2024年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

2024年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知雙曲線絲-V?=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為F，F(xiàn),過F作一條直線與雙曲線右支交于A,B兩點,

a2b2122

坐標(biāo)原點為O,若|OA|2=a2+bz,|BFj=5a,則該雙曲線的離心率為（）

VWTio

B.

2a

2.已知非零向量a、b,若i\=2H且12a臼=科4

則向量b在向量a方向上的投影為（)

3.如圖，&ABC中經(jīng)A=2經(jīng)B—60。，點。在BC上,經(jīng)BAD=30。，將AABD沿4?旋轉(zhuǎn)得到三棱錐B-ADC,

分別記B,A,B,D與平面ADC所成角為C,0,則C,P的大小關(guān)系是（）

A.C<p<2CB,2C<p<3C

C.B<2C,2C<P<3C兩種情況都存在D.存在某一位置使得B>3a

4.己知集合乂={yL1<y<3},N={x|x(2x-710},則M不N=()

(7](7]

A.的B.|(。勿?C.||D.⑦

TlTIA

5.已知C、BE(IT于2J，C豐B,則下列是等式sinC-sinP=C-2B成立的必要不充分條件的是()

A.sinC>sinpB.sinC<sinp

C.cosC>COS0D.cosC<cosp

6.正AABC的邊長為2,將它沿BC邊上的高AD翻折，使點B與點C間的距離為此時四面體A—BCD的外

接球表面積為（）

10n13rl

A.B.4TTc-VD.7TT

3

7.若則)

smfa+cos2a

A.B.C.D./

X2

弓>）的一條漸近線與圓*（）至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍

8.若雙曲線一一y2=102+y-22=2

az

是（

B,L,+偽)D.(3

A.C.

9.數(shù)列+a=aa=1,a=2,S為其前n項和,則s)

n+2nn+12n2019

A.0B.1c.3D.4

|3

10.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足=1+i,貝Uz二)

z

111U1J

-L-11

A「B-+IC-i

------2D

22222-22

已知平面向量a；b：c,足：a.b=0,c|g1,j一c|=|b—|c=5,Ia—b的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

X2-y2=1（a>0）的右焦點，直線y=kx與雙曲線交于A,8兩點，若經(jīng)AFB=里則

12.已知點F為雙曲線C:

2as423

aAFB

2的面積為（

A.Zf2D.4曲

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

21

13,已知x>0,y>0,且三+1=1,則X+2y的最小值是

xy

14.已知圓柱的上、下底面的中心分別為01,。2,過直線°1°2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則

該圓柱的表面積為

15.曲線f(x)=4x-ex在點(0,f(0))處的切線方程為

16.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=X2-2x,則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

123nn

17.(12分)已知數(shù)列｛a｝滿足+++???+

n2a-52a-52a3”2a-53

12n

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

n

(1)1

(2)設(shè)數(shù)列〈-----〉的前n項和為T,證明:T<_.

laa1。n6

nn+1

18.(12分)如圖所示，四棱錐P-/IBCD中,PC,底面ABC。，PC=CD=2,E為4B的中點，底面四邊形ABCD

滿足NADC=/DCB=90。，AD=-\,BC=1.

(I)求證：平面PDE_L平面PAC；

(II)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

(III)求二面角D-PE-B的余弦值.

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，ABJ平面ABC,AB」AC,且AB=AC=AB=2.

(1)求棱AA與BC所成的角的大?。?/p>

1

(2)在棱BC上確定一點P,使二面角P-AB-A的平面角的余弦值為縛.

「15

20.(12分)如圖1,四邊形ABCD是邊長為2的菱形，經(jīng)BAD=60。，E為CD的中點，以BE為折痕將ABCE折起

到APBE的位置，使得平面PBEJ平面ABCD,如圖2.

(1)證明：平面PAB」平面PBE；

⑵求點D到平面PAB的距離.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=Inx.

(1)求函數(shù)g(x)=f(X)-X+1的零點；

⑵設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=x+>i的圖象交于A(x,y),B(X,y)(x<X)兩點，求證：a<XX-X；

(3)若k>0,且不等式(xz-l)f&)巳1<&-1)2對一切正實數(shù)乂恒成立，求k的取值范圍.

22.GO分)已知函數(shù)f(X)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(X)=X2+2x.

(1)解關(guān)于X的不等式g(x)之f(x)-|x-1.

(2)如果對vxeR,不等式g(x)+c<f(x)-|x-1恒成立，求實數(shù)c的取值范圍

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

由題可知QA|=c=]FFJ,^FAF2=90。，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得|AFj=|AFJ+2a,對Rt^A“有

|AFJ2+|ABF=B呼，

即(AF?+2a)2+(AF?+3a>=(5a?,解匍AF|=

a,再對RtAAFh，由勾股定理可得a?+(3a)2=(2c)2,化簡

即可求解

【詳解】

；坪2所以經(jīng)F^F=90.

如圖,因為|BFj=5a,所以|BF?=5a-2a=3a.因為|OAj=c=o

AF[2AB2=|BF|2,即(AF2+2a)2+(AFJ+3a>=(5a\

在RLAFB中,+||

1

得|AF|=a,則|AF|=a+2a=3a.aRtAAFF中,由a?+(3ab=(2&得e=c=v'10.

21'1'12oo

蠅B

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題

2、D

【解析】

設(shè)非零向量a與b的夾角為6,在等式2a—b=、,后區(qū)兩邊平方，求出cosB的值，進(jìn)而可求得向量|b在向量a方向上

的投影為bcos。，即可得解.

【詳解】

"b=2a,由國心=、’3b得爾一印=3b?,整理得2a2-2a.b-b?=0，

:2a2-21alx2仲cos8l—q平=0,解得cosS=,

因此，向量b在向量a方向上的投影為HdosB=—.

艇：D.

【點睛】

本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得c、0角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得

答案.

【詳解】

由題可得過點B作BE」AD交AD于點E,過B,作CD的垂線，垂足為0,則易得a=經(jīng)B,AO,P=經(jīng)B,DO.

設(shè)CD=1,則有BD=AD=2,DE=1,BE=<3,

:可得AB,=AB=2后，B,D=BD=2.

._OB,.OB,

sina=,smR[3=',

AB,DB,

:sinp=<13sina>sina,:B>a；

,/OB,e[0,向，:sinae[0,1]；

2

sin2a=2sinacosa=2sina?—sin2a>

2、/Tsin2ae[62]，：sin2aSsina=sinp,

:2a部.

綜上可得，a<0<2a.

【點睛】

本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水

平.

4、C

【解析】

f71

先化簡N={x|x(2x-7)0}=(x|0x、〉，再求M不N.

I工J

【詳解】

因為N={x|x(2x-7)和=10我，

又因為M={yI-1<y<3},

所以M不N=Q(-1眨,

娟：C.

【點睛】

本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)h(x)=sinx-x,f(x)=sinx-2x,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間(|(方衛(wèi))上均為減函數(shù)，由

sina-sinp=a-2[3^tHsina-a=sinp-2p;^a=0_1<a<00<a4三種情況討論，利用放縮

法結(jié)合函數(shù)y=h(x)的單調(diào)性推導(dǎo)出-口2<2<口<0或0<0<a<],再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)h(x)=sinx-x,f(x)=sinx-2x,

則h,(x)=cosx-1<0,f,(x)=cosx-2<0,

所以，函數(shù)y=f(x)、y=h(x)在區(qū)間(|(上均為減函數(shù)，

當(dāng)<x<0時，則h(x)>h(0)=0,f(x)>f(0)=0；當(dāng)o<x<71時，h(x)<0,f(x)<0

22

由sina-sin0=a-2(3得sina-a=sinp-2p.

①若a=0,則sin0-20=0,即f(B)=0常0=0,不合乎題意；

②若『<a<0,則<P<0,則h(a)=sina-a=sinB-20>sinR邛=h(B),

22

TT。八

此時，-2<a<p<0,

由于函數(shù)y=cosX在區(qū)間(Ir：,0上單調(diào)遞增，函數(shù)y=Sinx在區(qū)間(|(三,0|上單調(diào)遞增，貝Isina<sin0,

cosa<cosP；

③若0<a<-71,則o<0<11，則h(a)=sina-a=sin0-20<sin0邛=h(B),

22

此時0<B<a<

由于函數(shù)y=COSX在區(qū)間(I(?：)上單調(diào)遞減，函數(shù)y=SinX在區(qū)間(|()上單調(diào)遞增，貝帕ina>sin0,

cosC<COSP.

恥腌，cosC<cosp.

艇：D.

【點睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時要注意對C的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能

力，屬于中等題.

6、D

【解析】

如圖所示，設(shè)AD的中點為。2，ABCD的外接圓的圓心為05四面體A-BCD的外接球的球心為0,連接

00,00,0D,利用正弦定理可得DO=1,利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形。0DO為平行四邊形，

12121

最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.

【詳解】

如圖所示，設(shè)AD的中點為。2，ABCD外接圓的圓心為0],四面體A-BCD的外接球的球心為0,連接

00,00,0D,則00」平面BCD,00JAD.

1212

n_q[

因為CD=BD=1,BC=、后，故cos經(jīng)BDC==--

2x1x12'

因為經(jīng)BDCe(Ojr),故經(jīng)BDC=穹.

2DO==2

由正弦定理可得i.2n,故DO=1,又因為AD=v3，故DO-通.

sin—122

因為AD」DB.ADJCD,DBACD=D,故AD」平面BCD,所以O(shè)Q〃AD,

因為AD」平面BCD,D。/二平面BCD,故AD」D01,故。。2〃D0/

所以四邊形00DO為平行四邊形，所以00=DO-

21122

所以0D=+1=，，故外接球的半徑為夸，外接球的表面積為4Tl根：=7TT.

艇：D.

【點睛】

本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變

量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一

定的難度.

7、B

【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡即可.

【詳解】

因為（,<?,由誘導(dǎo)公式得「1,所以、.

故選B

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心（02）到漸近線的距離d之旄，由點到直線的距離公式可得a的范圍，再由離心

率公式計算即可得到所求范圍.

【詳解】

雙曲線"-丫2=I（a>0）的一條漸近線為y=1x,即x-ay=0,

a2a

2

由題意知，直線x-ay=0與圓X2+（y-2）=2相切或相離，則d=之,

。1+%

,c

解得aN1,因此，雙曲線的離心率6=

a

樹：C.

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9、D

【解析】

用n+1去換a+a=a中的"，得a+a=a，相加即可找到數(shù)列｛a｝的周期，再利用

n+2nn+1n+3n+1n+2n

S=336S+a+a+a計算

20196123

【詳解】

由已知，a+a=a①，所以a+a=a②，①+②，得a=-a,

n+2nn+1n+3n+1n+2n+3n

從而a=a,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以S=0,

n+6n6

S=336(a+a+a)+a+a+a=0+1+2+1=4

2019126123

艇：D.

【點睛】

本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求S時，先算出一個周期的和即S,再將S表示成336s+a+a+a即可，本題

2019620196123

是一道中檔題.

10、D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

_i3_-i(l-i)_-l-i_11.

Z------------------------------------------------~---I

1+i(1+i)(1-i)222

腌：D.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將a-b的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式,

利用基本不等式求得最小值.

【詳解】

建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)c=(cos&sinB),OA=a,OB=b,且A(m,0),B(0,n),由于

|ac「b_c卜5,所以mFE[4,6].

a-c=(m-cos0,-sin0),b-c=(-cose,n-sine),所以

(m2-2mcos0+coss0+sinz0=25

〈，即m2+re=48+2mcos0+2nsin0.

|r)2-2nsin0+sins0+coss0=25

=Y'ITP+rr為2mn.當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取得最小值，止匕時由m2+年=48+2mcos0+2nsin0得

2m2=48+2m(sin0+cos0)=48+2\&nsin(|(0+-,當(dāng)6=絲?時，2m2有最小值為48-26n,即

4)4

2m2=48-2/2m,ma+J2m—24=0,解得m=02.所以當(dāng)且僅當(dāng)m=n=酬2。=葉a-0有最小值為

2根（%歷）

=6.

本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

12、D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點為F,連接AF,BF,由對稱性可知四邊形AFBF2是平行四邊形,

=rz+rs—2rrcos",求出rr的值，即得解.

設(shè)|AFJ[,|AFJ=r,得4c2

1212312

【詳解】

設(shè)雙曲線。的左焦點”，連接A.BF1

由對稱性可知四邊形AFBF是平行四邊形，

12

所以SAFF=S經(jīng)FAF=；.

AF￡AF2B123

設(shè)|AF=r,|AF|=r,貝ij4c2=rs+rs-2rrcos"=的+rz-rr

11111212J121231212

又|r一r|=2a.故rr=4b2=16,

112112

所以SAFF=jrrsin^=4j§.

12乙］/O

艇：D

【點睛】

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、8

【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】

=2^3+2>4+2；F=8,

x+2y-K-

yjyx\yx

x4v

當(dāng)且僅當(dāng)-=時等號成立

yx

故x+2y的最小值為8,

故答案為：8.

【點睛】

本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.

14、12n

【解析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,可求得x=2/^,代入圓柱的表面積公式，即得解

【詳解】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為X,

則由X2=8,得x=2/2,

;.S=2S+S=2+2n=12n.

圓柱表底側(cè)

故答案為：12n

【點睛】

本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、3x-y-1=0

【解析】

求導(dǎo)，得到f,(0)和f(0),利用點斜式即可求得結(jié)果.

【詳解】

由于f(0)=-1,f,(x)=4-ex,所以f,(0)=4-1=3,

由點斜式可得切線方程為3x—y—1=0.

故答案為：3x-y-1=0.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，屬基礎(chǔ)題.

16、(-3,0)不(3,+偽)

【解析】

設(shè)x<0,則一x>0,由題意可得f(-X)=-f(x)=(-x)2-2(-x)=+2x,:f(x)=一滓一2x,故當(dāng)x<0時,

(x>0(x<0

f(x)=—X2—2x.由不等式f(x)>x,可得〈僅2—2x>x'或1X2—2x>x'

照導(dǎo)x>3,或一3Vx<0,瞪勒(-3,0)不(3,+｛為).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3n+5

17、(1)a=-------；(2)見解析.

n2

【解析】

_nn.(S’"-1可求得數(shù)列｛b｝的通項公式，由此可得出數(shù)列｛a｝的通

(1)令Sc—b=…利用b=

n3n2a-5n|S-S刀之2nn

in-1

項公式；

14r11]

⑵求得aa=3||L3n+5-3(n+1)+5|\J利用裂項相消法求得Tn,進(jìn)而可得出結(jié)論.

nn+1」?

【詳解】

(1)令Snbn

n,

n32a-5

n

當(dāng)n之2時，b=S—S=--211=1.

nnn-1333'

%則13n+5

當(dāng)n=1時，bb=---------故a

1n2a-5

n2

144r11]

(2)1/-

aa(3n+5)3(n+1)+5-3||L3n+53(n+1)+5j

nn+1

F(11)(11)(11)]

7J，(3根1+5一3根2+5,+k3根2+5—3根3+5)廠…+I(3根n+5—3(n+1)+5力|

4T11]411

-3||LS-3(D+1)+5Jl|<3根8-6,

【點睛】

本題考查利用S求通項,同時也考查了裂項相消法求和，考查計算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

n

18、(I)證明見解析(II)-2(III)-竺Z

3-17,

【解析】

(1)由題知口￡」PC,如圖以點C為原點，直線CD、CB、CP分別為x、V、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計算

DE.AC=0,證明DE」AC,從而DE」平面R4C,即可得證；

(H)求解平面尸DE的一個法向量n,計算COSn；CP^,即可得直線尸C與平面尸DE所成角的正弦值；

(III)求解平面QBE的一個法向量m；計算cosm,n,,即可得二面角。-PE-B的余弦值.

【詳解】

(I)1PC_L底面ABCD,：DEJPC,

如圖以點C為原點，直線CD、CB、CP分別為x、V、軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C（0,0,0），D（2,0,0）,B（0,3,0）,P（0,0,2）,A（2,1,0）,E（1,2,0）,

：DE=(-1,2,0),AC=(-2-1,0),：DE.AC=0,

：DEJAC,又CPGCA=C,:DE」平面PAC,

?,DEC平面PDE,平面尸DE_L平面PAC；

(II)設(shè)n=(x,y,z)為平面PDE的一個法向量，

111

又PE=(1,2,-2),DE=(-1,2,0),CP=(0,02),

.(ITI.DE=-x+2y=0.n\

則〈11，取y=1,得n=(2,1,2)

|ln.PE=x+2yJ2Z|=01

MW楣小

2

:直線尸C與平面尸DE所成角的正弦值；

(III)設(shè)m=(x,y,z)為平面QBE的一個法向量，

222

又PB=(0,3,-2),EB=(-1,1,0),

(jm.PB=3y—2z=0,取y=2,得m=(2,2,3),

則〈.22

|ln-EB=—x+y=02

122

n.m417

：COS,171,13)=V

17，

4/T7

:二面角D-PE-B的余弦值-

17

【點睛】

本題主要考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成角的計算，二面角大小的求解，考查了空間向量在立體幾何中的

應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力.

19、(1)n(2)P(1,3,2)

3

【解析】

試題分析：(1)因為ABLAC,A3,平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y

軸，以過A,且平行于BA］的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標(biāo)，求出棱

AA1與BC上的兩個向量，由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大??；

(2)設(shè)棱B1C1上的一點P,由向量共線得到P點的坐標(biāo)，然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量，把二

面角P-AB-A］的平面角的余弦值為3,轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點的坐標(biāo).

試題解析：

解(1)如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,

則C（2,0,0）,B（0,2,0）,A（0,2,2）,B（0,4,2）,

11

AA=（0,2,2）,BC=BC=（2,-2,0）,

111

_AACCAA.BC-41

cosAA,BC=j----1-；-------———.=--

1

%.國v8.\82，

故AA與棱BC所成的角是三

（2）p為棱B￡中點，

設(shè)BP=ABC=（2人,-2人,0）,則P（2人,4-2人,2）.

111

設(shè)平面PAB的法向量為n=（x,y,z）,AP=（2人,4-2人,2）,

（In.AP=0_（x+3y+2z=0（z=-Ax

則一?！闯！?/p>

|lri[.AB=0|2y=0Iy=0

故n=（1,0,-X）

1

而平面ABA的法向量是n=（1,0,0）,則cosn,n=ni'n2=-J

1212-R-^n斕+入25，

i1i2J

解得人=1,即P為棱BC中點，其坐標(biāo)為P（1,3,2）,

211

點睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:

(1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；(3)設(shè)出相應(yīng)平面

的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；(5)根據(jù)定理

結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

20、(1)證明見解析(2)當(dāng)

【解析】

(1)由題意可證得PEJAB,AB」BE,所以ABJ平面PBE,則平面PABJ平面PBE可證；

(2)解法一：利用等體積法由V=V可求出點D到平面PAB的距離；解法二：由條件知點D到平面PAB的

P-ADBD-APB

距離等于點E到平面PAB的距離，過點E作PB的垂線，垂足F,證明EFJ平面PAB,計算出EF即可.

【詳解】

解法一：(1)依題意知，因為CE」BE,所以PE」BE.

又平面PBEJ平面ABCD,平面PBE/1平面ABCD=BE,PEC平面PBE,

所以PE」平面ABCD.

又AB-平面ABCD,

所以PE」AB.

由已知，ABCD是等邊三角形，且E為CD的中點，所以BE」CD.

因為AB//CD,所以AB」BE.

又PE/IBE=E,所以AB」平面PBE.

又AB二平面PAB，所以平面PABJ平面PBE.

由(1)知，PE」平面ABD,且PE=1,

所以三棱錐P-ABD的體積V=1xJ5x1=、".

33

在RtAPBE中，PE=1,BE=y另，得PB=2,

由(1)知，ABJ平面PBE,所以AB」PB

所以S=2,

△ABP

設(shè)點D到平面PAB的距離d,

則三棱錐E-PAB的體積V,=-x2xd=噂，得d=g

332

解法二：(1)同解法一；

(2)因為DE//AB,AB-平面PAB,DE丈平面PAB,

所以DE//平面PAB.

所以點E到平面PAB的距離等于點D到平面PAB的距離.

過點E作PB的垂線，垂足F,即EF」PB.

由(1)知，平面PABJ平面PBE,平面PAB八平面PBE=PB,EF仁平面PBE,

所以EFJ平面PAB,即EF為點D到平面PAB的距離.

由⑴知，PEJBE,

在RAPBE中，PE=1,BE=、飛，得PB=2.

又PExBE=PBxEF，所以EF='1.

J3

所以點D到平面PAB的距離為\.

2

【點睛】

本題主要考查空間面面垂直的的判定及點到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點

到平面的距離一般可采用兩種方法求解：①等體積法；②作(找)出點到平面的垂線段，進(jìn)行計算即可.

21、(1)x=1(2)證明見解析(3)0<k^2

【解析】

(1)令g(x)=lnx-x+1,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進(jìn)而求解；

Inx——|nxxx

⑵轉(zhuǎn)化思想，要證a<xx—x,即證xx.(1—2i)<xx—x,即證in(4>1—一，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證；

12112X-X121XX

2112

kx-1

(3)不等式(X2—1)lnxk(x-)2對一切正實數(shù)x恒成立，(X2-1)lnx-k(x-1)2=(X2-1)[lnx-()],設(shè)

X+1

h(x)=lnx-k(X-1),分類討論進(jìn)而求解.

X+1

【詳解】

11—Y

解：(1)令g(x)=lnx-x+1,所以g,(x)=-1=,

xx

當(dāng)xe(0,1)時，g,(x)>0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(1,+偽)時,g,(x)<0,g(x)在(1,+偽)單調(diào)遞減;

所以g(x)=g(1)=0，所以g(x)的零點為x=1.

min

(1a

Inx=x+—-1

I11x?Inx-Inx、

(2)由題意，一，〈占