第07講圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展）（教師版）

第07講圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展）（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第5題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍無2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點三角形問題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2022年全國甲卷（文科），第11題,5分根據(jù)離心率求橢圓的標準方程根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程2022年全國甲卷（理科），第10題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍已知兩點求斜率2022年全國乙卷（理科），第11題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍用和、差角的正弦公式化簡、求值正弦定理解三角形2022年新I卷，第16題,5分根據(jù)離心率求楠圓的標準方程橢圓中焦點三角形的周長問題2021年全國乙卷（理科），第11題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)2021年全國甲卷（理科），第5題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5分【備考策略】離心率的定義及對曲線的影響用定義法求離心率3.能用文中其他方法快速求解離心率4.能求解離心率的相關最值問題【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習知識講解橢圓離心率求解的5種常用方法公式1:公式2:變形證明:公式3:已知棚圓方程為,兩焦點分別為,設焦點三角形,,則橢圓的離心率證明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以橢圓兩焦點及橢圓上任一點(除長軸兩端點外)為頂點,則證明:由正弦定理有.公式5:點是橢圓的焦點,過的弦與橢圓焦點所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則當曲線焦點在軸上時,注:或者而不是或雙曲線離心率求解的5種常用方法公式1:公式證明:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點分別為,設焦點三角形,則證明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以雙曲線的兩個焦點及雙曲線上任意一點除實軸上兩個端點外)為頂點的,則離心率證明:由正弦定理,有即又公式5:點是雙曲線焦點,過弦與雙曲線焦點所在軸夾角為為直線斜率,,則,當曲線焦點在軸上時,注:或者而不是或考點一、橢圓、雙曲線中的定義法求離心率1．（2023·北京大興·?？既＃嵼S長和虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，則等軸雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】依題意可得，即可得到，從而求出離心率.【詳解】依題意可得等軸雙曲線中，則，所以離心率.故選：A2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意求得，然后由公式可得.【詳解】由題意得，，所以，．故選：D．3．（2023·內(nèi)蒙古通遼·?？寄M預測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】求出雙曲線一條漸近線斜率，即，從而求出離心率.【詳解】由題意得：雙曲線的一條漸近線方程的斜率，所以雙曲線離心率.故選：D4．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學?？寄M預測）已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關于的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，則，得到，由橢圓的方程，得到，結合，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點為，因為點是橢圓上關于軸對稱的兩點，可設，則，所以，可得，又因為，即，代入可得，所以離心率為.故選：D.5．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）已知橢圓經(jīng)過點和，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】通過已知兩個點求出橢圓方程即可得到離心率.【詳解】將兩個點代入橢圓方程得：，解得，故.故答案為：1．（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預測）若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線漸近線和離心率的公式即可.【詳解】漸近線方程為；；；故選：A.2．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┮阎p曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意，雙曲線的一條漸近線方程為，所以.故選：D3．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）已知橢圓C：的右焦點為，P為橢圓的左頂點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意列式解得，進而可得.【詳解】由題意可得：，解得，所以C的離心率為.故選：A.4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的離心率為.【答案】【解析】根據(jù)已知可知：，再代入離心率公式即可.【詳解】由題知：，即..故答案為：【點睛】本題主要考查離心率的求法，根據(jù)題意找到關系式為解題的關鍵，屬于簡單題.5．（2023·河南·馬店第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：，其右焦點到漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)點到直線的距離公式求出，并根據(jù)離心率公式求解即可.【詳解】由于對稱性，右焦點到兩條漸近線的距離都為2，由題可知，過一三象限的漸近線為，即，所以右焦點到漸近線的距離為，又，∴，∴．故答案為:.考點二、利用“公式3”求焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率已知是橢圓的兩個焦點,是上的一點,若,且,則的離心率為)A.B.C.D.2．（全國·高考真題）設橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，

故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.3．（2022秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學校考期中）橢圓的左、右焦點分別為，焦距為，若直線與橢圓C的一個交點M滿足，則該橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)的斜率得到，，，結合橢圓定義得到，，由勾股定理列出方程，求出離心率.【詳解】因為經(jīng)過左焦點，且斜率為，故，所以，所以，則，設，則，由橢圓的定義可知：，即，解得：，所以，，由勾股定理得：，故，解得：，故橢圓離心率.故選：A4．（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習）（附加公式4）記橢圓：的左頂點為，右焦點為，過點且傾斜角為的直線與橢圓交于另一點，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件列關于的方程，由此可求離心率.【詳解】因為橢圓的左頂點為，右焦點為，所以，因為點在軸上方，又，所以將代入橢圓可得，即，因為直線的傾斜角為，所以，又，化簡，所以解得.故選：A.5．（全國·高考真題）設是等腰三角形，，則以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題設條件可知，由正弦定理可得，再由雙曲線的定義可得，最后由離心率公式進行計算即可得解.【詳解】雙曲線的焦點為，，則，是等腰三角形，，，，由正弦定理即，解得，雙曲線過點，由雙曲線的定義可得，解得離心率，故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義、離心率以及解三角形問題，屬于中檔題.求雙曲線離心率，一般可由下面兩個方面著手：（1）根據(jù)已知條件確定，，的等量關系，然后把用，代換，求的值；（2）已知條件構造出，，的等式或不等式，結合化出關于，的式子，再利用，化成關于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.1．（2023·北京·首都師范大學附屬中學?？寄M預測）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由題意結合雙曲線的定義和直角三角形的幾何性質(zhì)，列式運算可得其離心率的值.【詳解】設雙曲線的半焦距為，則，由題意可得：，因為，整理得.故選：D.2．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）設，是橢圓上存在一點，使，且，則的離心率為.【答案】.【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，則根據(jù)橢圓定義可得三角形三邊長度，利用勾股定理即可求解.【詳解】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，由橢圓的定義可得，，又，在△中，由勾股定理可得：，即，，故答案為：.【點睛】該題考查了橢圓定義以及直角三角形中的勾股定理問題，屬于基礎題目.3．（天津紅橋·高二統(tǒng)考期末）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若線段MF1的中點在此雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A．＋1 B．4＋2C． D．－1【答案】A【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得焦點坐標的表達式，進而可求得三角形的高，則點的坐標可得，進而求得邊的中點的坐標，代入雙曲線方程求得，和的關系式化簡整理求得關于的方程求得．【詳解】解：依題意可知雙曲線的焦點為，，，三角形高是，，邊的中點，，代入雙曲線方程得：，整理得：，，，整理得，求得，，.故選：A.考點三、利用“公式5”求橢圓、雙曲線離心率1．（全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為A． B． C． D．【答案】A【分析】過A，B分別作右準線的垂直AM，AN，垂足分別為M,N,再過B作BH垂直AM垂足為H，設|BF|=x,則|AF|=4x,根據(jù)雙曲線的第二定義可知|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM||BN|=3ex,由于直線l的傾斜角為,所以，所以.2．（全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】因為，所以，從而，則橢圓方程為．依題意可得直線方程為，聯(lián)立可得設坐標分別為，則因為，所以，從而有①再由可得，根據(jù)橢圓第二定義可得，即②由①②可得，所以，則，解得．因為，所以，故選B3．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的坐標，根據(jù)得出的坐標，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可.【詳解】

不妨設在第一象限，由題意，的橫坐標為，令，解得，即.設，又，，，由可得：，解得，又在橢圓上，即，整理得，解得.故選：A1．（2022·全國·高三專題練習）已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知，，設，由解得點坐標，代入橢圓方程，化簡即可求得離心率.【詳解】設橢圓的焦點在軸上，方程為，，，設，由，且，故，，由點在橢圓上，故，整理得，故離心率，故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為，經(jīng)過且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點，已知．求橢圓的離心率；【答案】【分析】由圓錐曲線焦點弦的重要公式求解.【詳解】圓錐曲線焦點弦的重要公式，因為，直線的傾斜角為，所以，，所以，解得.3．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┮阎獧E圓的右焦點為，過右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理與構建出關于、、的齊次方程，根據(jù)離心率公式即可解得.【詳解】設，，，過點做傾斜角為的直線斜率，直線方程為，聯(lián)立方程，可得，根據(jù)韋達定理：，，因為，即，所以，所以，即，所以，聯(lián)立，可得，.故選：C.考點四、斜率乘積求離心率1．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）設橢圓的右焦點為，點在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用中點弦問題，結合點差法可得，即可求離心率.【詳解】如圖，取的中點為，連接，則由題意可得，，所以相似，所以,因為直線PQ，PF的斜率之積為，所以,設，則有，兩式相減可得，即，即，即，所以橢圓的離心率為，故選:B.2．（2022秋·吉林長春·高二長春外國語學校校考期末）已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意設設，根據(jù)題意得到，進而求得離心率．【詳解】根據(jù)題意得到設，因為，所以，所以，則故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習）過點作斜率為的直線與橢圓：()相交于?兩點，若是線段的中點，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，由點差法運算可得，再由離心率公式即可得解.【詳解】設，則，，所以，作差得，所以，即，所以該橢圓的離心率.故選：A.1．（吉林·高三階段練習）已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率分別為、，若，則雙曲線的離心率為

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意設出A、B的坐標和P點坐標，結合兩點間斜率公式化簡得雙曲線方程的表達式；再由題目所給已知條件的雙曲線方程，進而求得a、b、c的關系，即可求得離心率．【詳解】由題意可知，設，P點坐標為

因為所以根據(jù)斜率公式可得，化簡可得對比雙曲線方程可知由雙曲線中a、b、c的關系可得所以所以選B【點睛】本題考查了兩點間斜率公式及雙曲線標準方程，雙曲線離心率的求法，屬于中檔題．2．（2023·高二課時練習）已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】設，，，根據(jù)直線的斜率，以及，可得，再根據(jù)，即可求出．【詳解】解：設，，，，，，，．故選：D．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學校考模擬預測）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設而不求設，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.考點五、余弦定理求離心率1．（2023·福建寧德·?？级＃┮阎p曲線的左、右焦點分別為、，過的直線交雙曲線的右支于、兩點．點滿足，且，者，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取線段的中點，連接，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)推導出，可知，利用雙曲線的定義求出、的長，利用余弦定理可得出關于、的齊次等式，即可求出該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，取線段的中點，連接，因為，則，因為為的中點，則，且，由雙曲線的定義可得，所以，，則，由余弦定理可得，所以，，因此，該雙曲線的離心率為.故選：C.2．（2023·海南海口·海南華僑中學?？寄M預測）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應用余弦定理結合橢圓的定義求離心率即可.【詳解】在中，，設，由題意知,，由余弦定理得,，由橢圓定義知，則離心率.故選:C.3．（2023·山東煙臺·校聯(lián)考三模）雙曲線的左?右焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點，且，則曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，求出及，由三角形面積及三角函數(shù)值得到，由雙曲線定義得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到離心率.【詳解】設切點為，，連接，則，，過點作⊥軸于點E，則，故，因為，解得，由雙曲線定義得，所以，在中，由余弦定理得，化簡得，又，所以，方程兩邊同時除以得，解得，所以離心率.故選：A【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應用，對于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍).1．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓的右焦點為，過坐標原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設橢圓的左焦點為，由橢圓的定義結合題意可得出，再由余弦定理求解即可得出答案.【詳解】如圖，設橢圓的左焦點為，連接，所以四邊形為平行四邊形．設，則．因為，所以，又因為，所以，所以．在中，，由余弦定理得，所以，所以．故選：B.2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知橢圓，為其左焦點，直線與橢圓交于點，，且．若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設橢圓的右焦點為，連接，，設，根據(jù)余弦定理得到，計算得到離心率.【詳解】設橢圓的右焦點為，連接，，故四邊形為平行四邊形，設，，則，，，，中，，整理得到，即，故.故選：A考點六、構造齊次方程求離心率1．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過點且與橢圓的長軸垂直，直線過橢圓的上頂點與右頂點且與交于點，若（為坐標原點），且，則橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直線，直線的方程，即可求出交點的坐標，從而得到點坐標，依題意可得點在橢圓上，將的坐標代入橢圓方程，即可得解.【詳解】設橢圓的焦距為，則直線，直線，聯(lián)立，解得，即，因為，故．因為，所以點在橢圓上，將代入橢圓的方程得，即，即，解得或（舍去）.故選：A2．（2023·江蘇無錫·校考模擬預測）已知點是橢圓的左焦點，，直線交于，兩點，若，均是線段的三等分點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨設點在第三象限，是橢圓的右焦點是的中位線，軸【詳解】不妨設點在第三象限，是橢圓的右焦點，連接，顯然是的中位線，軸．易求得，作軸，垂足為，，，故點的坐標是，將點的坐標代入橢圓方程得，，即，解得，即橢圓的離心率為．故選：C.【點睛】求橢圓（雙曲線）離心率的一般思路：（1）直接求出a、b、c，計算離心率；（2）根據(jù)題目的條件，找到a、b、c的關系，消去b，構造離心率e的方程或（不等式）即可求出離心率．3．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎p曲線的左、右焦點分別為、，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點，坐標原點為，若，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，分析可知為直角三角形，設，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示：因為，則，，所以，，因為，則，設，則，則，由勾股定理可得，即，整理可得，因為，解得，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.4．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學?？寄M預測）已知，是雙曲線的焦點，圓，直線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點，，與圓均相切，若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的半徑及兩角互余，再應用同角三角函數(shù)關系列齊次式方程，求解可得離心率.【詳解】

如圖，設直線，交于點P，且與圓C的切點為A，B，根據(jù)題意可得圓，∴四邊形是邊長為的正方形，∵在中，，在中，，又，∴，∴，化簡可得：，,又，∴解得.故選：B.5．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預測）若雙曲線（，）上存在四點，使得四邊形為正方形，且原點為正方形中心，為雙曲線右頂點，在第一象限，，設雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，分別設和，設與軸交于點，求出和，得到坐標和，代入雙曲線方程可求出，即可求出.【詳解】由已知，如圖，設，∵，∴，設與軸交于點，∴在中，易求出，且，∴在中，，∴，將和代入雙曲線的方程，得，，解得，即，∴∴.故選：C.【點睛】由于雙曲線離心率的平方，因此本題解題的關鍵就是求出與的比值，利用題中幾何關系，設長度為度量，將，都用表示，即可求解.6．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意利用向量可求得點的坐標，結合橢圓方程運算求解.【詳解】設橢圓的半焦距為，由題意可得：，則，因為，則，解得，即，且點在橢圓上，則，整理得，解得，即.故選：A.7．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）設橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線l過點.若點關于l的對稱點P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知結合橢圓的定義可推得，.然后根據(jù)，可推得.最后根據(jù)余弦定理，即可得到關于的齊次方程，即可得出離心率.【詳解】設，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時除以可得，，解得，或（舍去），所以.故選：C.8．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由點坐標求得點坐標，然后代入橢圓的方程，化簡求得橢圓的離心率.【詳解】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點坐標代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B1．（2023·山東煙臺·?？寄M預測）設橢圓的焦點為，點P是C與圓的交點，的平分線交于Q，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作圖，根據(jù)幾何關系以及橢圓的定義求解.【詳解】依題意作上圖，因為是的角平分線，

，

，又P點在圓的圓周上，，是直角三角形，根據(jù)橢圓的定義有，由勾股定理得：，整理得：，即解得或（舍）；故選：D.2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設點在第一象限，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得到和關于軸對稱，結合直線的方程求出點的坐標，再將點代入雙曲線的方程得到關于和的齊次的方程，即可求解.【詳解】由題意，不妨設點在第一象限，由雙曲線的性質(zhì)可得，直線和直線關于軸對稱，所以和關于軸對稱，又，則設，，又直線的方程為：，所以代入點得：，解得：，即點，將點代入雙曲線的方程得：，化解得：，解得：或，又因為，所以，則雙曲線的離心率，故選：A.3．（2023·浙江·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別是，過的直線交橢圓于兩點，若（為坐標原點），，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意設，得到.根據(jù)，得到，根據(jù)勾股定理得到，再求離心率即可.【詳解】如圖所示：設，因為，所以.又因為，所以，即.因為，所以.因為，所以.在中，，解得，即，所以，即.所以，.故選：B4．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為F1、F2，點M是雙曲線右支上一點，且，延長交雙曲線C于點P，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】設，則由雙曲線的定義可得，，，然后在利用勾股定理可求出，再在中利用勾股定理可表示的關系，從而可求出離心率.【詳解】設（），由雙曲線的定義可得，，，由，可得，即，解得，又，即為，即為，則，故選：D.5．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設，分別是橢圓的左、右焦點，點P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用數(shù)量積知識得，然后利用第一定義及勾股定理得到a、c關系，即可求出離心率【詳解】由，得，則點P是以為直徑的圓與橢圓C的交點，不妨設和點P在第一象限，如圖連接，令，則，，．因為，所以，即，得，又，所以，將代入，得．故選：A6．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點為F，過F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點P，以FP，F(xiàn)O（O為坐標原點）為鄰邊作平行四邊形，點Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出點P的坐標，由給定條件及橢圓的對稱性可得點Q的坐標，再借助斜率坐標公式求出點P的坐標即可求解作答.【詳解】設點，，中，，而點P，Q均在橢圓上，由橢圓對稱性得，令橢圓半焦距為c，，由得：，解得，而，因此，即，又，則，整理得，而，則有，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：B【點睛】方法點睛：橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見求法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．7．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個焦點為，過作直線與橢圓相交于兩點，若且，則橢圓的的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意設由橢圓的定義可求出，再由，代入化簡即可得出答案.【詳解】因為過作直線與橢圓相交于兩點，若且，設，，由橢圓的定義知：解得：，所以，所以，則，則，.故選：C.考點七、離心率的范圍及最值問題1．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作漸近線的垂線，垂足為，則，再根據(jù)雙曲線的定義得，進而轉(zhuǎn)化為恒成立，再根據(jù)齊次式求解即可.【詳解】如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為，設，則點到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因為恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故選：A.2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓：，定點，，有一動點滿足，若點軌跡與橢圓恰有4個不同的交點，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設動點，求出其軌跡，求出，即得解.【詳解】解：設動點，由題得，化簡得.所以動點的軌跡是以原點為圓心，以為半徑的圓.因為點軌跡與橢圓恰有4個不同的交點，所以.所以橢圓的離心率.因為橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：D3．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點在的右支上，點在直線上，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)確定點的橫坐標滿足的關系式，再根據(jù)點在雙曲線的右支上得到點的橫坐標滿足的不等式，解不等式即可.【詳解】設點的橫坐標為，，，即，由題可知，，得．故選：D.4．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓離心率為e，雙曲線的漸近線的斜率小于，則橢圓的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)漸近線斜率的取值范圍可得出的關系，再根據(jù)橢圓離心率的定義即可求得離心率e的取值范圍.【詳解】根據(jù)雙曲線方程可得，其漸近線方程為，又因為，且漸近線的斜率小于，即；所以，橢圓的離心率即離心率e的取值范圍是.故選：B5．（2023·全國·高三專題練習）已知點P在以，為左、右焦點的橢圓上，橢圓內(nèi)存在一點Q在的延長線上，且滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由和正弦值，可設出的三邊長，結合橢圓定義和勾股定理求出等量關系，利用點的位置求出的范圍，代入等式有解，可求出的關系，即可求出離心率的范圍.【詳解】解：因為，，不妨設，，，由橢圓定義可知：，，由勾股定理可知：，即，化簡可得：，點在延長線上，且在橢圓內(nèi)部，所以，，解得：.令在上單調(diào)遞增，所以，解得：，，又，且在橢圓內(nèi)部，所以，則，.故選B．1．（2023·全國·高三專題練習）雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先表示出直線的方程，利用距離公式表示出，，依題意可得，再根據(jù)、、的關系得到關于的不等式，解得即可.【詳解】依題意直線：，即，又，所以，，所以，所以，即，即，解得，又，所以.故選：B2．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考模擬預測）設過原點且傾斜角為的直線與雙曲線C：的左，右支分別交于A、B兩點，F(xiàn)是C的焦點，若三角形的面積大于，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立得出點和的坐標，并得出不等式關系，再表示出，根據(jù)大于列出不等式，求解即可．【詳解】不妨設是雙曲線的左焦點，由題可知，直線的方程為，由，得，且，所以，，因為，且大于，所以，所以，解得，又因為，解得，所以，故選：D．3．（2023·全國·高三專題練習）已知點F是雙曲線（）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性結合題意可得為等腰三角形，由此可得，進而得到關于的齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題意可知即為等腰三角形，故是銳角三角形，只需，將代入可得，故在中，，，則，化簡整理，得，∴，∴，又，∴，故選：B.4．（2023·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若在上存在點不是頂點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意判斷P點在雙曲線右支上，推出，可得，從而利用在中求出，再結合三角形內(nèi)角和推出，繼而推出，由此可得答案.【詳解】設與y軸交于Q點，連接，則，因為，故P點在雙曲線右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形內(nèi)角和為，故，則，即，即，所以的離心率的取值范圍為，故選：A5．（2023·河北承德·統(tǒng)考模擬預測）已知過點可作雙曲線的兩條切線，若兩個切點分別在雙曲線的左、右兩支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要滿足題意，點必須在漸近線與軸圍成的區(qū)域，且不能在漸近線及軸上，即可得到，即可得到離心率的取值范圍.【詳解】要滿足題意，點必須在漸近線與軸圍成的區(qū)域，且不能在漸近線及軸上.所以必須滿足，得，，，，又，.故選：B【基礎過關】一、單選題1．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）橢圓的離心率為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】利用橢圓的離心率公式即可求解.【詳解】由，知，因為橢圓的離心率為，所以，即，解得.故選：C.2．（2023·浙江衢州·校聯(lián)考一模）設橢圓的半焦距為，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由解出，再由離心率公式計算即可.【詳解】由，解得，即的離心率為.故選：C3．（2023·山西大同·校聯(lián)考一模）已知點A，B，C為橢圓D的三個頂點，若是正三角形，則D的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由題得到，結合，即可求得.【詳解】無論橢圓焦點位于軸或軸，根據(jù)點,,為橢圓的三個頂點,若是正三角形,則，即，即，即有，則，解得.故選：C.4．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】，由此可得.【詳解】由，得，則，，故．故選：B5．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：，O為坐標原點，過C的右焦點F作C的一條漸近線的平行線交C的另一條漸近線于點Q，若，則C的離心率為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】結合圖形可得，利用誘導公式和二倍角公式求得，然后由公式可得.【詳解】設漸近線的傾斜角為，則，，則，解得（舍去）或，∴，∴.故選：D．6．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點為，點P，Q在直線上，，O為坐標原點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算公式和離心率公式求解.【詳解】依題意，設，，則，又，兩式做差可得即，所以.故選；B7．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知雙曲線()，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點作軸的垂線交于點，若與的面積相等(為坐標原點)，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，分析出，則，則得到離心率.【詳解】與的面積相等，為的中點，故為等腰直角三角形，，，，即，，，故選：C．8．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）橢圓的上頂點為是的一個焦點，點在上，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量關系得到三點共線，表達出點坐標，代入橢圓方程，求出離心率.【詳解】因為，所以三點共線，其中，不妨設，，則，由得，解得，故，將其代入中得，，解得，故離心率為.故選：A9．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右焦點為為虛軸上端點，是中點，為坐標原點，交雙曲線右支于，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】作出圖象，根據(jù)幾何性質(zhì)可得點的坐標，結合∥可得，進而求出離心率.【詳解】由題意，在雙曲線C:中，右焦點為，F(xiàn)N垂直于軸，由題意可知：，因為是BF中點，則，可得，且三點共線，則∥，可得，即,所以.故選：A.10．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎獧E圓與雙曲線有共同的焦點，，離心率分別為，，點為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，且.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，，進而在焦點三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范圍.【詳解】由題意設焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，由余弦定理得，可得，得，即，可得，即，又時，可得，即，亦即，得.故選：B11．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？寄M預測）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓存在一點，若，則橢圓的離心率取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，，根據(jù)橢圓的定義和余弦定理得，再根據(jù)基本不等式和離心率公式可得結果.【詳解】設，，則，在中，，所以，所以，所以，因為，當且僅當時，取等號，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.故選：C二、填空題12．（2023·新疆烏魯木齊·烏市一中?？既＃┮阎獧E圓的上、下頂點分別為A，B，右焦點為F，B關于直線的對稱點為．若過A，，F(xiàn)三點的圓的半徑為a，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意得到過A，，F(xiàn)三點的圓的半徑也為a，求出線段的垂直平分線的方程及線段的垂直平分線，求出交點及圓心坐標，從而利用半徑列出方程，求出，得到離心率.【詳解】由題意得：過A，，F(xiàn)三點的圓的半徑也為a，其中，線段的中點坐標為，故直線的斜率為，故線段的垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線的方程為，又線段的垂直平分線為，聯(lián)立與得：，故圓心坐標為，故半徑為，故，其中，解得：.故答案為：13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線方程為，左焦點關于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則該雙曲線的離心率為.【答案】2【分析】根據(jù)對稱性求出漸近線的傾斜角，再根據(jù)漸近線的斜率得，再根據(jù)離心率公式可求出結果.【詳解】如圖：設關于漸近線對稱的點在漸近線上，的中點在漸近線上，則，又，所以，所以，所以.故答案為：.14．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知拋物線和橢圓相交于兩點，且拋物線的焦點也是橢圓的焦點，若直線過點，則橢圓的離心率是．【答案】/【分析】由題意可判斷為拋物線和橢圓的通徑，通過通徑的公式可求出的值，進而求出橢圓的離心率.【詳解】顯然，由對稱性易知為雙通徑，所以，所以．故答案為：.15．（2023·湖北武漢·武漢市第四十九中學校考模擬預測）點P是雙曲線：（，）和圓：的一個交點，且，其中，是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】利用圓與雙曲線的定義與性質(zhì)計算即可.【詳解】

由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則，∴，，，．故答案為：【能力提升】一、單選題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用中點弦問題求出，再求出橢圓的離心率作答.【詳解】依題意，直線的斜率為，設，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時橢圓，顯然點在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A2．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）已知雙曲線的左焦點為，右頂點為，一條漸近線與圓在第一象限交于點，交軸于點，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】C【分析】連接，聯(lián)立方程組求得，結合，得到，化簡得到，進而得出離心率的方程，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，由雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)題意，點在第一象限，將代入，可得，可得由求根公式，可得，因為，且，所以，所以點由，可得，即，因為，所以，即，化簡得，兩邊同除以，得，解得或（舍去）．故選：C.3．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形，然后結合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結果.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，，，如圖所示，又因為，所以，所以四邊形為矩形，設，則，由雙曲線的定義可得：，，又因為為直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因為為直角三角形，，所以，即：，所以，即.故選：D.4．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預測）已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，得到，求得，再由在雙曲線上，化簡得到，結合，化簡得到，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為.設，聯(lián)立方程組，解得.因為，所以，即，可得.又因為點在雙曲線上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.二、多選題5．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學?？寄M預測）已知，是橢圓：與雙曲線：的公共焦點，，分別是與的離心率，且P是與的一個公共點，滿足，則下列結論中正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的焦點可判斷A,由圓錐曲線的定義以及離心率的計算公式可判斷B，結合對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，利用三角換元可判斷D.【詳解】對選項A：橢圓和雙曲線共焦點，故，故A錯誤；對選項B：，不妨設為第一象限的點，即，由于，，故，，故，即，即，故B正確；對選項C：由得，則，令，所以，由于，所以對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，故,沒有最小值，故C錯誤，對選項D：設，，，，若最大值為，則，，，即，，，成立，故D正確；故選：BD6．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的上焦點為，過焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】當時，不符合題意舍去；再分、求得漸近線的斜率，再根據(jù)離心率定義即可求解.【詳解】當時，兩漸近線的斜率為，此時直線與另一漸近線平行，不滿足題意.當時，如圖1所示，.，又，解得，，，，即漸近線的斜率為，當時，如圖2所示，設與軸交于點P，，，又，解得，即漸近線的斜率為，綜上，雙曲線的離心率為或.故選：AC.7．（2023·廣東汕頭·金山中學?？既＃┮阎謩e為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點，為坐標原點，則（

）A．最大時， B．的最小值為2C．橢圓的離心率等于 D．的取值范圍為【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)當在短軸的端點時，取得最大，且最大值為，再根據(jù)，代入進而即可求解；對于B，根據(jù)，然后結合平面向量數(shù)量積的幾何意義與基本不等式即可求解；對于C，運用角平分線定理即可求解；對于D，由正弦定理可得，再又結合A可得，從而得到，再根據(jù)題意得到，進而即可求解．【詳解】對于A，設，，則，且，所以，則當在短軸的端點時，取得最大，且最大值為，又，所以當最大時，，即，故A正確；對于B，過點作，垂足為點G，又點為外接圓的圓心，即為三條邊的中垂線的交點，則點G為的中點，由，又，同理，所以，當且僅當時等號成立，即的最小值為2，故B正確；對于C，由內(nèi)切圓的圓心為，則，分別是，的角平分線，則由角平分線定理可得，即，故C錯誤；對于D，設，，，由正弦定理可得，即，則，即，因為，又結合A有，所以，即，所以，又因為當在短軸的端點時，最大，此時，，所以，即，所以，故，故D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查了橢圓的定義以及幾何性質(zhì)，明確外心的位置和內(nèi)角平分線性質(zhì)，靈活運用正弦定理和等面積法是解答本題關鍵，考查了推理能力、運算求解能力，屬于難題．三、填空題8．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學校考二模）設、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在點M，，，使得離心率，則e取值范圍為．【答案】【分析】在，由正弦定理結合條件有:，再由的范圍可求出離心率取值范圍.【詳解】由，，設，，在中，由正弦定理有：，離心率，則：解得：，由于，得，顯然成立，由有，即，得，所以橢圓離心率取值范圍為．故答案為：.9．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學?？寄M預測）已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為【答案】/【分析】設直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)求解.【詳解】解：如圖所示：設直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立，解得，因為，所以，即，即，解得，故答案為：10．（2023·福建寧德·?？寄M預測）已知橢圓的右焦點是，直線交橢圓于兩點﹐直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】設橢圓的左焦點為，利用已知條件結合橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，，，，由直線交橢圓于兩點﹐及，結合橢圓的對稱性可得，所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，設，則，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，將代入①得，即，所以，故答案為：【真題感知】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設而不求設，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.3．（全國·高考真題）設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．【答案】A【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，