【單元復(fù)習(xí)】第一章 特殊平行四邊形（知識(shí)精講+考點(diǎn)例析+舉一反三+實(shí)戰(zhàn)演練）（原卷版）

【單元復(fù)習(xí)】第一章特殊平行四邊形知識(shí)精講第一章特殊平行四邊形一、平行四邊形1.平行四邊形的定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（對邊）（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對角相等（對角）（3）平行四邊形的對角線互相平分。（對角線）（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)。常用點(diǎn)：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點(diǎn)是對角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3.平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（對邊）（2）定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（對邊）（3）定理2：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（對邊）（4）定理3：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。（對角）（5）定理4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（對角線）4.兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。注意：平行線間的距離處處相等。5.平行四邊形的面積:

S平行四邊形=底邊長×高=ah二、菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2.菱形的性質(zhì)（1）菱形的四條邊相等，對邊平行。（邊）（2）菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對角相等。（對角）（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。（對角線）（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3.菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。（邊）（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。（對角線）（4）定理3：對角線垂直且平分的四邊形是菱形。（對角線）4.菱形的面積：S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半三、矩形1.矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2.矩形的性質(zhì)（1）矩形的對邊平行且相等。（對邊）（2）矩形的四個(gè)角都是直角。（內(nèi)角）（3）矩形的對角線相等且互相平分。（對角線）（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點(diǎn)連線所在的直線。3.矩形的判定（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。（角）（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。（對角線）推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4.矩形的面積:S矩形=長×寬=ab四、正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2.正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對邊平行。（邊）（2）正方形的四個(gè)角都是直角（角）（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（對角線）（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點(diǎn)連線所在的直線。3.正方形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。（2）定理1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（3）定理2：對角線互相垂直的矩形是正方形。（4）定理3：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。（5）定理4：對角線相等的菱形是正方形。（6）定理5：對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形。判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：（1）先證它是矩形，再證它是菱形。（2）先證它是菱形，再證它是矩形。4.正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b，則五、有關(guān)中點(diǎn)四邊形問題的知識(shí)點(diǎn)：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（7）順次連接多角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形?？键c(diǎn)例析【考點(diǎn)1】菱形的性質(zhì)與判定【例1】（2022·黑龍江大慶·九年級期中）菱形的周長為12，一個(gè)內(nèi)角為60°，則較短的對角線長為(

)A．2 B．3 C．1 D．【答案】B【分析】如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)和周長公式可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，四邊形是菱形，其周長為12，，，，是等邊三角形，，又在中，，，，即較短的對角線長為3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【例2】（2022·黑龍江大慶·九年級期中）已知一個(gè)菱形的兩條對角線分別為8cm，10cm，則它的邊長為________________cm【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)：對角線互相垂直，利用勾股定理可求得其邊長．【詳解】解：如圖所示，四邊形ABCD是菱形，BD=8cm，AC=10cm，∴AC⊥BD，，∴，∴菱形的邊長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟知菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2】矩形的性質(zhì)與判定【例3】（2022·全國·九年級單元測試）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是正方形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形【答案】A【分析】根據(jù)相關(guān)特殊四邊形的判定即可解答．【詳解】A．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它可能是正方形，也可能是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．

B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形，故選項(xiàng)正確，不符合題意．

C．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形，故選項(xiàng)正確，不符合題意．

D．當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形，故選項(xiàng)正確，不符合題意．

故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記特殊四邊形的判定．【例4】（2022·黑龍江·綏濱縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件______使平行四邊形ABCD是矩形．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可解決問題；【詳解】解：若使?ABCD是矩形，可添加的條件是：AC=BD；（對角線相等的平行四邊形是矩形），∠ABC=90°等（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），故答案為：任意寫出一個(gè)正確答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．故答案為：AC=BD（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定定理，熟練掌握矩形的判定定理是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)3】正方形的性質(zhì)與判定【例5】（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OE⊥OF，交邊AB于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，圖中陰影部分面積的大小變化是（）A．先增大后減小 B．先減小后增大C．一直不變 D．不確定【答案】C【分析】連接BD，證明△FOB≌△EOC，同理得到△HOD≌△GOC，即可得到答案．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，，∴∠BOЕ+∠EOC=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠FOB=90°，∴∠FOB=∠EOC，在△FOB和△EOC，，∴△FOB≌△EOC，同理，△HOD≌△GOC，∴圖中陰影部分的面積=△ABD的面積=正方形ABCD的面積．∴陰影部分面積的大小一直不變．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三一、選擇題（共3小題）1．（2022·廣東韶關(guān)·九年級期末）如圖，菱形ABCD的對角線，，則該菱形的面積為（

）A．50 B．25 C． D．12.52．（2022·四川綿陽·九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，，則；③；④若，則與全等．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2022·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，下列三組條件中，能判定是正方形的有（

）①，；②，；③，；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、填空題（共3小題）4．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在上，．只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形是菱形，這個(gè)條件可以是______________（寫出一個(gè)即可）．5．（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壠谥校┤鐖D所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，正方形A，B，C的面積分別是，，，則正方形的面積是______．6．（2022·山東菏澤·七年級期末）如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F是網(wǎng)格線交點(diǎn)；直線l經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D、如果在直線l上存在一點(diǎn)M，使得的值最小，則點(diǎn)M與點(diǎn)__________重合．三、簡答題（共3小題）7．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在中，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．(1)求證：是菱形；(2)若，，求菱形ABCD的面積．8．（2022·貴州·仁懷市教育研究室三模）某數(shù)學(xué)興趣小組開展圖形的折疊實(shí)驗(yàn)探究，如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E為CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與C，D重合）(1)如圖（1），將沿BE折疊，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在AD邊上的F處，求DE的長；(2)如圖（2），將沿BE折疊，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為F，連接DF，當(dāng)DF取得最小值時(shí)，求DE的長；(3)如圖（3），小明準(zhǔn)備用上述紙片折疊一種紙飛機(jī)，發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)步驟是需將沿BE折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的對稱軸上，在這種情況下，求DE的長．9．（2022·湖北武漢·八年級期中）如圖1，以□ABCD的鄰邊AB和BC為邊向外作正方形ABFE和正方形BCHG，連接BD、FG，線段BD和FG之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？(1)先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，直接寫出BD和FG之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)再探究一般情況，當(dāng)∠ADC≠90°時(shí)，證明(1)中的結(jié)論依然成立．(3)在(2)的條件下，連接EH，M為EH的中點(diǎn)，連接MF，試給出FM和BD的數(shù)量關(guān)系并證明．實(shí)戰(zhàn)演練一、選擇題（共5小題）1．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在菱形中，直線分別交、、于點(diǎn)、和．且，連接．若，則為（

）A． B． C． D．2．（2022·河南鶴壁·九年級期末）下列性質(zhì)中，矩形具有而菱形不一定具有的是（）A．對角線相等 B．對角線互相平分C．對角線互相垂直 D．對角相等3．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知，則（

）A．48° B．66° C．72° D．78°4．（2022·山東煙臺(tái)·九年級期末）點(diǎn)E為正方形ABCD的邊長AB上任意一點(diǎn)，連接EC，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點(diǎn)D．若矩形ECFG與正方形ABCD的面積分別為，，則與的大小關(guān)系是（

）．A． B． C． D．不確定5．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長為（）A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6二、填空題（共4小題）6．（2022·山東煙臺(tái)·七年級期末）如圖，在矩形中，，將向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在上，記為，折痕為．若將沿向內(nèi)翻折，點(diǎn)恰好落在上，記為，則_______．7．（2022·江蘇宿遷·八年級期中）如圖，矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=2，則BD的長為________．8．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE上一動(dòng)點(diǎn)，P為AF中點(diǎn)，連接PC，則PC的最小值是______．9．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，將一個(gè)邊長為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．三、簡答題（共3小題）10．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)試探究BE滿足什么條件時(shí)，∠EFD＝∠BCD，并說明理由．11．（2022·天津·九年級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作且DE＝AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點(diǎn)F．(1)求證：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，求AE的長．12．（2022·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實(shí)踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，，EP與正方形的外角的平分線交于P點(diǎn)．試猜想AE與EP的數(shù)量