2023屆吉林省白山市高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省白山市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：A.2.的實(shí)部為（）．A.37 B.53 C.31 D.45〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以其?shí)部為53．故選：B3.已知橢圓C：+=1的離心率為，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.8 B.4 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗依題意，因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以=，得m=2，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2=4．故選：B.4.函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得．綜上所述，．故選：A5.在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.平面C.平面 D.平面〖答案〗A〖解析〗在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，對(duì)于A，，顯然，則平面，而平面，所以平面，A正確；對(duì)于B，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，則直線與平面不平行，B錯(cuò)誤；，而，即直線不垂直于，平面，因此直線不垂直于平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，直線不垂直于，平面，直線不垂直于平面，D錯(cuò)誤.故選：A.6.已知函數(shù)的最大值與最小值的差為2，其圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為2，則（）．A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，故．故選：B.7.若過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可能是()A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如圖，曲線即表示以O(shè)為圓心，2為半徑的上半圓，因?yàn)橹本€即與半圓相切，所以，解得．因?yàn)樗裕种本€l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是故選：B8.已知球O的半徑為2，圓錐內(nèi)接于球O，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐內(nèi)切球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高為，所以圓錐的體積，令，則，所以.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)圓錐的高為，母線長(zhǎng)為.因?yàn)閳A錐內(nèi)切球的半徑等于圓錐軸截面的內(nèi)切圓的半徑，所以圓錐內(nèi)切球的半徑.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.將A，B，C，D這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則（）．A.甲得到A卡片與乙得到A卡片對(duì)立事件B.甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對(duì)立事件C.甲得到A卡片的概率為D.甲、乙2人中有人得到A卡片的概率為〖答案〗BCD〖解析〗甲得到A卡片與乙得到A卡片不可能同時(shí)發(fā)生，但可能同時(shí)不發(fā)生，所以甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對(duì)立事件，A不正確，B正確．甲得到A卡片的概率為，C正確．乙2人中有人得到A卡片的概率為，D正確．故選：BCD10.已知正四面體，E為的中點(diǎn)，則（）．A.直線與所成的角為B.直線與所成的角為C.直線與平面所成角的余弦值為D.直線與平面所成角的余弦值為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)A，連接，因?yàn)闉檎拿骟w，則，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，則，，，且平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對(duì)B，取的中點(diǎn)F，連接，，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，又因?yàn)镋為中點(diǎn)，則，所以為直線與直線所成的角，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)正四面體特點(diǎn)可知頂點(diǎn)在底面上的投影落在上，所以為直線與平面所成的角，所以，故C正確；對(duì)D，根據(jù)正四面體的特點(diǎn)可知點(diǎn)在平面上的投影落在上，所以為直線與平面所成的角，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則（）．A.是周期為2的函數(shù)B.C.的值域是D.方程在區(qū)間內(nèi)恰有1011個(gè)實(shí)數(shù)解〖答案〗BD〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以是奇函?shù)．由，得，所以以4為周期，故A錯(cuò)誤．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且定義域?yàn)镽，所以．因?yàn)?，所以，故B正確．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈闹芷跒?，所以當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤．方程的解的個(gè)數(shù)，即的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．因?yàn)榈闹芷跒?，且當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，與有1011個(gè)交點(diǎn)，故D正確．故選：BD.12.裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡(jiǎn)稱：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）．（附：若，則，，）A.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在的概率約為0.7685B.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中C.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過(guò)5，則乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大D.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為，則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率約為乙生產(chǎn)線的2倍〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，故A錯(cuò)誤．因?yàn)椋约咨a(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中，故B正確．因?yàn)椋?，所以，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大，故C錯(cuò)誤．因?yàn)?，，所以D正確．故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，，若，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，得．故〖答案〗為?14.若正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故〖答案〗為：.15.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．若曲線和在處的曲率分別為，則__________．〖答案〗〖解析〗，則，，，；，則，，，；則故〖答案〗為：16.已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則__________，該拋物線上一點(diǎn)A（非頂點(diǎn)）處的切線與圓相切，則__________．〖答案〗3〖解析〗由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的投影為D，根據(jù)拋物線的定義可知，則，當(dāng)M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，結(jié)合圖像可知的最小值即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，可得拋物線，焦點(diǎn)，在拋物線上取一點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)A的切線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，，解得切線l的方程為，整理得，又因?yàn)榍芯€與圓相切，設(shè)切點(diǎn)為B，由圓M的方程可知圓心，，則，解得（舍去）或，所以，同理，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，也符合題意則故〖答案〗為：3；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列中，，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）在等差數(shù)列中，，解得，而，則等差數(shù)列的公差，所以的通項(xiàng)公式是.（2）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，解得，而，則有，解得，，由（1）知，，則，于得，兩式相減得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.某短視頻平臺(tái)的一位博主，其視頻以展示鄉(xiāng)村生活為主，趕集、出城、抓魚(yú)、養(yǎng)雞等新時(shí)代農(nóng)村生活吸引了許多觀眾，該博主為家鄉(xiāng)的某農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行直播帶貨，通過(guò)5次試銷得到了銷量（單位：百萬(wàn)盒）與單價(jià)（單位：元/盒）的如下數(shù)據(jù)：66.26.46.66.85045454035（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）在所有顧客中隨機(jī)抽取部分顧客（人數(shù)很多）進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)查問(wèn)卷，其中“體驗(yàn)非常好”的占一半，“體驗(yàn)良好”“體驗(yàn)不滿意”的各占25%，然后在所有顧客中隨機(jī)抽取8人作為幸運(yùn)顧客贈(zèng)送禮品，記抽取的8人中“體驗(yàn)非常好”的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和均值.參考公式：回歸方程，其中，.參考數(shù)據(jù)：，.解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)附注公式：，于是，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：（2）依題意，可能的取值為，由于顧客人數(shù)很多，可近似認(rèn)為服從二項(xiàng)分布，即，，其中.故，，，，，，，，.分布列為：012345678根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式，19.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E為棱AA1的中點(diǎn)．（1）證明：BC⊥C1E．（2）設(shè)=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距離為，求λ．（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AA1，AB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；（2）解：因?yàn)?，=，所以=+=+λ=，設(shè)平面BB1M的法向量為，則，令x=1+λ，則，因?yàn)?，所以C1到平面BB1M的距離，解得．20.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，csin=sinC，且a=1．（1）求A；（2）若AB=AC，D，E兩點(diǎn)分別在邊BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．解：（1）因?yàn)閏sin=sinC，且a=1，所以csin=asinC，所以sinCsin=sinAsinC.因?yàn)镃∈(0,π)，sinC≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sinA，即cos=sinA，所以cos=2sincos.因?yàn)椤?0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.（2）因?yàn)锳B=AC，A=，所以△ABC為等邊三角形，即AC=BC=AB=1.如圖，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，由余弦定理得cosB=，所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，所以CD=2-BE+，因?yàn)?≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，當(dāng)且僅當(dāng)2-BE=，即BE=2-時(shí)，等號(hào)成立，所以CD的最小值為2-3.21.法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日創(chuàng)立的《畫(huà)法幾何學(xué)》對(duì)世界各國(guó)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．在雙曲線-=1（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A．已知雙曲線C：-=1（a>b>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為6，其蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=1．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)D為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且DG⊥EF于G，證明：存在定點(diǎn)H，使|GH|為定值．（1）解：由題意知a=3，因?yàn)殡p曲線C的蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=1，所以a2-b2=1，所以b=2，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1，（2）證明：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，則Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，且因?yàn)椤?（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，化簡(jiǎn)得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，所以m=3k或m=51k，且均滿足m2-9k2+8>0當(dāng)m=3k時(shí)，直線l的方程為y=k（x+3），直線過(guò)定點(diǎn)（-3，0），與已知矛盾，當(dāng)m=51k時(shí)，直線l的方程為y=k（x+51），過(guò)定點(diǎn)M（-51，0）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)直線DE：y=x+3，聯(lián)立方程組得x=-3（舍去）或x=-51，此時(shí)直線l過(guò)定點(diǎn)M（-51，0）．因?yàn)镈G⊥EF，所以點(diǎn)G在以DM為直徑的圓上，H為該圓圓心，|GH|為該圓半徑．故存在定點(diǎn)H（-27，0），使|GH|為定值24.22.已知函數(shù)．（1）求在上的極值；（2）若，求的最小值．解：（1），令，得，在為負(fù)，單調(diào)遞減，在為正，單調(diào)遞增，故為極小值，無(wú)極大值.（2）由題知,令，令，則，設(shè)則，，為正，在單調(diào)遞增，，為負(fù)，在單調(diào)遞減，故為極大值，若，即，此時(shí)，則在單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，在單調(diào)遞增，時(shí)，，在單調(diào)遞減，故為極大值，所以，則當(dāng)時(shí)，符合條件；，即此時(shí)，存在，在上；，則在單調(diào)遞增，又，則在區(qū)間上所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，則，不滿足條件.綜上所述的最小值為吉林省白山市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：A.2.的實(shí)部為（）．A.37 B.53 C.31 D.45〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以其?shí)部為53．故選：B3.已知橢圓C：+=1的離心率為，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.8 B.4 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗依題意，因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以=，得m=2，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2=4．故選：B.4.函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得．綜上所述，．故選：A5.在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.平面C.平面 D.平面〖答案〗A〖解析〗在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，對(duì)于A，，顯然，則平面，而平面，所以平面，A正確；對(duì)于B，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，則直線與平面不平行，B錯(cuò)誤；，而，即直線不垂直于，平面，因此直線不垂直于平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，直線不垂直于，平面，直線不垂直于平面，D錯(cuò)誤.故選：A.6.已知函數(shù)的最大值與最小值的差為2，其圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為2，則（）．A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，故．故選：B.7.若過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可能是()A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如圖，曲線即表示以O(shè)為圓心，2為半徑的上半圓，因?yàn)橹本€即與半圓相切，所以，解得．因?yàn)樗?，又直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是故選：B8.已知球O的半徑為2，圓錐內(nèi)接于球O，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐內(nèi)切球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高為，所以圓錐的體積，令，則，所以.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)圓錐的高為，母線長(zhǎng)為.因?yàn)閳A錐內(nèi)切球的半徑等于圓錐軸截面的內(nèi)切圓的半徑，所以圓錐內(nèi)切球的半徑.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.將A，B，C，D這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則（）．A.甲得到A卡片與乙得到A卡片對(duì)立事件B.甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對(duì)立事件C.甲得到A卡片的概率為D.甲、乙2人中有人得到A卡片的概率為〖答案〗BCD〖解析〗甲得到A卡片與乙得到A卡片不可能同時(shí)發(fā)生，但可能同時(shí)不發(fā)生，所以甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對(duì)立事件，A不正確，B正確．甲得到A卡片的概率為，C正確．乙2人中有人得到A卡片的概率為，D正確．故選：BCD10.已知正四面體，E為的中點(diǎn)，則（）．A.直線與所成的角為B.直線與所成的角為C.直線與平面所成角的余弦值為D.直線與平面所成角的余弦值為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)A，連接，因?yàn)闉檎拿骟w，則，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，則，，，且平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對(duì)B，取的中點(diǎn)F，連接，，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，又因?yàn)镋為中點(diǎn)，則，所以為直線與直線所成的角，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)正四面體特點(diǎn)可知頂點(diǎn)在底面上的投影落在上，所以為直線與平面所成的角，所以，故C正確；對(duì)D，根據(jù)正四面體的特點(diǎn)可知點(diǎn)在平面上的投影落在上，所以為直線與平面所成的角，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則（）．A.是周期為2的函數(shù)B.C.的值域是D.方程在區(qū)間內(nèi)恰有1011個(gè)實(shí)數(shù)解〖答案〗BD〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以是奇函?shù)．由，得，所以以4為周期，故A錯(cuò)誤．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且定義域?yàn)镽，所以．因?yàn)?，所以，故B正確．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈闹芷跒?，所以當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤．方程的解的個(gè)數(shù)，即的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．因?yàn)榈闹芷跒?，且當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，與有1011個(gè)交點(diǎn)，故D正確．故選：BD.12.裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡(jiǎn)稱：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）．（附：若，則，，）A.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在的概率約為0.7685B.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中C.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過(guò)5，則乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大D.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為，則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率約為乙生產(chǎn)線的2倍〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，故A錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中，故B正確．因?yàn)?，，所以，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大，故C錯(cuò)誤．因?yàn)?，，所以D正確．故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，，若，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，得．故〖答案〗為?14.若正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故〖答案〗為：.15.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．若曲線和在處的曲率分別為，則__________．〖答案〗〖解析〗，則，，，；，則，，，；則故〖答案〗為：16.已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則__________，該拋物線上一點(diǎn)A（非頂點(diǎn)）處的切線與圓相切，則__________．〖答案〗3〖解析〗由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的投影為D，根據(jù)拋物線的定義可知，則，當(dāng)M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，結(jié)合圖像可知的最小值即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，可得拋物線，焦點(diǎn)，在拋物線上取一點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)A的切線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，，解得切線l的方程為，整理得，又因?yàn)榍芯€與圓相切，設(shè)切點(diǎn)為B，由圓M的方程可知圓心，，則，解得（舍去）或，所以，同理，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，也符合題意則故〖答案〗為：3；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列中，，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）在等差數(shù)列中，，解得，而，則等差數(shù)列的公差，所以的通項(xiàng)公式是.（2）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，解得，而，則有，解得，，由（1）知，，則，于得，兩式相減得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.某短視頻平臺(tái)的一位博主，其視頻以展示鄉(xiāng)村生活為主，趕集、出城、抓魚(yú)、養(yǎng)雞等新時(shí)代農(nóng)村生活吸引了許多觀眾，該博主為家鄉(xiāng)的某農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行直播帶貨，通過(guò)5次試銷得到了銷量（單位：百萬(wàn)盒）與單價(jià)（單位：元/盒）的如下數(shù)據(jù)：66.26.46.66.85045454035（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）在所有顧客中隨機(jī)抽取部分顧客（人數(shù)很多）進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)查問(wèn)卷，其中“體驗(yàn)非常好”的占一半，“體驗(yàn)良好”“體驗(yàn)不滿意”的各占25%，然后在所有顧客中隨機(jī)抽取8人作為幸運(yùn)顧客贈(zèng)送禮品，記抽取的8人中“體驗(yàn)非常好”的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和均值.參考公式：回歸方程，其中，.參考數(shù)據(jù)：，.解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)附注公式：，于是，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：（2）依題意，可能的取值為，由于顧客人數(shù)很多，可近似認(rèn)為服從二項(xiàng)分布，即，，其中.故，，，，，，，，.分布列為：012345678根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式，19.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E為棱AA1的中點(diǎn)．（1）證明：BC⊥C1E．（2）設(shè)=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距離為，求λ．（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AA1，AB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；（2）解：因?yàn)?，=，所以=+=+λ=，設(shè)平面BB1M的法向量為，則，令x=1+λ，則，因?yàn)?，所以C1到平面BB1M的距離，解得．20.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，csin=sinC，且a=1．（1）求A；（2）若AB=AC，D，E兩點(diǎn)分別在邊BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．解：（1）因?yàn)閏sin=sinC，且a=1，所以csin=asinC，所以sinCsin=sinAsinC.因?yàn)镃∈(0,π)，sinC≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sinA，即cos=sinA，所以cos=2sincos.因?yàn)椤?0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.（2）因?yàn)锳B=AC，A=，所以△ABC為等邊三角形，即AC=BC=AB=1.如圖，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，由余弦定理得cosB=，所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，所以CD=2-BE+，因?yàn)?≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-