2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（答案版）

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合Z=｛x|xV0或x〉l｝,貝！1CR4=（）

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<l}C.{x|0<x^l}D.{x|0WxWl}

2.在（1-2無(wú)）3的展開(kāi)式中，方的系數(shù)為（）

A.-2B.2C.-6D.6

%2y2

3.已知雙曲線(xiàn)C：---77=1的漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）,則雙曲線(xiàn)的離心率為（）

azbz

A.V2B.V3C.2D.V5

4.已知x,且貝1J()

11

A.-+->0B.x3+j^3>0C.Ig(x力)>0D.sin(x-F^)>0

xy

5.若/G)=[+"'"V。是奇函數(shù)，則()

kbx—1/x>0

A.a—X,b--1B.a--1,b—\C.a—\,b—\D.a--1,b--1

6.已知尸為拋物線(xiàn)V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)打（物，/）（〃=1,2,3,-）在拋物線(xiàn)上.若島+田-因闿=1,

則（）

A.任“｝是等差數(shù)列B."”｝是等比數(shù)列C.W"｝是等差數(shù)列D.⑶“｝是等比數(shù)列

7.已知向量三=（1,0）,b-（-1,V3）.若<c,a>=<c,b>,則］可能是（）

TTT—f-T-

A.2a-bB.a+bC.2a+bD.V3a+b

8.設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,則“/（x）是R上的增函數(shù)”是“任意a>0,y=/（x+a）-f3無(wú)零點(diǎn)

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

c.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

第1頁(yè)（共21頁(yè)）

9.從物理學(xué)知識(shí)可知，圖中彈簧振子中的小球相對(duì)平衡位置的位移y與時(shí)間f(單位：s)的關(guān)系符合函數(shù)

尸/sin(3什隼)(|3|＜100).從某一時(shí)刻開(kāi)始，用相機(jī)的連拍功能給彈簧振子連拍了20張照片.已知連

拍的間隔為0.01s,將照片按拍照的時(shí)間先后順序編號(hào)，發(fā)現(xiàn)僅有第5張、第13張、第17張照片與第1張

照片是完全一樣的，請(qǐng)寫(xiě)出小球正好處于平衡位置的所有照片的編號(hào)為()

A.9,15B.6,18C.4,11,18D.6,12,18

10.在正方體/8CD-/EC7T中，E為棱DC上的動(dòng)點(diǎn)，尸為線(xiàn)段〃E的中點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論:

?B'E±AD'；

②直線(xiàn)。下與平面/58R的夾角不變；

③點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離不變；

④點(diǎn)尸到，，D,D',4四點(diǎn)的距離相等.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.②③B.③④C.①③④

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知a,6均為實(shí)數(shù).若b+i=i(a+i),則a+6=.

12.不等式&尸＞1的解集為.

13.已知圓：C：X2+/+2X=0,則圓C的半徑為；若直線(xiàn)＞=船被圓C截得的弦長(zhǎng)為1,則

k=.

14.已知/(x)=sinx+cosx的圖象向右平移a(a＞0)個(gè)單位后得到g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的最大

值為;若/(x)+g(x)的值域?yàn)椋?｝,則a的最小值為

15.在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列｛即｝,｛加｝分別表示兩組信息的傳

輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：an+i=2an+bn,bn+i=an+2bn(〃=1，2,…)，描述了這兩組信息

在互相影響之下的傳播演化過(guò)程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿(mǎn)足的＞61，則在該模型中，關(guān)于兩組信息，

第2頁(yè)(共21頁(yè))

給出如下結(jié)論:

①^尤］^*,an>bn;

②V〃eN*,劭+1>斯，bn+l>bn；

@3kEN*,使得當(dāng)n>k時(shí)，總有|魯-1|V1()T°；

bn

④"6N*,使得當(dāng)〃〉左時(shí)，總有|他匕一2|V1()T°.

an

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。

16.(14分)如圖，已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZABC=60°,以J_底面

ABCD,B4=2,點(diǎn)E是尸C的中點(diǎn).

(I)求證：0c〃平面/8E；

(II)求DC到平面ABE的距離.

第3頁(yè)(共21頁(yè))

17.(13分)在△48C中，7a=6bcosB.

(I)若siiL4=可求N5的值；

(II)若。=8,從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△45。存在.求的面積.

條件①：silb4=y;

條件②：sinB=坐.

第4頁(yè)(共21頁(yè))

18.(14分)ZW值是國(guó)際上通行的宏觀經(jīng)濟(jì)監(jiān)測(cè)指標(biāo)之一，能夠反映經(jīng)濟(jì)的變化趨勢(shì).如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)

局發(fā)布的某年12個(gè)月的制造業(yè)和非制造業(yè)PM值趨勢(shì)圖.將每連續(xù)3個(gè)月的PM值作為一個(gè)觀測(cè)組，對(duì)

國(guó)家經(jīng)濟(jì)活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)測(cè)和預(yù)測(cè).

(I)現(xiàn)從制造業(yè)的10個(gè)觀測(cè)組中任取一組，

(i)求組內(nèi)三個(gè)尸必值至少有一個(gè)低于50.0的概率；

(ii)若當(dāng)月的尸必值大于上一個(gè)月的尸M值，則稱(chēng)該月的經(jīng)濟(jì)向好.設(shè)X表示抽取的觀測(cè)組中經(jīng)濟(jì)向

好的月份的個(gè)數(shù)(由已有數(shù)據(jù)知1月份的值低于去年12月份的尸必值)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(II)用力。=1,2,12)表示第J月非制造業(yè)所對(duì)應(yīng)的/W值，石表示非制造業(yè)12個(gè)月尸必值的

平均數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出向-同取得最大值所對(duì)應(yīng)的月份.

第5頁(yè)(共21頁(yè))

XVV3

19.（14分）橢圓M：—+—=1Ca>b>0）的左頂點(diǎn)為/（-2,0）,離心率為一.

a2b22

（I）求橢圓M的方程；

V3_

（II）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,―）的直線(xiàn)/父橢圓M于8,C兩點(diǎn)，。是直線(xiàn)x=-4上一點(diǎn).若四邊形/BCD

為平行四邊形，求直線(xiàn)/的方程.

第6頁(yè)（共21頁(yè)）

1—xa

20.(15分)已知函數(shù)［(x)=ln—.

(I)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線(xiàn)方程;

(II)當(dāng)。=4時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(III)當(dāng)X<0時(shí)，f(X)斗恒成立，求4的取值范圍.

第7頁(yè)(共21頁(yè))

21.(15分)已知有限數(shù)列｛斯｝共可項(xiàng)(〃》4),其任意連續(xù)三項(xiàng)均為某等腰三角形的三邊長(zhǎng)，且這些等

腰三角形兩兩均不全等.將數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)和記為S.

(I)若即6｛1,2｝("=1,2,M),直接寫(xiě)出M、S的值；

(II)若斯6｛1,2,3)(n=l,2,M),求M的最大值；

(IID若斯6N+(”=1,2,M),M=16,求S的最小值.

第8頁(yè)(共21頁(yè))

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合4={小<0或x>l},貝!ICiU=()

A.{x|0<x<l}B.{x|0^x<l}C.{x|0VxWl}D.{ROWxWl}

解：集合4={小<0或x>l},

則CRA={x|0WxW1}.

故選：D.

2.在（1-2x）3的展開(kāi)式中，1的系數(shù)為（

A.-2B.2C.-6D.6

解：展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為C1（—2%）=—6x,

所以x的系數(shù)為-6,

故選：C.

3.已知雙曲線(xiàn)C：--￡7=1的漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）,則雙曲線(xiàn)的離心率為（）

azb2

A.V2B.V3C.2D.V5

x2y2

解：雙曲線(xiàn)C丁—W=l的漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）,

azbz

可得b=2a,

所以雙曲線(xiàn)的離心率e=^=J1+,￥=V5.

故選：D.

4.已知x,且x+y>0,則()

11

A.-+->0B.x3+/>0C.lg(x+y)>0D.sin(x+y)>0

xy

L.119,

解：對(duì)于4,當(dāng)x=10,y=-1時(shí)，x+y>0,但一+-=-—<0,故/錯(cuò)誤;

xy10

對(duì)于8,x,jGR,且x+y>0,x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x—專(zhuān))2+^y2]>0,故5正確;

對(duì)于C,當(dāng)x+y=0.1>0時(shí)，/g（x+歹）<0,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于Z),當(dāng)x+y=>0時(shí)，sin(x+y)=sin—=—1<0,故。錯(cuò)誤;

故選：B.

5.若f（x）%<0是奇函數(shù)，則（）

{.bx-Lx>0

第9頁(yè)（共21頁(yè)）

A.a=l,b=-1B.a=-1,b=1C.a=l,b=\D.a=-1,b=-1

解:因?yàn)?(x)=『+%x<0是奇函數(shù)，

［bx—Lx>0

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

所以/(-x)=-bx-1,

即-f(x)--bx-1,

所以f(x)=bx+\,

又因?yàn)楫?dāng)xVO時(shí)，/(x)=x+a,

所以x+a=bx+\,

所以Q=1,b—1.

故選：C.

6.已知尸為拋物線(xiàn)V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸”(x?,如)(?=1,2,3,…)在拋物線(xiàn)上.若回+田-|P,闿=1,

則()

A.｛初｝是等差數(shù)列B.｛初｝是等比數(shù)列

C.仍,｝是等差數(shù)列D.U"｝是等比數(shù)列

解：?.?點(diǎn)尸”(Xn,如)(77=1,2,3,-)在拋物線(xiàn)上.

.*?\PnF\=X?+1,由典+1尸|尸陰=1,可得X肝1+1-(Xn+1)=1,

??X〃+1-Xfi1,

???｛加｝是等差數(shù)列，故4正確，B錯(cuò)誤;

處+J-?2=4(如+1-如)=4,???(y/｝是等差數(shù)列，故CD錯(cuò)誤；

故選：A.

7.已知向量］=(1,0),b=(-1,V3).若V?,a>=<c,b>,則］可能是()

TTTTTTf-T-

A.2a-bB.a+bC.2a+bD.\3a+b

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于N,c=2a—b=(3,—V3),則cos<c,a>=:二=字,cos<c,b>=R?=一堂，有cosV

klld2向兩2

c,a>^cos<c,b>,<c,a><c,b>,不付合題思；

對(duì)于5,c=a+b=(0,V3),則cos<c,a>=f二=0,cos<c,b>=R'=-y,有cos<c,

⑷?1bllc|/

~~~———~.八,.、.

a>=Acos<cfb>,<c,a><c,b>,不付合題思；

第10頁(yè)(共21頁(yè))

對(duì)于C,c=2a+b=(1,V3),則cos<c,a>=7.=5,cosVc,b>=—...=可有cosVc,

10?2|/,||7|2

a>=cos<c,b>,必有Vc,a>=<c,b>,符合題意；

)—>—>.——―—>

對(duì)于。，c=V3a+b=(V3—1,V3),則cosVc,.>=/二=斤31,,cosVc,b>=C=

■I?J7_2V3|b||7|

—:慮,有cosVc,a>^cos<c,b>,<c,a>豐<c,b>,不符合題意；

2^7-273

故選：C.

8.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,則“/(x)是R上的增函數(shù)”是“任意a>0,y=/(x+a)-f3無(wú)零點(diǎn)”

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：若/(x)是R上的增函數(shù)，貝!]a>0時(shí)，f(x+a)>f(x)成立，

即y=/(x+a)-f(x)>0,任意a>0,y=f(x+a)-f(x)無(wú)零點(diǎn)，充分性成立.

若任意a>0,?=/(尤+a)無(wú)零點(diǎn)，則函數(shù)/(無(wú))不一定為增函數(shù)，

1

例如當(dāng)"=1,考慮分段函數(shù)：f(x)=x,xG[0,1),/(x+1)=f(x)+2，滿(mǎn)足/(x+1)>f(x),而f

G)不是增函數(shù)，必要性不成立.

即“/(x)是R上的增函數(shù)”是“任意a>0,y=fQx+a)(無(wú))無(wú)零點(diǎn)”的充分而不必要條件，

故選：A.

9.從物理學(xué)知識(shí)可知，圖中彈簧振子中的小球相對(duì)平衡位置的位移y與時(shí)間/(單位：s)的關(guān)系符合函數(shù)

y=Asin(3/+(p)(|3]<100).從某一時(shí)刻開(kāi)始，用相機(jī)的連拍功能給彈簧振子連拍了20張照片.已知

連拍的間隔為0.01s,將照片按拍照的時(shí)間先后順序編號(hào)，發(fā)現(xiàn)僅有第5張、第13張、第17張照片與

第1張照片是完全一樣的，請(qǐng)寫(xiě)出小球正好處于平衡位置的所有照片的編號(hào)為()

A.9,15B.6,18C.4,11,18D.6,12,18

解：由題意可得13-1=12,17-5R2,

則7=12X0.01=0.12,

2TT_507r

所以3=丁=丁'

第11頁(yè)(共21頁(yè))

17+113+5

又一：-=-：-=9,可得當(dāng)￡=0.0%時(shí)，歹取得最值.

22

50TT

代入y=Zsin（co/+（p）,可得sin（―^―x0.09+q））=±1,

解得（p=E,kEZj,

?，507T

所以歹=，sin（―^―什依），左EZ,

A一507r

令＞=0,可得一^―什加=mTl,左EZ,

則，=0,0.06,0.12,0.18,....

所以小球正好處于平衡位置的所有照片的編號(hào)為6,12,18.

故選：D.

10.在正方體/8CD-/EC7T中，E為棱。C上的動(dòng)點(diǎn)，尸為線(xiàn)段〃E的中點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論:

?B'E±AD'；

②直線(xiàn)。下與平面的夾角不變；

③點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離不變；

④點(diǎn)尸到N,D,D',4四點(diǎn)的距離相等.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.②③B.③④C.①③④D.①②④

解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

X

第12頁(yè)（共21頁(yè)）

設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2,沒(méi)DE=a(0WaW2,

a

則E(0,a,0),B'(2,2,2),/(2,0,0),D'(0,0,2),F(1,-+1,1),5(2,2,0),

2

D(0,0,0),A'(2,0,2),

—>—>—>—>

對(duì)于①，BrE=(-2,a-2,-2),AD'=(-2,0,2),B'E-AD'=4+0+4=0,：.BrELAD\故①正

確；

…ta—

對(duì)于②，D'F=(1,-+-1)，平面4894的法向量n=(1,0,0),

設(shè)直線(xiàn)D'F與平面/ASM的夾角為0,

則sin9=IJFW=/1尸???0WaW2,不是定值，故②錯(cuò)誤；

\D'F\-\n\J2+G+1)，

7at

對(duì)于③，AF=(-1,-+1,1),AB=(0,2,0),

TT_____________________________

點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離d=\AF\-1-[裝絲產(chǎn)=以+0+1產(chǎn)1-(4)2=或，

114葉|明、JJ2+G+N2

點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離不變，故③正確；

對(duì)于④，|/尸|=J(-+6+1)2+(1—2)2=[2+(「+1)2,

Jp+(1+1)2+1=J2+6+1)2,

\D'F\=J/+6+1)2+(1-2)2=』2+6+1)2,

⑷.=J(2-1)2+(0_I_1)2+(2-1)2=J2+G+1)2,

...點(diǎn)尸到4,D,D,H四點(diǎn)的距離相等，故④正確.

故選：C.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知a,b均為實(shí)數(shù).若(〃+力，則a+b=0.

解：由(a+z.)=-1+出，得b=-1,a=X,

故答案為：0.

12.不等式&尸>1的解集為(-8,0).

解：?；&尸>1,

??.(如>(扔,

第13頁(yè)（共21頁(yè)）

1?xVO,

...不等式的解集為(-8,0),

故答案為：(-8,0).

13.已知圓：C：X2+J?+2X=0,則圓C的半徑為1；若直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)為1,則k=土

V3_.

解：由/+/+2苫=0,得(x+1)2+y2=l,

所以圓心C(-1,0),半徑廠=1,

圓心C到直線(xiàn)的距禺為d=

百J,

又直線(xiàn)y=kx被圓C截得的弦長(zhǎng)為1,

(工)2+2=1,解得仁士火.

2Vk2+1

故答案為：1；±V3.

14.已知/(x)=sinx+cosx的圖象向右平移a(a>0)個(gè)單位后得到g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的最大

值為_(kāi)金_；若/'(X)+g(X)的值域?yàn)椋?｝,則。的最小值為7T.

解：f(x)=sinx+co&x=V2sin(x+稱(chēng))，其圖像向右平移a(a>0)個(gè)單位后得到g(x)=V2sin(x-

<?+?),可知其最大值為魚(yú)；

f(x)+g(x)=V2sin(x+Q+V2sin(x-Q+Q,其值域?yàn)椋?｝,可知/(x)+g(x)=0,所以&sin(%

-?+?)=-V2sin(x+]),則可得。的最小值為T(mén)T.

414

故答案為：V2;TT.

15.在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列｛斯｝,｛6〃｝分別表示兩組信息的傳

輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型:aM=2an+bn,bn+i=an+2bn(〃=1,2,…)，描述了這兩組

信息在互相影響之下的傳播演化過(guò)程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿(mǎn)足則在該模型中，關(guān)于兩

組信息，給出如下結(jié)論：

①V〃eN*,an>bn;

②V〃eN*,bn+i>b”；

③"CN*,使得當(dāng)〃〉左時(shí)，總有|魯—1|VICE?

bn

④皿eN*,使得當(dāng)〃〉左時(shí)，總有佟漢一2|V1()T°.

an

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③.

因?yàn)镴Q"+I=2Q〃+6〃，b及+i=a〃+2b〃(―=1,2,…)，兩式作差得斯+1-6及+1=2〃〃+仇-。及-bn，

第14頁(yè)(共21頁(yè))

故｛斯-為｝為常數(shù)列，即劭-岳=〃1-加＞0,故V〃EN*,an＞bn;故①正確;

因?yàn)閍n+\-an=an+bn，bn+\~bn=an+bn,又?jǐn)?shù)列｛斯｝,｛a｝為正實(shí)數(shù)數(shù)列，

故斯+方＞0,故4+1＞斯,bft+i＞bft＞0,故②正確；

由上可知|詈-1|=伊盧|=|千當(dāng)，因?yàn)閙-61為常數(shù)，｛5｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

故當(dāng)+8時(shí)，千生f0,又10-1。＞0,故我CN*,使得當(dāng)”〉無(wú)時(shí)，總有詈一1|＜10-10；故③正確；

aaaaaaaa

,n+l、,n+l~^n.,^n,7z、八Ur,n+1、,n+l~^n.［如n~(.l~^l).

|-----2\=\--------------1=|—I，又劭-bn=a1-加＞0,故|-----一2|=|--------------1=|-1=|-----------------1

a77,Q?九a?ra?T"■?!■a?ra?T

="鏟|,

an

因?yàn)椤?-61為常數(shù)，｛即｝為單調(diào)遞增數(shù)列，故當(dāng)〃一+8時(shí)，笑”一0,1_出31-1,故④錯(cuò)誤.

a

bnn

故答案為：①②③.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。

16.(14分)如圖，已知四棱錐尸-/BCD中，底面/BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，N4BC=60°,以，底面

ABCD,以=2,點(diǎn)E是尸C的中點(diǎn).

(I)求證：0c〃平面/甌

(II)求DC到平面A8E的距離.

(/)證明：?.?底面/BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，

：.CD//AB,平面/BE,CDC平面N3E,

〃平面ABE；

(〃)解：取8C的中點(diǎn)連接NC,

:底面/BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZABC=60°,

△/C3是正三角形，所以：.AM±AD,

以N為原點(diǎn)，AM,AD,/P為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

,廠「V31

則N(0,0,0),B(V3,-1,0),C(V3,1,0),P(0,0,2),E(—,1)

22

—l—V31

.'.AB=(遮，-1,0),AE=(—,—,1)

22

第15頁(yè)(共21頁(yè))

設(shè)平面/BE的一個(gè)法向量為蔡=(x,y,z),

n-AB=V3x—y=0

則令x=V5,貝!!y=3,z=-3,

/薪=%+%+z=0

所以面/BE的一個(gè)法向量為I=(W,3,-3),

又品=（V3,1,0）,

->7

所以C到平面ABE的距離為空83+32V21

V3+9+9—7

17.(13分)在△/BC中，7a=6bcosB.

(I)若sin4=y,求/B的值；

(II)若c=8,從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△45C存在.求△ZBC的面積.

條件①：siib4=/

條件②：sin5=孚.

解：(I)由正弦定理可得7siiL4=6sin5cos5=3sin28,

又siiL4=

可得cos25=l,

因?yàn)锽E(0,n),

所以28=3,即

Z4

(II)若選條件①：由正弦定理可得7siiL4=6sin及os5=3sin25,

又siiL4=*

所以sin2S=1>1,此時(shí)△4BC不存在；

第16頁(yè)(共21頁(yè))

若選條件②：由cosB=前＞0,

又sin5=亨，可得cosB="—SMB=義,可得7a=3b,

由余弦定理廬=〃2+《2_2accosS,可得(上)2=a2+64-8a,解得。=3或。=—空(舍去)，

35

-1

所以A48C的面積S=^acsinS=6V3.

18.(14分)尸必值是國(guó)際上通行的宏觀經(jīng)濟(jì)監(jiān)測(cè)指標(biāo)之一，能夠反映經(jīng)濟(jì)的變化趨勢(shì).如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)

局發(fā)布的某年12個(gè)月的制造業(yè)和非制造業(yè)尸M值趨勢(shì)圖.將每連續(xù)3個(gè)月的尸M值作為一個(gè)觀測(cè)組,

對(duì)國(guó)家經(jīng)濟(jì)活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)測(cè)和預(yù)測(cè).

(I)現(xiàn)從制造業(yè)的10個(gè)觀測(cè)組中任取一組，

(i)求組內(nèi)三個(gè)PA〃值至少有一個(gè)低于50.0的概率；

(ii)若當(dāng)月的PM值大于上一個(gè)月的尸M值，則稱(chēng)該月的經(jīng)濟(jì)向好.設(shè)X表示抽取的觀測(cè)組中經(jīng)濟(jì)

向好的月份的個(gè)數(shù)(由已有數(shù)據(jù)知1月份的尸必值低于去年12月份的PM值)，求X的分布列與數(shù)學(xué)

期望；

(II)用力。=1,2,12)表示第/月非制造業(yè)所對(duì)應(yīng)的值，石表示非制造業(yè)12個(gè)月PMr值

的平均數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出向-司取得最大值所對(duì)應(yīng)的月份.

解：(I)(力從制造業(yè)的10個(gè)觀測(cè)組中任取一組的基本事件有：

(51.3,50.6,51.9),(50.6,51.9,51.1),(51.9,51.1,51),(51.1,51,50.9),(51,50.9,50.4),

(50.9,50.4,50.1),(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6,49.2,50.1),(49.2,50.1,50.3),

共有10個(gè),

設(shè)“組內(nèi)三個(gè)尸必值至少有一個(gè)低于50.0”為事件/,則事件/包含的結(jié)果有：

(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6,49.2,50.1),(49.2,50.1,50.3)共4個(gè)，

第17頁(yè)(共21頁(yè))

由古典概型的計(jì)算公式，得p(a)=條=|；

(萬(wàn))x的可能取值為0,1,2,

51421

P(x=0)=而=z，P(x=1)=而=耳，P(x=2)=而

X的分布列為：

X012

P121

2510

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x1+lx|+2x^=|:

(II)8月份，理由如下：

由某年12個(gè)月的非制造業(yè)尸M值趨勢(shì)圖中的數(shù)據(jù)，得

52.4+51.4+56.3+54.9+55.2+53.5+53.3+47.5+53.2+52.4+52.3+52.7

rb=--------------------------------------------T75---------------------------------------------=5r2n.9,

根據(jù)某年12個(gè)月的非制造業(yè);W值趨勢(shì)圖，可知

當(dāng))=8時(shí)，|與―可取得最大值為也—加=|47.5-52.9|=5.4.

%乙?乙V3

19.(14分)橢圓環(huán)—+—=1(tz>6>0)的左頂點(diǎn)為/(-2,0),離心率為—.

a2b22

(I)求橢圓〃的方程；

V3

(II)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,y)的直線(xiàn)/交橢圓M于C兩點(diǎn)，。是直線(xiàn)％=-4上一點(diǎn).若四邊形力5CQ

為平行四邊形，求直線(xiàn)/的方程.

解：(I)因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為/(-2,0),則0=2,離心率為座，即e=￡=*，

2a2

所以°=b，62=6Z2-c2=l,

所以橢圓的方程為：丁+/=1;

4

(II)設(shè)。(-4,力，B(xi,yi),C(%2,”)，

又A(-2,0),由四邊形力BCZ)為平行四邊形，所以直線(xiàn)力?！˙C,

kBC=kAD=—<所以直線(xiàn)5c的方程為：y=一聶+孚,

—41十/ZZZ

(_t,右

1V=-TTXd—-c

聯(lián)立4222,整理可得：(1+及)？_2百tx-1=0,

△>0顯然成立，且工1+工2=2西;,XIX2=-----

1+rl+tz

則明=Jl+t12t2“，1.

+x)2-4XX------y-o-4*(------7)，而閨)|=7t2+4,

212(1+t2)21+t2

第18頁(yè)(共21頁(yè))

所以已備—4?(—金)，解得」=±四，

所以直線(xiàn)/的方程為：y=±gx+孚.

2乙

當(dāng)直線(xiàn)3c的斜率為0時(shí)，則直線(xiàn)BC的方程為歹=卓，代入橢圓3+產(chǎn)=1中，可得x=±l,

z4

5(1,J),C(-1,y),則直線(xiàn)N8的斜率為k=1］；)=咯'且恒引=］口一(—2)2+(亭尸=粵,

更-0

也為四邊形為平行四邊形，所以可得/O〃8C,即。(-4,0),可得直線(xiàn)CD的斜率?：

-1-(-4)

V3

6

即。(-4,0),則Q0=J［—l—(―4)］2+(?)2=挈=|/同，所以四邊形Z3CD也為平行四邊形,

V3

尸T-

20.

(I)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線(xiàn)方程;

(II)當(dāng)“=［時(shí)，求函數(shù)/G)的單調(diào)區(qū)間；

(III)當(dāng)X<0時(shí)，f(x)斗恒成立，求4的取值范圍.

-1-xa-

解：(I)V/(x)=ln——+-GV1且xWO),

2%

11

當(dāng)Q=0時(shí)，f(X)=--f'(-1)=-5,

Jx—1JL

\—x

f(x)=歷一^―,/(-1)=0,

1

故曲線(xiàn)歹=/(x)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線(xiàn)方程為歹=一方(x+1),即x+2>1=0；

第19頁(yè)(共21頁(yè))

(II)易得定義域?yàn)?-8,0)U(0,1),

當(dāng)。=—4時(shí)，/(X)=六+}=_(管:)

2」x-12/2/(1-%)

1

令/(x)=0,得或x=-l,

11

當(dāng)xV-1或一<vVl時(shí)，/(x)VO,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)-IVxVO或OVxV5時(shí)，，(x)>0,/

(x)單調(diào)遞增；

11

故/(無(wú))的單增區(qū)間為(-1,0),(0,-)；單減區(qū)間為(-8,-1),(-,1).