2023-2024學(xué)年東莞市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年東莞市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖所示，在四邊形中，，，.將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個數(shù)是（）①；②；③與平面所成的角為；④四面體的體積為.A．個 B．個 C．個 D．個2．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則其中正確命題的序號是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④3．已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則C．若a＞b＞0，則（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c4．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．5．趙爽是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱“趙爽弦圖”，如圖，若在大正方形內(nèi)隨機取-點，這一點落在小正方形內(nèi)的概率為，則勾與股的比為（）A． B． C． D．6．直線l：3x+4y+5=0被圓M：（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦長為（）A． B．5 C． D．107．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于()A．π B．πC．16π D．32π8．已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于5，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為（）A． B． C． D．9．在正方體中，、分別是棱和的中點，為上底面的中心，則直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．若圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是__________．12．已知數(shù)列的前項和為，，則__________．13．若、、這三個的數(shù)字可適當(dāng)排序后成為等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則________________.14．已知函數(shù)一個周期的圖象（如下圖），則這個函數(shù)的解析式為__________．15．若滿足約束條件則的最大值為__________．16．正六棱柱各棱長均為，則一動點從出發(fā)沿表面移動到時的最短路程為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，.（1）當(dāng)時，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，已知在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，求的取值范圍.18．在中，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值19．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°,E是BC的中點，M（1）求證：AE⊥平面PAD；（2）若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.20．中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知.（1）求角的大??；（2）設(shè)，的面積為，求的值.21．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．（1）從第幾項開始；（2）求數(shù)列前n項和的最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)題意，依次分析命題：對于①，可利用反證法說明真假；對于②，為等腰直角三角形，平面，得平面，根據(jù)勾股定理逆定理可知；對于③，由與平面所成的角為知真假；對于④，利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可，綜合可得答案．【詳解】在四邊形中，，，則，可得，由，若，且，可得平面，平面，，這與矛盾，故①不正確；平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，由勾股定理得，，，，故，故②正確；由②知平面，則直線與平面所成的角為，且有，，則為等腰直角三角形，且，則.故③不正確；四面體的體積為，故④不正確.故選：B.【點睛】本題主要考查了直線與平面所成的角，以及三棱錐的體積的計算，考查了空間想象能力，推理論證能力，解題的關(guān)鍵是須對每一個進(jìn)行逐一判定．2、A【解析】

根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個平面和兩個平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【詳解】解：對于①，因為，所以經(jīng)過作平面，使，可得，又因為，，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對于②，因為且，所以，結(jié)合，可得，故②是真命題；對于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過同一個頂點的三個面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是①和②故選：【點睛】本題給出關(guān)于空間線面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．3、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【詳解】當(dāng)時，A不成立；當(dāng)時，B不成立；當(dāng)時，C不成立；由不等式的性質(zhì)知D成立．故選D．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)中，不等式兩邊乘以同一個正數(shù)，不等式號方向不變，兩邊乘以同一個負(fù)數(shù)，不等式號方向改變，這個性質(zhì)容易出現(xiàn)錯誤：一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負(fù)，二是不區(qū)分是否為1．4、C【解析】試題分析：設(shè),故選C.考點：解三角形.5、B【解析】

分別求解出小正方形和大正方形的面積，可知面積比為，從而構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】由圖形可知，小正方形邊長為小正方形面積為：，又大正方形面積為：，即：解得：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型中的面積型的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用概率構(gòu)造出關(guān)于所求量的方程.6、C【解析】

求出圓心到直線l的距離，再利用弦長公式進(jìn)行求解即可．【詳解】∵圓（x–2）2+（y–1）2=16，∴圓心（2，1），半徑r=4，圓心到直線l：3x+4y+5=0的距離d==3，∴直線3x+4y+5=0被圓（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦長l=2=2．故選C．【點睛】本題考查了直線被圓截得的弦長公式，主要用到了點到直線的距離公式．7、B【解析】

作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓，由圖可得球的半徑與圓錐的關(guān)系．【詳解】如圖，作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，的外接圓是球的大圓，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B．【點睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關(guān)系，即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯(lián)系，而這個聯(lián)系在其軸截面中正好體現(xiàn)．8、B【解析】

根據(jù)題意畫出ABC的相對位置，再利用正余弦定理計算．【詳解】如圖所示，,，選B.【點睛】本題考查解三角形畫出相對位置是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【詳解】解：先畫出圖形，將平移到，為直線與所成的角，設(shè)正方體的邊長為，，，，，，故選：．【點睛】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得到本題答案.【詳解】由題意可得，圓心到直線的距離為，故由圖可知，當(dāng)時，圓上有且僅有一個點到直線的距離等于；當(dāng)時，圓上有且僅有三個點到直線的距離等于；當(dāng)則的取值范圍為時，圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于.故選：B【點睛】本題主要考查直線與圓的綜合問題，數(shù)學(xué)結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】因為數(shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此的最大值為1．點睛：本題考查創(chuàng)新意識，關(guān)鍵是對新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由“調(diào)和數(shù)列”的定義及已知是“調(diào)和數(shù)列”，得數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化簡已知數(shù)列的和，結(jié)合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識較多，要熟練掌握各方面的知識與方法，才能正確求解．12、【解析】分析：由，當(dāng)時，當(dāng)時，相減可得，則，由此可以求出數(shù)列的通項公式詳解：當(dāng)時，當(dāng)時由可得二式相減可得：又則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式即數(shù)列遞推式，在解答此類問題時看到，則用即可算出，需要注意討論的情況。13、【解析】

由，，可知，、、成等比數(shù)列，可得出，由、、或、、成等差數(shù)列，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可計算出的值.【詳解】由于，，若不是等比中項，則有或，兩個等式左邊均為正數(shù)，右邊均為負(fù)數(shù)，不合題意，則必為等比中項，所以，將三個數(shù)由大到小依次排列，則有、、成等差數(shù)列或、、成等差數(shù)列.①若、、成等差數(shù)列，則，聯(lián)立，解得，此時，；②若、、成等差數(shù)列，則，聯(lián)立，解得，此時，.綜上所述，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列定義的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.14、【解析】

由函數(shù)的圖象可得T=﹣，解得：T==π，解得ω=1．圖象經(jīng)過（，1），可得：1=sin（1×+φ），解得：φ=1kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ=，故f（x）的解析式為：f（x）=．故答案為f（x）=．15、【解析】

作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時，.【詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)的最大值必在頂點處取得，易知當(dāng)時，.【點睛】線性規(guī)劃問題是高考中?？伎键c，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.16、【解析】

根據(jù)可能走的路徑，將所給的正六棱柱展開，利用平面幾何知識求解比較.【詳解】將所給的正六棱柱下圖(2)表面按圖(1)展開.，，，故從A沿正側(cè)面和上表面到D1的路程最短為故答案為：.【點睛】本題主要考查了空間幾何體展形圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）由共線向量的坐標(biāo)運算化簡可得，將化切后代入即可（2）利用向量的坐標(biāo)運算化簡，利用正弦定理求,根據(jù)角的范圍求值域即可.【詳解】（1）∵，，且；∴，∴；∴；（2）∵；在中，由正弦定理得，∴，∴，或；又∵，∴，∴，∵，∴；∴，∴；即的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，三角恒等式，型函數(shù)的值域，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由正弦定理、二倍角公式，結(jié)合可將已知邊角關(guān)系式化簡為，從而求得，根據(jù)可求得；（Ⅱ）由三角形面積公式可求得；利用余弦定理可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得：，即（Ⅱ）由得：由余弦定理得：【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理化簡邊角關(guān)系式、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于?？碱}型.19、(1)見證明；(2)3【解析】

(1)本題首先可以通過菱形的相關(guān)性質(zhì)證明出AE⊥AD，然后通過PA⊥菱形ABCD所在的平面證明出PA⊥AE，最后通過線面垂直的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)可以將三角形APM當(dāng)成三棱錐P-ACM的底面，將AE當(dāng)成三棱錐P-ACM的高，最后通過三棱錐的體積計算公式即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接AC，因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，所以因為E是BC的中點，所以AE⊥BC，因為AD//BC，所以AE⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因為PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．（2）AB=AP=2,則AD=2，AE=3所以Vp【點睛】本題考查立體幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查線面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，可以通過證明平面外一條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線來證明線面垂直，考查推理能力，是中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理可將已知等式化為，利用兩角和差余弦公式展開整理可求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式可構(gòu)造方程求出；利用余弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】（1