人教版-九年級數(shù)學-競賽專題：代數(shù)最值問題(含答案)

人教版九年級數(shù)學競賽專題：代數(shù)最值問題（含答案）【例1】當變化時，分式的最小值是．【例2】已知，且，則的最小值為（）A.B.3C.D.13【例3】，在的范圍內(nèi)最小值2a，最大值2b，求實數(shù)對(a，b).【例4】（1）已知的最大值為a，最小值b，求的值．求使取得最小值的實數(shù)的值．（3）求使取得最小值時x，y的值．【例5】如圖，城市A處位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)B需從A市購進大量生活、生產(chǎn)用品，如果鐵路運費是公路運費的一半，問：該如何從B修筑一條公路到鐵路邊，使從A到B的運費最低？【例6】（1）設(shè)，，…，（），為k－r＋1個互不相同的正整數(shù)，且xr＋xr＋1＋…＋xk＝2019，求的最大可能值．（2）a，b，c為正整數(shù)，且，求c的最小值．（能力訓練A級1．已知三個非負數(shù)a，b，c，滿足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，則m的最小值為___________，最大值為．2．多項式p＝2x2－4xy＋5y2－12y＋13的最小值為．3．已知x，y，z為實數(shù)，且x＋2y－z＝6，x－y＋2z＝3，那么x2＋y2＋z2的最小值為．4．若實數(shù)a，b，c，滿足a2＋b2＋c2＝9，則代數(shù)式(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值為()5．已知兩點A(3，2)與B(1，－1)，點P在y軸上且使PA＋PB最短，則P的坐標是（）A.(0，)B.(0，0)C.(0，)D.(0，)6．正實數(shù)，滿足，那么的最小值為（）A.B.C.1D.E.7．某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于800元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量(件)與銷售單價(元/件)可近似看作一次函數(shù)的關(guān)系（如圖所示）.（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S元．①試用銷售單價表示毛利潤；②試問：銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的銷量是多少？8．方程有一根不大于，另一根不小于，（1）求的取值范圍；（2）求方程兩根平方和的最大值與最小值．9．已知實數(shù)a，b滿足，求的最大值與最小值．10.已知a，b，c是正整數(shù)，且二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點A，B，若點A，B到原點的距離都小于1，求a＋b＋c的最小值．11．某單位花50萬元買回一臺高科技設(shè)備，根據(jù)對這種型號設(shè)備的跟蹤調(diào)查顯示：該設(shè)備投入使用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結(jié)論：第x天應(yīng)付的養(yǎng)護與維修費為元．（1）如果將設(shè)備從開始投入使用到報廢所需的養(yǎng)護與維修費及購買設(shè)備費用的總和均攤到每一天，叫作每天的平均損耗，請你將每天的平均損耗y（元）表示為使用天數(shù)x（天）的函數(shù)．（2）按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求，當此設(shè)備的平均損耗達到最小值時，就應(yīng)當報廢，問：該設(shè)備投入使用多少天應(yīng)當報廢？B級1．a(chǎn)，b是正數(shù)，并且拋物線和都與x軸有公共點，則的最小值是．2．設(shè)x，y，z都是實數(shù)，且滿足x＋y＋z＝1，xyz＝2，則的最小值為．3．如圖，B船在A船的西偏北45°處，兩船相距km，若A船向西航行，B船同時向南航行，且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離為km．4．若a，b，c，d是乘積為1的四個正數(shù)，則代數(shù)式a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋bc＋ac＋ad＋bd＋cd的最小值為（）A.0B.4C.8D.105．已知x，y，z為三個非負實數(shù)，且滿足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2.若s＝2x＋y－z，則s的最大值與最小值的和為（）A.5B.C.D.6．如果拋物線與x軸的交點為A，B，頂點為C，那么△ABC的面積的最小值為（）A.1B.2C.3D.47．某商店將進貨價每個10元的商品按每個18元售出時，每天可賣出60個，商店經(jīng)理到市場上做了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品的售價（在每個18元的基礎(chǔ)上）每提高1元，則日銷售量就減少5個；若將這種商品的售價（在每個18元的基礎(chǔ)上）每降低1元，則日銷量就增加10個，為獲得每日最大利潤，此商品售價應(yīng)定為每個多少元？8．有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是p（萬元）和q（萬元），它們與投入資金x（萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗公式：.今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得多大的利潤？9．已知為x，y，z為實數(shù)，且，，試求的最大值與最小值．10．已知三個整數(shù)a，b，c之和為13，且，求a的最大值和最小值，并求出此時相應(yīng)的b與c值．11．設(shè)x1，x2，…，xn是整數(shù)，并且滿足：①－1≤xi≤2，i＝1，2，…，n②x1＋x2＋…＋xn＝19③x12＋x22＋…＋xn2＝99求x13＋x23＋…＋xn3的最大值和最小值．12．已知x1，x2，…，x40都是正整數(shù)，且x1＋x2＋…＋x40＝58，若x12＋x22＋…＋x402的最大值為A，最小值為B，求A＋B的值．參考答案例1.4提示：原式=.例2.B提示：由-1≤y≤1有0≤x≤1，則z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3是開口向上，對稱軸為的拋物線.例3.分三種情況討論：①0≤a<b，則f(x)在a≤x≤b上單調(diào)遞減，∴f(a)=2b，f(b)=2a即解得②a<b≤0，則f(x)在a≤x≤b上單調(diào)遞增，∴f(a)=2a，f(b)=2b即此時滿足條件的（a，b）不存在.③a<0<b，此時f(x)在x=0處取得最大值，即2b=f(0)=,b=,而f(x)在x=a或x=b處取最小值2a.∵a<0，則2a<0，又∵f(b)=f()=，∴f(a)=2a，即2a=，則綜上，（a，b）=(1，3)或（，）例4.（1），y2=+2.當x=時，y2取得最大值1，a=1；當或x=1時，y2取得最小值，b=.故a2+b2=.(2)如圖，AB=8，設(shè)AC=x，則BC=8-x，AD=2，CD=，BE=4，CE=BF=AD=2.當且僅當D，C，E三點共線時，原式取最小值.此時△EBC∽△DAC，有,從而x=AC=.故原式取最小值時，x=.(3)如圖，原式==AB+BC+CD≥AD，其中A（-2,0），B（0，3x）,C(1,2y),D(3,4),并且當點B，C在線段AD上時，原式取得最小值，此時，.例5.由S=，得an-S+2ay=a，兩邊平方，經(jīng)整理得.因為關(guān)于y的一元二次方程有實數(shù)解，所以，可化為.∵S>an，∴，即，故S最小=.例6（1）設(shè)x1≥1，x2≥2，xk≥k，于是1+2+…+k≤x1+x2+…+xk=2019，即k(k+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k≤62.當x1=1，x2=2，…x61=61，x62=112時，原等式成立，故k的最大可能值為62.（2）若取，則由小到大考慮b，使為完全平方數(shù).當b=8時，c2=36，則c=6，從而a=28.下表說明c沒有比6更小的正整數(shù)解.顯然，表中c4-x3的值均不是完全平方數(shù)，故c的最小值為6.cC4x3(x3<c4)C4-x32161，817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113A級1．2．13．14提示：y=5－x,z=4－x，原式=3(x－3)2+14．4．A提示：原式=27－(a+b+c)2．5．D6．C7．(1)y=－x+1000(500≤x≤800)(2)①S=(x－500)(－x+1000)=－x2+1500x－500000(500≤x≤800);②S－(x－750)2+62500,即銷售單價定為750時，公司可獲最大毛利潤62500元，此時銷量為250件．8．（1）－4≤m≤2（2）設(shè)方程兩根為x1，x2，則x12+x22=4(m－)2+10，由此得x12+x22最小值為10，最大值為101．9．設(shè)a2－ab+b2=k，又a2+ab+b2=1②，由①②得ab=(1－k)，于是有（a+b)2=(3－k)≥0，∴k≤3，從而a+b=．故a，b是方程t2t+=0的兩實根，由Δ≥0，得．10．設(shè)A（x1,0)，B（x2，0)，其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，則有x1+x2=<0，x1x2=>0，得x1<0，x2<0，由Δ=b2－4ac>0，得b>．∵|OA|=|x1|<1，|OB|=|x2|<1，∴－1<x1<0，－1<x2<0，于是=x1x2<1，c<a．由于a是正整數(shù)，已知拋物線開口向上，且當x=－1時，對應(yīng)的二次函數(shù)值大于0，即a－b+c>0，a+c>b．又a，b，c是正整數(shù)，有a+c≥b+1>2+1，從而a+c>2+1，則，于是a>4，即a≥5，故b>2≥2，即b≥5．因此，取a=5，b=5，c=1，y=5x2+5x+1滿足條件，故a+b+c的最小值為11．11．（1）該設(shè)備投入使用x天，每天平均損耗為y===．(2)y=．當且僅當，即x=2000時，等號成立．故這臺設(shè)備投入使用2000天后應(yīng)當報廢．B級1．20提示：a2－8b≥0，4b2－4a≥0，從而a4≥64b2≥64a，a≥4，b2≥4．2．4提示：構(gòu)造方程．3．提示：設(shè)經(jīng)過t小時后，A，B船分別航行到A1，B1，設(shè)AA1=x，則BB1=2x，B1A1==．4．D提示：a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd)≥4=4．∴ab+cd≥2，同理bc+ad≥2，ac+bd≥2．5．A提示：x=s－2≥0,y=5－s≥0，z=1－s≥0，解得2≤s≤3，故s的最大值與最小值的和為5．6．A提示：|AB|=，C(），，而k2+2k+5=(k+1)2+4≥4．7．設(shè)此商品每個售價為x元，每日利潤為S元．當x≥18時，有S=[60－5（x－18)](x－10)=－5(x－20)2+500，即當商品提價為20元時，每日利潤為500元；當x≤18時，S=[60+10（18－x)](x－10)=－10(x－17)2+490，即當商品降價為17元時，每日利潤最大，最大利潤為490元，綜上，此商品售價應(yīng)定為每個20元．8．設(shè)對甲、乙兩種商品的資金投入分別為x，(3－x)萬元，設(shè)獲取利潤為s，則s，s－=，兩邊平方，經(jīng)整理得x2+(9－10s)x+25s2－27=0，∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)解，∴（9－10s)2－4×（25s2－27)≥0，解得，進而得x=0.75（萬元），3－x=2.25(萬元）．即甲商品投入0.75萬元，乙商品投入2.25萬元，獲得利潤1.05萬元為最大．9．y=5－x－z，代入xy＋yx＋zx=3，得x2＋(z－5)x＋(z2－5z＋3)=0．∵x為實數(shù)，∴Δ=(z－5)2－4(z2－5z＋3)≥0，解得－1≤z≤,故z的最大值為，最小值為－1．10．設(shè)，則b=ax，c=ax2，于是，a＋b＋c=13，化為a(x2＋x＋1)=13．∵a≠0，∴x2＋x＋1－=0①．又a，b，c為整數(shù)，則方程①的解必為有理數(shù)，即Δ=－3>0，得到1≤a≤，且為有理數(shù)，故1≤a≤16．當a=1時，方程①化為x2＋x－12=0，解得x1=－4，x2=3．故amin=1，b=－4，c=16或amin=1，b=3，c=9．當a=16時，方程①化為x2＋x＋=0．解得x1=－，x2=－．故amin=16，b=－12，c=9；或amin=16，b=－4，c=1．11．設(shè)x1，x2，…，xn中有r個－1，s個1，t個2，則，得3t＋s=59，0≤t≤19．∴x13＋x23＋…＋xn3=－r＋s＋8t=6t＋19．∴19≤x13＋x23＋…＋xn3≤6×19＋19=133．∴在t=0，s=59，r=40時，x13＋x