山東省青島市萊西市2023-2024學年高二上學期學業(yè)水平階段性檢測二數(shù)學試題（含答案解析）

高二學業(yè)水平階段性檢測二數(shù)學試題考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，將試題和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定方程直接求出焦點坐標即得.【詳解】拋物線的焦點在y軸的正半軸上，坐標為.故選：D2.點到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A.3 B.4 C.5 D.2【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，再利用點到直線的距離公式計算即得.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，所以點到雙曲線的一條漸近線的距離.故選：A3.某學校要從5名男教師和3名女教師中隨機選出3人去支教，則抽取的3人中，男教師最少為1人的選法種數(shù)為（）A.45 B.50 C.55 D.40【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用排除法，結(jié)合組合應用問題列式計算即得.【詳解】依題意，從8人中任選3人，有種方法，其中沒有男教師的選法有種，所以抽取的3人中，男教師最少為1人的選法種數(shù)為.故選：C4.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.9 B.18 C.27 D.54【答案】C【解析】【分析】根據(jù)下標和性質(zhì)及等差數(shù)列前項和公式計算可得.【詳解】在等差數(shù)列中，所以故選：C5.設(shè)拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A.3 B.2 C. D.5【答案】B【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標及準線方程，利用拋物線定義及點到直線的距離公式求解即得.【詳解】拋物線的焦點，準線，過點作于，垂直于直線于點，顯然，點到直線的距離，則，當且僅當點是點到直線的垂線段與拋物線的交點時取等號，所以的最小值為2.故選：B6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行唱歌比賽，決出第一名到第五名．丙和丁去詢問成績，回答者對丙說：很遺憾，你和丁都沒有得到冠軍，對丁說：你當然不會是最差的從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）A.24種 B.54種 C.96種 D.120種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①丙是最后一名，則丁可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，丙丁都沒有得到冠軍，而丁不是最后一名，分2種情況討論：①丙是最后一名，則丁可以為第二、三、四名，即丁有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：B．7.已知雙曲線的左右焦點分別是、，過的直線與雙曲線相交于、兩點，則滿足的直線有A.條 B.條 C.條 D.條【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線，過的直線垂直于軸時，，雙曲線兩個頂點的距離為，即可得出結(jié)論.【詳解】雙曲線，過的直線垂直于軸時，；雙曲線兩個頂點的距離為，滿足的直線有條，一條是通徑所在的直線，另兩條與右支相交.故選：C【點睛】本題考查了直線與雙曲線相交的弦長問題，考查了通徑的求法，屬于基礎(chǔ)題.8.拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點的坐標，進而求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點的坐標即得.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，由點在拋物線上，則，直線方程為：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而，所以的周長為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若雙曲線方程為，為雙曲線的一個焦點，點在該雙曲線上，為坐標原點，則（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的漸近線方程為C.雙曲線的焦距為 D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】選項A，分析方程，得出，進而求出雙曲線的離心率即可；選項B，將雙曲線方程化為，反解，求出雙曲線的漸近線方程即可；選線C，得出后，求出的值，即可判斷；選項D，求出雙曲線的一個焦點坐標，設(shè)出點的坐標，用兩點間距離公式求即可.【詳解】對于選項A，雙曲線中，，得，故A不正確；對于選項B，雙曲線，化為形式，反解，得出其漸近線方程為，故選項B正確；對于選項C，因為，可得雙曲線的焦距為，故選項C正確；對于選項D，為雙曲線的焦點，不妨取，設(shè)，，其中，得：（其中），當且僅當時取得最小值，最小值為，故D不正確.故選：BC.10.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再逐項分析判斷即得.【詳解】由，得，A正確；等差數(shù)列的公差，B正確；顯然，因此，C錯誤；，D正確.故選：ABD11.我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（）A.第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)B.C.第2020行的第1010個數(shù)最大D.第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A，利用組合數(shù)公式判斷B，分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C，求出第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)，即可判斷D.【詳解】對于A：第行，第行，第行的第個數(shù)字分別為：，，，其和為；而第行第個數(shù)字就是，故A正確；對于B：因為，，所以，故B正確；對于C：由圖可知：第行有個數(shù)字，如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個數(shù)字最大；如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，所以第行的第個數(shù)最大，故C錯誤；對于D：依題意：第行從左到右第個數(shù)為，第行從左到右第個數(shù)為，所以第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故D正確；故答案為：ABD.12.拋物線的焦點為，若是拋物線上任意一點，直線的傾斜角為，點是線段的中點，則下列說法正確的是（）A.點軌跡方程為B.若，則C.的最小值為D.在軸上不存在點，使得【答案】ACD【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標、準線方程，然后逐項分析、計算作答.【詳解】拋物線的焦點為，準線，對于A，設(shè)點，則點，而P是拋物線C上任意一點，于是得，即，于是點M的軌跡方程為，A正確；對于B，直線的方程為：，由消去y并整理得，解得，，則或，B錯誤；對于C，設(shè)點，則，當且僅當時取等號，即的最小值為，C正確；對于D，由點M的軌跡方程為，設(shè)，，則，，因此為銳角，即在軸上不存在點，使得，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4-小題，每小題5分，共20分，16題第一空2分，第二空3分．13.數(shù)列是等比數(shù)列，且前項和為，則實數(shù)___________．【答案】【解析】【分析】由作差求出的通項，再由是等比數(shù)列，求出.【詳解】因為，當時，當時，所以，則，又數(shù)列是等比數(shù)列，所以，解得.故答案為：14.的展開式中的系數(shù)為___________．（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】由，寫出展開式的通項，即可求出展開式中的系數(shù).【詳解】因為，其中展開式的通項為（且），所以的展開式中含的項為，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：15.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法，如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的頂點和軸都重合），已知兩個圓錐的底面直徑均為2，側(cè)面積均為，記過兩個圓錐軸的截面為平面，平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為．已知平面平行于平面，平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線的一部分，且的兩條漸近線分別平行于，則該雙曲線的離心率為___________．【答案】【解析】【分析】以矩形中心為原點，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標系，求出的值即可得解.【詳解】以矩形的中心為原點，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標系，設(shè)雙曲線的標準方程為，由圓錐的底面直徑為2，側(cè)面積為，得，顯然，即，所以雙曲線的離心率.故答案為：16.畢達哥拉斯學派是古希臘哲學家畢達哥拉斯組建的學派，他們長把沙灘上的沙?；蛘咝∈佑脭?shù)表示，并由它們排列而成的形狀對自然數(shù)進行研究，如圖，圖形中的圓點數(shù)分別是1、5、12、22…，以此類推，第五個圖形對應的圓點數(shù)為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探求相鄰兩個圖形對應圓點數(shù)的變化規(guī)律求解即得.【詳解】依題意，由第一、二、三、四個圖形的圓點數(shù)知，后面圖形比相鄰前一個圖形多的圓點數(shù)依次為4，7，10，從第二個圖形起，多的圓點數(shù)構(gòu)成以4為首項，3為公差的等差數(shù)列，因此第五個圖形的圓點數(shù)比第四個圖形多13個，所以第五個圖形對應的圓點數(shù)為.故答案為：35四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知展開式中，第三項的系數(shù)與第四項的系數(shù)比為．（1）求的值；（2）求展開式中有理項的系數(shù)之和．（用數(shù)字作答）【答案】（1）7；（2）702.【解析】【分析】（1）求出第三、第四項的系數(shù)，再列式計算即得.（2）由（1）的結(jié)論，求出展開式的有理項的系數(shù)即可計算得解.【小問1詳解】依題意，展開式的通項公式，顯然第三項系數(shù)為，第四項系數(shù)為，因此，解得，所以的值為7.【小問2詳解】由（1）知，當時，對應的項是有理項，當時，展開式中對應的有理項為；當時，展開式中對應的有理項為當時，展開式中對應的有理項為所以展開式中有理項的系數(shù)之和為．18.已知等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差即可求解.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項相消法求和即得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是單調(diào)遞增數(shù)列，得，由，且成等比數(shù)列，得，解得，所以數(shù)列的通項公式是.小問2詳解】由（1）得，所以數(shù)列的前項和.19.已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，雙曲線的漸近線方程為．（1）求拋物線的標準方程和雙曲線的標準方程．（2）斜率為2的直線與拋物線交于兩點，與軸交于點，若，求．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由雙曲線漸近線方程求出，進而求出其右焦點即可得解.（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，借助共線向量求出點的坐標即可.【小問1詳解】依題意，雙曲線漸近線方程為：，于是，解得，因此雙曲線的標準方程為：，其右焦點為，則，解得，所以拋物線的標準方程為，雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】設(shè)的方程為：，則，由消去得：，則，，由，得，則，滿足，因此，，，所以．20.某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為、、、．（1）寫出一個遞推公式來表示與之間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中、為常數(shù)．（3）求其前項和的值．（精確到，其中）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題設(shè)條件可得出的值，以及數(shù)列的遞推公式；（2）由及（1）中的遞推公式可求出、的值，即可得出結(jié)果；（3）分析可知，數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求出數(shù)列的通項公式，再利用分組求和法可求得的值.【小問1詳解】解：由題意，得，第年年初的計劃存欄數(shù)是在第年年初的計劃存欄數(shù)的基礎(chǔ)上增長，再減去，則.【小問2詳解】解：將化成，對比，可得，解得，所以，（1）中的遞推公式可表示為.【小問3詳解】解：由（2）可知，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，則，所以，.21.已知正項數(shù)列的首項，前項和滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用變形給定等式，利用等差數(shù)列通項公式求出，再求出數(shù)列的通項.（2）由（1）的結(jié)論求出，利用錯位相減法求和即得.【小問1詳解】由，得，則，而，因此是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，于是，即，當時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】由（1）知，，則，于是兩式相減得：，所以數(shù)列的前項和.22.已知雙曲線過點，左右焦點分別為，且．（1）求的標準方程．（2）設(shè)過點的直線與交