2024年山西省運(yùn)城市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題及答案

運(yùn)城市2024年高三第二次模擬調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷類型：A考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足4z1，則z（）5152525A.B.C.D.552.已知圓錐的側(cè)面積為12，它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為（）3A.6B.C.6D.333.已知向量a和b滿足a3，b2，ab7，則向量b在向量a上的投影向量為（）131A.aB.aC.aD.a3x22y221ab0的兩條漸近線均和圓C：x2y8x70相切，且雙曲線的左24.已知雙曲線ab焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）x2y24x24y2A.C.1B.D.197974x24y2x2y21179794的圖象向右平移5.將函數(shù)fx2sin3x0個(gè)單位長度，得到函數(shù)gx的圖象，若函數(shù)gx在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）124412A.,B.,124412C.,D.,6.“五一”假期將至，某旅行社適時(shí)推出了“晉祠”“五臺(tái)山”“云岡石窟”“喬家大院”“王家大院”共五條旅游線路可供旅客選擇，其中“喬家大院”線路只剩下一個(gè)名額，其余線路名額充足.現(xiàn)有小張、小胡、小李、小郭這四人前去報(bào)名，每人只選擇其中一條線路，四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路.則不同的報(bào)名情況總共有（）A.360種B.316種C.288種D.216種a7.已知等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn，若0，0，則2的取值范圍是（）n167A.,6B.,78767C.,,78613D.,,7152PCPD2最小值為28.已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P在以A為圓心，1為半徑的圓上，則PB（）A.1882C.1983B.1883D.1982二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9..某實(shí)驗(yàn)基地有兩塊面積相等的試驗(yàn)田，在種植環(huán)境相同的條件下，這兩塊試驗(yàn)田分別種植了甲、乙兩種水稻，連續(xù)試驗(yàn)5次，水稻的產(chǎn)量如下：甲（單位：kg）250240240200270乙（單位：kg）250210280240220則下列說法正確的是（）A.甲種水稻產(chǎn)量的極差為70B.乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)D.甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差10.已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽x,yRfyxf22下列說法正確的是（）A.f10B.fx的圖象關(guān)于y軸對稱f2i202322D.f2202422iC.i1i111.如圖，在棱長為2的正方體ABCDABCD中，點(diǎn)P是側(cè)面A內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CC上1111111的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P是線段AD的中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，使得AE平面D111194B.當(dāng)點(diǎn)E為線段CC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A，E，D的平面截該正方體所得的截面的面積為11C.點(diǎn)E到直線BD1的距離的最小值為2D.當(dāng)點(diǎn)E為棱1的中點(diǎn)且22時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。313N3，Bxxx12723xm01ABAB的子集的個(gè)數(shù)12.已知集合Ax為__________.113.已知tan2tan，sin，則sin__________.4x22y2214.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，過F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，1ab0122ab3AB且AFAB，若的面積為b2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為___________.11612四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）BC55在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，csin（1）求sinA的值；bsinCcsinCB.242（2）如圖，a65，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，且25，ABD，求△ABC的面積.216.（本小題滿分15分）長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，較長時(shí)間有節(jié)奏的深長呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過平時(shí)的7-8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞的生長和繁殖.其次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時(shí)還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強(qiáng)，從而提高了心臟工作能力.某學(xué)校對男、女學(xué)生是否喜歡長跑進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200，統(tǒng)計(jì)得到以下2×2列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男生120女生100合計(jì)22080200200400100180（1）試根據(jù)小概率值0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)?（2）為弄清學(xué)生不喜歡長跑的原因，從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取9人，再從這9人中抽取3人進(jìn)行面對面交流，記隨機(jī)變量X表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求X的分布列；（3）將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，記其中喜歡長跑的人數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望.2nadbc附：2，其中nabcd.abcdacbd0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.（本小題滿分15分）如圖1，在△ABC中，ACBC4，42，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，且，將△沿翻折到△的位置，使得PEBD，連接PB，，如圖2所示，點(diǎn)F是線段PB上的一點(diǎn).圖1圖2（1）若BF2PF，求證：CF∥平面PDE；4（2）若直線CF與平面PBD所成角的正弦值為18.（本小題滿分17分），求線段的長.已知拋物線C：y22pxp0的準(zhǔn)線與圓O：x2y1相切.2（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是C的準(zhǔn)線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且圓O是△PAB的內(nèi)切圓.①若25，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；②求△PAB面積的最小值.19.（本小題滿分17分）xaexxaaR.已知函數(shù)fx（1）若a4，求fx的圖象在x0處的切線方程；（2）若fx0對于任意的x恒成立，求a的取值范圍；2a1且nN，記數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn，求證：*（3）若數(shù)列a滿足1n1nnnn21Snn1n2.3運(yùn)城市2024年高三第二次模擬調(diào)研測試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則1414442111.A因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足4z1，所以zi，所以25252211252525z.故選A.5r2.B設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則rl，，解得r2，l6，所以此圓錐的l3116hl2r242，所以此圓錐的體積V2242.故選B.高33223.A因?yàn)閍b7a2abb7a3，b292ab47ab3，ab3321設(shè)a與b的夾角為，則cos，所以向量b在向量a上的投影向量為2ab13abcosa.故選A.ab4.D雙曲線的一條漸近線方程為yx，所以bxay0.圓C：x2y28x70的標(biāo)準(zhǔn)方程為abbx42y29，所以圓心為C4,0，r3，所以3，又a2b216，解得a7，a22x2y2b3，所以雙曲線的方程為1.故選D794的圖象向右平移0個(gè)單位長度，5.C將函數(shù)fx2sin3x442sin3x3得到y(tǒng)2sin3x，所以gx2sin3x3，444時(shí)，3x當(dāng)x，,4又函數(shù)gx在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，4124124即的取值范圍是,.故選C.6.C若小張、小胡、小李、小郭這四人中，沒有人選擇“喬家大院”線路，則報(bào)名情況有C24A34144種.144種.1423241“喬家大院”所以不同的報(bào)名的情況總共有144+144=288種.故選C.CCA1517.B由題意知S15a0，所以a0，882161又S8aa0，892所以aa0，所以aa0.8998設(shè)等差數(shù)列a的公差為d，則d980，naa7d1d2所以a0.所以81所以，1aaa7da8d2a15d711589111a211d1d613a2167所以1,，即的取值范圍是,.故選B.17158.D以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，AD所在的直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)Px,y，所以xy21，又B2,0，C2,2，D0,2，22222222所以PBPCPDx2y2x2y2x2y2，198xyt令xyt，即xyt0，所以直線xyt0與圓x2y21有公共點(diǎn)，所以1，11解得2t2，2221982.故選D.所以9.ABD由表中數(shù)據(jù)可知，甲種水稻產(chǎn)量的極差為270-200=70，故A正確；210220240250280240，故B正確；1對于C，甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為250240240200270240，乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為51250210280240220240，所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)，故C5錯(cuò)誤；甲種水稻產(chǎn)量的方差為122222250240240240240240200240270240520，5乙種水稻產(chǎn)量的方差為1(250240)2(210240)2(280240)2(240240)2(220240)2600，5所以甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差，故D正確.故選ABD.10.AC令x1，y1，得f1f1f1，解得f10，故A正確；令x1，y1，所以f1f1f10，解得f0，令y1，所以fx1fxfx，所以fx是奇函數(shù)，所以fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；2n1f22f2n1，令af2f2nf2n1nnNn12nnN*，因?yàn)閚則a2a2n*，所以2nn2n1n11，n2nn，則nn11，令n又b2121，所以b是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，1n所以nb1，所以ann2n，n1nnnSnf2kaaaa12222323n2n，令k12nk1k1，n2nn2n1則2Sn122223324所以Sn22223n2n12n212n2n2n11n2n1，12所以Snn12n1，2f2202322，故C正確，D錯(cuò)誤.i所以i1故選AC.11.ACD以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.1則D0,0,0，D0,0,2，A2,0,2，B2,2,2，11當(dāng)點(diǎn)P是線段AD的中點(diǎn)時(shí)，P0,1，1設(shè)E0,2,a0a2，所以0,1，2,1，AE2,2,a2，111假設(shè)存在點(diǎn)E，使得AE平面D，111則PDAE2a20，PBAE24a20，1111解得a0，所以存在點(diǎn)E，使得AE平面D，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，故A正確；111取的中點(diǎn)F，連接BC，，F(xiàn)A，，DE，如圖所示.111則EF∥BC，∥，所以AD∥EF，1111又易得AD22，2，AFDE5，11所以梯形AD1EF的面積為2ADEF2222229292ADEF1AF215，2222所以過A，E，1點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面的面積為，故B錯(cuò)誤；2又B2,0，設(shè)E0,2,m0m2，2，2,0,m，所以BD1所以點(diǎn)E到直線BD1的距離dBEsinBD,BEBE12BD,BE112BDBE22BE21m2，3BD1所以d2，此時(shí)m1，所以點(diǎn)E到直線BD1的距離的最小值為2，故C正確；取1的中點(diǎn)G，連接EG，EP，，易得GE平面AADD，又GP平面AADD，11112所以GEGP，所以PE222222，2則點(diǎn)P在側(cè)面AADD內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以G為圓心，半徑為2的劣弧，11分別交AD，AD于P，P，1121則PGDPGD，則PGP，1121233所以點(diǎn)P的軌跡長度為2，故D正確.33故選ACD.13N3x1270,1，又1AB，12.8由題意知Ax所以1B，所以13m0，解得m2，2Bxx23x201,2，所以AB2，所以AB的子集的個(gè)數(shù)為28.3所以1sincossin13.因?yàn)閠an2tan，即2，12所以sin2sincos，14因?yàn)閟insinsin，1116所以3cossin，解得cossin，sin，412111所以sinsinsin.126122333314.因?yàn)镺AF1的面積為b2，所以△122b2b2，3663在△AFF中，設(shè)FAF，0,，12122222AFAFcos，12由余弦定理可得12AF2124c22AFAF2AFAF2AFAFcos即1212124a22cosAFAF，12則22AF124a24c2b2，1sin1cos33所以△FAF的面積SAFAFsinb2b2，12122所以3sincos1，1，所以66即sin，由于,.6263又AFAB，所以△AFB是等邊三角形，即AFBFAB，11114由橢圓的定義可得4a，所以AFa，111322a則AFa，，所以FF，221233AB2212233則2tanAFF.1212BC5515.1）因?yàn)閏sinbsinCcsinCB，242由正弦定理得BC55sinCsinsinBsinCsin2CB24255sinBsinCcosCsinCB22255，sinCsinBCsinCsinBCsinCB22BC5A5又sinC0，所以sin，所以sinsinBCsinA，2222A5AA所以sinA5sin，2222A，cos0，所以sin2AA5AA25又，1sin2，2225225AA45所以sinA2sin.22，又25，（2）設(shè)DB2xx0所以5x，AsinA245.2654x225x222BC245在△BDC中，由余弦定理得cosBDC，2DB22x5x解得x2，所以4，10，445又sinA，所以DA5，ACDADC15，AB2BD2AD2，所以AB3，又114所以△ABC的面積SABsinA31518.22516.1）零假設(shè)為H0：學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到4001201008010024009924.0403.841，200200220180根據(jù)小概率值0.050H0此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.050.（2）從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取9人，其中男生的人數(shù)為：808010094人，10080100女生人數(shù)為：95人.X的所有可能取值為0，1，2，3，CC34391C24CC1550所以PX，PX，213914C14CC251021C3539523PX，PX，39C42X的分布列為：XP0123155144211（3）由題意知，任抽1人喜歡長跑的概率p，2011所以Y~B，所以EY12201133.20517.（1）證明：過點(diǎn)C作CHED，垂足為H，1在PE上取一點(diǎn)M，使得1PMPE，連接HM，，3如圖所示.111因?yàn)镻MPE，，所以∥且，3331因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，且，所以CH∥EB且CHEB，3所以CH∥且CH，所以四邊形CFMH是平行四邊形，所以CF∥HM，又CF平面PDE，平面PDE，所以CF∥平面PDE.（2）解：因?yàn)镻EED，PEBD，EDBDD，ED,平面BCDE，所以PE平面BCDE，又BE平面BCDE，所以PEBE，225.2又EBED，所以EB，，EP兩兩垂直，故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，，EP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以B32,0,0，D2,0，P2，C2,22,0.設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量nx,y,z，又BP32,2，32,2,0，nBP32x2z所以nBD32x2y令x1，解得y3，z3，所以平面PBD的一個(gè)法向量n3.設(shè)32,0,2，01所以CFCBBF22,22,032,0,22232,22,2，設(shè)直線CF與平面PBD所成角的大小為，所以sinn,CFnCFnCF4243857，2221992232222171775解得或，所以5或BFBP105.2102pp18.1）由題意知C的準(zhǔn)線為x，又C的準(zhǔn)線與圓O：x2y1相切，所以1，222解得p2，所以C的方程為2y4x.y0m01ymx1，（2）設(shè)點(diǎn)Px,y，點(diǎn)Am，點(diǎn)Bn，直線PA方程為00化簡得ymx01yy0mmx0.00又圓O是△PAB的內(nèi)切圓，y0mm011，所以圓心O0,0到直線PA的距離為1，即22y0mx10m22222故yx1y0m2mymx1mx1，00000易知x1，上式化簡得，x1m2y0m200，0020同理有01n2y0n0，20所以m，n是關(guān)于t的方程x1t2y0t0的兩個(gè)不同的根，00012y0，01所以所以mn.4y2040012mn2mn2AB4，2x01又點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，所以y2040，4001x01160240所以AB2.22x1x010x20401①若25，則225，021解得x3或xP的橫坐標(biāo)為3.00201的距離d01，②因?yàn)辄c(diǎn)Px,y到直線x0所以△PAB的面積202401121x20401x1Sd2x10，20x22x0110t4t24tt24016，則S令01tt0t2t32，2t2tt16164040因?yàn)閠22t28，t2t40，t2t2tt當(dāng)且僅當(dāng)t