安徽省蕪湖市高三第二次模擬考試數學試題

安徽師大附中2024屆第二次模擬考試

高三年級數學學科試題

考生須知：

1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知/,8是全集U的非空子集，且/口令8,貝?。荩ǎ?/p>

A.B=AB.3￡與ZC,松cVBD.AB

【答案】B

【解析】

【分析】根據Venn圖，結合子集和集合間的運算理解判斷.

【詳解】由題意知2口令8,從而可得Venn圖如下圖，

對A、D：由Venn圖，可得5c/=0,故A、D錯誤；

對B：因為5c/=0,正確，故B正確；

對C：因為5c4=0,則低4。錯誤，故C錯誤；

故選：B.

2.我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事

休.在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來分析函數的圖象

2x

特征.則函數/（x）=--二的圖象大致為（）

X+1

【答案】C

【解析】

【分析】利用排除法，根據函數奇偶性和函數值的符號性分析判斷.

【詳解】由題意可知：“X）的定義域為R,關于原點對稱，

且/（一》）=一；一二二=?。?二一/（對，可知/（x）為奇函數，排除AB,

（-X）+1X+1

且/（1）=一1<0,排除D.

故選：C.

3.已知復數z=a+6i（a,6eR）且x2—（4+2i）x+4+ai=0有實數根6,則團=（）

A.2A/3B.12C.2至D.20

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意可求得46+4+（26+a）i=0,從而得I］，，：：；。，求解得z=—4+2i,從而

可求解.

【詳解】由題意知6為V—（4+2i）x+4+ai=0的實數根,

則(4+2i)b+4+ai=0,即廿-44+4+(a-2班=0,

助+4=0\b=2

則《解得〈,，所以2=4+2i,

(?-2Z))i=0a=4

所以,1=42+22=20,故D正確.

故選：D.

4.已知等邊的邊長為2,點。、E分別為45,8。的中點，若痂=2而，則而?萬（）

465

A.1B.—C.—D.一

554

【答案】A

【解析】

【分析】取次、而為基底，利用平面向量基本定理表示出麗，萬，進行數量積運算即可.

【詳解】在中，取正，方為基底，貝"％|=|詬|=2,%,方=60°.

因為點。、E分別為/氏8。的中點，

—>1—>1—,

EF=—DE=—AC,

24

AF=AE+EF=-（AB+AC）+-AC=-AB+-AC,

2、>424

2

EF.AF=-AC-（-AB+^AC）=-AC.-AB+^AC

4U4J816

13

二一x2x2xcos60°+—x4=1

816

故選：A

5.已知片，金是雙曲線q—方=1（。〉0/〉o）的左、右焦點,若雙曲線上存在點尸滿足朋?兩=—2/,

則雙曲線離心率的最小值為（）

A.V6B.V5C.2D.V3

【答案】D

【解析】

【分析】設尸的坐標，代入雙曲線的方程，利用數量積的坐標表示，結合雙曲線離心率的計算公式求解即得.

22

【詳解】設尸（X。,外）,雙曲線的半焦距為C,則有|%臺。，4-4=1,1（一c,0）,8（c,0）,

ab

于是尸g=（。一%0,-%）,尸耳二（一。一%0，-%），

____222

因此麗?西=x；-02+需=焉+(烏-1為2—°2=gx~2_。2>_/_》2_二2=_/,

aaa

當且僅當|%|=。時取等號，貝U—2a22—/，即122,離心率e=§=Jl+衛(wèi)2百，

a~a\a"

所以雙曲線離心率的最小值為

故選：D

6.在數列｛4｝中，S,為其前〃項和，首項為=1,且函數/(力=_?—q“+]Sinx+(2a“+l)x+l的導函

數有唯一零點，則&=()

A.26B.63C.57D.25

【答案】C

【解析】

【分析】計算/'(x)，分析/'(x)的奇偶性，可判斷零點取值，代入計算可得｛4｝的遞推關系，求出前5

項，計算求和即可.

3

【詳解】因為/(x)=x-an+lsinx+(2a“+l)x+l,

所以/'(x)=3x2—a“+icosx+(24+1),由題意可知:/'(x)=0有唯一零點.

令g(x)=/'(x)=3x?-a“+icosx+(2a”+1),可知g(x)為偶函數且有唯一零點,

則此零點只能為0,即g(0)=0,代入化簡可得：%+i=2%+l,

又q=l,所以％=3,%=7,%=15,a5=31f所以85=57.

故選：C

2024

7.已知函數/(x)的定義域為R,且/(x+2)—2為奇函數，/(3x+l)為偶函數，/⑴=0,則2/的=

k二l

()

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【解析】

【分析】根據題中/(x+2)-2為奇函數，/(3x+l)為偶函數，從而可得出/(x)為周期為4的函數，從

而可求解.

【詳解】由題意得/(x+2)—2為奇函數，所以/(x+2)—2+/(—x+2)—2=0,即

/(x+2)+〃—x+2)=4,所以函數/(x)關于點(2,2)中心對稱，

由/(3x+l)為偶函數，所以可得/(x+1)為偶函數，則/(x+l)=/(—x+1),所以函數/(x)關于直線

X=1對稱，

所以/(x+2)=/(—x)=—/(—x+2),從而得/(x)=/(x+4),所以函數/(x)為周期為4的函數，

因為/(1)=0,所以/(1)+/(3)=4,則/(3)=4,

因為/(x)關于直線x=l對稱，所以/(3)=/(—1)=4,

又因為/(x)關于點(2,2)對稱，所以/(2)=2,

又因為/(4)=/(—2)=-/(0),又因為/(—2)=〃—2+4)=/(2)=2,所以

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=8,

20242024

所以XX左)[/⑴+〃2)+〃3)+/(4)]=4048,故D正確.

k=\4

故選：D.

8.已知直線/:小+為+。=0(1+爐片0)與曲線質y=x3_x有三個交點0、￡、￡且|。同=忸用=2,

則以下能作為直線/的方向向量的坐標是().

A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】由函數y=d—x的性質可得曲線少的對稱中心(0,0),即得E(0,0),再根據給定長度求出點。的

坐標即得.

【詳解】顯然函數/(x)=/—%的定義域為R,/(-x)=(-x)3-(-%)=-f(x),即函數/(x)是奇函數，

因此曲線少的對稱中心為(0,0),由直線/與曲線少的三個交點D,E,F滿足|￡>￡|=|所|=2,得￡(0,0),

設。(x,Y—x),則力+(/-X)2=4,令￡=t，則有戶—21+2t—4=0,即(r+2)(/—2)=0,

解得/=2,即》=±0，因此點。(C,后)或。(-逝,-逝)，麗=(0,0)或而=(-夜，-夜)，

選項中只有坐標為(1,1)的向量與質共線，能作為直線I的方向向量的坐標是(1,1).

故選：c

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵首先是得到曲線對稱中心為（0,0）,從而得到￡（0,0）,然后再去設點。坐

標，根據|?！陓=2,得到高次方程，利用換元法結合因式分解解出。的坐標即可.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知由樣本數據（如弘）&=1,2,3,…，10）組成的一個樣本,得到回歸直線方程為f=f+3,且1=4.剔

除一個偏離直線較大的異常點（-5,-1）后，得到新的回歸直線經過點（6,-4）.則下列說法正確的是

A.相關變量x,y具有正相關關系

B.剔除該異常點后，樣本相關系數的絕對值變大

C.剔除該異常點后的回歸直線方程經過點（5,-1）

D.剔除該異常點后，隨x值增加相關變量y值減小速度變小

【答案】BC

【解析】

【分析】根據給定條件，求出新樣本的中心點，進而求出新回歸直線的斜率，再逐項判斷即得.

【詳解】依題意，原樣本中，，=—4+3=—1，

剔除一個偏離直線較大的異常點（-5,-1）后，新樣本中，p=4x.（5）=5/=Txl；（T）=_i,

因此剔除該異常點后的回歸直線方程經過點（5,-1）,C正確；

由新的回歸直線經過點（6,-4）,得新的回歸直線斜率為a一（T）=_3,因此相關變量x,y具有負相關關

6-5

系，A錯誤；

又3|>1,則剔除該異常點后，隨x值增加相關變量了值減小速度變大，D錯誤;

由剔除的是偏離直線較大的異常點，得剔除該點后，新樣本數據的線性相關程度變強，即樣本相關系數的

絕對值變大，B正確.

故選：BC

10.在平面直角坐標系xOy中，角。以坐標原點。為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經過點M（a,6）,

\OM\^m（m^Q）,定義/（，）==,g（3）=~,則（）

mm

A.+=lB./⑻+尸⑻“

3

八。)一2則sin26=MD./(e)g(e)是周期函數

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據題意分別求出cos，=里，sin。一，則/⑻=V^sinHg(6)=忘sin]":

mmI4JI4

從而可對A判斷求解，禾!J用換元法令f=sin，+cos6=>/2sinl6?+^je[-后,行]可對B判斷求解，由

品f(0)=而tan30+T\2,求出tan—并結合sm2「荷2t初an8而可對,判斷求解‘由

/?)g(e)=—cos2。可對D判斷求解.

【詳解】由題意得在角。的終邊上，S.\OM\=m,所以cos，=t,sin。=2,

mm

貝U/(夕)=———=sin'+cos0=V2sin|e+：j,g(0)=-~~-=sin'—cos6=拒sin|'一；

對A：/f—>l+gf—>1=8111—+COS—+sin--cos—=1,故A正確;

V6JV6J6666

對B：/(，)+r(6)=sin0+cos6)+(sin6*+cos6))2，令/=sin6+cos6=V2sinf6+；Je[-后,忘],

所以/(，)+/2(，)=:+/=,+g]故B錯誤;

對C：ZM=sine+cosO=tane+l=2,

解得tan6=3,

g⑻sin。-cos。tan3-1

2sin。cos。2tan。2x33

又由sin2。=2sin6^cos6^=一，故C正確;

sin20+cos20tan28+132+l5

對D：/(e)g(l)=(sine+cos6)(sin"cose)=sin29—cos?8=—cos2。，因為)=cos2。為周期函

數，故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，多面體尸S—4SCZ)由正四棱錐尸—和正四面體S—尸5C組合而成，其中尸S=l,則下

列關于該幾何體敘述正確的是()

A.該幾何體的體積為注B.該幾何體為七面體

4

C.二面角/-必-C的余弦值為-gD.該幾何體為三棱柱

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項A可以分別求正四棱錐P-45CD和正四面體S-P8C的體積即可；

選項C先確定二面角/-必-C的平面角為NZ/C,在三角形中利用余弦定理可得;

選項D先根據二面角A-PB-C與二面角S-PB-C的關系確定P,4民S四點共面,再證得平面SCB//平

面P/。，三個側面都是平行四邊形即可；

選項B根據選項D三棱柱有5個面，可判斷錯誤.

如圖：在正四面體中S—四。中，G為PB的中點，連接CG,連接SG作SOLCG于

則0為APBC的中心，SO為正四面體中S-PBC的高，

因PS=1,CG=—>CO=-CG=—，SO=^SC2-CO2=—，

2333

v112s111G直應

幾r=—x—x^BxCCjXSO=—x—xlx——X——=，

S~PBRC32322312

在正四面體中S—PBC中，G為所的中點，所以SG_L必，CGLPB,

故ZCGS為二面角S-PB-C的一個平面角，

cc-GC

cosZCGS=—=-4=—

SG百3

---

2

如圖：在正四棱錐P—/BCD中，由題意PC=CB=1,

連接ZC,BD交于點、E,連接尸￡,則PE為正四棱錐P—48CD的高,

CE=—CB=—，PE=^PC2-CE2=112-(—=—，

22NI2)2

V,=-xCDxBCxPE=-xlxlx—=—,

P-ABRCDr3326

該幾何體的體積為匕ABCD~SPBC+ABCD~----'----=---,故正確,

riJHS—AD^L)0—rDL-r—AD^U1c/AA

1264

取尸3的中點尸，連接/方，CF,

由題意正四棱錐P—/BCD的棱長都為I,所以CFLPB,

故NAFC即為二面角A-PB-C的一個平面角，

其中AF=CF=2BC=?AC=6BC=6,

22

AF?+CF?-AC?

在中,cos/AFC=L,故C正確,

2AFCF3

因cosZCGS=-=-cosZAFC,可知二面角S-PB-C與二面角A-PB-C所成角互補,

3

故平面P5S與陽4為同一平面，同理，平面尸和平面PDS也為同一平面,

故該幾何體有5個面，B錯誤,

因P,48,S四點共面，且叢PDC和APCS都為等邊三角形，易知SC//PD,且SC=，故側面PDCS

為平行四邊形,

又尸。U平面尸NO,SC<Z平面P/。，所以SC//平面P/。，

同理SB//平面PAD，且側面PABS為平行四邊形，

又SCnS8=S,SCu平面SC6,SBu平面SC6,

所以平面SCBII平面PAD,又側面ABCD為正方形,

故多面體PS—A8c。即為三棱柱4DP—BCS,故D正確,

故選：ACD

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從某工廠生產的零件中隨機抽取11個，其尺寸值為43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(單

位：mm),現從這11個零件中任取3個，則3個零件的尺寸剛好為這11個零件尺寸的平均數、第六十百

分位數、眾數的概率為.

【答案】卷

【解析】

【分析】分別求出11個零件的平均數49、第六十百分位數50,眾數45,然后分別求出取出3個零件有165

種，3個零件符合平均數、第六十百分位數、眾數有6種情況，再利用古典概率從而可求解.

43+45+45+45+49+50+50+51+51+53+57

【詳解】由題意知11個零件的平均數為=49,

11

第六十百分位數的位置為11x60%=6.6,即取第7位數50,故第六十百分位數為50,

由題可知眾數為45,

所以當從11中取出3個零件共有C：］=165種情況,

則3個數分別為平均數49、第六十百分位數50,眾數45共有C；C；C；=6種情況，

所以其概率為2=2,

16555

故答案為：—.

55

13.已知偶函數/(x)=sin(5+e)(o>0)的圖像關于點?中心對稱，且在區(qū)間0,：上單調，則

a)=.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

兀3

【分析】根據題意°=^+—，再由對稱中心求出。=3k+—,比eZ,最后根據函數單調性確定口.

22

兀

【詳解】因為偶函數/(X)=sin(ox+0）（G>0）,所以。=knH—9k￡Z,

即f（X）=COSGX或/（x）=—COSCDX,

又/(x)=sin(s+0)(G>0)的圖像關于點序oj中心對稱，

所以以)5烏刃=0,即色69=?+?■，左￡Z,

332

-3

所以g=3kH—,keZ,

2

因為0,-函數單調，所以0<5?改"二，即0<@《2,

4J42

3

所以當左=0時，—符合條件.

2

3

故答案為：一

2

14.若實數x,>滿足f+j?=25,則j50+8x+6歹+,50+8x-6歹的最大值為

【答案】6710

【解析】

【分析】利用向量不等式并結合X的范圍求最值.

【詳解】設1=(x,y),B=(l,l),

則展B=x+”同忖=萬正+/,當且僅當》=了20等號成立

故-^50+8x+6v+,50+8十-6y4-yfl-46x+100，

又V+y2=25,所以國<5,

所以0-J16x+lOO<72-716x5+100=6710,

當且僅當x=5,歹=0等號成立.

故答案為：6A/TO

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用向量不等式求最值，關鍵是兩次運用不等式且保證等號成立.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

a

15.已知函數/(x)=lnx+——ax,

(1)若/(x)在定義域內是減函數，求。的取值范圍；

(2)當。＜!■時，求/(x)的極值點.

【答案】(1)

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)先由/(x)在定義域內是減函數得出對于Vxe(O,+s),/'(x)VO恒成立，進而分離參數將問

10＜^—＜-

題轉化為函數的最值；再利用基本不等式得出x+—22,1-2即可解答.

xx+一

X

(2)分。＜0和0＜。＜；兩種情況討論，在每一種情況中借助導數判斷函數/(x)的單調性即可求解.

【小問1詳解】

由/(x)=lnx+N—分可得：函數定義域為(0,+”)，/⑴必一心

XXXX

因為/(X)在定義域內是減函數，

所以對于Vxe(0,+oo),f'(x)40恒成立，即對于Vxe(0,+oo),^:一工+口之。恒成立.

]

則對Vxe(0,+oo),a~1恒成立.

XH

X

因為x＞0,

所以x+』N2,當且僅當x=l時等號成立，

X

X

所以［之工

2

故。的取值范圍為-.

【小問2詳解】

rj-.sr./、1acix^—x+ci(門.\

因為rr(x)=----7-a=-----------，xe(0,+oo),

所以當a<0時，#(x)>0,則函數/(x)=lnx+3-ax在(0,+司上單調遞增，此時/(x)無極值點;

X

當0<a<1?時，方程"2—x+a=O的判別式△=1—4/=?！?a)(l+2a)>0,方程兩根為

l-Jl-4a21+J1—4/n

玉二---------->0，x2=---------->0-

令解得1—11一4/<x<l+Jl—4《；

2a2a

令廣a)<o,解得,<］一口11或

la2a

1-Jl-4a匚品、國』什十1-Jl-4a1+Jl-4a2、

則函數/(x)在0,----------上單調遞減，在----------上單調遞增，在

2a2a2a

7\

,1+41-4/

,+00上單調遞減,

2a

7

所以函數/(X)的極小值點為,極大值點為l+Jl—4a-

2a2a

綜上可得：當a<0時，/(x)無極值點;

當0<a<,時，函數/(x)的極小值點為IzMZIZ,極大值點為—'I—>？.

22a2a

16.據新華社北京2月26日報道，中國航天全年預計實施100次左右發(fā)射任務，有望創(chuàng)造新的紀錄，我國

首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務，多個衛(wèi)星星座將加速組網建設；中國航天科技集團計劃安排近

70次宇航發(fā)射任務，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大工程任務.由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前景，

有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進器飛行

距離與損壞零件數進行了統計，數據如下：

飛行距離x(kkm)5663717990102110117

損壞零件數y(個)617390105119136149163

88

參考數據：元=86,歹=112,?上=82743,=62680

i=li=l

(1)建立y關于x的回歸模型?=欣+&,根據所給數據及回歸模型，求y關于x的回歸方程(A精確到

0.1,a精確到1)；

(2)該公司進行了第二項測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60

臺進行飛行前保養(yǎng)，測試結束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進器占比30%,請根據統計數據完成2x2

列聯表，并根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關?

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢20

未報廢

合計60100

可（乂-刃

附：回歸方程？=&+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為/=1_____________________

8=d=y-bx>

￡（西-于）2

yn^ad-bey

n=a+b+c+d；

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

p(K>k0)0.250.10.050.0250.010.001

k。1.3232.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（1）y=1.6x-26

（2）2x2列聯表見解析；是否報廢與保養(yǎng)有關，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據題意可求出A=1.6，a=-26,從而可求解.

（2）根據題意可將2x2列聯表補充完整，并求得K2=9.375〉6.635,從而求解判斷是否報廢與是否保

養(yǎng)有關.

【小問1詳解】

元)(%-刃

2：1卬_8亞

由題意得￡=上匕-------------82743-8x86x112^1

二后-對62680-8x86??''

，二1

則2=112—1.6x86^—26,

所以J=1.6x-26.

【小問2詳解】

設零假設為80：是否報廢與是否保養(yǎng)無關,

由題意，報廢推進器中保養(yǎng)過的共20x30%=6臺，未保養(yǎng)的推進器共20-6=14臺,

補充2x2列聯表如下:

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢61420

未報廢542680

合計6040100

,2n(ad-bcY100x(6x26-14x54?

2

則K=-———^――-....?=--------------------匚=9.375>6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x40x60x80

根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷笈。不成立，即認為是否報廢與保養(yǎng)有關，

此推斷的錯誤概率不大于0.01.

17.在三棱錐P—中，必，平面NBC,/B=5C=BP=2,點E在平面ABC內，且滿足平面

PAE1平面PBE,BA垂直于.

兀71

(1)當NABEe時，求點E的軌跡長度;

83

(2)當二面角E-尸/-8的余弦值為上時，求三棱錐￡—PC3的體積.

3

5兀

【答案】(1)—

12

⑵t

【解析】

【分析】(1)先通過垂直關系得到然后建立空間直角坐標系得到點E的軌跡，根據角度求軌跡

的長；

(2)利用向量法求面面角，解方程求出點E的坐標，進而利用體積公式求解即可.

【小問1詳解】

作BHLPE交PE于H,

因為平面J_平面P2E，且平面P/EC平面尸8E=PE,BHu面PBE,

所以Aff,平面上4￡,又因為ZEu平面產/￡,所以BH±AE，

因為必，平面48C,且/Eu平面48C,所以

因為BHL4E，PB1AE,PB、BHu平面PBE,PB^BH=B,

所以ZE_L平面尸3￡,又因為BEu平面P3E,所以4ELBE.

分別以直線B48C,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則3(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),42,0,0),

設E(x,y,0),因為ZEJ_8E,所以瓦.屁=0,

5LAE=(x-2,j,0))BE=(x,y,0)，

所以(x-2>x+〉?〉=0,即(x-l『+/=1,

設48中點為N,則N(l,0),如圖:

兀兀71227兀1

又NABEe,所以ZANEe

4'3

I2IT71i5TL

因此，E的軌跡為圓弧QE,其長度為[三——Ix1=-；

【小問2詳解】

由(1)知，可設E(x,y,O),方=(2,0,-2),ZE=(x-2,j,0).

設平面產/￡的一個法向量為為=(。,8c),

n-PA=0f2a-2c=0

則〈—，即/7八，令a=y得拓=(y,2—x,y).

n-AE=Q[a(x—2)+如=0

BC=(0,2,0)為平面PAB的一個法向量，令二面角E-P4-B為角e,

\H-BC\2|x-2|g，又2+y』,

COS0=

\n\\BC\2d(x-2)2+2y2

解得x=2,y=0(舍去)或x=l,y=±l,

則E(l,l,0)或E(l,—1,0),

從而可得三棱錐E-PCB的體積VE_PCB=；S&CB-/z=|x|x2x2xl=1.

22

18.在平面直角坐標系x0y中，橢圓，：二+-=l(a〉b〉0)的離心率為e,已知橢圓長軸長是短軸長

ab

的2倍，且橢圓少過點(l,e).

(1)求橢圓少的方程；

(2)已知平行四邊形ABCD的四個頂點均在沙上，求平行四邊形/BCD的面積S的最大值.

丫2

【答案】(1)—+y2=1(2)4

4?

【解析】

【分析】（1）根據題意可得」\7+二e二二\二1，從而求出。=2,即可求解.

a2b2b2

（2）分情況討論直線48斜率存在與不存在的情況，然后與橢圓方程式聯立，再結合韋達定理求出相應關

系式，并利用基本不等式求出最值，從而可求解.

【小問1詳解】

Ie21c2b1+c21

由題思知/+乒=/+不=下廠=廬=1'解得6=1,

由長軸長是短軸長的2倍，則a=2,

2

所以橢圓少的方程為土+V?=1.

4.

【小問2詳解】

當直線48斜率存在，這48的方程為^=履+叫，/（國,%），

因為48||CD,故可設CD方程為y=依+掰2,

y=kx+ml

222）12

由<x，得（1+4左+8左加]x+4加:-4二0,

彳+了=

8hU[4m,2-4

則A=8（2左2—加；+1）〉0,X[+x2=

22

所以以同=-\/l+kyj（xl+x2）-4XJX2=J1+左24+1'

同理\CD\=J1H土手

因為=所以加；=加；，因為加尸加2，所以叫+加2=0,

4k之一加:+1+加;

J（4左2-鬲+1）加；

-冽：+1\2m\

所以S=M§M==8<8______2________4，

1+4左21+4公1+4左2

當且僅當4/+1=2喈時，平行四邊形45C。取得最大值為4.

當直線Z5的斜率不存在時，此時平行四邊形45。。為矩形，設/（國,乃），易得8=4%印,

又因為1=?+了；22小,義凹2="%|,所以S<4,當且僅當西=%時取等.

綜上所述：平行四邊形45CD的面積S的最大值為4.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設直線方程，設交點坐標為（國,y）,（//2）；

（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x（或V）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關系轉化為西+々、X1X2（或%+%、%必）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

19.對稱變換在對稱數學中具有重要的研究意義.若一個平面圖形K在%（旋轉變換或反射變換）的作用下

仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記加為K的一個對稱變換.例如，正三角形R在叫（繞中心

。作120。的旋轉）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以加1是R的一個對稱變換，考慮到變換

「123、

前后R的三個頂點間的對應關系，記叫=：又如，R在4（關于對稱軸八所在直線的反射）的

212）

（123）

作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以4也是火的一個對稱變換，類似地，記/】=.記

U32J

正三角形R的所有對稱變換構成集合S.一個非空集合G對于給定的代數運算.來說作成一個群，假如同時

滿足：

I.\/a,beG,a°b&G-,

II.X/a,b,ceG,（a°b）°c=a°（b°c）；

III.3eeG,VaeG,a°e=eoa=a-

IV.X/aeG,3a^eG>a°ax=a1Oa=e-

對于一個群G,稱III中的e為群G的單位元，稱W中的為。在群G中的逆元.一個群G的一個非空子

集〃叫做G的一個子群，假如〃對于G的代數運算。來說作成一個群.

(1)直接寫出集合S(用符號語言表示S中的元素);

(2)同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如

(123、r132、(213、(23n6312、(32n

㈣=.對于集合S中的元

012；(321JU32J23J(231J(2iv

/、Mb3/

axa2a32ax

素，定義一種新運算*,規(guī)則如下:

b

273

①證明集合S對于給定的代數運算*來說作成一個群;

②已知H是群G的一個子群，e,e'分別是G,〃的單位元，a&H,ax"分別是。在群G,群〃中

的逆元.猜想e,e'之間的關系以及a-、"之間的關系，并給出證明;

③寫出群S的所有子群.

【答案】(1)答案見解析；

(2)①證明見解析；②答案見解析，證明見解析；③證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據給定信息，按旋轉變換、對稱變換分別求出對應變換，再寫出集合S.

(2)①根據群的定義條件，逐一驗證即得；②按照群定義III、IV分別推理計算即得；③寫出S的所有子群

即可.

【小問1詳解】

(\23)

依題意，正三角形R的對稱變換如下：繞中心。作120。的旋轉變換叫=；

口12)

(\23、

繞中心。作240°的旋轉變換加2=；

(23\)

(123、

繞中心。作360。的旋轉變換加3=,c.；

23、

關于對稱軸4所在直線的反射變換4=

v32J

「123、

關于對稱軸々所在直線的反射變換4=

(32\)

(\23、

關于對稱軸々所在直線的反射變換c,.

ri23、23、23、23、23、a23、

綜上，S=《\.(形式不唯一)

212J(231JU2vU32；(321J(2134

【小問2詳解】

、‘生、

bb

‘qa2?32a2%、2b1

①I.V