2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練-圖形的相似

備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題25圖形的相似

一、選擇題

1.如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測試距離為5m時，標(biāo)準(zhǔn)視

力表中最大的“E”字高度為62.7mm,當(dāng)測試距離為3小時，最大的“E”字高度為（）

43.62mmD.104.5mm

2.如圖，正方形ZBCD邊長為4,點E在邊ZD上運動，在BE的左側(cè)作等腰直角三角形=90°,

連接4F.喜歡探究的小亮通過獨立思考，得到以下兩個結(jié)論：①當(dāng)點E與點D重合時，XF=4；②

當(dāng)線段4F最短時，4E=2.下列判斷正確的是（）

A.①，②都正確B.①，②都錯誤

C.①正確，②錯誤D.①錯誤，②正確

3.古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段

MN分為兩線段MG、GN,使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的一段GN的比例中項，即

滿足然=然=點=,后人把電二這個數(shù)稱為“黃金分割數(shù)”，把點G稱為線段MN的“黃金分

MNMG22

割點”.如圖，在AABC中，已知AB=AC=3,BC=4,若點D是邊BC邊上的一個“黃金分割點”，則

△ADC的面積為（）

D

A.5-V5B.3V5-5C.20-8V5D.10-4V5

4.在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點如下:

（向：將邊長為3,4,5的三角形按圖①的方式

向外擴張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間，令/弋、

距均為1，則新三角形與原三角形相似./.二，

圖①

\）

2：將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外…戶----1

擴張，得到新矩形，它們的對應(yīng)邊間距均

為1,則新矩形與原矩形不相似.

囹②

對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）

A.兩人都對B.兩人都不對

C.甲對，乙不對D.甲不對，乙對

5.如圖，將。。的圓周分成五等分（分點為A、B、C、D、E）,依次隔一個分點相連，即成一個正

五角星形.小張在制圖過程中，驚訝于圖形的奇妙，于是對圖形展開了研究，得到：點M是線段AD、

BE的黃金分割點，也是線段NE、AH的黃金分割點.在以下結(jié)論中，不正確的是（）

C.BN=NM=MED.Z4=36°

二、填空題

6.四邊形ABCD是一張矩形紙片，點E在AD上，將4ABE沿BE折疊，使點A落在矩形的對角線

BD上，連接CF,若DE=1,請?zhí)骄肯铝袉栴}:

B.

B,C

（1）如圖1,當(dāng)F恰好為BD的中點時，AE=；

（2）如圖2,當(dāng)點C、E、F在同一條直線上時，AE=.

7.為了測量校園水平地面上一棵不可攀爬的樹的高度，小明利用物理學(xué)中“光的反射定律”做了如下

的探索：如圖，找一面很小的鏡子放在合適的位置（點E處），小明站在點D處剛好能在鏡子里看到

樹梢頂點，此時小明看鏡子的視線與地面的夾角為30。（即NCE￡>=30。），鏡子到大樹的水平距離BE

為30米，則樹的高度為米（注：反射角等于入射角，結(jié)果若有根號則保留根號）.

8.如圖1,在Rt^ABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,求作菱形DEFG,使點D在邊AC上，點E、

F在邊AB上，點G在邊BC上.小明發(fā)現(xiàn)所作的四邊形DEFG是菱形，于是小明進一步探索，發(fā)現(xiàn)可

作出的菱形的個數(shù)隨著點D的位置變化而變化，當(dāng)菱形的個數(shù)只有1個時CD的長的取值范圍

為________________________.

be干點G

2以點D為四心,DG長為必

連艘FG.則四邊形

為所求作的英冊.

9.感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB〃CD,NB=90。，點P在BC邊上，當(dāng)NAPD=90。時，可

知△ABPs^pCD.（不要求證明）

探究:如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當(dāng)NB=NC=NAPD時,求證:AABP^APCD.

拓展：如圖③，在AABC中，點P是邊BC的中點，點D、E分別在邊AB、AC上.若

ZB=ZC=ZDPE=45°,BC=6V2,CE=4,貝I]DE的長為.

10.如圖1是2002年發(fā)行的中國紀(jì)念郵票，其圖案是三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》

中所給勾股定理的證明.同學(xué)們在探索勾股定理時還出現(xiàn)了許多利用正方形證明勾股定理的方法.如

圖2,正方形ABCD是由四個全等的直角三角形和一個正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由與上述

四個直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD,EFGH,IJKL的面積分別為Si,

Si,S3分別連結(jié)AK,BL,CLDJ并延長構(gòu)成四邊形MNOP,它的面積為m.①請用等式表示Si,

Si,S3之間的數(shù)量關(guān)系為：；②!!!：（用含Si,S3的代數(shù)式表示m）

三'理論探究題

11.閱讀下面材料：小騰遇到這樣一個問題：如圖1,在△4BC中，點。在線段BC上，ABAD=75°,

小騰發(fā)現(xiàn)，過點C作CE〃AB,交40的延長線于點E,通過構(gòu)造△4CE,經(jīng)過推理和計算能夠使問題得

到解決（如圖2）.

請回答：

（1）乙4CE的度數(shù)為,4C的長為.

（2）參考小騰思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在四邊形ZBCO中，4BAC=90°,/.CAD=30°,^ADC=75°,AC與BD交于點E,AE=2,BE

2ED,求BC的長.

12.如圖，在AABC中，點D是邊AB的三等分點，DE=5,求BC的長.

（1）如圖①，在AABC中，點D是邊AB的中點，連接DF交AC于點E,若DE：EF=3：1,

EC=2,則AC的長為.

（2）如圖②，在AABC中，點D為邊BA延長線上一點，連接DE交AC于點F,若點A為DB

的中點，4DBE的面積為4,則4CFE（陰影部分）.

13.兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)：將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB,

若華=需，則把這種分割叫做黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點，這個比值叫做黃金比.

（精確到0.001,參考數(shù)據(jù)：V2=1,4142,V3=1.7321,逐=2.2361,①=2.4495）

（2）如圖②，在AABC中，AB=AC,乙4=36。，BD是AABC的角平分線.

求證：點D是線段AC的黃金分割點.

（3）如圖③，點E是正方形ABCD的BC邊的中點，以點E為圓心以ED長為半徑畫弧，交射線

BC于點F,過點F作FG1BC交射線AD于點G.若4G=2百，請直接寫出AB的長.

14.【中考變形】

定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，那么我們把這兩條線段叫做這個三角形的

三分線.

(1)請你在圖1中用兩種不同的方法畫出頂角為45。的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個等腰三

角形頂角的度數(shù)(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種).

圖1

(2)在AABC中，ZB=30°,AD和DE是AABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上,

且AD=BD,DE=CE,設(shè)NC=x。，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值.

(3)如圖2,在AABC中，AC=2,BC=3,ZC=2ZB,請畫出△ABC的三分線，并求出三分線

的長.

15.(1)數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題；如圖1,在矩形ABCD中，E是邊AB上一點，DFLCE

于點F,GD±DF,AGXDG,AG=CF,試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由.

(2)【實踐探究】小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形ABCD中，E

是邊AB上一點，DFLCE于點F,AHLCE于點H,GDLDF交HA的延長線于點G,可以用等式

表示線段FH,AH,CF的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題:

圖2

（3）【拓展遷移】小博深入研究小睿提出的這個問.題，發(fā)現(xiàn)并提出了新的探究點：如圖3,在正方

形ABCD中，E是邊AB上一點，AHLCE交CE的延長線于點H,點M在CH上，且AH=HM,連

結(jié)AM,BH,可以用等式表示線段CM,BH的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題.

16.【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內(nèi)容：

我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行線相交時，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系：器=

售.這就是如下的基本事實：

兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.（簡稱“平行線分線段成比例”）

圖①圖②圖③

（1）【問題原型】如圖①，在矩形ABCD中，點E為邊AB的中點，過E作EF〃AD交邊DC于

點F,點P、Q分別在矩形的邊AD、BC±,連結(jié)PQ交EF于點M.求證：PM=QM.

(2)【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，在【問題原型】的基礎(chǔ)上，點R在邊BC上(不與點Q重合)，連結(jié)

PR交EF于點N.

若MN=4,則線段QR的長為；

(3)當(dāng)點Q與點B重合，點R與點C重合時，如圖③，若BC=10,且△PMN周長的最小值為

12,則邊AB的長為.

17.如圖1,在△N3C中，AB=AC=2,ZBAC=12Q°,點。、E分別是/C、3c的中點，連接DE.

(1)探索發(fā)現(xiàn)：

圖1中，整的值為,器的值為.

(2)拓展探究

若將繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中第的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明.

(3)問題解決

當(dāng)4CDE旋轉(zhuǎn)至A,D,C三點共線時，直接寫出線段BE的長.

18.

02圖3

(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△ABC中,AB=AC,D是線段BC上一動點，以ZD為一條邊在4D/的左側(cè)作^ADE,

使力0=AE,ZEAD=ZBAC,連接BE.則ZABE與ZC的數(shù)量關(guān)系為.

(2)類比探究

如圖2,在△ABC中，。是線段BC上一動點，以20為一條邊在4。的左側(cè)作△2DE,使親=釜且

Z.EAD=Z.BAC,連接BE.則(1)中乙4BE與“的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？請說明理由.

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,在(2)的條件下，若ZC=3O。，AB=6,當(dāng)AE取最小值時，△4BE的面積為.

19.定義：長寬比為b：1(〃為正整數(shù))的矩形稱為近矩形.下面，我們通過折疊的方式折出一個企

矩形，如圖①所示.

操作1：將正方形4BCD沿過點B的直線折疊，使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處，折痕為BH.

操作2：將4。沿過點G的直線折疊，使點4點。分別落在邊4B,CD上，折痕為EF.

則四邊形BCEF為魚矩形.

證明：設(shè)正方形4BCD的邊長為1,貝UBD=712+I2=V2-

由折疊性質(zhì)可知BG=BC=1,AAFE=^BFE=90°,則四邊形BCEF為矩形,

：.AA=2,BFE,：.EF||AD.

?嚼=瑞即奈竽???/=%，.??,BF=1：^=V2：1,

二四邊形BCEF為魚矩形.

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：

(1)在圖①中，所有與相等的線段是、,tan/HBC的值是；

(2)已知四邊形BCEF為四矩形，模仿上述操作，得到四邊形BCMN,如圖②，求證：四邊形BCMN

為舊矩形；

(3)將圖②中的百矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后，得到一個“低矩形”，則n的值

是.

20.已知四邊形4BCD中，E,尸分別是48,邊上的點，DE與CF交于點、G,令=無.

圖1圖2圖3

⑴特例解析：如圖1,若四邊形四3)是矩形，且。E4F求證：器=依

(2)類比探究：如圖2,若四邊形9是平行四邊形,當(dāng)N8與NEGC滿足什么關(guān)系時,器

=左仍然成立？并證明你的結(jié)論;

(3)拓展延伸：如圖3,在（2）的條件下，k―^,AD=5,tanZ.DCFZAED=45°,求

DE的長.

圖1圖2圖3

(1)綜合與探究，如圖1,在正方形2BC。中，點E,廠分別在邊BC,CD上，且凡則線段

力E與BF的之間的數(shù)量關(guān)系為:

(2)【類比探究】如圖2,在矩形4BCD中,4B=3,AD=5,點E,9分別在邊BC,CD上，且4E1BF,

請寫出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)【拓展延伸】如圖3,在RtA力BC中，ZABC=90°,AB=4,BC=6,D為BC上一點，且BD=2,

連接20,過點3作BE14。于點R交4c于點E,求BE的長.

【問題原型】華師版教材八年級下冊第121頁有這樣一道題：

如圖1,在正方形ABCD中，CEXDF.求證：CE=DF.

請你完成這一問題的證明過程.

【問題應(yīng)用】如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E、F分別是邊AB、BC上的點，且AE=BF.

(1)如圖2,連接CE、DF交于點G,H為GE的中點，連接DH,FH.當(dāng)E為AB的中點時，

四邊形CDHF的面積為；

(2)如圖3,連接DE、DF,當(dāng)點E在邊AB上運動時，DE+DF的最小值為.

23.綜合與實踐

如圖，在RtAZBC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,點尸以每秒2個單位長度的速度從點/出

發(fā)，沿AB方向向終點B勻速運動，同時點。以每秒1個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿C4方向向終

點/勻速運動，連接PQ.設(shè)運動的時間為。秒.

CQACQACA

圖1圖2備用圖

(1)求力Q的長(用含t的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)t=3秒時，求AAPQ的面積.

(3)如圖2,連接BQ,當(dāng)ABP。為直角三角形時，求所有滿足條件t的值.

24.閱讀下列材料，解決問題：

配方法是數(shù)學(xué)中一種很重要的恒等變形方法，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，并在此基

礎(chǔ)上得出了一元二次方程的求根公式.其實配方法還有很多重要的應(yīng)用.例如我們可以用配方法求代

數(shù)式的最值及取得最值的條件，如下面的例子：

例：求多項式2/一8%+1的最小值

解：2/—8%+1=2(%2—4%)+1

=2(%2—4%+4—4)+1

=2(工一2)2-7

(%-2)2>0,

2(%—2)—7之一7

???多項式的最小值為-7,此時，x=2.

仿照上面的方法，解決下面的問題：

(1)當(dāng)久=時，多項式—/-4%+3有最_________值是；

(2)若代數(shù)式M=2x2-3y2-%-1,N=x2-3y2+x-4,試比較M與N的大小關(guān)系；

(3)如圖，在△ABC中，BC=a,高49=b,矩形EFGH的四個頂點分別在三角形的三邊上，設(shè)HE=%,

矩形EFGH的面積為S.用含有久，a,6的代數(shù)式表示S,并求出當(dāng)久的值為多少時，S的值最大？并判

斷此時5與42BC面積的關(guān)系.

A

如圖1,點。是矩形4BCD內(nèi)一點，過點。的直線EF1MN,分別交矩形的邊為點E,F,M,N.若

AD=10,CD=7,EF=8,則MN=；

（2）【類比探究】

如圖2,在平行四邊形ABCD中，點E,M分別在邊4B,BC上，連接DM與CE交于

點0,乙DOE=NB.求證：CE-AB=DM-BC-,

（3）【拓展延伸】

如圖3,在四邊形/BCD中,BC=171,AB=4,ZB="DC=120。，盥=春M在邊BC上,連

接ZC與CM交于點。，當(dāng)乙4OD=/B時，求福的值.

26.如圖①，在正方形4BCD中，點E,廠分別在邊48、3c上，DF工CE于點、O,點G,〃分別在

邊4D、5c上，GHVCE.

（1）問題解決：①寫出DF與CE的數(shù)量關(guān)系：；

②器的值為;

（2）類比探究，如圖②，在矩形4BC。中，器=1（左為常數(shù)），將矩形N3CD沿G”折疊，使

點C落在48邊上的點E處，得到四邊形EFG4■交40于點尸，連接CE交GH于點O.試探究G77

與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形48c。中，/BAD=90。,AB=BC=6,AD=CD=4,BF_LCE,

點E、廠分別在邊48、40上，求需的值.

四'實踐探究題

27.【學(xué)科融合】如圖1,在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和

入射光線分別位于法線兩側(cè)；反射角廠等于入射角7..這就是光的反射定律.

【問題解決】如圖2.小紅同學(xué)正在使用手電筒進行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板

和平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點3處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點R

落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5血，點F到地面的高度CF=1.5血，燈泡到木板的水

平距離/C=5.4rn,木板到墻的水平距離為CD=4zn.圖中點4B,C,。在同一條直線上.

(1)求3c的長；

(2)求燈泡到地面的高度/G.

28.根據(jù)以下素材，探索解決問題.

測量旗桿的高度

素材1可以利用影子測量旗桿的高度.如圖1,光線CN〃4M,DN,BM分別是旗桿和小陳同學(xué)

在同一時刻的影子.

素材2可以利用鏡子測量旗桿的高度.如圖2,小陳同學(xué)從鏡子E中剛好可以看見旗桿的頂端C,

測得.

BE=2.5m

素材3可以利用標(biāo)桿測量旗桿的高度.如圖3,點G,P,C在同一直線上，標(biāo)桿PQ=3m,測得3Q=

3.5m,QD=14m.（說明：小陳同學(xué)、旗桿CD與標(biāo)桿PQ均垂直于地面，小陳同學(xué)的眼睛G離地面

的距禺GB=1.6m）

（1）任務(wù)1利用素材1證明△ABMs/\CDN；

（2）任務(wù)2在素材2中，小陳同學(xué)還要測量圖中哪條線段的長度（旗桿無法直接測量），才能

求出旗桿的高度？若把該線段的長度記為a,請你用含a的式子表示出旗桿的高度；

（3）任務(wù)3利用素材3求出旗桿的高度.

29.在學(xué)習(xí)了光的反射定律后，數(shù)學(xué)綜合實踐小組想利用光的反射定律（反射角等于入射角）測量池

塘對岸一棵樹的高度48,測量步驟如下：

①如圖，在地面上的點E處放置一塊平面鏡（鏡子大小忽略不計），小陽站在8E的延長線上，當(dāng)

小陽從平面鏡中剛好看到樹的頂點/時，測得小陽到平面鏡的距離DE=2加，小陽的眼睛點C到地面

的距離CD=1.6m；

②將平面鏡從點E沿BE的延長線移動6m放置到點H處，小陽從點D處移動到點G,此時小陽

的眼睛點尸又剛好在平面鏡中看到樹的頂點這時測得小陽到平面鏡的距離G〃=3.2在請根據(jù)以

上測量過程及數(shù)據(jù)求出樹的高度AB.

30.通常，路燈、臺燈、手電筒……的光可以看成是從一個點發(fā)出的，在點光源的照射下，物體所

產(chǎn)生的影稱為中心投影.

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ABGFDB

圖①圖②圖③

（1）【畫圖操作】如圖①，三根底部在同一直線上的旗桿直立在地面上，第一根、第二根旗桿在

同一燈光下的影長如圖所示.請在圖中畫出光源的位置及第三根旗桿在該燈光下的影長（不寫畫法）;

（2）【數(shù)學(xué)思考】如圖②，夜晚，小明從點A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點B,他的影長y

隨他與點A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致為

（3）【解決問題】如圖③，河對岸有一燈桿AB,在燈光下，小明在點D處測得自己的影長DF=3m,

沿BD方向前進到達點F處測得自己的影長FG=4m.已知小明的身高為1.6m,求燈桿AB的高度.

31.某校項目式學(xué)習(xí)小組開展項目活動，過程如下：

項目主題：測量旗桿高度

問題驅(qū)動：能利用哪些科學(xué)原理來測量旗桿的高度？

組內(nèi)探究：由于旗桿較高，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬紙板，標(biāo)桿，鏡子,

甚至還可以利用無人機…確定方法后，先畫出測量示意圖，然后實地進行測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從

而計算旗桿的高度.

成果展示：下面是同學(xué)們進行交流展示時的部分測量方案:

方案一方案二

測

量

標(biāo)桿，皮尺自制直角三角板硬紙板，皮尺

工

具

測A

量

示

DFBDB

圖①圖②

圖說明：線段AB表示學(xué)校旗桿，小明的眼說明：線段AB表示旗桿，小明的身高CD=

睛到地面的距離CD=1.7m,測點F與B,1.7m,測點D與B在同一水平直線上，D,

D在同一水平直線上，D,F,B之間的距B之間的距離可以直接測得，且A,B,C,

離都可以直接測得，且A,B,C,D,E,D,E,F,G都在同一豎直平面內(nèi)，點A,C,

F都在同一豎直平面內(nèi)，點A,C,E三點E三點在同一直線上,點C,F,G三點在同

在同一直線上.一直線上.

測B,D之間的距離16.8mB,D之間的距離16.8m

量D,F之間的距離1.35mEF的長度0.50m

數(shù)

EF的長度2.60mCE的長度0.75m

據(jù)

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你選擇一個方案，求出學(xué)校旗桿AB的高度.（結(jié)果精確到0.1m）；

（1）問題提出如圖①，在矩形ABCD中，NABC的平分線交AD于點E,連接CE,若AD=9,

NDCE=15。，求4BCE外接圓的半徑長.

（2）問題解決某社區(qū)準(zhǔn)備設(shè)計一個矩形花園，如圖②是花園的示意圖，圖中EF,EG,FG,FC

是花園內(nèi)四條小路，這四條小路將花園分成五個三角形區(qū)域，分別用來種植不同種類的花.根據(jù)設(shè)計

要求，NEGF=NBCF,NEFC=90。，DF：DC=1：2,AE=8米.該矩形花園面積是否存在最大值？

若存在，請求出其最大面積；若不存在，請說明理由.

圖2圖3

（1）【問題背景】

由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖1,即NCEF=L4EF）.小軍測量某建筑物高度的方

法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的

頂端4經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離CD=1.7m,BE=20m,DE=2m,求建筑物的高度.

（2）【活動探究】

觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖2）：他讓小軍站在點。處不動,

將鏡子移動至外處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G,測出D%=2m；再將鏡子移動至E2處，

恰好通過鏡子看到廣告牌的底端4測出DE2=3.4m.經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離CO=1.7m,

BD=10,求這個廣告牌/G的高度.

（3）【應(yīng)用拓展】

小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔的高度，他們給出了如下測量步驟

（如圖3）：①讓小軍站在斜坡的底端。處不動（小軍眼睛離地面距離CD=1.7m）,小明通過移動鏡

子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂昆②測出DE=2.8m；③測出坡長4。=

17m；④測出坡比為8：15（即tan乙4DG=基）.通過他們給出的方案，請你算出信號塔48的高度

（結(jié)果保留整數(shù)）.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】(1)1

(2)底T

2

7.【答案】10V3

8.【答案】⑺=碧或卷<⑺懸

D/O3

9.【答案】|

1。.【答案】52=坐；曾

11.【答案】(1)75°；3

(2)解：過點。作。F_L/C于點乩

v乙BAC=90°=^DFA,

???AB//DF,

???△ABEs^FDE,

.AB_AE_BE

：,~DF='EF=~DE=

???EF=1,AB=2DF.

在△4C0中，/.CAD=30°,4力DC=75。,

???乙ACD=75°=Z,ADC,

???AC=AD.

???DF1AC,

???乙AFD=90°,

在A4ED中，4尸=2+1=3,AFAD=30°,

DF=AFtan30°=b，AD=2DF=2后

AC=AD=2V3,AB=2DF=2存

BC=yjAB2+AC2=2V6-

12.【答案】(1)16

⑵④

13.【答案】(1)解：根據(jù)題意得，子=工.

解得，勺=二^1(舍)，X=4匹《0.618

(2)解：\'AB=AC,乙4=36°,

?ZBC=ZC=18。76。=72。.

VBD是aABC的角平分線，

J.^ABD=Z.DBC=36°.

J.^ABD=Z71,Z.BDC=BCDABC.

：.AD=BD,BC=BD.

又,：4BCDFABC,

.DC_BD

?,前一痔

.DC_AD

??而一宿

.?.點D是線段AC的黃金分割點.

(3)解：XB=5-V5

14.【答案】(1)解：如圖，

(2)解:

A

D

DC

①當(dāng)AD=AE時，

,.?2x+x=30+30

/.x=20

②當(dāng)AD=DE時，

30+30+2x+x=180,x=40.

③AE=DE時，不存在；

綜上所述，x的值為20?；?0。

(3)解：如圖：

設(shè)NB=a,貝iJ/DCB=NEAC=a,ZADE=ZAED=2a,

止匕時AAEC?△BDC,AACD-AABC；

設(shè)AE=AD=x,BD=CD=y,

VAAEC-ABDC

/.x：y=2：3

AACD~AABC

.?.2x=(x+y)：2

解得X=等，產(chǎn)爭；

???三分線的長分別是智和爭

15.【答案】(1)解：???DF1CE,GD1DF,AG1DG,

???ZG=乙GDF=4DFC=90°,

???^GDA+/LADF=90°,

???四邊形4BCD是矩形，

???/月DC=90。，

Z.CDF+^ADF=90°,

???Z-GDA=乙CDF,

-AG=CF,

.-.^ADG=ACDF(iAAS^

:.AD=CD,

???四邊形/BCD是正方形.

(2)解：vDF1CE,GD1DF,AH1CE,

???乙H=乙GDF=乙DFC=乙DFH=90°,

A^GDA+AADF=90°,四邊形是矩形，

???HG||DF,

???Z.GAD=Z-ADF,

???^GDA+乙GAD=90°,

.??zG=90°=4DFC,

??,四邊形Z3CD是正方形，

/.AD=CD,乙40c=90。，

^CDF+^ADF=90°,

?，?Z-GDA=Z-CDF,

?.^ADG=^CDF(AAS),

???AG=CF,DG=DF,

???四邊形GH尸。是正方形，

:.GF=HF,

.??HF=HG=AH+AG=AH+CF,

???HF=AH+CF.

(3)解：如圖，連接？1C,

???四邊形4BCD是正方形，

???^BAC=45°,AC=也AB,

???AHICE,

AAHM=90°,

?：AH=HM,

■.^HAM=45°,AM=近AH,

^HAB=^CAM,器=器=遮，

.?.AABH?△ACM,

BHV2

CM=T'

BH=*CM.

16.【答案】(1)證明：?.?矩形ABCD,

.,.AD//BC,

,/EF//AD,

.,.AD//EF//AD,

.PM_AE

?,朝一麗’

???點E是AB的中點，

.PM_AE

…刎-麗-1'

.,.PM=QM；

(2)8

(3)2V6

17.【答案】⑴爭字

(2)解：無變化，理由如下：

由(1)知，CD=1,CE=V3,BC=2V3,

.CDV3AC_2_V3

5=丁前一布一丁

.CD_AC_y/3

??瑪=前=3'

CD_CE

?,AC"BC'

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：乙4cB=乙DCE,

.?.乙4cB+乙BCD=乙DCE+乙BCD,即乙4CD=乙BCE,

(CD_CE

在△"￡)和ABCE中，｛蔗一配，

L/1CD=乙BCE

△ACD—△BCE,

??嗡=空=冬即微勺大小不變；

(3)解：線段BE的長為8或3百.

18.【答案】(1)Z.ABE=ZC

(2)解：乙4BE=/C仍然成立，理由如下：

\9/LEAD=LBAC

：.￡.EAD-匕BAD=LBAC-乙BAD

：.Z.EAB=^DAC

..AE_AB

9AD=AC

：.AAEBs△力QC

：.^ABE=ZC

⑶孥

19.【答案】(1)GH-,DG；V2-1

(2)證明：如圖②中，設(shè)BC=1,則EC=BF=孝，?,?BE=JEC2+BC2=卓.

由折疊可得BP=BC=1,/.FNM=Z.BNM=90°,乙EMN=乙CMN=90°.

'：四邊形BCEF是矩形，AZF=乙FEC=ZC=乙FBC=90°,

二四邊形BCMN是矩形，乙BNM=NF=90。，：.MN||EF,

.?.需=器,BPBPBF=BE-BN,：.\x專卷BN，

；.BN=*，--BC：BN=1：=V3：1，

，四邊形BCMN為舊矩形.

F

20.【答案】(1)證明：??,四邊形ABCD是矩形，

???ZADC=90°,

AZADE+ZCDE=90°,

VDEXCF,

???ZEDC+ZFCD=90°,

???ZADE=ZFCD,

ZA=ZFDC=90°,

???AADE^ADCF,

.\DE：CF=AD：DC=k.

(2)解：NB與NEGC互補時，照=憶

CF

證明如下：

VZB+ZEGC=180°,

.\ZBEG+ZBCF=180°,

VZBEG+ZAED=180°,

???ZAED=ZBCF,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

???AD〃BC,AB〃CD,

AZCFD=ZBCF=ZAED,ZCDM=ZA,

在AD的延長線上取一點M,使CM=CF,則有NM=NCFD=NAED,

B

圖2

.,.ADAE^ACDM,

,DE_DA_,

e，CM=CD=k,

VCM=CF,

,DE]

,?CF=k;

(3)解：如圖3,在(2)的條件下，可得結(jié)論：器=k=鋁=故NAED=NEDC=NFCD=NF

VAD=BC=5,

ABA=CD=7,

作GM_LCD于M,

則AGPM為等腰直角三角形；

VtanZDCF=1,令GM=4x,則CM=3x,CG=5x；

???DM=GM=4x,

???CD=3x+4x=7,

解得x=l；

；.CG=5,

在ACGD與ACDF中，ZGCD=ZDCF,ZGDC=ZF；

.'.△CGD^ACDF,

：.CG：CD=CD：CF,

即5：7=7：CF,解得CF=等,

由票=趣，代入CF的值，

CF7

解得DE=7.

21.【答案】(1)AE^BF

(2)解:需=1.

證明：9：AELBF,

：.^LBAE+/LABF=90°.

在矩形ABCD中，LABC=90°,

：.^CBF+AABF=90°,

：.^BAE=乙CBF,

.\Rt△ABE~RtABCF,

.AB__AE^

??豌一而'

.AE_3

,,麗二亍

(3)解：如圖，過點4作43的垂線，過點C作BC的垂線，兩垂線交于點G,延長BE交CG于點兒

???四邊形ZBCG是矩形.

'：AB=CD=4fAG=BC=6,

：.CD=6-BD=4.

-'-AD=>]AB2+BD2=2V5-

由(2)知器=需=多

:.BH=3V5.

在Rt△BCH中，CH=y/BH2-BC2=3，

'：AB||CH

：.△ABE八CHE,

.AB_BE

?■一麗’

即告=詈

133后—BE

解得BE=與5

22.【答案】(1)7

(2)4V5

23.【答案】(1)解：在At△ABC中，由勾股定理可得ZC=7AB2一BC2=8,

由題意可得：CQ=t,貝！JZQ=ZC-CQ=8—t；

(2)解：如圖，作PE_LZC

由題意可得：AP=2t=6,AQ=8—t=5,

\UPELAC,

.\ZPEX=ZC=9O°,

VzA=乙k,

△APEABC,

.AP_PE

,,松=阮’

an6PE

BP1O=4

解得PE=3.6,

.11

SAAPQ=xPE=2x5x3.6=9；

(3)解：由題意可得：AP=2t,CQ=t,AQ=S-t,BP=10-2t,

①如圖2,當(dāng)乙BPQ=90。時，根據(jù)勾股定理得BQ?=BC2+CQ2,BQ2=BP2+PQ2BP2+AQ2-

AP2,

：.BP2+AQ2-AP2=BC2+CQ2,

?.(10-2t>+(8-t)2-0)2=62+t2

解得：t=學(xué)，符合題意；

②如圖3,當(dāng)ZBQP=90。時，作PELAC垂足為E,

由(1)WAAPE-AABC,

.AP__P^_AE^

^AB~BC~AC9

即”_奧—絲，

?10-6一8'

：.PE=^t,AE=^t,

13

：.QE=AQ-AE=8-^t.

9：PELAC,

：.L.C=乙BQP=乙QEP=90°,

:.乙CBQ+(BQC=(BQC+乙PQE=90°,

C./.CBQ=乙PQE,

BCQ?匕QEP,

BC_CQ

QE=PE9

6t

即三尊=I?

解得「1=告，t2=0(不合題意，舍去).

圖3

二t=告或￡=竽

24.【答案】(1)-2；大；7

(2)解：由題意知,M—N=(2%2—3y2—x—1)—(%2—3y2+x—4)

=x2—2%+3

=(x-I)2+2,

V(x-1)2>0,

???(%—1)2+2>0,

:?M-N>0,即M>N；

(3)解：?.?四邊形EFGH是矩形,

：.HG||EF,GF=HE=x,

：.△AHG-AABC,

如圖，記4。交HG于點K,則四邊形DEHK是矩形，

A

BEDFC

：.KD=EH=x,

?HGAK日n"Gb-x

..前二而，即丁=丁，

解得，HG=a-?x,

??S=EH,HG=x（a一萬％）=一下,+ax=一萬（％—萬,+40b，

:）2>0,

??.-靜一抄<0,

??.-的一務(wù)2+初號ab,即S巖ab,

.,.當(dāng)％=斷寸，矩形的面積最大，最大面積是±ab,

^^ABC=

.??*ab=即S=^S^ABL

25.【答案】（1）當(dāng)

（2）證明：?:乙DOE=CCOM,（DOE=（B,

Z-B=Z-COM,

?，?Z-MCO=Z-ECB,

???△COM?匕CBE,

.??第=器，乙DMC=ABEC,

???四邊形ABC。是平行四邊形,

--AB||CD,AB=CD,

???乙DCO=Z-BEC,

???Z-DMC=Z.DCO,

又???乙ODC=乙CDM,

???△DOC八DCM,

.CO_DC

???~CM=兩’

.CB_DC

~CE=兩’

???CB?DM=CE?DC,

^CB-DM=CE-AB；

(3)解：如圖，過點。作DEIIBC交BZ的延長線于點E,過點C作CF||ZB交ED的延長線于點尸,

???四邊形3EPC是平行四邊形,

BE=CF,BC=EF,乙B=A.ADC=Z.F=120°,

.??乙E=60°,

在EF上截取EG=EA,貝必EZG為等邊三角形，

???^AGD=120°=ZF=^ADC,

??.LGAD+乙GDA=NGDZ+乙FDC=60°,

???Z-GAD=乙FDC,

??.△AGD~&DFC,

FC_CD_DF_4

：,~DG=AD=AG=S，

設(shè)尸C=4%,貝IJGD=5%,

??.EB=FC=4x,

則ZE=EG=4%—4,

nz?_4"1616

-,DF=-EG^—X--,

EF=EG+GD+DF=4x-4+5x+竽￡-竽=17

解得：%=2,

???EB=FC=8,

???四邊形BEFC是平行四邊形，

過點尸作FN||DM交BC于點、N,

由(2)可得：BE-CA=BC-FN,

故四邊形DFNM為平行四邊形，

FN=DM,

???BE?CA=BC?DM,

.AC=BC=",43.

???兩=麗=丁=而

26.【答案】(1)CE=DF；1

(2)解：=k.

理由：如圖2,作GMLCB于M.

???ZCOH=ZGMH=ZABC=90°,

AZBCE+ZCHO=90°,ZCHO+ZHGM=90°,

AZBCE=ZHGM,

.,.△CBE^AGMH,

.CE_BC

a9GH~GM9

ZCMG=ZD=ZDCM=90°,

??.四邊形CMGD是矩形，

AGM=CD,

?CE_BC_BC

^~GH='CD=AB，

,:需=k(k為常數(shù))，

?F=k-

(3)解：如圖③，過點C作CMLAD,交AD的延長線于點M,過點B作BNLMC,連接BD,

圖③

VZBAD=90°,AMXMN,BNXMN,

二四邊形ABNM是矩形，

.?.NM=NN=90。，AM=BN,MN=AB=6,

VBC=AB,AD=CD,BD=BD,

/.△ABD^ACBD(SSS),

/.ZBAD=ZBCD=90°,

.,.ZBCN+ZMCD=90°,

VZBCN+ZCBN=90°,

.,.ZMCD=ZCBN,

又?.?NM=NN=90。，

.?.△MCDsANBC,

.CD_CM_DM_2

??阮一麗一西一甲

.?.CN=|DM,

VDC2=CM2+DM2,

.,.16=(6-|DM)2+DM2,

/.DM=4(不合題意，舍去)，DM=11,

2072

?MM=an+DM=4+患=g

72

由(2)的結(jié)論可知：CF_XM_i3_12.

BF~AB~6-13

27.【答案】(1)解：由題意可得：FC||DE,

則△BFOABED,

.BC_FC

,?前一許'

日nBC_1.5

即前轉(zhuǎn)=T5'

解得：BC=3,

答：BC的長為3m；

⑵解：'：AC=5.4m,

：.AB=AC—BC=5.4—3=2.4(m),

???光在鏡面反射中的反射角等于入射角,

：.￡.FBC=Z.GBA,

又.：(FCB=乙GAB,

△BGAs匕BFC,

.AG_FC.AG_1.5

9'AB=BC，,,瓦二丁

解得：AG=1.2(jn),

28.【答案】(1)證明：由題意知：ABLMD,CDLMD,

BPzXfiM=乙CDN=90°,

\UCN//AM,

：.^AMB=乙CND,

C.LABMfCDN.

(2)解：小陳同學(xué)還要測量圖中線段DE的長度，記為a.

由題意知：乙GEB=(CED,

VGB1BD,CD1BD,

：.2LGBE=^CDE=90°,

/.△GBEs匕CDE.

.GB_BE

??而=例'

VGB=1.6,BE=2.5,DE=a,

CD=<1?

(3)解：過點G作于點H,交PQ于點F.