lián)立①②，解得k＝﹣2．所以，該正比例函數(shù)的解析式是y＝﹣2x．【點(diǎn)評】考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意，列出方程組是解題的難點(diǎn)．【變式6-8】如果正比例函數(shù)y＝（m﹣2）xm2﹣【分析】利用正比例函數(shù)的定義和正比例函數(shù)的性質(zhì)得到m2﹣8＝1且m﹣2＜0，然后求出滿足兩個條件的m的值即可．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（m﹣2）xm2﹣∴m2﹣8＝1且m﹣2＜0，∴m＝﹣3，∴此函數(shù)解析式為y＝﹣5x．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)：正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），正比例函數(shù)圖象過原點(diǎn)，當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；k＜0，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減?。咀兪?-9】已知點(diǎn)（a，1），（a+2，a）在一個正比例函數(shù)的圖象上．（1）求a的值；（2）寫出這個正比例函數(shù)的表達(dá)式．【分析】設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，把已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得到關(guān)于k、m的方程組，可求得m、k的值，則可求得正比例函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得ka=1k(a+2)=a解得k=12a=2∴a的值為﹣1或12（2）正比例函數(shù)解析式為y＝﹣x或y=12【點(diǎn)評】本題主要考查正比例函數(shù)解析式的求法，掌握待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟是解題的關(guān)鍵．【變式6-10】已知y與x成正比例，且當(dāng)x＝﹣1時，y＝2．（1）求出y與x之間的函數(shù)解析式；（2）畫出該函數(shù)的圖象；（3）求當(dāng)y＝﹣8時x的值；（4）如果x的取值范圍是﹣2＜x＜3，求y的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)正比例的定義設(shè)y＝kx（k≠0），然后把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算求出k值，即可得解；（2）利用兩點(diǎn)法作出函數(shù)圖象即可；(3)把y＝﹣8代入解析式即可求得x的值；（4）求得x＝﹣2和x＝3時所對應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得y的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y＝kx，把x＝﹣1,y＝2,得2＝﹣k,解得k＝﹣2，所以y與x之間的函數(shù)解析式為y＝﹣2x；（2）畫圖象如圖，（3）把y＝﹣8代入y＝﹣2x,得﹣2x＝﹣8，解得x＝4；（4）當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣2x＝4；當(dāng)x＝3時，y＝﹣2x＝﹣6，∵﹣2＜0，∴y隨x的增大而減小∴當(dāng)﹣2＜x＜3時，﹣6＜y＜4．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的作法，根據(jù)正比例的定義設(shè)出函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．題型七正比例函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用題型七正比例函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用【例題7】某商店零售一種商品，其質(zhì)量x（kg）與售價y（元）之間的關(guān)系如下表：x/kg12345678y/元2.44.87.29.61214.416.819.2（根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，顧客在此處零買商品均未超過8kg）（1）由上表推出售價y（元）隨質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象；（2）顧客購買這種商品5.5kg應(yīng)付多少元？【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)可得售價y（元）隨質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象；（2）把x＝5.5kg代入（1）中解析式即可．【解答】解：（1）觀察表格中數(shù)據(jù)可知，質(zhì)量每增加1kg，售價就增加2.4元，∴這種變化規(guī)律可以表示為y＝2.4x（0≤x≤8）．這個函數(shù)的圖象如圖所示：（2）將x＝5.5代入解析式，得y＝2.4×5.5＝13.2，答：顧客購買這種商品5.5kg應(yīng)付13.2元．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式．解題技巧提煉正比例函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題，要注意自變量的取值范圍.【變式7-1】在水管放水的過程中，放水的時間x（分）與流出的水量y（立方米）是兩個變量．已知水管每分鐘流出的水量是0.2立方米，放水的過程共持續(xù)10分鐘，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“水管每分鐘流出的水量是0.2立方米，放水的過程共持續(xù)10分鐘”列出函數(shù)關(guān)系式，然后確定函數(shù)的圖象即可．【解答】解：∵水管每分鐘流出的水量是0.2立方米，∴流出的水量y和放水的時間x的函數(shù)關(guān)系為：y＝0.2x，∵放水的過程共持續(xù)10分鐘，∴自變量的取值范圍為（0≤x≤10），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)實(shí)際問題列出函數(shù)關(guān)系式．【變式7-2】一輛汽車由A地勻速駛往相距300千米的B地，汽車的速度是100千米/小時，那么汽車距離A地的路程S（千米）與行駛時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（）A． B． C． D．【分析】注意分析s隨t的變化而變化的趨勢，而不一定要通過求解析式來解決．【解答】解：汽車從A地出發(fā)，距離A地的路程S（千米）與行駛時間t（小時）應(yīng)成正比例函數(shù)關(guān)系，并且S隨t的增大而增大，自變量t的取值范圍是t≥0．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題．【變式7-3】蠟燭點(diǎn)燃后縮短長度y（cm）與燃燒時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx（k≠0），已知長為21cm的蠟燭燃燒6分鐘后，蠟燭變短3.6cm，求：（1）y與x之間的函數(shù)解析式；（2）自變量x的取值范圍；（3）此蠟燭幾分鐘燃燒完．【分析】（1）根據(jù)燃燒的蠟燭＝每分鐘燃燒的長度×?xí)r間，建立函數(shù)關(guān)系式用待定系數(shù)法求解；（2）當(dāng)y＝21時代入（1）的解析式就可以求出x的值從而可以求出結(jié)論；（3）令y＝21即可求得燃燒完使用的時間．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx（k≠0），由題意，得3.6＝6k，解得k＝0.6，則用x表示函數(shù)y的解析式為y＝0.6x；（2）當(dāng)y＝0時，x＝0，當(dāng)y＝21時，x＝35則自變量的取值范圍是：0≤x≤35；（3）當(dāng)y＝21時，0.6x＝21，x＝35，所以點(diǎn)燃35分鐘后可燃燒光．【點(diǎn)評】此題考查了根據(jù)題意中的等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式；能夠根據(jù)函數(shù)解析式求得對應(yīng)的x的值，特別注意自變量的取值范圍．【變式7-4】小明家最近購買了一套住房，準(zhǔn)備在裝修時用木質(zhì)地板鋪設(shè)臥室，用瓷磚鋪設(shè)客廳，經(jīng)市場調(diào)查得知，買這兩種材料和用這兩種材料鋪設(shè)地面的工錢都不一樣．小明根據(jù)地面的面積，對鋪設(shè)臥室和客廳的費(fèi)用（購買材料費(fèi)和工錢）分別做了預(yù)算，并用x（平方米）表示鋪設(shè)地面的面積，用y（元）表示購買和鋪設(shè)的總費(fèi)用，并制成下圖，請你根據(jù)圖中所提供信息，解答下列問題：（1）鋪設(shè)臥室每平方米的費(fèi)用為元，鋪設(shè)客廳每平方米的費(fèi)用為元；（2）表示鋪設(shè)臥室的費(fèi)用y1（元）與面積x（平方米）之間的關(guān)系式為；表示鋪設(shè)客廳的費(fèi)用y2（元）與面積x（平方米）之間的關(guān)系式為．（3）已知在小明的預(yù)算中，鋪設(shè)瓷磚的工錢比鋪設(shè)木質(zhì)地板的工錢多5元，購買瓷磚的單價是購買木質(zhì)地板的單價的34【分析】（1）可根據(jù)（25，2750）求出鋪設(shè)客廳每平米的費(fèi)用，根據(jù)（30，4050）求出鋪設(shè)居室每平米的費(fèi)用；（2）根據(jù)（1）中求出的鋪設(shè)居室的每平米的費(fèi)用，也就是居室的費(fèi)用y與面積x的正比例函數(shù)的k的值，因此，y＝135x；（3）可根據(jù)鋪設(shè)客廳每平米的費(fèi)用＝鋪設(shè)每平米的瓷磚的工錢+每平米瓷磚的價錢，鋪設(shè)居室每平米的費(fèi)用＝鋪設(shè)每平米的木質(zhì)地板的工錢+每平米木質(zhì)地板的價錢，來列方程組求解．【解答】解：（1）由題得：4050÷30＝135，2750÷25＝110，即預(yù)算中鋪設(shè)居室的費(fèi)用為135元/m2；鋪設(shè)客廳的費(fèi)用為110元/m2；故答案是：135；110；（2）y1＝135x（0≤x≤30）；y2＝110x（0≤x≤25）；故答案是：y1＝135x（0≤x≤30）；y2＝110x（0≤x≤25）；（3）設(shè)鋪木質(zhì)地板的工錢為a元/平方米，那么鋪瓷磚的工錢為（a+5）元/平方米，設(shè)購買1m2木質(zhì)地板費(fèi)用是b元，那么購買1m2的瓷磚的費(fèi)用是34ba+b=135a+5+解得a=15b=120因此a+5＝20元/m2，34b＝90答：鋪設(shè)每平方米木質(zhì)地板、瓷磚的工錢分別是15元和20元；購買每平方米的木質(zhì)地板、瓷磚的費(fèi)用分別是120元和90元．【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象以及二元一次方程組的應(yīng)用．借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵．題型八正比例函數(shù)的綜合應(yīng)用題型八正比例函數(shù)的綜合應(yīng)用【例題8】（2022春?德城區(qū)校級期中）如圖，已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A在第四象限，過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，且△AOH的面積為8．（1）求正比例函數(shù)的解析式．（2）在x軸上能否找到一點(diǎn)P，使△AOP的面積為10？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先利用三角形面積公式求出AH得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)P（t，0），利用三角形面積公式得到12?|t|?3＝10，然后解關(guān)于t【解答】解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，且△AOH的面積為8，∴12?4?AH＝8解得AH＝4，∴A（4，﹣4），把A（4，﹣4）代入y＝kx得4k＝﹣4，解得k＝﹣1，∴正比例函數(shù)解析式為y＝﹣x；（2）存在．設(shè)P（t，0），∵△AOP的面積為10，∴12?|t|?4＝10∴t＝5或t＝﹣5，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）或（﹣5，0）．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，然后把函數(shù)圖象上一個已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k即可得到正比例函數(shù)解析式．也考查了三角形面積公式．解題技巧提煉正比例函數(shù)的綜合應(yīng)用主要是結(jié)合其它圖形的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題.【變式8-1】如圖，正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A在第二象限．過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H．已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3，且△AOH的面積為4.5．（1）求該正比例函數(shù)的解析式．（2）將正比例函數(shù)y＝kx向下平移，使其恰好經(jīng)過點(diǎn)H，求平移后的函數(shù)解析式．【