2024年北京各區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編之代數(shù)綜合(教師版)

1.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點、P(m,0)為x軸正半軸上的一點，過點P做無軸的垂線，分

別交拋物線y=-f+2尤和y=--+3尤于點跖N.

，，、出1口』MN

(1)當(dāng)機=一時，---=;

2PM

(2)假如點尸不在這兩條拋物線中的任何一條上.當(dāng)四條

線段OP,PM,.PN,MN中恰好有三條線段相等時，

求m的值.

1

1.解：（1）1;..............................................................................................................1分

（2）?.?OP=m,

MN=（-（—m2+2m）=m,

：.OP=MN.............................................................................................................2分

①當(dāng)OVMV2時，

*.*PM=—m2+2m,PN=—m2+3m.

:?若PM=OP=MN,W—m2+2m=m,解得m=0,m=l（舍）...........3分

若PN=OP=MN,有一療+3機二機，解得加=0（舍），m=2（舍）.............4分

②當(dāng)2＜相＜3時，不存在符合條件的機值...............................5分

③當(dāng)m＞3時，

*.*PM=m2—2m,PN=m2—3/m.

:?若PM=OP=MN,Wm2_2m=m,解得加=0（舍），m=3（舍）.............6分

若PN=OP=MN,有？n?—3m=m,解得m=0（舍），m=4.................................7分

綜上，當(dāng)加=1或機=4,這四條線段中恰有三條線段相等.

2

2.已知關(guān)于x的方程：x2-(m-l)x-m=O①和球

2

x-(9-m)x+2(m+l)=3(2),其中根>0.：一

(1)求證：方程①總有兩個不相等的實數(shù)根；3

2-

(2)設(shè)二次函數(shù)為二%2一(加一1)無一根的圖象與％軸交于1-

A、8兩點(點A在點8的左側(cè))，將A、6兩點根—一…？…3T

據(jù)相同的方式平移后，點A落在點A'(l,3)處，點6落:

在點￡處，若點B,的橫坐標(biāo)恰好是方程②的一個根，”

求m的值；

(3)設(shè)二次函數(shù)%=好—(9—m)x+2(m+l),在(2)的條件下，函數(shù)為,為的圖象

位于直線x=3左側(cè)的部分與直線y=(左>0)交于兩點，當(dāng)向上平移直線

y=依時，交點位置隨之改變，若交點間的距離始終不變，則左的值是.

3

2.解：(1)A={m-1)2+4/zi=m2+2m+1=(ZM+1)2,.........................................1分

由〃z>0知必有772+1>0,故A>0.

方程①總有兩個不相等的實數(shù)根....................................2分

(2)令必=0,依題意可解得4-1,0),B(m,0).

:平移后，點A落在點A'(l,3)處，

...平移方式是將點A向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到.

A點B(m,0)按相同的方式平移后，點8'為(m+2,3)....................................3分

則依題意有⑺+2)2—(9—根)(根+2)+2(〃+1)=3......................................4分

解得叫=3,m2=一g(舍負(fù)).

m的值為3........................................................................................................5分

3

(3)k=-...........................................................................................................7分

4

3.經(jīng)過點（1,1）的直線/：y=kx+2（左wO）與反比例函數(shù)Gij=—（加wO）的圖象交

x

于點A（—l,a）,B（。，-1）,與y軸交于點D

（1）求直線/對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及反比例函數(shù)Gi的表達(dá)式；

（2）反比例函數(shù)G2：:%=工（”0）,

x

①若點E在第一象限內(nèi)，且在反比例函數(shù)G2的圖象上，若EA=EB,且44仍的面積

為8,求點E的坐標(biāo)及t值；

②反比例函數(shù)G2的圖象與直線/有兩個公共點N（點M在點N的左側(cè)），

若DM+DN<3亞,干脆寫出r的取值范圍.

5

3.(1)解：?..直線/:y=^+2(人/0)經(jīng)過(—1,1),

k=-1,

；?直線/對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-1+2..............................................1分

vn

???直線/與反比例函數(shù)Gij=—(mW0)的圖象交于點A(—l,a),B(6,

x

-1),

/.a=b—3.

A(-l,3),B(3,-1).

m=-3

(3)分兩種狀況：

(i)當(dāng)/>0時，貝|0<t<l；......................................................................6分

(ii)當(dāng)/<0時，則一』<f<0.

4

綜上，當(dāng)-:</<0或0<t<l時，反比例函數(shù)G2的圖象與直線/有兩個公共點

6

4.已知：關(guān)于x的一元二次方程加X2+(加一3)%一3=0.

(1)求證：無論加取何值，此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)設(shè)拋物線丁=如2+(加一3)”3,證明：此函數(shù)圖像肯定過x軸，y軸上的兩個定點

(設(shè)x軸上的定點為點A,y軸上的定點為點C)；

(3)設(shè)此函數(shù)的圖像與x軸的另一交點為3,當(dāng)△ABC為銳角三角形時，求加的取值范圍.

6-

3-

____|_______________________111A

-3036x

-3-

-6-

7

4.解：(1)A=(m-3)2+12m=(m+3)2

V(m+3)2＞0

???無論m取何值，此方程總有兩個實數(shù)根........2分

_3-m±-3)2+12m_3-m±(m+3)

(2)由公式法:

1,22m2m

4分

m

???此函數(shù)圖像肯定過x軸，y軸上的兩個定點，分別為A(—l,0),C(0,-3)

4分

3

(3)由(2)可知拋物線開口向上，且過點A(-1,0),C(0,—3)和8(—，0).

m

視察圖象，當(dāng)初＜0時，△ABC為鈍角三角形，不符合題意.

當(dāng)機＞0時，可知若NACB=90°時，

可證△AOCS/^COR

.AOCO

"CO"50'

/.\oc^=\O^?\OB\.

：.32=lx\OB\.

.?.02=9.即B(9,0).

3

...當(dāng)0〈一＜9時，△ABC為銳角三角形.

m

即當(dāng)機〉工時，△ABC為銳角三角.形.

7分

3

8

5.如圖，二次函數(shù)丁=%2+法+0經(jīng)過點(-1,0)和點(0,-3).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)假如一次函數(shù)丁=4%+根的圖象與二次函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，求m的值和

該公共點的坐標(biāo)；

(3)將二次函數(shù)圖象y軸左側(cè)部分沿y軸翻折，翻折后得到的圖象與原圖象剩余部分組成

一個新的圖象，該圖象記為G,假如直線丁=4^+〃與圖象G有3個公共點，求n的值.

y,

4

3

2

1

-4-3-2-1O1234x

-1-

-2

-3

-4

9

5.解：（1）把（-1,0）和（0,-3）代入到y(tǒng)=3+笈+。中，得

0=1—Z?+c

1分

13=c

[b=-2

解得：《...?3分

c=-3

所以y=%2_2%—3

y=x2-2x-3

（2）由題意得：v

y=4x+m

x2-6x-(3+m)=0

.?.△=(—6)2+4(3+刈)=0

:.m=-12......................4分

y=x2-2x-3

\y=4x-12

x=3

解得：＜

y=0

：.m=-12,公共點為(3,0)5分

(3)原拋物線解析式為：y=V—2%—3

原拋物線沿y軸翻折后得到的新拋物線：y=/+2x-3

,[y=x2+2x-3

由《

y=4x+n

得d—2x-3-71=0

.??△=(-2)2+4(3+0=0

/.n=-4.............................................6分

將(0,-3)代入至Uy=4x+幾中，得〃二一3.......................7分

綜上，〃=—3或〃=—4.

10

6.關(guān)于x的一元二次方程x2-3(m+l)x+3m+2=0.

(1)求證：無論機為何值時，方程總有一個根大于0；

(2)若函數(shù)y=，-3(加+l)x+3加+2與％軸有且只有一個交點，求機的

值；

(3)在(2)的條件下，將函數(shù)y=/一3(加+1)%+3加+2的

圖象沿直線％=2翻折，得到新的函數(shù)圖象G.在劉V軸即

上分別有點尸。，0),2(0,20,其中，＞0,當(dāng)線段尸。與

函數(shù)圖象G只有一個公共點時，求，的值.：

O

11

6.(1)證明：(x-l)[x—(3〃z+2)]=0

Xj=1,xl=3m+2................................................................1分

X]=1>0

無論加為何值時，方程總有一個根大于0；.....................................2分

(2)解：：若函數(shù)y=/-3(〃z+l)x+3根+2與無軸有且只有一個交點

A=9(m+1)2-4(3/n+2)=0............................................................3分

1

/.m=——4分

3

(3)解：當(dāng)機=—；時，函數(shù)y=X?-2x+l=(x-l)2

依題意，沿直線x=2翻折后的解析式為：

y=(x—3)2=x"—6x+9,圖象G如圖所示.

可得，y=(x-3)2=--6x+9與x,y軸的

交點分別為(3,0),(0,9).

設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b(kw0),

由尸(r,0),2(o,2t).

：.直線PQ的解析式為y=-2x+2t.........5分

①當(dāng)線段PQ與函數(shù)圖象G相切時，

—2x+2。=%2—6x+9

A=16-4(9-2?)=0

2

②當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(0,9)時，2t=9

9

2

59

綜上：當(dāng)%二,或時，線段PQ與函數(shù)圖象G只有一個公共點.....7分

12

7.已知關(guān)于x的一元二次方程/一3x+k-1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù).

(1)求人的值；

(2)當(dāng)此方程有兩個不為0的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=——3x+k-1

的圖象向下平移2個單位，求平移后的函數(shù)圖象的解析式；

(3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)的部分沿x軸翻

折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象G.當(dāng)直線y=5x+b與圖象G

有3個公共點時，請你干脆寫出b的取值范圍.

n

4-

3■

1

13

8.⑴解：

???方程有實數(shù)根

A>0

，13—4左20

為正整數(shù)為1,2,3...................2分

(2)當(dāng)左=1時，\=9,方程的兩個整數(shù)根為6,0

當(dāng)左=2時，A=5,方程無整數(shù)根

當(dāng)左=3時，A=l,方程的兩個整數(shù)根為2,1

；?左=3,原拋物線的解析式為：y=x2-3x+2................4..分

???平移后的圖象的解析式為y=x2-3x......................5分

(3)I.b的取值范圍為—.........................7分

14

9.已知關(guān)于x的一元二次方程如2+4尤+4-租=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若加為整數(shù)，當(dāng)此方程有兩個互不相等的負(fù)整數(shù)根時，求”的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線〉=蛆2+4》+4-機與x軸交點為A、B(點8在點A

的右側(cè))，與y軸交于點C.點。為坐標(biāo)原點，點尸在直線BC上，且OP=；BC,

求點P的坐標(biāo).

15

9.(1)證明:Zi=42-4/^(4-/?)=16-16m+4-m2=4(/〃一2)220,1分

...方程總有兩個實數(shù)根...........................“2分

_T±,4(m一2)2_T±2(m_2)

(2)解?X——

2m2m

—4+2(m—2)_m—4-4-2(m-2),

------------二—1.3分

2mm2m

???方程有兩個互不相等的負(fù)整數(shù)根,

m—4八

???------<0.

m

m>0,m<0,

或<

m-4<0.m—4>0.

0<m<4.

;力為整數(shù)，，機=1或2或3.4分

1-4

當(dāng)m=l時,寸丁=一3。冗2，符合題意;

2-4

當(dāng)m=2時，=—1=%，不符合題意;

2

3-4

當(dāng)m=3時，%—=但不是整數(shù)，不符合題意?

1332

m=l..................................5分

（3）解加=1時，拋物線解析式為丁=三+4》+3.

令y=0,得％=-1,4=-3；令x=0,得y=3.

AA(-3,0),B(~1,0),C(0,3).

ABC=712+32=V10.

1M

：.OP=-BC=--.

22

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

.Jb=3,4=3,

-k+b=0.k=3.

?,?直線BC的解析式為y=3%+3.

22

設(shè)尸（不，3%+3）,由勾股定理有：x0+（3x0+3）=

整理，得2Oxo2+36xo+13=O.

1、13

解得/=――或/=----.

2°10

13139

P(—,—)或尸(----,----).7分

221010

16

10.已知：關(guān)于x的一元二次方程（42-1）X2—（3左—l）x+2=0.

（1）當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，求左的值；

⑵若k是整數(shù)，且關(guān)于x的一元二次方程（左2—1）必-（3左-l）x+2=0有兩個不相等的

整數(shù)根時，把拋物線y=（左2-1）公-（3左-l）x+2向右平移;個單位長度，求平移后

拋物線的頂點坐標(biāo).

17

10.(1)：原方程是關(guān)于X的一元二次方程

：.k^±l

:方程有兩個相等的實數(shù)根

A=(A-3)2=0...........................................1分

...仁3

???上3時，原方程有兩個相等的實數(shù)根...............................2分

(2)...方程有兩個不相等的整數(shù)根，

；.(4—3)2〉0,且左#±1............................................3分

._(34-1)+(左-3)_3左-1+--3_4左-4_2

?,玉一-2(?」)一—2(公-1)―2(左2一1)一詬

、=(3M)-(4-3)=3公1-左+3=2k+2=1八

.一2(?一1)-2(-_1)-2(O一百................4刀

當(dāng)左=0時，可使X],與均為整數(shù)，

k=0......................................................5分

當(dāng)左=0時，拋物線為y=-必+x+2.

19

頂點坐標(biāo)為(一，一)....................7分

24

,1

把拋物線y=-/+x+2向右平移,個單位長度后，得到的拋物線的

9

頂點坐標(biāo)為(1,—).................................7分

4

18

11.已知拋物線y=ax2-(3a+l)x+2(a+1)(aw0).

(1)求證：無論〃為任何非零實數(shù)，該拋物線與x軸都有交點；

(2)若拋物線y=ad—(3。+1)犬+2(〃+1)與x軸交于A(九0)、B(n,0)兩點，m、

〃、4均為整數(shù)，一次函數(shù)廣質(zhì)+b(ZW0)的圖象經(jīng)過點尸(九一1,〃+1)、Q(0,〃)，求一次函

數(shù)的表達(dá)式.

19

11解：(1)證明：△

=[-(3a+l)]2-4ax2(o+l)...................................................................................1分

=a?—2a+1

=(?-1)2>0

無論4為任何非零實數(shù)，該拋物線與無軸都有交

點.........................2分

(2)解：..?拋物線y=奴？—(3a+l)x+2(a+1)與無軸交于0)、B(n,0)兩

點，

??ClW1.

令y=ax2一(3a+l)x+2(。+1)(aw0)中y=0,

有:ax2-(3a+l)x+2(〃+1)=0.

解得：x=2,

?1八

x=1+—?.........................................................................................