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文檔簡介

2024年云南省紅河州高考數(shù)學第二次統(tǒng)測試卷

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個選項中,只有,

項是符合題目要求的

1.(5分)已知復數(shù)2=(2+z)(1-/),貝憫=()

A.V2B.2C.V5D.V10

2.(5分)設集合A={0,1,2},B={3,m},若AC8={2},則AU8=()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2)C.{1,2,3}D.{2,3}

―—T

3.(5分)已知向量a=(1,—2),b=(—1,-2),設a與b的夾角為0,則sin6=(

3344

A.-HB.-C.-HD.

5555

4.(5分)在(2-?)7的展開式中,含/的項的系數(shù)為()

A.-280B.280C.560D.-560

22

5.(5分)已知雙曲線C;/臣-葛=1(6>0)的實軸長等于虛軸長的2倍,則C的漸近

線方程為()

A.y=±^xB.y=±^-xC.y=±2xD.y=±V2x

11

6.(5分)已知a,6均為正實數(shù),則“一〉一”是“整+2.>3°〃,的()

ab

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.(5分)孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法,是數(shù)論中一個重要定理,最早可

見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》,1852年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題

的解法傳至歐洲,1874年英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余

式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個整除問題:將1

至2024這2024個整數(shù)中能被2除余1且被3除余2的數(shù),按從小到大的順序排成一列,

把這列數(shù)記為數(shù)列{即}.設勾=(a)而,則等()

bn

A.8B.16C.32D.64

8.(5分)已知函數(shù)f(x)=另y-久3,對于任意的2],不等式/(罟)+f(一孚一)

,十,x1(x—1)(%—6)

VI恒成立,則實數(shù)t的取值范圍為()

A.(1,+8)B.[-1,1]C.(-8,-1]D.(-8,-1)

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多

項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。

(多選)9.(5分)如圖所示,圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑,則下列選項中正確的

A.圓錐的軸截面為直角三角形

B.圓錐的表面積大于球的表面積的一半

C.圓錐側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為7T

D.圓錐的體積與球的體積之比為1:4

(多選)10.(5分)若圓。J%2+y2+2%—3=0與圓。2:%2+y2—2y-1=0交于A,

2兩點,則下列選項中正確的是()

A.點(1,-1)在圓02內

B.直線42的方程為x+y-1=0

C.圓01上的點到直線AB距離的最大值為2+V2

D.圓。2上存在兩點尸,Q,使得|PQ|>|AB|

(多選)11.(5分)己知函數(shù)/(%)=7-x-/?%,則下列選項中正確的是()

1

A-〃2)>抬)

B.f(x)既有極大值又有極小值

C.若方程機=/(|x|)有4個根,則:底(0,+8)

D.若/'(XI)=/(X2)(無1#X2),貝!JX1X2-(X1+X2)+1<0

(多選)12.(5分)某種高精度產(chǎn)品在研發(fā)后期,一企業(yè)啟動產(chǎn)品試生產(chǎn),假設試產(chǎn)期共

有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線且每天的生產(chǎn)數(shù)據(jù)如下表所示:

生產(chǎn)線次品率產(chǎn)量(件/天)

甲5%500

乙3%700

丙4%800

試產(chǎn)期每天都需對每一件產(chǎn)品進行檢測,檢測方式包括智能檢測和人工檢測,選擇檢測

方式的規(guī)則如下:第一天選擇智能檢測,隨后每天由計算機隨機等可能生成數(shù)字“0”或

“1”,連續(xù)生成5次,把5次的數(shù)字相加,若和小于4,則該天檢測方式和前一天相同,

否則選擇另一種檢測方式.則下列選項中正確的是()

A.若計算機5次生成的數(shù)字之和為厚則P(fV4)=/

B.設4表示事件第〃天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測,貝UP(4n)=

53

C.若每天任檢測一件產(chǎn)品,則這件產(chǎn)品為次品的概率為3.75%

25

D.若每天任檢測一件產(chǎn)品,檢測到這件產(chǎn)品是次品,則該次品來自甲生產(chǎn)線的概率為一

78

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.(5分)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù),當尤>0時,f(x)=l+log^,貝U/(-2)

+f<0)=-

14.(5分)已知橢圓E;1+*=1的右焦點為R直線/:3y=0(mGR)交E于A,

B兩點,且BP,無軸,貝U|A尸尸.

15.(5分)已知函數(shù)f(x)=2s譏(we—$?CN*)在[0,勺上恰好有三個零點,請寫出符

合條件的一個3的值:.

16.(5分)如圖,在棱長均相等的斜三棱柱ABC-A18C1中,ZArAB=N&AC=BM=

->—>_____?—>

4BB1,CN=N西,若存在入e(0,1),ne(o,1),使a“-BN=o成立,則入+四的最

小值為_______________________.

五、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,記△ABC的面積為S,已

,a2+b2-c2廠/—

知---------=6V2,a=y2b

cosC

(1)求mb\

(2)請從①S=*(Q2+c?—62);②bcos/+¥a=c;③bsinA=acos(B―今.三個

條件中任選一個,試探究滿足條件的△ABC的個數(shù),并說明理由.

注:如果選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.

18.(12分)某網(wǎng)絡購物平臺專營店統(tǒng)計了某年2月15日至19日這5天在該店購物的人數(shù)

y(單位:人)的數(shù)據(jù)如下表:

日期2月15日2月16日2月17日2月18日2月19日

日期代號X12345

購物人數(shù)y77849396100

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立y關于尤的一元線性回歸模型,并根據(jù)該回歸模型預測當年2

月21日在該店購物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù));

(2)為了了解參加網(wǎng)購人群的年齡分布,該店隨機抽取了200人進行問卷調查.得到如

下所示不完整的2X2列聯(lián)表:

年齡不低于40歲低于40歲合計

參與過網(wǎng)上購物30150

未參與過網(wǎng)上購物30

合計200

將列聯(lián)表補充完整,并依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值a=0.005的獨立性檢驗,能否認為“參

與網(wǎng)上購物”與“年齡”有關.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=整8-尤)(%;,,a=y_

求1(無「幻

A2

,_2_n(ad—bc)

bXfX=(a+b)(c+d)(a+c)3+dy

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

19.(12分)如圖,已知。E_L平面ABC。,四邊形為等腰梯形,AB//DC,BF//DE,

£>C=2AZ)=4,DE=3BF=3.

(1)證明:A/〃平面OCE;

(2)若BO_LFC,求平面AM與平面8DEF的夾角的大小.

11

20.(12分)已知數(shù)列{劭}的前〃項積為且滿足一+—=1.

anTn

(1)求〃1,CL2的值;

(2)試猜想數(shù)列{劭}的通項公式,并給予證明;

(3)若篇=給,記數(shù)歹U{力,}的前〃項和為S,證明:Sn<2.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=lnx-x.

(1)求/(x)在(e,f(e))處的切線方程;

1

(2)設函數(shù)g(%)=于+aER,求g(%)的極值.

22.(12分)已知拋物線C:b=2。尤(p>0)的焦點到準線的距離為1,。為坐標原點,A,

2是C上異于。的不同的兩點,且滿足0ALA2,點M為△AOB外接圓的圓心.

(1)求動點M的軌跡方程;

(2)當△AOB外接圓的面積最小時,求A,B兩點的坐標.

2024年云南省紅河州高考數(shù)學第二次統(tǒng)測試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個選項中,只有,

項是符合題目要求的

1.(5分)已知復數(shù)2=(2+i)(1-z),則|z|=()

A.V2B.2C.V5D.V10

【答案】D

【分析】利用復數(shù)模的求解公式化簡即可求解.

【解答】解:由z=(2+0(1-z)=2+1-2z+z=3-i,

則|z|=J32+(-1產(chǎn)=V10.

故選:D.

【點評】本題考查了復數(shù)模的求解,屬于基礎題.

2.(5分)設集合A={0,1,2],8={3,m],若AC8={2},貝!JAU8=()

A.[0,1,2,3}B.[0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【分析】利用交集、并集定義直接求解.

【解答】解:集合A={0,1,2),B={3,m],

由Ang={2},得m=2,

所以B={2,3},

.,.AUB={0,1,2,3).

故選A.

【點評】本題考查交集、并集定義等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.

TTTT

3.(5分)已知向量a=(1,-2),b=(-1,—2),設a與b的夾角為0,則sin0=()

3344

A.一己B.-C.一亡D.一

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件,結合向量的夾角公式,以及三角函數(shù)的同角公式,即可求解.

【解答】解:2=(1,-2),5=(一1,-2),

則w”就=能4

又因為eqo,n],

-------------4

所以sing=V1-cos29=+

故選:D.

【點評】本題主要考查向量的夾角公式,屬于基礎題.

4.(5分)在(2—FA的展開式中,含/的項的系數(shù)為()

A.-280B.280C.560D.-560

【答案】B

【分析】直接利用二項式系數(shù)的展開式求出結果.

k

【解答】解:由二項展開式的通項公式得〃+1=療27-y_1)32,左=0,1,2,-7,

kc

令&=2得%=4,所以7的系數(shù)為小23(_1)4=280.

故選:B.

【點評】本題考查的知識點:二項式系數(shù)的展開式,主要考查學生的運算能力,屬于基

礎題.

22

5.(5分)已知雙曲線C;喘短-器=1(6>0)的實軸長等于虛軸長的2倍,則C的漸近

線方程為()

A.y=+^xB.y=±孝久C.y=±2xD.y=+y/2x

【答案】C

【分析】由題意設C的漸近線方程為y=根據(jù)題目條件可知a=2b,進而可得雙

曲線的漸近線方程.

【解答】解:因為冽>0,所以雙曲線C的焦點在y軸上,

V2久2

設雙曲線。的標準方程為—y—六=1(〃>0,。>0),

azbz

所以雙曲線C的漸近線方程為y=

又因為實軸長等于虛軸長的2倍,即a=2b,

所以C的漸近線方程為>=±2尤.

故選:C.

【點評】本題主要考查了雙曲線的性質,屬于基礎題.

11

6.(5分)已知a,b均為正實數(shù),則“一〉一”是“『+2廿>3°b”的()

ab

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】運用不等式的性質,證明充分性,否定必要性即可.

11

【解答】解:因為a,b均為正實數(shù),若一〉工,則心。>0;

ab

若。2+2Z?2>3ab,貝!](fl-2b)(a-b)>0,即a>26>0或b>a>0;

11

所以“一>/'是“『+2/>3仍”的充分不必要條件.

ab

故選:A.

【點評】本題主要考查不等式的性質,屬于基礎題.

7.(5分)孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法,是數(shù)論中一個重要定理,最早可

見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》,1852年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題

的解法傳至歐洲,1874年英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余

式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個整除問題:將1

至2024這2024個整數(shù)中能被2除余1且被3除余2的數(shù),按從小到大的順序排成一列,

把這列數(shù)記為數(shù)列{斯}.設%=(a)〃,則牛1=()

A.8B.16C.32D.64

【答案】A

【分析】由題中條件可得數(shù)列{礪}是一個首項為5,公差為6的等差數(shù)列,從而可求得數(shù)

列{為}的通項公式,再計算即可求得比值.

【解答】解:將1至2024這2024個整數(shù)中被2除余1且被3除余2的數(shù)按從小到大的

順序排成一列,把這列數(shù)記為數(shù)列{?}.

則數(shù)列{斯}是首項為5,公差為6的等差數(shù)列,

所以即=5+(n-1)x6=6n-1(1<n<337,N*),

所以勾=(V2)a"=(a嚴t,

所以智=(g)6=8.

(向6…

故選:A.

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法,屬于基礎題.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=焉-%3,對于任意的尤6(1,2],不等式/(罟)+/(一—一)

e_|_±x1(x-1)(x-6)

VI恒成立,則實數(shù)t的取值范圍為()

A.(1,+8)B.[-1,1]C.(…,-1]D.(-8,-1)

【答案】C

【分析】由題意可得了(無)=1-7(-尤),/(無)在R上單調遞減,所以不等式/(禺)+

/(一孚一)VI恒成立,等價于二>-,八在xe(b2]上恒成立,即(X+1)

(X-1)2(X-6)x-1(%-1)2(%-6)

(x-1)(x-6)<-(什1)恒成立,設p(x)=(x+1)(x-1)(%-6),xE(1,2],

利用導數(shù)求出函數(shù)p(x)在在(1,2]的最值即可得答案.

【解答】解:因為/(%)=島;—爐,xGR,易知/(%)在R上單調遞減,

1c1

所以/'(-X)=^+1+尤3=+13,

所以/(-x)+f(X)=1,

所以f(X)=1-/(-X),

又因為對于任意的在(1,2],不等式/(罟)+/(一宇一)vi恒成立,

%T(x-l)Z(x-6)

t+1)<1/詈=”禺)恒成立,

即對于任意的在(1,2],不等式/(

(%-1)2(%-6)

_14-1%+1

所以7—=7—77>——7在%€(1,2]上恒成立,

(%-1)2(%-6)x-1

即“二>-;——77—在%€(1,2]上恒成立.

x-1(%-1)2(%-6)

由(1,2],知x-l>0,x-6<0,

所以當xE(1,2]時,上式等價于(%+1)(x-1)(x-6)<-(Z+1)恒成立.

設p(x)=(x+1)(x-1)(x-6)=/-6/-x+6,xE(1,2],

p'(%)=3?-12x-1,開口向上,對稱軸為x=2,

當石(1,2]時,p'(x)<pr(1)=-10<0,

所以p(x)在比(1,2]內單調遞減,而p(1)=0,

所以p(x)<0,

所以OW-(r+1),即fW-1.

故選:C.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調性、轉化思想,考查了導數(shù)的綜合運用,屬于中檔題.

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多

項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。

(多選)9.(5分)如圖所示,圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑,則下列選項中正確的

是()

A.圓錐的軸截面為直角三角形

B.圓錐的表面積大于球的表面積的一半

C.圓錐側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為7T

D.圓錐的體積與球的體積之比為1:4

【答案】ABD

【分析】設球的半徑為R,則圓錐的底面圓半徑和高都是R,由此判斷選項中的命題是否

正確即可.

【解答】解:對于A,設球的半徑為R,如圖所示:OB=OA=OC=R,

所以/氏4。=/衣40+/040=^+£=焉選項A正確;

對于B,圓錐的表面積為

S維=7TR2+兀?R-&R=兀R2+5R2=(1+夜)獻,

球的表面積為5球=4nR2,

1

所以S維>/鏟選項8正確;

對于C,圓錐的母線長為&R,底面周長為2TTR,

所以圓錐側面展開圖中圓心角的弧度數(shù)為百、/Lr,選項。錯誤;

114

對于O,嚷=方.兀/?2.R="R3,"=》R3,

V椎1

所以—=一,選項£>正確.

V球4

故選:ABD.

【點評】本題考查了球和圓錐的結構特征應用問題,也考查了推理與運算能力,是基礎

題.

(多選)10.(5分)若圓01:*2+y2+2乂_3=0與圓。2:x2+y2-2y-l=0交于A,

8兩點,則下列選項中正確的是()

A.點(1,-1)在圓02內

B.直線的方程為x+y-1=0

C.圓6>1上的點到直線AB距離的最大值為2+V2

D.圓。2上存在兩點尸,Q,使得|尸。|>|43|

【答案】BC

【分析】直接利用點到直線的距離公式以及圓與圓的位置關系求出結果.

【解答】解:對于A,因為P+(-1)2_2X(-I)-1=3>0,所以點(1,-1)在

圓。2外,故A錯誤;

對于8,圓。1;/+y2+2%—3=0與圓。2;/+y2-2y-1=0交于A,B兩點,因

為圓01和圓02相交,將兩圓相減可得:x+y-1=0,即公共弦A3所在直線的方程為x+y

-1=0,故B正確;

對于C,圓01的圓心坐標為(-1,0),半徑為2,圓心O1到直線A2:x+y-1=0的距

離d=^^=夜,所以圓°】上的點到直線AB距離的最大值為2+近,故C正確;

對于£),直線經(jīng)過圓。2的圓心(0,1),所以線段AB是圓。2的直徑,故圓。2中不

存在比A8長的弦,故。錯誤.

故選:BC.

【點評】本題考查知識點:圓與圓的位置關系,點到直線的距離公式,主要考查學生的

運算能力,屬于基礎題.

(多選)11.(5分)已知函數(shù)/(x)=x2-x-lux,則下列選項中正確的是()

A-〃2)>啰1)

B.f(x)既有極大值又有極小值

C.若方程機=/(|x|)有4個根,則皿(0,+8)

D.若/(XI)=/(X2)(X1WX2),貝!JX1X2-(X1+X2)+1<0

【答案】ACD

【分析】對于A:計算/0),/(2),并比較大小,即可判斷A是否正確;

對于8:求導分析/(x)的符號,/(x)的單調性,即可判斷8是否正確;

對于C:把/(無)圖象關于y軸對稱翻折到y(tǒng)軸左側,即可得到了(|可)的圖象,方程相

=/(kl)有4個根等價于函數(shù)>=機與函數(shù)y=f(|尤|)的圖象有4個交點,即可判斷選項

C正確;

對于。:X1X2-(尤1+X2)+1=(XI-1)(X2-1由圖可知:0<尤1<1<%2或0<X2<l<

XI,即可判斷。選項是否正確.

【解答】解:對于A:=ln2--<l,f(2)=2-歷2>1,

1

所以/(])故A正確;

對于2:/(%)的定義域為(0,+8),

r//、r?12X2-X-1(2X+1)(X-1)

f(X)=2x—1——=--------=---------

'''xxx

當尤e(0,1)時,f'(無)<0,

當尤e(1,+8)時,f(無)>o,

所以/(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞增,

所以/(X)只有極小值沒有極大值,故B錯誤;

對于C:由8選項的解析知,f(x)的最小值為/(I)=0,

當x-*0時,f(x)-*+°°;當xf+8時,f(x)f+8,

把/(無)圖象關于y軸對稱翻折到y(tǒng)軸左側,即可得到了(國)的圖象,如圖所示:

1u

y=m

方程小二/^因)有4個根等價于函數(shù)>=相與函數(shù)(|x|)的圖象有4個交點,則山6

(0,+8),故C正確;

對于D:XI尤2-(X1+X2)+1=(XI-1)(X2-1),

若/'(無1)=f(X2)(X1WA2),由圖可知:0<Xl<l<X2或0<X2<l<Xl,

所以(XI-1)(X2-1)<0,故D正確.

故選:ACD.

【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用,解題中注意轉化思想的應用,屬于中檔題.

(多選)12.(5分)某種高精度產(chǎn)品在研發(fā)后期,一企業(yè)啟動產(chǎn)品試生產(chǎn),假設試產(chǎn)期共

有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線且每天的生產(chǎn)數(shù)據(jù)如下表所示:

生產(chǎn)線次品率產(chǎn)量(件/天)

甲5%500

乙3%700

丙4%800

試產(chǎn)期每天都需對每一件產(chǎn)品進行檢測,檢測方式包括智能檢測和人工檢測,選擇檢測

方式的規(guī)則如下:第一天選擇智能檢測,隨后每天由計算機隨機等可能生成數(shù)字“0”或

“1”,連續(xù)生成5次,把5次的數(shù)字相加,若和小于4,則該天檢測方式和前一天相同,

否則選擇另一種檢測方式.則下列選項中正確的是()

A.若計算機5次生成的數(shù)字之和為己,貝UP(fV4)=/

B.設〃》2,4表示事件第〃天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測,貝iJP(4n)=

赳4一】)+磊

C.若每天任檢測一件產(chǎn)品,則這件產(chǎn)品為次品的概率為3.75%

25

D.若每天任檢測一件產(chǎn)品,檢測到這件產(chǎn)品是次品,則該次品來自甲生產(chǎn)線的概率為一

78

【答案】BD

【分析】根據(jù)二項分布,相互獨立事件的概率乘法公式以及古典概型可解.

【解答】解:對于A,因為S?3(5,P(f>4)=C式扔+^(-1)5=擊所以p(f<4)=

]一金=弗,故A錯誤;

對于C,設每天任檢測一件產(chǎn)品,這件產(chǎn)品是次品為事件3,這件產(chǎn)品來自甲,乙,丙

三條生產(chǎn)線分別為事件Ci,Ci,C3,則由P(3)=P(B|Ci)P(Ci)+P(BIC2)P(C2)

+P(B|C3)P(C3)=5%X^+3%X^+4%X^==3.9%,故C錯誤;

對于B,由2(41)=204"4_1必/_1)+。(41'-1)。出-1)=獲。(%-1)+得(1—

CR

P(4tT))=WPGVi)+亮,故8正確;

金*

對于。,由c選項的解析可知P(G|B)=嚅=而,故。正確.

2000

故選

【點評】本題考查二項分布,相互獨立事件的概率乘法公式以及古典概型相關知識,屬

于中檔題.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.(5分)已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=l+log2x,則/(-2)

+f(0)=-2.

【答案】-2.

【分析】由已知結合奇函數(shù)定義及性質即可分別求解.

【解答】解:因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=l+10g4,

所以7(2)=l+log22=2,/(-2)=-f(2)=-2,

由奇函數(shù)性質可得,/(0)=0,

則/(-2)V(0)=-2+0=-2.

故答案為:-2.

【點評】本題主要考查了奇函數(shù)的定義及性質在函數(shù)值求解中的應用,屬于基礎題.

14.(5分)已知橢圓E:餐+哈=1的右焦點為R直線/:3+3y=0(mGR)交E于A,

10

B兩點,且B尸,無軸,貝川=可.

【答案】y.

【分析】作出圖形,根據(jù)橢圓的幾何性質,即可求解.

【解答】解::橢圓E:9+*=1的右焦點尸的坐標為(1,0),

由2尸口軸,可得|8用=小設橢圓E的左焦點為R),

則由橢圓的對稱性易知:四邊形AFoBF是平行四邊形,如圖:

:.\AFo\=\BF\,又結合橢圓的定義可得:

|AF|+|AFo|=|AF|+|BF|=2a=6,

8

-6--=130

3

故答案為:—.

【點評】本題考查橢圓的幾何性質,屬基礎題.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)=2s譏?xT)?eN*)在[0,芻上恰好有三個零點,請寫出符

合條件的一個3的值:7或8或9(答案不唯一).

【答案】7或8或9(答案不唯一).

【分析】根據(jù)圖象特點,分別確定其從x軸正半軸開始的三個零點坐標即可.

【解答】解:f(x)M2sin(a)x-J),V/(0)=2sin(-J)=-V3,且3>0,

.,.令—得=0,=在,(x)位于X軸正半軸的第一個零點為x=在,

又二T=-=—,故f(x)的第二個零點為I=總+義7=普,

2CO360§3233

/(X)的第三個零點為尤=篇+*7=會,

/(x)的第四個零點為%=會+*7=招,

由題知/(x)在[0,爭上有三個零點,.?.藐W5V與丁,.<WaVlO,XVweN,

,3的值為7或8或9.

故答案為:7或8或9(答案不唯一).

【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質,屬于中檔題.

16.(5分)如圖,在棱長均相等的斜三棱柱ABC-4B1C1中,ZArAB=乙4遇。=卜BM=

->->____>—>

ABB.,CN=uCC[,若存在入6(0,1),Lie(0,1),使AM?BN=0成立,貝!I入+四的最

小值為V2-5.

G

【答案】V2-4,

—>—TT,TT,1

【分析】設AB=a,AC-b,AAr=c,\a\—\b\—|c|=1,根據(jù)ZM?BN—0,得—5+

鄉(xiāng)+川=0,再利用基本不等式求得最值.

—————TTT->

【解答】解:設=a,AC-b,AAr=c,\a\=\b\=\c\=1,

則由題意有。-b=b'C=a-c=lxlxcos^=*,

TTT—fTTTT—T

又AM=AB+BM=a+Ac/BN—BC+CN=b—a+/ic,

TT—>—>_>—>

因為AM?BN=3所以(a+Zc)?(fa-a+〃c)=0,

——>~~~>—~>—>~?—>

即a-b—a2+[ia-c+Ab-c—Aa-c+A/ic2=0,

即一之+3+4〃=0,由入€(0,1),|1€(0,1),

,1

可得:〃=1+22'入(①

所以備=,+>會為一人2/-1=V2-1,

當且僅當4+J=即2=與%寸等號成立,

22(A+1)2

所以人+|1的最小值為四—亍

故答案為:V2—

【點評】本題考查空間向量的線性運算及數(shù)量積運算,考查基本不等式的應用,屬中檔

題.

五、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在△ABC中,角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,記△ABC的面積為S,已

,a2+b2-c2[-/—

知---------=6V2,a=V2b.

cosC

(1)求a,b;

(2)請從①S=*⑷+c?—垓);②bcos4+¥a=c;③bsinA=acos(8—3).三個

條件中任選一個,試探究滿足條件的AABC的個數(shù),并說明理由.

注:如果選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.

【答案】(1)b-V3,a—V6;

(2)選擇①:滿足條件①的△ABC有2個,理由見解答過程;

選擇②:滿足條件②的△ABC有1個,理由見解答過程;

選擇③:不存在滿足條件③的△ABC,理由見解答過程.

【分析】(1)由題意利用余弦定理即可求解;

(2)選擇①:由三角形的面積公式以及余弦定理,同角三角函數(shù)基本關系式可求tanB=

烏,結合Be(0,TT),可求8=3利用正弦定理可求sinA,進而即可求解;

3o

選擇②:由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得cosB=孝,進而可求B的值,

利用正弦定理可求sinA,即可求解;

選擇③:由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求tcmB=百,可求B=§,利

用正弦定理即可求解sinA=^>l,即可求解.

.,a2+b2-c22abcosC廠,口廣

【解答】解:(1)由---------=-------=6V2,得防=3V2,

cosCcosC

又a=yj2b,

得b=V3,a=V6;

(2)選擇①:由題意可得工acs譏B=—x2accosB,

212

化簡得tcmB=字,

因為8c(0,n),

所以B屋,

T74ab,.asinB72

又由11一^=「;,得==虧,

sinAsinB口乙

因為AC(0,n),

所以4=飄4=第

故滿足條件①的△ABC有2個;

選擇②:由正弦定理化簡已知等式可得sinBcos/+^-sinA=sinC,

r—^2

可得sinBcos力+停sizM=sin(X+B),化簡得-^-sinA=sinAcosB,

因為sinAWO,得cosB=%

又BE(0,it),

所以B=[,

a辦asinB.

又77由rb—;=——^sinA=-r—=1,

sinAsinB0

因為Ae(o,TT),

所以2=當

故滿足條件②的△ABC有1個;

選擇③:由bsin/l=acos(8—看)及正弦定理,得s譏Bs譏4=si?vlcos(B—看),

因為sinAWO,得sinB=cos(8—看),化簡得5s譏B=萬cosB,

即tcmB=V3,

又Be(0,IT),

所以B=不

又由一^=b0得s譏4="產(chǎn)=孚>],無解,

sinAsinBoz

故不存在滿足條件③的△ABC.

【點評】本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式以及三角函數(shù)恒等變

換在解三角形中的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.

18.(12分)某網(wǎng)絡購物平臺專營店統(tǒng)計了某年2月15日至19日這5天在該店購物的人數(shù)

y(單位:人)的數(shù)據(jù)如下表:

日期2月15日2月16日2月17日2月18日2月19日

日期代號X12345

購物人數(shù)y77849396100

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立y關于x的一元線性回歸模型,并根據(jù)該回歸模型預測當年2

月21日在該店購物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù));

(2)為了了解參加網(wǎng)購人群的年齡分布,該店隨機抽取了200人進行問卷調查.得到如

下所示不完整的2X2列聯(lián)表:

年齡不低于40歲低于40歲合計

參與過網(wǎng)上購物30150

未參與過網(wǎng)上購物30

合計200

將列聯(lián)表補充完整,并依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值a=0.005的獨立性檢驗,能否認為“參

與網(wǎng)上購物”與“年齡”有關.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=$(》「元W巧刃,。=歹一

%(々一乃

7—2n(ad—bc~)2

DX,X-(a+6)(c+d)(a+c)(b+d),

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)y=5.8久+72.6,估計當年2月21日在該店購物的人數(shù)為113人;

(2)列聯(lián)表如下:

年齡不低于40歲低于40歲合計

參與過網(wǎng)上購物30120150

未參與過網(wǎng)上購物203050

合計50150200

認為參加網(wǎng)上購物和年齡有關.

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算a,b的值,進而得到y(tǒng)關于尤的一元線性回歸模型,再

進行預測即可;

(2)補全2義2列聯(lián)表,計算x2的值,再與臨界值比較即可.

【解答】解:⑴由題意可知,元=3,歹=90,EL@—1)2=10,2:=式/一如(為一

y)=58,

TL__

Z(Xj—x)(y—y)ro、A

y)\以。=—―--------n—=Yn=5.8,a=y—bx=90—5.8x3=72.6,

羽=i(e)10

所以y=5.8比+72.6,

當x=7時,可得y=5.8X7+72.6=113.2,

因此估計當年2月21日在該店購物的人數(shù)為113人;

(2)補全2X2列聯(lián)表如下:

年齡不低于40歲低于40歲合計

參與過網(wǎng)上購物30120150

未參與過網(wǎng)上購物203050

合計50150200

零假設為Ho:參加網(wǎng)上購物和年齡無關,

n^ad-bc)2_200x(30x30-120x20)2_0

根據(jù)數(shù)據(jù),計算得到:

%2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=150x50x50x150~"

所以根據(jù)小概率a=0.005的獨立性檢驗,我們推斷Ho不成立,即認為參加網(wǎng)上購物和

年齡有關.

【點評】本題主要考查了線性回歸方程的求解,考查了獨立性檢驗的應用,屬于中檔題.

19.(12分)如圖,己知。E_L平面ABC。,四邊形ABC。為等腰梯形,AB//DC,BF//DE,

DC=2AD=4,DE=3BF=3.

(1)證明:AF〃平面DCE;

(2)若B£?_LFC,求平面AEF與平面BDEF的夾角的大小.

【分析】(1)推導出AB〃平面。CE,BF//nDCE,從而平面A3F〃平面。CE,由此

能證明〃平面DCE.

(2)推導出平面ABCDBF±BD,平面BFC,BD±BC,過點A作2。的垂

線,垂足為以B為坐標原點,以BC的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系8-

xyz,利用向量法能求出平面AEF與平面BDEF的夾角的大小.

【解答】解:⑴證明::A8〃OC,ABU平面。CE,OCu平面。CE,〃平面。CE,

':BF//DE,8PC平面DCE,OEu平面。CE,

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