適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第三章函數(shù)與基本初等函數(shù)第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值課件

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值第三章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義,會(huì)判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性.2.掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法.3.理解函數(shù)最值的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的最值.4.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問(wèn)題.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱它是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是減函數(shù)

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的微點(diǎn)撥函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式

(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上

或

,那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的

.

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

單調(diào)區(qū)間

微思考如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?提示

若構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù),否則為減函數(shù),簡(jiǎn)稱“同增異減”.2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有

;

(2)?x0∈D,使得

(3)?x∈D,都有

;

(4)?x0∈D,使得

結(jié)論M是函數(shù)y=f(x)的最大值

最大值是所有函數(shù)值中最大的一個(gè)M是函數(shù)y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=M

f(x)≥Mf(x0)=M常用結(jié)論1.若f(x),g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);若f(x),g(x)分別是區(qū)間A上的增函數(shù)和減函數(shù),則f(x)-g(x)是區(qū)間A上的增函數(shù).2.若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反.3.閉區(qū)間上的圖象連續(xù)的函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí),最值一定在端點(diǎn)處取到.對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)如果f(-1)<f(2),那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增.(

)(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)內(nèi)均單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增.(

)(3)函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).(

)(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞減,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+∞).(

)××××2.下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=-2x B.y=(x-1)2C.y=

D.y=|x+2|答案D

解析

y=-2x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;y=(x-1)2在(0,+∞)上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故C錯(cuò)誤;y=|x+2|在(0,+∞)上單調(diào)遞增,符合題意.答案

3

解析

由單調(diào)性的定義可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,因此f(x)在區(qū)間[2,b]上的最大值與最小值分別為f(b),f(2),所以有

,解得b=3.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間(多考向探究)考向1.證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性典例突破例1.(1)下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.f(x)=lnx

B.f(x)=e-x(2)判斷并證明函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-1,+∞)上的單調(diào)性.答案(1)B

(2)

解

函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增.方法總結(jié)利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

答案

C

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2023山東濰坊二模)已知函數(shù)f(x)=()x-3x,則f(x)(

)A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)考向2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典例突破例2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=x2+4x-1;(2)f(x)=|x+1|+|x-2|;(3)f(x)=log3(4x-x2).解

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,其圖象是開(kāi)口向上的拋物線,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2].(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)=|x+1|+|x-2|=該函數(shù)的大致圖象如圖所示:由圖象可知,該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1].(3)由4x-x2>0,解得0<x<4,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,4).令t=4x-x2,則y=log3t,由于y=log3t是定義域(0,+∞)上的增函數(shù),t=4x-x2在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2],單調(diào)遞減區(qū)間是(2,4).方法總結(jié)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法及注意點(diǎn)(1)求單調(diào)區(qū)間的常用方法:①定義法;②圖象法;③導(dǎo)數(shù)法.(2)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①確定函數(shù)的定義域;②求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③依據(jù)“同增異減”確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用不等式或集合表示,當(dāng)函數(shù)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用并集符號(hào)“∪”表示.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(-∞,-3],[0,3] B.[-3,0],[3,+∞)C.(-∞,-5),[0,1) D.(-1,0],(5,+∞)(2)(2023海南海口模擬)函數(shù)f(x)=x2-4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.(-∞,-2)B.(-∞,-2)和(0,2)C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+∞)答案(1)C

(2)B

解析(2)f(x)=x2-4|x|+3=當(dāng)x≥0時(shí),y=x2-4x+3=(x-2)2-1的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2);當(dāng)x<0時(shí),y=x2+4x+3=(x+2)2-1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2),故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2)和(0,2).故選B.考點(diǎn)二函數(shù)的最值典例突破例3.求下列函數(shù)的最值:方法總結(jié)求函數(shù)最值的常見(jiàn)方法(1)單調(diào)性法:若f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(a),f(b)分別是f(x)在區(qū)間[a,b]上取得的最小(大)值、最大(小)值.(2)圖象法:對(duì)于由基本初等函數(shù)變化而來(lái)的函數(shù),通過(guò)觀察函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定函數(shù)的最值.(3)換元法:形如y=ax+b±型的函數(shù),可用此法求其最值.(4)基本不等式法:注意應(yīng)用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”.(5)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)函數(shù)y=,x∈(m,n]的最小值為0,則m的取值范圍是(

)A.(1,2) B.(-1,2)C.[1,2) D.[-1,2)答案

(1)D

(2)(-∞,2]f(x)min=f(1)=5.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2x+a-1在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(2)=3+a.由5≥3+a,得a≤2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究)考向1.利用單調(diào)性比較大小典例突破A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案

A

技巧點(diǎn)撥利用單調(diào)性比較大小的方法步驟(1)確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)比較自變量的大小,若自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),要利用函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、對(duì)稱性、周期性)轉(zhuǎn)換為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間;(3)由單調(diào)性得到函數(shù)值的大小關(guān)系.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=2-x-4x,若a=0.3-0.25,b=log0.250.3,c=log0.32.5,則(

)A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(a)<f(b)<f(c)答案

D

考向2.利用單調(diào)性解不等式典例突破例5.(2023安徽黃山二模)已知函數(shù)f(x)=lg(|x|-1)+2023x+2023-x,則使不等式f(3x)<f(x+1)成立的x的取值范圍是(

)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案

C解析f(x)的定義域?yàn)閧x|x<-1或x>1}.∵f(-x)=lg(|-x|-1)+2

023-x+2

023x=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x>1時(shí),f(x)=lg(x-1)+2

023x+2

023-x.令t=2

023x,名師點(diǎn)析

答案

B

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2023廣西北海一模)已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.若f(2)=0,則f(x)≥0的解集為(

)A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[0,2]C.[-2,0]∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)解析奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,由f(0)=0,f(2)=0且f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,可作出f(x)的大致圖象如圖所示.由圖象可知f(x)≥0的解集為(-∞,-2]∪[0,2].故選B.考向3.根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)值(或取值范圍)典例突破例6.(1)(2023新高考Ⅰ,4)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(

)A.(-∞