山東省東營市2022-2023學(xué)年高二年級下冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

山東省東營市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求.

(九一工］(〃+,)6_］4

1.<'J的展開式中，含％y項的系數(shù)為—15,則。二()

A.1B.-1C.+1D.+2

［答案Xc

k解析》(a+y)6的展開式的通項公式為CM6-y,令「=4,可得Ctd-y=15。2y:

所以含二14項的系數(shù)為一151,即—15儲=—15,解得a=±l.

故選：C.

2.己知a為實數(shù)，函數(shù)/(力=3%3+^必+(2+。卜的導(dǎo)函數(shù)為/''(%),且/'(%)是偶函

數(shù)，則曲線y=/(x)在點處的切線方程為()

A.llx-y-6=0B.9x+y-6=Q

C.5x-lly+2=0D.6x+5y-ll=0

K答案』A

［解析?因為/''(力=9/+46+2+。是偶函數(shù)，

所以''(一4)=9小—4ar+2+a=9x2+4ax+2+a=/'(x),

所以a=0,故/■'(%)=9/+2,/(X)=3X3+2X,

所以/⑴=5,r(l)=ll,

故曲線y=在點(1"(1))處的切線方程為y—5=ll(x—I),

即n%-y-6=0.

故選：A.

3.現(xiàn)有兩筐排球，甲筐中有10個白色球、5個紅色球，乙筐中有4個黃色球、6個紅色球、

5個黑色球.某排球運動員練習(xí)發(fā)球時，在甲筐取球的概率為0.6,在乙筐取球的概率為0.4.

若該運動員從這兩筐球中任取一個排球，則取到紅色排球的概率為()

A.0.73B.0.36C.0.32D.0.28

k答案1B

K解析X設(shè)事件A="運動員從這兩筐球中任取一個排球，則取到紅色排球”，

事件5="運動員從甲筐球中取球"，事件C="運動員從乙筐球中取球”，

由題意可得。(A|3)=京=(,P(B)=0.6,^(A|C)=—=|.

10+J34+6+3J

P（C）=0.4,由全概率公式可得

12

P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|C）P（C）=-x0.6+-x0.4=0.36.

故選：B.

4.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,公比為《，貝『'4>「'是"｛%｝為遞增數(shù)列”的（）

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C,充要條件D.既不充分又不必要條件

（答案》C

K解析》因為｛%｝各項為正數(shù)，且4>1,所以旦旦=4>1,即a.>%,

所以｛%｝為遞增數(shù)列，充分性成立,

若｛%｝為遞增數(shù)列，則%+i>%，

因為｛%｝各項為正數(shù)，所以4=也〉1,必要性成立.

故選：C

5.國內(nèi)現(xiàn)存兩件國寶級文物一戰(zhàn)國宴樂水陸攻戰(zhàn)紋銅壺，分別藏于故宮博物院與四川博

物館.銅壺上的圖像采用“嵌錯”制作工藝，銅壺身上的三圈紋飾，將壺身分為四層.假設(shè)第一

3

層與第二層分別看作圓柱與圓臺，且圓柱與圓臺的高之比為；其正視圖如圖2所示，根

2

據(jù)正視圖，可得圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為（）

（注：%臺=g?乃?〃（友+/+尺。）

圖1圖2

（答案』B

（解析I由題意知：圓柱的底面直徑為13.2cm,設(shè)高為3/cm；圓臺的上下底面直徑分別

3

為13.2cm和26.4cm,圓柱與圓臺的高之比為,，則高為24cm）,

圓柱的體積K=兀x6.62義3/=130.68/K(cm3)；

圓臺的體積匕=：(兀x6.6?+VTIX6.62X7ixl3.22+7tx13.22x2Z?203.28/71(cm3),

V130.68t7t(cm3)9

圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為4='(~K.

3

V2203.28/71(cm)14

故選：B.

6.若函數(shù)/(%)在R上可導(dǎo)，且/(x)>/'(%),則當(dāng)a>6時，下列不等式成立的是(

A.e"(a)>e?0)B.ebf(a)>eaf(b)

C.ehf(b)>eaf(a)D.eaf(b)>ebf(a)

k答案UD

K解析X令/(x)=e"(x)(xeR),則/(x)=e[/(x)+/1%)],

由于/(4)+/'(x)的正負不確定,所以「(X)的正負不確定,不能判斷11)的單調(diào)性,故

AC錯誤；

令g(x)=[^l(xeR),由/■(x)>/'(x)，則g(x)J(x)J(x)<0,所以g(x)為

R上的單調(diào)遞減函數(shù)，

因為a>b,所以g(a)<g伍)，SfJebf(a)<eaf(b),故B錯誤D正確；

故選：D.

7.數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián).聲音中也包含正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引

起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)>=Asins,我們平時聽

到的音樂一般不是純音，而是有多種波疊加而成的復(fù)合音.己知刻畫某復(fù)合音的函數(shù)為

sinx+—sin2x+-sin3x,則其部分圖象大致為()

23

K答案』C

K解析U令y=/(x)=sinx+gsin2x+gsin3x,

求導(dǎo)得/'(%)=cosx+cos2x+cos3x=cosx+cos2x+cos2xcosx一sin2xsinx

=cosxfl-2sin2%^+cos2x(l+cosx)=(1+2cosx)cos2x,

當(dāng)x?0,兀|時，由/'(x)=0解得x經(jīng)，弓,

當(dāng)時，制x)>0,單調(diào)遞增；

(JT2兀)

當(dāng)XC時，f(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減；

(2兀3兀)

當(dāng)時，f^x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)弓，兀卜寸，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)尤=：和—爭寸，小)取極大值；當(dāng)x=g時，小)取極小值,

712兀73r3兀￥一(兀)=。，

由于

兀371

可得了,當(dāng)％員0,兀)時/(x)>0,

結(jié)合圖象，只有C選項滿足.

故選：C.

8.古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日

施2子安貝(古印度貨幣單位)，以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個

月31天計算，記此人第九日布施了子安貝(其中1W〃W31,neN*)，數(shù)列｛%｝的前〃

項和為S”.若關(guān)于n的不等式+256>(S?+2)(r+5)恒成立，則實數(shù)t的最大值為

A.15B.20C.24D.27

K答案UD

K解析』由題意可知，數(shù)列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)歹U,

2(1-2")

故4=2"(lW"W31,〃wN"),所以s“=-----L=2向-2

n1-2

由d+i+256>(S?+2)(r+5),得22a+2+2562。+5)?2n+1,

整理得，〈當(dāng)+2"M-5對任意1K〃W31，且〃eN*恒成立，

2

又曾+2"+1-5>2)曾?2'田—5=27,

當(dāng)且僅當(dāng)2m=16,即〃=3時等號成立，

所以/<27,即實數(shù)/的最大值為27.

故選：D.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得。分.

9.已知數(shù)列｛4｝的首項q=1,且a“+i=2a.+1,滿足下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列

B.數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列

C.4=2"-1

D.數(shù)列｛%｝的前n項的和S”=T-n

［答案XBC

k解析》由題意數(shù)列｛4｝的首項4=1,且滿足。用=2%+1,則g=3g=7,

則，1故數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列，A錯誤；

%/

由=2a〃+1得4+i+1=2(%+1),“〃+lwO,否則與。i=l矛盾，

則冒$=2,則數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列，B正確；

由B分析知數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列，首項為%+1=2,公比為“=2,

則a“+l=2x2"T,所以a“=2"—1,C正確；

數(shù)列｛%｝的前〃項的和為⑵―1)+Q2—1)++(2n-1)=2(1~2~n=2n+I-n-2,D

1—2

錯誤.

故選：BC

10.某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨”比賽(獨唱獨奏獨舞)，由于疫情防控原因，比賽現(xiàn)場

只有9名教師評委給每位參賽選手評分，全校4000名學(xué)生通過在線直播觀看并網(wǎng)絡(luò)評分，

比賽評分采取10分制.某選手比賽后，現(xiàn)場9名教師原始評分中去掉一個最高分和一個最

低分，得到7個有效評分如下表.對學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分按［7,8）,［8,9）,［9,10］分成三組，其頻率分

布直方圖如圖所示.

教師評委ABCDEFG

有效評分9.69.19.48.99.29.39.5

則下列說法正確的是（）

A.現(xiàn)場教師評委7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)相同

B.估計全校有1200名學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9）內(nèi)

C.在去掉最高分和最低分之前9名教師評委原始評分的極差一定大于0.7

D.從學(xué)生觀眾中隨機抽取10人，用頻率估計概率，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則

E（X）=5

［答案XABD

K解析》去掉9個原始評分中的一個最高分和一個最低分，不會改變該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

A正確；

因為學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9）內(nèi)的頻率為0.3,學(xué)生總?cè)藬?shù)為4000,則網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［8,9）

內(nèi)的學(xué)生估計有4000x0.3=1200人，B正確；

若去掉的一個最高分為9.6,去掉的一個最低分為8.9,則9名教師原始評分的極差等于0.7,

C錯誤；

學(xué)生網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間［9,10］內(nèi)頻率為0.5,則乂~5（10,0.5）,

所以E（X）=10x0.5=5,D正確；故選：ABD.

11.如圖，邊長為4的正方形ABCD是圓柱的軸截面，點尸為圓弧AD上一動點（點尸與

點A,。不重合）AP=2AD（O<2<1）,則（）

A.存在4值，使得AD_LBP

B.三棱錐P-ABD體積的最大值為3

3

C.當(dāng)彳=’時，異面直線PB與A。所成角的余弦值為逅

26

D.當(dāng)直線PB與平面ABC。所成角最大時，平面A45截四棱錐P-A6CD外接球的截面

面積為

［答案XBCD

k解析》對于A選項，由題意知AOLH4，

若ABBP=B,AB,BPu平面RIP,則AD,平面

所以ADLAP，不成立，故A不正確；

對于B選項，在三棱錐P—A3。中，AB上半圓面AP￡>，

則A3是三棱錐P-A3。的高，

當(dāng)點P是半圓弧AD的中點時，三棱錐P-ABD的底面積S取得最大值，

三棱錐P—ABD的體積取得最大值為一義4義一x4又一=—,故選項B正確；

3223

對于選項C：當(dāng)彳=；時，則尸為AO的中點，以AD的中點E為原點，以EP,區(qū)4分別為

%，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則尸(2,0,0),5(0,2,4),￡(0,0,0),A(0,2,0),

UULL1U

/UiruiT\PBEA4&

可得必=(-2,2,4),胡=(0,2,0),則8s(PB，W=網(wǎng)謂|=H=?

故異面直線PB與A。所成角的余弦值為逅，所以C正確；

6

對于D選項，取的中點。，過點尸作于點“，連接3H,

由題意知，AB工平面ADP,PHu平面ADP,PH±AB,

又因為ADr>AB=A,AD,ABu平面ABC。，

可得QH,平面ABCD，

所以BH為PB在平面ABCD內(nèi)的射影，則ZPBH為直線PB與平面ABCD所成的角,

設(shè)=則。（尤＜4,OH=4—九，

在RtZ\AP￡)中，PH2=AHDH=x(4-x\PD2=DH-,

所以「女=B￡)2-P￡)2=(4V2)2-4(4-X)=16+4%,

PH，_x(4-x)x2-4xy

故sin2/PBH=PB--16+4x-41x+4,

令，=x+4,貝Ux=，一4,且4v，v8,

所以x-4x="4)—4(7—4)ItX——12=80—12,

=Z+32_12>2

x+4tt\t

當(dāng)且僅當(dāng)/=：,即f=4夜時取等號，

所以sin2ZPBH＜3-272，則sinZPBH〈后—1，

所以直線尸B與平面ABCD所成最大角的正弦值為行-1，

此時AH=4四_4,P“2=（4&_4卜（8—4&）,

所以PH=4蚯（0_]）,針2=卜忘_4『+[4蚯（血_1『，AP=47^^I,

連接O〃,OP,因為出，平面ABC。，"Ou平面ABC。，所以PHLHO,

因為ABC。為正方形，

所以NQ4H=45°,

在，O〃4中，可得。"2=AH2+o42_2AH-O”cosNQ4H=72—48jL

在RtOPH中,可得OP?=尸82+082=160x(0—iy+72—48后=8,

則0尸=2拒，因為04=02=0尸=0。=：2。=2拒，

所以點。為四棱錐P-A6CD外接球的球心，

因為OP_LAP,由右期/＞=；4。，尸//=[4尸＞＜。2，解得DP0-lx拒,

所以球心。到面PAB的距離d=\DP=2VV2-1xV2,

設(shè)截面半徑為r,則有產(chǎn)=(20)2—屋=8—4(、份—l)x拒=4形,

所以截面面積為4&兀，故D正確.

故選：BCD

12.已知函數(shù)了(無)滿足：①/(4+X)為偶函數(shù)；②/(c+x)+/(c—x)=2d,a豐c,

/'(力是/(無)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./'⑴關(guān)于對稱B./(2力的一個周期為2|c—4

C./(/(%))不關(guān)于(0,。)對稱D./(/(%))關(guān)于％=。對稱

(答案1ABD

K解析UA選項，由/(c+x)+/(c—x)=2d兩邊求導(dǎo)得/'(c+x)—/'(c—x)=O,

即/'(%)關(guān)于對稱，故A正確；

B選項，由+為偶函數(shù)，知/(a+x)=/(a-x)=/(—力=/(2a+x).

又/(c+x)+/(<?_x)=2<7=^>f(—%)=2d—f(2c+x),

f(x)=2d-f(x+2\c-a\)

貝i]/(2a+x)=2d-〃2c+x)=><

f^x+2\c-a^=2d-f^x+4\c-a^

/W=/(x+4|c-?|),即/(x)的一個周期為4匕_d，則/(2x)的一個周期為2卜_4

故B正確；

C選項，注意到當(dāng)c=d時，/(c+x)+/(c-x)=2c=>/(x)+/(2c-x)=2c

則/(/(c+X))+/(2c-/(c+x))=/(/(c+x))+/(/(c-%))=2c,即此時

/(/(⑼關(guān)于億。)，即(c,d)對稱，故C錯誤；

D選項，由尤)為偶函數(shù)，知/(尤)關(guān)于x=a對稱，即/(a+x)=/(a—x),

則/'(仆+切力小-初,即/(“X))關(guān)于x=a對稱，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3

分.

13.等差數(shù)列｛%｝中，%—4+8=佝，則數(shù)列｛4｝的前13項的和為.

K答案X104

K解析U在等差數(shù)列｛。“｝中，滿足%—%+8=%，即的+%=%+8,

由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得為+。5=2%，所以2%=%+8,可得%=8,

又由513=13(4；&)=13；%=104.故k答案X為：104.

14.若X~N(1,4),且P(X<a)+P[X<一1=1,則。=.

K答案X-

3

K解析》由題意可知，正態(tài)密度曲線的對稱軸為X=l,

由正態(tài)分布的對稱性可得a+q匚=2=。=上.故k答案』為：-

233

15.已知函數(shù)/(x),g(x)在R上可導(dǎo)，若/(x)=g(x),則/'￥x)=g任)成立.英國數(shù)

10a

2x2n

學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式：e=a0+a.x+a2x++anx+，則￡」包=

“=1nan

(答案』言

[[解析U設(shè)/(x)=e2x,g(x)=4+%x+a2x2+.+。/"+，則/=g(o)=/(o)=l,

記/("=/'(%)，(/"(x)j=/"+i(x),

則又g〃(o)=/"(o)=2",所以a“=2

n\n\

2

所以十=2|----

knn+1

所以它以」+-+2020

21+1-1—,故K答案》為：,

(2231011

?=inan

16.如圖，一張紙的長AD=20a，寬AB=2a,.M,N分別是AD,BC的中點.現(xiàn)將

△A3。沿8。折起，得到以A,B,C,。為頂點的三棱錐，則三棱錐A—BCD的外接球。

的半徑為;在翻折的過程中，直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是

(答案』①#a②［岑.,2其］

K解析X由于△A3。和.ABC都是直角三角形，所以兩個面的外接圓圓心都在BD的中

點處，

因此三棱錐A—5C。的外接球0的球心。在80的中點，

則半徑R=g3D=gy/AD2+AB2=g+(2a7=可，

直線MN被球0截得的線段長與二面角A-班>-C的大小有關(guān)，

當(dāng)二面角A-5￡>-C接近180時，直線MN被球。截得的線段長最長，趨于直徑2局，

當(dāng)二面角A—BD—C接近0時，直線MN被球。截得的線段長最短，

如圖翻折后，此時NOBN+NBONuNNO//+/BON=90°，所以NOBN=ZNOH

B0BN

則V5QV:NONH,由相似比可得■—=—,

ONOH

砥zc口_BN.ON

所以O(shè)H------------——；=———ci,

BO6a3

直線MN被球。截得的線段長d=2代—OH?=2J3a2—#=笄Ia,

綜上直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是

<2J21)

故［答案U為：y［3a；---a,26a.

I37

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知正項數(shù)列｛4｝與也｝，且也｝為等比數(shù)列，a；+i-2an+l=a：+2an=4=1,

從條件①加“｝的前3項和S3=7；②%=(4+4)&;③為“=16.任選一個補充在上面

問題中，并解答下列問題：

(1)求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛q2｝的前〃項和卻

（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.

解：⑴由囁-2%=4+24可得,（%+i+%）（%+]-%—2）=0

又％,>0,所以％用+?！癢0,貝!]-2=0,即%+1—%,=2.

?.?｛%｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）可得％=1+（〃-l）x2=2〃-1,

設(shè)等比數(shù)列｛2｝的公比為q,且4=1

若選①，則S3=0+g+%=1+q+/=7,解得4=2或4=一3

又因為｛〃｝各項為正數(shù)，；.4=2,故或=2"，

若選②，又々=（6+的泡，得/=（1+3”，又#0,則解得q=2或q=-2

又因為也｝各項為正數(shù)，...4=2,故2=2"，

若選③，因為a用二房，則置/=16,則解得4=2或q=—2

又因為也｝各項為正數(shù)，；?4=2,故或=2"，

所以7；=岫+a2b2+a3b3+anbn

即7；=1x2°+3x2+5x22++（2〃—1）X2"T

則27；=1x21+3X22+5X23++（2n-l）x2"

相減得：

4—2x2〃

-7；,=1+（2X2'+2X22++2X2,,-1）-（2M-1）X2"=1+-------------（2〃-l）x2"=-3+（3-2"）x2"

1—2

所以％=3+（2〃—3）x2".

18.2021年4月7日，“學(xué)習(xí)強國”上線“強國醫(yī)生”功能，提供智能導(dǎo)診、疾病自查、疾病百

科、健康宣傳等多種醫(yī)療健康服務(wù).

（1）為了解“強國醫(yī)生”使用次數(shù)的多少與性別之間的關(guān)系，某調(diào)查機構(gòu)調(diào)研了200名“強國

醫(yī)生”的使用者，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握

認為“強國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān)；

男女總計

使用次數(shù)多40

使用次數(shù)少30

總計90200

（2）該機構(gòu)統(tǒng)計了“強國醫(yī)生”上線7天內(nèi)每天使用該服務(wù)的女性人數(shù)，“強國醫(yī)生”上線的

第尤天，每天使用“強國醫(yī)生”的女性人數(shù)為》得到以下數(shù)據(jù):

X1234567

y611213466100195

通過觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條曲線y=a?，的周圍，求y關(guān)于x的回歸方程,

并預(yù)測“強國醫(yī)生”上線第12天使用該服務(wù)的女性人數(shù).

n(ad-bc)

附：隨機變量#2=7--------77——-------------------7，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

「（尤2北）0.050.020.010.0050.001

3.8415.0246.6357.87910.828

其中z,=lgw參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（七,%）,（%,%），，（乙,”），其回歸直線

7___

2七,一“孫

9=1+各的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為2=號---------，C=y-dx.

-rix2

Z=1

77

6

yZ10°

Z=1i=\

61.91.651.825223.98

解：（1）如下表:

男女總計

使用次數(shù)多4080120

使用次數(shù)少503080

總計90110200

200(40x30-80x50)24900

2—--------------)—=----?16.498>10,828，

z90x110x120x80297

所以有99.9%的把握認為“強國醫(yī)生”的使用次數(shù)與性別有關(guān);

（2）將$=6?分兩邊同時取常用對數(shù)得lg$=lg（0?分）=lgd+lg1=lga+x\gb,

設(shè)2=lg9，則2=lg3+%lgB,

因為=1+2++7=140,x=----------------=4,

i=i7

n__

ExiZ「nxz

51.8—7x4x1.6

所以lgg=V------------=0.25,lg&=1.6—；x4=0.6

?；一就2140-7x42

1=1

所以另=10°汽6=10%

所以y關(guān)于尤的回歸方程為y=IO06x10°如=3.98x10025\

把％=12代入回歸方程，得$=3.98x103=3980,

所以“強國醫(yī)生”上線第12天，使用該服務(wù)的女性約有3980人.

19.如圖，已知六面體ABCDPE1的面ABCD為梯形，AB//CD,AB±AD,AB=2,

CD=AD=4,棱平面ABC。，PA!/BE,PA=4,BE=2,尸為P。的中點.

(1)求證：AT//平面PBC；

(2)求直線跖與平面PC。所成角的大小.

解：(1)因為24,平面ABC。，所以PA±AD，且MLAD,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-盯z,

則4（0,0,0）,5（0,2,0）,0（4,0,0）,P（0,0,4）,尸（2,0,2）,石（0,2,2）,C（4,4,0）,

所以BP=(0,-2,4),BC=(4,2,0),AP=(2,0,2),

設(shè)平面BPC的法向量為m=（%,y,z）,

m-BP=-2y+4z=0,、

則一',令x=l,解得y=—2,z=—1,故相=(1,—2,-1),

m-BC=4x+2y=0

所以AF?=2x1+Ox(—2)+2x(-1)=0,故AE_Lm，

又AFN平面PBC，所以Ab//平面尸BC.

(2)由(1)得力戶=(-4,0,4),力?=((),4,0),助=(0,0,2)

—4a+4b=Q

設(shè)平面PCD的法向量為〃=（a,b,c）,貝卜令a=l,解得b=O,c=l,

4Z?=0

,寸n-BE272

故〃=(L°,l)'所以8S"1E=^=萬3=可，

設(shè)直線班與平面PC。所成的角為8,則sin。=正，又夕e0,方,所以6=:.

2

20.某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5,二等的概

率為0.4,若達不到一、二級，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨立.已知生產(chǎn)一

件產(chǎn)品的利潤如下表:

等級一等二等三等

利潤（萬元/每件）0.80.6-0.3

（1）求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；

（2）求該公司每天所獲利潤。（萬元）的數(shù)學(xué)期望；

（3）若該工廠要增加日產(chǎn)能，公司工廠需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加〃件產(chǎn)能，其成本

也將相應(yīng)提升〃-In〃（萬元），假如你作為工廠決策者，你覺得該廠目前該不該增產(chǎn)？請

回答，并說明理由.（ln2a0.69,ln3）

解：（1）設(shè)一件產(chǎn)品是一等品為事件4則一件產(chǎn)品不是一等品為事件可，

P（A）=0.5,P（A）=0.5,2件產(chǎn)品至少有1件為一等品事件為A4+A4+ZA，

其概率尸=P（AA）+C2P（A）P（A）=0.52+2x0.5x0.5=0.75；

（2）設(shè)一件產(chǎn)品為一等品為事件A,二等品為事件3,次品為事件C,

則網(wǎng)⑷旬與田⑶二。.”?：?！?，

則占可取的值為1.6,1.4,0.5,1.2,0.3,-0.6,

=-0.6）=[尸（C）了=0.01,尸仔=0.3）=C；P⑻P（C）=2x0.4x0.1=0.08

pq=0.5）=C；P（A）P（C）=2x0.5x0.1=0.1,P（“1.2）=[P⑻]=0.16,

p（^=1,4）=C*P（A）P（B）=2x0.5x0.4=0.4,P（J=1.6）=[P（A）『=0.25,

其分布列為：

4-0.60.30.51.21.41.6

P0.010.080.10.160.40.25

數(shù)學(xué)期望

石（9=-0.6><0.01+0.3*0.08+0?5*0?1+1.2*0?16+1?4乂0?4+1.6><0?25=1.22（萬元）;

（3）由（2）可知，每件產(chǎn)品的平均利潤為1.22+2=0.61（萬元），則增加幾件產(chǎn)品，利

潤增加為0.6山萬元），

成本也相應(yīng)提高〃-ln〃（萬元），所以凈利潤=0.61〃一"+ln〃=ln〃一0.39〃，

設(shè)/（x）=lnx—0.39%,則/（%）=,—0.39,

x

當(dāng)X〈翳時，/（%）>0,/（無）是增函數(shù)，

當(dāng)x>《時，/（x）<°，/（x）是減函數(shù)，在x=取得最大值，又2<詈<3,X

只能取整數(shù)，，x=2或1=3時/（尤）可能為最大值，

/（2）=ln2-0.39x2?0.69-0.78=-0.09<0,

/（3）=ln3-3x0.39?l.l-1.17=-0.07<0,

即在了（無）取得最大值時也是虧本的，所以不應(yīng)增加產(chǎn)量；

21.已知函數(shù)/（九）=oxlnx-2x.

U）若在％=1處取得極值，求了⑺在區(qū)間［1,2］上的值域；

（2）若函數(shù)/i（x）=13-爐+2有1個零點，求a的取值范圍.

解：⑴fr（x）=a\nx+a-2

因為〃九）在x=l處取得極值

所以/'（I）=alnl+a—2=0,得a=2

則xe［l,2］時,f\x)=21nx>0,/(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增,

所以/(1)--2</(%)</⑵=41n2—4

所以,⑺在區(qū)間口,2］上的值域為［-2,4In2-4］

(2)版x)的定義域為(0,+co)

函數(shù)/z(x)=aInx-V有一個零點oainx=必有一個實數(shù)根Oy-ahix與y=/有

一個交點.

當(dāng)a>0時，令〃(x)=q_2x="—>0,得0<%<口

xxV2

人“、a-2x2八,曰la

令〃(%)=-------<0,得x>J一

xV2

所以，當(dāng)工=小|時，阪x)有最大值狀島=aIn4—鶴)2、(嗚—1)

因為函數(shù)力(x)=aln%—X2有一個零點，

所以■|(山］—1)=0,解得a=2e

綜上，a的取值范圍為(-8,0){2e}.

22.如圖，已知四棱錐P—A6CD的底面為菱形，且NABC=60°,AB=PC=2,

==是棱上的點，且四面體MPBC的體積為立.

(1)證明：PM=MD-,

(2)若過點C,M的平面a與8。平行，且交出于點。，求平面5CQ與平面ABC。夾角

的余弦值.

解：（1）解法一:

圖1

如圖1,取A3中點。，連接尸。，CO.

因為PA=PB=y/i，AB=2,所以尸OLAB,PO=1,BO^l.

又因為ABC。是菱形，ZABC=60°,所以COLAB,CO=A

因為PC=2,所以PC2=PO2+CO2,所以尸

又因為ABu平面ABC。，COu平面ABC。，ABCO=O,

所以P01平面ABCD.

因為A￡）〃BC,5Cu平面PBC,A￡＞衣平面PBC,

所以AD〃平面PBC,

==—XX

所以VL。f—prDB^C=匕A-1PDBCCJ—ADACBC=3—P0，SZ^AA/IDBC31—4—X4=——3■

因為丫=1=J_y,

y

J，"M-PBCo'zcVD-PBC'

所以點M到平面PBC的距離是點D到平面PBC的距離的g,

所以=

解法二：

如圖2,取AB中點。，連接尸。，CO,

圖2

因為P4=P8=&，AB=2,

所以尸OJ_AB,PO=1,80=1,

又因為ABC。是菱形，ZABC=60°,

所以COLAB,CO=y/3-

因為PC=2,所以PC2=PO2+CO2,所以尸

因為ABu平面98，POu平面B4B,ABPO=O,

所以CO，平面B4A

所以，VA_PBC=VC_ABP=-CO-SAABP=-x73x-xV2xV2=^-.

過M作MN//AD交AP千點、N,ADUBC,航墳MNHBC.

又BCu平面PBC,MNN平面PBC,

所以MN//平面PBC,所以VM_PBC=VN_PBC=Vc_NBP=^CO-S^NBP=g-

36

^CO-S

因為%-ABP=].^AABP，VjNBPANBP

所以SABP=2sNBP,

所以N是總的中點，所以M是P。的中點,

所以=

(2)解法一：

如圖3,以。為坐標(biāo)原點，0C，0B，。尸的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間

直角坐標(biāo)系，

則A(0,-1,0),5(0,1,0),C(V3,0,0),。(后―2,0),尸(0,0,1),

所以M停,,AC=(73,1,0),BC=(V3,-l,0),BD=(V3,-3,0),AP=(0,1,1),

CM

I22j

因為QwAP,設(shè)AQ=/L4P=(O,4/l),

因為BDIIa,Q^cc,CeaMea,

故存在實數(shù)。，b,使得CQ=〃CM+Z?BD,

4

-^-a-\-y/3b=-A/3ci———

3

解得"=一；,

所以<—a—3b=A—l

所以CQ=f-^/3,-

nCQ=O

設(shè)平面3CQ的法向量為勺=（x,y,z）,貝卜A即《

nABC=OA/3X-y=0

(1,73,273)

取x=1,得到平面BCQ的一個法向量4=

設(shè)平面5CQ與平面ABCD夾角是夕，

又因為％=（0,0,1）是平面ABC。的一個法向量,

/\V3

貝Ucos/3-cos,4)=1~~n~~\~~r~?

阿網(wǎng)