2024年高三數(shù)學(xué)練習(xí)題及答案（十）

一、單項(xiàng)選擇題：

1.已知集合屈=卜,2一2%<0},7V=(x|j=log2(x-1)},則WN=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}C.{x|x〉l}D.{x|x>0}

【答案】D

【解析】

集合"中：1_2》<0解得0<x<2,即M={x[0<xW2},

集合N中描述的是x的范圍，即函數(shù)>=log2(x-1)的定義域，x-1>0解得x>l

即N={x|x〉l}；

所以MUN={HXNO}

故選D項(xiàng).

2.已知復(fù)數(shù)(1+2?=。+4，aeR,beR,a+b=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【解析】因?yàn)?l+2i)i=-2+i,所以。=—2,b=l,a+b=—1,選B.

3.甲：4、4是互斥事件；乙：4、4是對(duì)立事件，那么()

A.甲是乙的充要條件B.甲是乙的充分但不必要條件

C.甲是乙的必要但不充分條件D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條

件

【答案】C

【解析】當(dāng)4、4是互斥事件時(shí)，4、4不一定是對(duì)立事件，所以甲是乙的非充分條

件.

當(dāng)4、4是對(duì)立事件時(shí)，4、4一定是互斥事件，所以甲是乙的必要條件.

所以甲是乙的必要非充分條件.

故選c.

4.等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4%、2a2、4成等差數(shù)列，若q=1，則$5=()

A.15B.16C.31D.32

【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為心由于4%、2a八4成等差數(shù)列，且為=1，

.二4%=4%+%,即4q=4+q2,即夕2_4夕+4=0,解得q=2,

因此,：lx(l-25)

=31?

1-2

故選：C.

兀兀

5.函數(shù)/(x)=sin2x-Gcos2x在區(qū)間一3萬(wàn)上的零點(diǎn)之和是()

【答案】B

［解析］由/(x)=sin2x-V3cos2x=0得sin2x=6cos2x,即tan2、=也

所以2%=左〃+工，gpx=—+-

7171

又因?yàn)閤e

77TT

所以當(dāng)左=一1時(shí)》=—,左=0時(shí)x=—

36

函數(shù)/（x）=sin2x-百cos2x在區(qū)間-上的零點(diǎn)之和是-f+￡=-￡

_22」366

故選B

6.已知（1+%）71的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

和為（）.

A.212B.211C.210D.29

【答案】D

【解析】因?yàn)椋?+無(wú)產(chǎn)的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C：=C，解

得”=10,

-x210=29

所以二項(xiàng)式（1+%>°中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為二一-.

7.已知：2"=6&=10，則3,ab,a+6的大小關(guān)系是（）

A.ab<a+b<3B.ab<3<a+b

C.3<a+b<abD.3<ab<a+b

【答案】D

【解析】?=log210>log28=3,6=log610>l,

:?ab>3；

又Q+b=J_+j_=Ig2+lg6=lgl2>1na+b>ab,a+b>ab>3.D.

abab

22

8.已知雙曲線「二-「=1(?！?,/)〉0)的一條漸近線與函數(shù)^=1+111》+1112的圖象相

ab

切，則雙曲線r的離心率等于()

A.V2B.V3C.1D.V5

【答案】D

【解析】由函數(shù)y=l+lnx+ln2,(x>0).可得/=L假設(shè)漸近線與函數(shù)的切點(diǎn)為

X

ay1+Inx+In211

尸(X。，外).則漸近線的斜率為工=2n所以可得----n2——=一解得.所以可得

bx0x0x02

2」/,h=?

a~T~…一上又因?yàn)閏2=，+>.即可解得￡=".故選口.

2a

二、多項(xiàng)選擇題：

9.下列命題正確的是()

A.3a,beJ?,|<2—2|+(Z)+1)2<0B.\/aGR,BXeR,使得tix>2

c.仍wo是/+/N0的充要條件D.a^b>-l,則

l+a1+b

【答案】AD

【解析】A.當(dāng)a=2,b=-1時(shí)，不等式成立，所以A正確.

B.當(dāng)a=0時(shí)，0-x=0<2,不等式不成立，所以B不正確.

C.當(dāng)。=0,670時(shí)，/+620。成立，此時(shí)仍=0,推不出仍wO.所以C不正確.

,aba(l+b)-/?(l+a)a-b一、，、M,ab

D.由i/=—/I/x—=fi?vi-uMJ因?yàn)椤?6〉一1，貝I:;-------■一所以D

l+a\+b(1+a)V(1\+b)(l+a)(l+6)l+a1+b

正確.

故選：AD.

10.如圖，在矩形4SCD中48=240=2,E為45的中點(diǎn)，將AADE沿DE翻折到A4QE

的位置,4e平面/BCD,M為4c的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（）

A.恒有W〃平面

B.B與M兩點(diǎn)間距離恒為定值

C.三棱錐4-DEM的體積的最大值為變

12

D.存在某個(gè)位置，使得平面平面4。。

【答案】ABC

【解析】取4。的中點(diǎn)N,連結(jié)EN,可得四邊形斜WE是平行四邊形,

所以BM〃EN,所以W〃平面故A正確；

（也可以延長(zhǎng)DE,CB交于H,可證明也〃Z",從而證明BM//平面&DE）

因?yàn)镈N=；,DE=42,NA\DE=NADE=45。,

根據(jù)余弦定理得

ft

iiB

EN2=-+2-2xV2x-x—,

422

得EN=M

2

因?yàn)椤闚=W,故BM=也,故B正確；

2

因?yàn)?為4。的中點(diǎn)，

所以三棱錐C-的體積是三棱錐4DE的體積的兩倍，

故三棱錐ARE的體積V_=-h,其中力表示到底面ABCD的

c-cAiDEVVAI_DEC=^SACDE4

距離，當(dāng)平面NQE，平面/BCO時(shí)，力達(dá)到最大值，

此時(shí)〃一小。取到最大值也，所以三棱錐4-DEN體積的最大值為無(wú)，故C正確；

612

考察D選項(xiàng)，假設(shè)平面平面4。。，平面4。￡口平面，AE±AXD,

故4E,平面4c。，所以4E，4C,

則在△4CE中，NE4C=90。，AXE=\,EC=42,所以4。=1.

又因?yàn)?。=1,8=2,所以故4,C,￡?三點(diǎn)共線，

所以4eCD,得4e平面48c與題干條件4e平面48。。矛盾，故D不正確；

故選A,B,C.

11.等差數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S”，若4〉0,公差dwO,則下列命題正確的是（）

A.若工=風(fēng)，貝IJ必有幾=0B.若Ss=Sg,則必有邑是S“中最大的項(xiàng)

C.若56〉邑，則必有S’〉'D.若S6〉E，則必有S5〉￡

【答案】ABC

[解析】???等差數(shù)列｛a,,｝的前“項(xiàng)和公式s“=〃/+〃（〃—，）"，

2

若2=89,則5%+10（7=9%+36d,

]3d

24+13d=0,a]=———,tZ]>0,t/<0,

..+%4=。，***S]4=7（。]+。]4）=0，A；

.cn（n-｛\d13〃dn（n-\\d-7），-491,,八?

??Sn=nax+△—!—=-----+△—」=_L1_________J,由二次函數(shù)的性質(zhì)知S]是

2222

S,,中最大的項(xiàng)，8對(duì)；

若$6>S7,貝I]%=1+61<0,.，.為<-6J,

：%〉0,d<0,a6=a[+5d<-6d+d=-d>0,as=a7+d<a-,<Q,

S5<$6=S5+4,S7>Sg=S7+“8,C對(duì),D錯(cuò)；

故選:ABC.

12.在尺/△48C中，AB=AC,BC=4,在邊上分別取M,N兩點(diǎn)，;沿MN將'AAMN

翻折，若頂點(diǎn)/正好可以落在邊上，則如f的長(zhǎng)可以為（）

A.V2B.逑C.4--D.4-2北

22

【答案】ABD

【解析】

在中，AB=AC,BC=4,所以48=/。=2a，如上圖，在翻折過(guò)程中有

AM=MA',設(shè)=BM=MA'=272-x)所以設(shè)N/'NM=N4TM=6,

則乙=/必'8=180。-2。-45°=135°-2夕在4氏4'8中由正弦定理可得：

MBA'Mx

_________—______nJ___2__V__2_-_x__________

sin/KTB-sin/5sin(1350-20)-sin45。

0°<0<90°

n00<26<135。，

2^<135°

135°-2^G[0,135]°.-,V2+2sin(135°-2^)e[V2,V2+2]

444

—SX=-----------------￡----------即nxe[4-20,2&]

—,V2+2sin(135°-2^)[行+2’行.

只有4-也不在范圍內(nèi)，所以答案選擇ABD

2

三、填空題:

13.已知點(diǎn)/(TO),5(1,0),若圓/+/—0―6y+25-加=0上存在點(diǎn)P使萬(wàn).方=0,

則m的最大值為;此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】36-，-J

【解析】由12+/—8%一63；+25—加=0可得(］一4)2+3—3)2=冽,

所以圓的圓心。(4,3),半徑〃二標(biāo),

/(_1,0),5(1,0),設(shè)尸(4+V^cos8,3+4Tsine),

則PA-(-5-4mcos仇一3-4msin0),PB=(-3-4mcos仇一3-yfmsin0),

因?yàn)閳A12+/一8%一6;7+25-加=0上存在點(diǎn)尸使力.萬(wàn)=0，

所以PA-PB=15+8Vmcos0+mcos2^+9+6而sin0-]-msm20

=24+加+10Vmsin(。+0)=0(tan0=1)，

所以加-10j^+24:0,解得加=16或加=36,

所以加的最大值為36；

34

止匕時(shí)滿足sin(6+0)=-1,即sin。=-cos。=-—,cos0=-sin(p=,

4343

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸(4+6x(-小3+6x(-7),即尸(_父_/

43

故答案是：36；

14.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為〃地球留給人類保留宇宙秘密的最后

遺產(chǎn)〃，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑4,5兩點(diǎn)

間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CD=80,NADB=135。,

/BDC=NDCA=15。,ZACB=120°9則兒5兩點(diǎn)的距離為.

【答案】8075

【解析】由已知，△ACD中，ZACD=15°,ZADC=150°,

_80sinl50°

??.NDAC=15。由正弦定理得“sin150

4

△BCD中，ZBDC=15°,Z6CD=135°,

AZDBC=30°,

用CDBC

由正弦JE理，.，

smACBDsinZBDC

CD-sinZBDC80x;nl50=160szm5°=40

所以BC—sin/CBD

2

△ABC中，由余弦定理,

AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cosNACB=

1600（8+4V3）+1600（8-4A/3）+2X1600（V6+V2）X（V6-V2）X1

=1600x16+1600x4=1600x20

解得：AB=8045,

則兩目標(biāo)4B間的距離為80e.

故答案為80班.

15.已知函數(shù)/(x)=<:設(shè)g(x)="+l,且函數(shù)y=/(x)-g(x)的圖象經(jīng)

x-12x+3,x>0

過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)化的取值范圍為.

【答案】［-9,J

【解析】當(dāng)X40時(shí),f(x)-g(x)=|x+3\-kx-l,須使f(x)-g(x)過(guò)第三象限,

所以f(-3)-g(-3)<0,解之得k<；.

當(dāng)x>0時(shí),f(x)-g(x)=卜一(12+4)x+2,

因?yàn)?'(x)—g'(x)=3——12—左,

所以須使f(x)-g(x)過(guò)第四象限,

綜合得-9Vk<g

故答案為：卜9,J

16.已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)4B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，區(qū).麗=2(其

中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△AB。與△AF。面積之和的最小值是.

【答案】3

【解析】如圖，可設(shè)4m2,m),B(n2,n),其中m>0,n<0,則厲=(?，m),~0B=

(n2,n),OAOB=m2n2+mn=2,解得mn=l(舍)或mn=-2.

222

.".IAB：(m—n)(y—n)=(m-n)(x—n),BP(m+n)(y—n)=x—n2,令y=0,解得x=—mn

=2,."(2,0).

,1,1111nl

SZIOB=SAZIOC+SABOC=-x2xm+-x2x(—n)=m—n,SOF=~x-xm=-m,則SB+S

A2224oMA/(O

92

1992(92"—in——4

AOF=m—n+-m=-m—n=-m-\--->2J—-=3，當(dāng)且僅當(dāng)｛8m,即m=Q時(shí)

A888m\8m

m>0

等號(hào)成立.故△AB。與△AF。面積之和的最小值為3.

四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列｛4｝中，%=加，且%+i=3an+2n-l,bn=a“+〃（〃eN*）.

（1）判斷數(shù)列｛，｝是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)加=2時(shí)，求數(shù)歹U｛（-D"%｝的前2020項(xiàng)和S2020.

32021-4043

【答案】（1）①時(shí)，不是等比數(shù)列；②時(shí)，是等比數(shù)列；（2）

4

【解析】（1）..?%=3%+2〃一1,

bn+l=an+l+〃+1=3a“+2〃-1+〃+1=3（%+〃）=3”,

①當(dāng)為二1時(shí),4=0,故數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列;

②當(dāng)冽?1時(shí)，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為4=加+1/0,公比為3.

n

（2）由⑴且當(dāng)」*當(dāng)時(shí)有:“=%+〃=3X3"T=3",BPan=3-n,

，(—1)Z,=(—3)"—(―1)”〃，

?Q

…02020-[(-1+2)+(-3+4)+...+(-2019+2020)]

1—(—3)

-3+3202132°2i—4043

---------1010=

44

18.（本小題滿分12分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每

瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根

據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：。C）有關(guān).如果最高氣溫不低于

25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶；如果最高氣

溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的

最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

溫

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)

貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.

34

【答案】（1）j.（2）j.

【解析】（1）由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，

得到最高氣溫位于區(qū)間［20,25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36=54,

根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：。C）有關(guān).

如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶，

如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶，

如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶，

543

???六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率P=..

（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí)，需求量為500,

V=450x2=900兀，

當(dāng)溫度在［20,25)℃時(shí)，需求量為300,

丫=300x2-(450-300)x2=300元，

當(dāng)溫度低于20℃時(shí)，需求量為200,

/=400-(450-200)x2=-100元，

當(dāng)溫度大于等于20時(shí)，丫＞0,

由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有：

90-(2+16)=72,

???估計(jì)、大于零的概率P=7^2=j4.

19.(本小題滿分12分)在A45C中，角所對(duì)的邊分別是a,b,c,且

27r/-

b=2,A=—,cosS=V3sinC.

(1)求邊48的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)。是邊BC上的一點(diǎn)，且A4CO的面積為述，求/4DC的正弦值.

4

【答案】sinZADC=^-

7

【解析】

(1)cosB=V3sinCncos1-C=V3sinC

3sC+@

sinC=V3sinCntanC=—,C=-

2236

B=Cnb=c=2

(2)S=—xbxCDxsin—=

AMACCDD264

解得CD=上

2

在A4c。中，由余弦定理得2。2=22+（言）2_2x手x2xcosW=：

AD=2T

在AACD中，由正弦定理得=———nsinZADC=冬夕.

sinCsinZADC7

20.（本小題滿分12分）如圖，C、D是以AB為直徑的圓上兩點(diǎn)，AB=2AD=2jj,AC=BC,

F是AB上一點(diǎn)，且AF=2AB,將圓沿直徑AB折起，使點(diǎn)C在平面ABD的射影E在BD

3

上，已知CE=J^.

(1)求證：AD,平面BCE；

(2)求證：AD〃平面CEF；

（3）求三棱錐A-CFD的體積.

【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)退

6

【解析】(1)證明：依題ADLBD,

平面ABD,ACEXAD,

VBDnCE=E,

.?.AD,平面BCE.

(2)證明：Rt^BCE中，CE=A/2，BC=V^,ABE=2,

《△ABD中，AB=2正，AD=M，，BD=3.

?BFBE2

??--zz-----=~.

BABD3

I.AD〃EF,AD在平面CEF夕卜，

，AD〃平面CEF.

(3)解：由(2)知AD〃EF,AD±ED,

且ED=BD-BE=1,

，F(xiàn)至UAD的距離等于E至UAD的距離為1.

SAFAD=-^XA/3X]=￥，

平面ABD,

.*.VACFD=VC-AFD=|saFAD-CEX乎x幅里

3Ozb

Inx-i-rt

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=-----------(acR),g(x)=e2-2.

x

(1)求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(若Vg(x)在(0,+8)上成立,求)的取值范圍.

【答案】(1)"X)單調(diào)遞增區(qū)間為?e~),單調(diào)遞減區(qū)間為[e~,+00)；(2)(-叫1].

【解析】⑴/⑺=一一

當(dāng)0<x<e—時(shí)，/'(x)>0,〃x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x濾?時(shí)，/'(x)<0,"X)單調(diào)遞減,

故/(X)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e?),單調(diào)遞減區(qū)間為[e?,+oo).

(2)法一：由/(x)Vg(x)得蛆士—2,即a〈x(e2x—2)—lnx,

X

令〃(x)=x(e2x-2)-lnx,h'(x)=(2x+l)e2x-=(2x+1)|e2x-」，

X<XJ

F(x)=e2x--(x>0),F'(x)=2e2j+4>0,/⑴在(0,+⑹單調(diào)遞增,

XX

又=右—4<0,F^=e-2>0,

所以E(x)有唯一的零點(diǎn)x°e(；,g),

且當(dāng)xe(0,x0)時(shí)，X3—4X,即當(dāng)X)<0,g)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(Xo，+oo)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,gp/z'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

2x

所以人(x)min=h(x0)=x0(e°-2)-lnx0,

又因?yàn)?(為)=0所以右(%)=/《-2