2022年河北省廊坊市下學(xué)期高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足匚=1+3貝!|z=（）

2.如圖，在底面邊長為1,高為2的正四棱柱4用6。1中，點尸是平面4AG2內(nèi)一點，則三棱錐P—BCD

的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）

x+j<10

3.設(shè)實數(shù)X、y滿足約束條件x-y<2,則z=2x+3y的最小值為(

x>4

22

4.已知雙曲線4=1（。〉0］〉0）的左、右焦點分別為耳，鳥，過工作一條直線與雙曲線右支交于4B兩點,

ab

坐標(biāo)原點為0,若|。4『=〃+/,忸用=5°,則該雙曲線的離心率為（）

R而715

15.--------D.丹

于

5.定義在尺上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),當(dāng)xC[-3,-2]時，/(*)=-*-2,貝!!()

71

A.B.f(s加3)<f(cos3)

小嗚>小。吟6

D.f(2020)>f(2019)

6.設(shè)向量a,6滿足同=2,忖=1,(癡)=60，,則忖+間的取值范圍是

7.已知復(fù)數(shù)z滿足z—2=0,且ze=9,則2=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

8.定義：N{/(x)③g(x)}表示不等式;'(x)<g(x)的解集中的整數(shù)解之和.若/(無)=|咋2尤|,g(x)=a(x-l>+2,

N{/(x)(8)g(x)}=6,則實數(shù)。的取值范圍是

——

A.(℃,1]B.(log23—2,0)C.(2—log26,0]D.(—------,0]

2

9.雙曲線2L=i的漸近線方程為()

2

A.y=土叵X

B.y=±xC.y=±0xD.y=+>j3x

-2

10.某校在高一年級進(jìn)行了數(shù)學(xué)競賽(總分100分)，下表為高一?一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績:

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如圖的算法框圖中輸入的%為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出加，”的值，則根-〃=()

mw0.n-0Jw1I

（季束）

A.6B.8C.10D.12

11.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠2017年至2019年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：2017年該工

廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占40%、27%、33%）,根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）

A.2019年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少

B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯

C.三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩

D.口罩的產(chǎn)量逐年增加

12.E（—c,0）為雙曲線E：「—4=1的左焦點，過點b的直線與圓必+丁=0?交于人、3兩點，（4在尸、B

ab4

3

之間）與雙曲線E在第一象限的交點為P,。為坐標(biāo)原點，若FA=BP，且=-礪°92,則雙曲線后的離心

率為（）

A.75B.-C.好D.5

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/（x）=cosx-&在［0,+°°）的零點個數(shù)為.

14.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題：“今有共買物，人出八，盈三錢；人出七，不足四，問人數(shù)物價各幾何？”

借用我們現(xiàn)在的說法可以表述為：有幾個人合買一件物品，每人出8元，則付完錢后還多3元；若每人出7元，則還

差4元才夠付款.問他們的人數(shù)和物品價格？答：一共有人；所合買的物品價格為_______元.

15.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（402）,P（X<6）=0.78,則P（X<2）=.

2x-y<6

16.設(shè)x,丁滿足約束條件<%+y23,若z=x+3y+a的最大值是10,則。=.

”3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）如圖，橢圓C:j+與=1（?！?〉0）的左、右頂點分別為4,4,上、下頂點分別為耳，當(dāng)，且用（0,1）,

a~b~

4與昆為等邊三角形，過點（1,0）的直線與橢圓c在y軸右側(cè)的部分交于〃、N兩點.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求四邊形與MN用面積的取值范圍.

18.（12分）已知數(shù)列｛為｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，其前九項和為S，滿足q=2,且％，2§2，%成等差數(shù)列.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）若數(shù)列也｝滿足優(yōu)=題2%,求斤—以+公-反+公-年+…+必9-瓦）o的值.

19.（12分）如圖，四棱錐P-A3CD的底面ABC。中，AABD為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角

ZBCD=120°,PCLBD,平面。皮），平面ABC。，以為Q4中點.

（1）求證：￡）“//平面尸5C；

（2）若P"PB,求二面角C—B4—3的余弦值大小.

20.（12分）每年3月20日是國際幸福日，某電視臺隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,

用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù)，結(jié)果見如圖所示莖葉圖，其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為

葉.若幸福度不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“很幸?！?

(I)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕?；

(II)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),

求X的分布列及￡(X).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x+a)ln(x+a)+e*+x.

(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在％=0處的切線方程;

(2)討論函數(shù)〃(x)=/(x)-靖-x的單調(diào)性；

⑶當(dāng)a=0時，若方程%0=/(X)—e'—x=帆有兩個不相等的實數(shù)根%,馬,求證：In(%+X2)〉ln2-1.

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系二二二中，以二為極點，二軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線二:

-,直線-的參數(shù)方程為(-為參數(shù)).直線-與曲線-交于兩點.

二COST二一一二sin二

(I)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程(不要求具體過程);

(H)設(shè)一若一，一，-成等比數(shù)列，求的值.

，?A1IUMTI|ULa/1|UMTIXA

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

f-Z（l-z）-l-i11.

z-----------=---=----1

1+z（1+z）（l-0222

故選：D.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結(jié)果.

【詳解】

由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為2高為1的三角形，其面積都是

4xlx2=l,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為1+1=2,

2

故選：A.

【點睛】

本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.

【詳解】

x+y<10

做出滿足x-丁《2的可行域，如下圖陰影部分，

x>4

根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y過點A時，取得最小值，

x=4fx=4

由解得即44,2），

x-y=2[y=2

所以z=2x+3y的最小值為14.

故選：D.

【點睛】

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

由題可知|。4|=°=3片閭，g=90。，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得|相|=恒閭+2a,對孔明5有

|前『+|陰2=網(wǎng)「，

即閭+2可閭+3a）2=（5a）2,解得,閭=即再對RtA4￡%由勾股定理可得/+（3姨=（2c）?,化簡

即可求解

【詳解】

如圖，因為|明=5〃，所以忸囚=5a—2a=3a.因為|。4|=。=3片閭所以/呼4瑪=90。.

在RtA65中，|然『+W同2=忸周2,即（卜村+242+（卜閭+3“=（5。）2,

得|A/』=a,則=a+2a=3a.在RtZ\A4月中，由a?+（3a）2=（2。丫得6=￡=，^.

故選：B

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題

5.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及xd［-3,-2］的解析式，可作出函數(shù)/(x)在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項判斷即可.

【詳解】

由/(x+2)=/G),得/(x)是周期函數(shù)且周期為2,

先作出/(X)在-2］時的圖象，然后根據(jù)周期為2依次平移,

并結(jié)合/(x)是偶函數(shù)作出/(x)在尺上的圖象如下,

選項A,O<sin—=—<=cos—<1,

6226

所以/［沅￡</卜。5彳n，選項A錯誤;

6

選項B,因為二-<3<］，所以O(shè)Vs加3〈'^V—cos3<l，

42

所以f(si"3)</(-cos3),即/(si〃3)<f(cos3),選項B正確;

選項

c,Sm—^-^,cos—=--,\>-sin—>-cos—>Q,

323233

所以了(一5，子4乃，即/(s加與。畤

-cos——

3

選項C錯誤;

選項D,/(2020)=/(O)<f(1)=/(2019),選項D錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)值的大小比較，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

6.B

【解析】

由模長公式求解即可.

【詳解】

|tz+|=J(a+tb)~=y]ci~+2tz,bt+t~b~=，4+2f+廠=+1)~+32y/3,

當(dāng)/=—1時取等號，所以本題答案為B.

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

設(shè)2=。+4?，則5=a—初，利用z-2=0和z-5=9求得即可.

【詳解】

設(shè)2=。+沅，則彳-a-bi,

因為z—5=0,則(a+6)一(a—6)=2次=0,所以6=0,

又zN=9,即42=9,所以a=±3,

所以z=±3,

故選:C

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用，考查共甄復(fù)數(shù)的應(yīng)用.

8.D

【解析】

2

由題意得，N{f(x)?g(x)}=6表示不等式|log2x|<a(x-I)+2的解集中整數(shù)解之和為6.

當(dāng)a>0時，數(shù)形結(jié)合(如圖)得llogzxK。(尤-iy+2的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個，|1082尤|<。(了-1)2+2解集中的

整數(shù)解之和一定大于6.

當(dāng)嗎。時，g(x)=2,數(shù)形結(jié)合(如圖)，由小)<2解得.在。4)內(nèi)有3個整數(shù)解’為L2,31滿足

N{7(元)(8)g(x)}=6,所以a=0符合題意.

當(dāng)a<0時,作出函數(shù)/（尤）=|log?尤I和gO）=a（尤-l）?+2的圖象，如圖所示.

若N{7(x)?g(x)}=6,即llog?龍|<。(龍一1)2+2的整數(shù)解只有1,2,3.

”且⑶Jlog3<4a+2log,3-2“八log,3-2

只需滿足-2c-，解得—<a<0,所fiC以h|一^—<a<0n.

1/(4)>g(4)|2>9a+244

綜上，當(dāng)N{/（x）③或無）}=6時，實數(shù)a的取值范圍是（幽尹⑼.故選D.

9.C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.

【詳解】

2

雙曲線下—匕=1,

2

二雙曲線的漸近線方程為y=上應(yīng)x,

故選：C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.

10.D

【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出〃，相的意義，由此求得加，”的值，進(jìn)而求得的值.

【詳解】

由題意可得n的取值為成績大于等于90的人數(shù)，m的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù)，故加=24,”=12,

所以機(jī)—“=24—12=12.

故選：D

【點睛】

本小題考查利用程序框圖計算統(tǒng)計量等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

11.C

【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項的

正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

由于該工廠2017年至2019年的產(chǎn)量未知，所以，從2017年至2019年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法

比較，故A、B、D選項錯誤；

由堆積圖可知，從2017年至2019年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最

多的是口罩，C選項正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

3。

過點。作廠，可得出點"為A5的中點，由=-赤可求得C0S/AO5的值，可計算出

cos笞理的值，進(jìn)而可得出叫，結(jié)合=可知點〃為P尸的中點，可得出歸尸|,利用勾股定理求得怛耳

（廣為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.

【詳解】

如下圖所示，過點。作設(shè)該雙曲線的右焦點為b'，連接PP.

OA-OB=——c-~~~c-cosNAOB=——c2?cosAAOB=----.

2210025

...8s3=Jl+cosNAOB=...M=儂c°s幺嘰丸，

2V2525

FA=BP，：.M為PF的中低，：.PF7/0M，NFPF'=9。＞\PF'\=2\OM\=^~,

.?.|PF|=7（2c）2-|PFf=1,

由雙曲線的定義得|PF|-|P尸|=2a,即g=2a,

因此，該雙曲線的離心率為e=￡=5.

a

故選：D.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

本問題轉(zhuǎn)化為曲線y=cosx,y=&(xe[0,+8))交點個數(shù)問題，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)

y=cosx,y=G(xe[0,+8))的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】

問題函數(shù)/(x)=cosx—在[0,+co)的零點個數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線y=cosx,y=?(Xe[0,+8))交點個數(shù)問題.

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)y=cosx,y=?（xe[0,+8））的圖象，如下圖所示:

由圖象可知：當(dāng)xe[O,+s）時，兩個函數(shù)只有一個交點.

故答案為：1

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

14.753

【解析】

根據(jù)物品價格不變，可設(shè)共有x人，列出方程求解即可

【詳解】

設(shè)共有x人，

由題意知8x-3=7x+4,

解得x=7,可知商品價格為53元.

即共有7人，商品價格為53元.

【點睛】

本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.0.22.

【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x=ji對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可。

【詳解】

P（X<2）=l-P（X<6）=0.22

【點睛】

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題.

7

16.——

2

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

97

故可得10=—+9+。，解得——.

22

7

故答案為：-7.

【點睛】

本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x2(3,而

17.(1)---y-9=1；(2)—,1+——.

31--(23_

【解析】

(1)根據(jù)用坐標(biāo)和的與均為等邊三角形可得。涉，進(jìn)而得到橢圓方程；

(2)①當(dāng)直線斜率不存在時，易求坐標(biāo)，從而得到所求面積；②當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)方程為

y=Zr(x-l),與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，并確定k的取值范圍；利用S=S*+SAOMN+SAMOB2,代

73

入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得S關(guān)于左的表達(dá)式，采用換元法將問題轉(zhuǎn)化為S=

m+±-26me

m

域的求解問題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.

【詳解】

(1)4(0,1),."=1,

_2

的百色為等邊三角形，揚(yáng)=6，；?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\+/=1.

(2)設(shè)四邊形的面積為s.

B2MNBX

①當(dāng)直線MN的斜率不存在時，可得〃

.,S=lxf2+^xl=l+^

2I3J3

②當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=k(x-1),

設(shè)時（4％），N（9,%），

「2

尤?2_]

聯(lián)立（耳+y一得：（3左2+1）尤2—6左2%+3左2—3=0,

y=^（x-1）

6k23k2—3.26|左|，2-2+1

?F+X2=^TT7r小「封誹（國一馬）卜一—

xt>0,x2>0,z.xrx2>0,.\|^|>1,

面積

11_3k26\kN2k2+1_3

S=S4NOB]+S^OMN+=7x（x1+%2）*]+彳義]/一必卜]3k2+13k2+1Q1

223+P

Vsx、2+—j

+J

3+F

令仁則5=胃，

n_y/3

令加=%+石，則S=,77——二一4c6,+百,2百)，

m2-2^3m+4mH2.3'

m

s(m)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，|<S<1+豐.

綜上所述：四邊形4MN用面積的取值范圍是；,1+".

【點睛】

本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問題；關(guān)鍵是

能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問題.

18.(1)q=22"T(〃GN*)(2)-20000

【解析】

(1)由公比q表示出生，。3,52，由。2,2S2，生成等差數(shù)列可求得彘從而數(shù)列的通項公式；

(2)求(1)得句，然后對和式月-尺+屆-#+公-發(fā)+…+酸-瓦)0兩兩并項后利用等差數(shù)列的前〃項和公式可

求解.

【詳解】

(1)???｛凡｝是等比數(shù)列，且。2,2$2,生成等差數(shù)列

/.4S2=a2+03,即4(4+4Q)=0tq+44?

；.4+4q=q+q2,解得：q=—1或q=4

*：q>0,?'q=4

Vq=2

2-4n-'=22n-'(HeA^,)

(2)=log2a?=2n-l

???l2-32+52-72+---+1972-1992

=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+???+(197-199)(197+199)

=(—2)(l+3+5+7+…+199)

c1+199

=-2----------100

2

=-20000

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查并項求和法及等差數(shù)列的九項和公式.本題求數(shù)列通項公式所用方法為基本量法,

求和是用并項求和法.數(shù)列的求和除公式法外，還有錯位相關(guān)法、裂項相消法、分組(并項)求和法等等.

19.(1)見解析；(2)叵

7

【解析】

(1)設(shè)中點為N,連接MN、DN,首先通過條件得出CBLAB,加。可得DN//BC,進(jìn)而可得

DN//平面PBC,再加上ACV//平面尸3C,可得平面QMN//平面尸5C,則DM7/平面「5C；

(2)設(shè)3。中點為。，連接AO、CO,可得尸0,平面ABCD,加上班＞，平面PCO,則可如圖建立直角坐標(biāo)系

O-xyz,求出平面R鉆的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：設(shè)中點為N,連接MN、DN,

_ABD為等邊三角形,

:.DN±AB,

DC=CB,ZDCB=120°,

:.ZCBD=30°,

.?.ZABC=60o+30°=90°,即CBLAB,

DNLAB,

：.DN//BC,

■：BCu平面PBC,DN<z平面PBC,

:.DN//平面PBC,

MN為△PAB的中位線，

:.MN//PB,

-Mu平面「5C,MN6平面PBC,

:.MN//平面PBC,

MN、DN為平面。肱V內(nèi)二相交直線，

???平面DMN//平面PBC,

ZM/u平面OMN,

」.￡)河7/平面「5c；

(2)設(shè)BD中點為。，連接A。、CO

m為等邊三角形，5CD是等腰三角形，且頂角N5CD=120。

:.AO±BD,COLBD,

.-.A,C、。共線，

PC±BD,BD±CO,PCCO=C,PC,COu平面PCO

..班)，平面PCO.

POu平面PCO

:.BD^PO

平面平面ABCD，交線為BD,POu平面尸

.,.POL平面ABCD

設(shè)AB=2,則AO=3

在BCD中，由余弦定理，得：BD2=BC~+CD2-2BCCD-cos/BCD

又BC=CD,

.-.22=2BC2-2BC2COS120°?

.__2百_百

..Cr/R)—CrznJ-----，CC7-----，

33

PD±PB,。為BD中點，

:.PO=-BD=1,

2

建立直角坐標(biāo)系。-孫z(如圖)，則

C-日,0,0,<(o,o,l),A(A/3,0,0),3(0,1,0).

I3)

.?.BA=(A/3,-1,0),PA=(^,0,-1),

設(shè)平面R43的法向量為〃=(%,%z),貝！

n-BA=0y/3x-y=0

n-PA=O-z=0

取x=l,則y=z=后，

平面PAC的法向量為OB=(0,1,0),

cos（n,OB）=

'/W?網(wǎng)7

二面角C—B4—5為銳角,

二二面角C-K4-3的余弦值大小為叵.

7

【點睛】

本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學(xué)生計算能力和空間想象能力，是中檔題.

199

20.(I)“a.(II)見解析.

204

【解析】

(1)18人中很幸福的有12人，可以先計算其逆事件，即3人都認(rèn)為不很幸福的概率，再用1減去3人都認(rèn)為不很幸福

的概率即可；(II)根據(jù)題意，隨機(jī)變量X5b,列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可.

【詳解】

(I)設(shè)事件A=｛抽出的3人至少有1人是“很幸?！钡?,則無表示3人都認(rèn)為不很幸福

199

P（A）=1-P（A）=1-=1-高

204

(II)根據(jù)題意，隨機(jī)變量X-5^3,1

,X的可能的取值為0』,2,3

Pg"%）4；P（X=l）=^x|xgJ=|

…）5肌$P（X=3）NJW

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

1248

P

279927

］248

所以X的期望E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=2

v'T19927

【點睛】

本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項分布問題，屬于常規(guī)題型.

21.⑴3x-y+l=0；(2)當(dāng)時，//(%)在(一。一一a1上是減函數(shù);當(dāng)時，在

上是增函數(shù)；(3)證明見解析.

【解析】

(1)當(dāng)。=1時，f(x)^(x+l)ln(x+l)+ex+x,求得其導(dǎo)函數(shù)f'(x),f'(0),f(0),可求得函數(shù)/(尤)的圖象在

x=0處的切線方程；

(2)由已知得7z(x)=/(x)-eX-x=(x+a)ln(x+a)(x>-a),得出導(dǎo)函數(shù)"(x)=ln(x+a)+l,并得出導(dǎo)函數(shù)取

得正負(fù)的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)。=0時，h(x)=xlnx,hXx)=lnx+l,由(2)得/z(x)的單調(diào)區(qū)間，以當(dāng)方程必乃="有兩個不相等的

實數(shù)根占,馬，不妨設(shè)占，且有。<藥<±1<*2<1，--<m<Q,構(gòu)造函數(shù)〃(%)=%(％)-/212-4,(0<了<，］,

分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，所證的不等式可得證.

【詳解】

(1)當(dāng)a=l時，/(%)=(%+1)ln(x+l)+ex+x,

所以/'(x)=ln(x+l)+l+/+l=ln(x+l)+eX+2,二/'(O)=3"(0)=1,

所以函數(shù)/Xx)的圖象在％=0處的切線方程為y—l=3(x—O),即3x—y+l=O；

(2)由已知得7z(x)=/(x)-e*-x=(x+a)ln(x+a)(x〉-a),二/(x)=ln(x+a)+l,令/z'(x)=O,^x=--a,