上海中學(xué)、復(fù)旦附中等八校2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

上海中學(xué)、復(fù)旦附中等八校2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．直線，，的斜率分別為，，，如圖所示，則（）A． B．C． D．2．已知，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．3．從某健康體檢中心抽取了8名成人的身高數(shù)據(jù)（單位：厘米），數(shù)據(jù)分別為172，170，172，166，168，168，172，175，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．171172 B．170172 C．168172 D．1701754．已知關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)m>1，在約束條件y≥xA．1,1+2C．（1，3） D．（3，+∞）6．?dāng)?shù)列1，，，…，的前n項(xiàng)和為A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A．7 B．6 C．5 D．48．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，則等于（）A．81 B．90 C．99 D．1809．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．10．在集合且中任取一個(gè)元素，所取元素x恰好滿足方程的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線l過(guò)定點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，則直線l的方程為_(kāi)_____.12．設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比為.13．圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是______.14．一個(gè)三角形的三條邊成等比數(shù)列，那么，公比q的取值范圍是__________.15．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)______.16．過(guò)點(diǎn)直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直線的一般方程為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．近年來(lái),鄭州經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展,躋身新一線城市行列,備受全國(guó)矚目．無(wú)論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng),還是輻射全國(guó)的米字形高鐵路網(wǎng),鄭州的交通優(yōu)勢(shì)在同級(jí)別的城市內(nèi)無(wú)能出其右．為了調(diào)查鄭州市民對(duì)出行的滿意程度,研究人員隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查,并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖,其中．（I）求的值；（Ⅱ）求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù),眾數(shù),中位數(shù)；（Ⅲ）若按照分層抽樣從,中隨機(jī)抽取8人,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人的分?jǐn)?shù)在的概率．18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，數(shù)列滿足，對(duì)任意的，且成等比數(shù)列，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）記，證明：當(dāng)且時(shí)，19．已知函數(shù)f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范圍20．已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）對(duì)于，，定義．解不等式；（3）若存在，使得，求k的取值范圍．21．已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）令，判定函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）令，將函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，對(duì)任意，求在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)題意可得出直線，，的傾斜角滿足，由傾斜角與斜率的關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)三條直線的傾斜角為，根據(jù)三條直線的圖形可得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，故，即故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟悉正切函數(shù)的單調(diào)性.2、C【解析】

由已知條件，先求出函數(shù)的周期，由于，即可求出值域.【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的值域，利用了正弦函數(shù)的周期性.3、A【解析】

由中位數(shù)和眾數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為166，168，168，170，172，172，172，175，則中位數(shù)為，眾數(shù)為172.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)和眾數(shù)的求法.4、C【解析】

由題意得出關(guān)于的不等式的解集為，由此得出或，在成立時(shí)求出實(shí)數(shù)的值代入不等式進(jìn)行驗(yàn)證，由此解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，關(guān)于的不等式的解集為.（1）當(dāng)，即．當(dāng)時(shí)，不等式化為，合乎題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，其解集不為，不合乎題意；（2）當(dāng)，即時(shí)．關(guān)于的不等式的解集為.，解得．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式在上恒成立問(wèn)題，求解時(shí)根據(jù)二次函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)和判別式的符號(hào)列不等式組進(jìn)行求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.5、A【解析】試題分析：∵，故直線與直線交于點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與直線垂直，且在點(diǎn)，取得最大值，其關(guān)系如圖所示：即，解得，又∵，解得，選：A．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們可以判斷直線的傾斜角位于區(qū)間上，由此我們不難判斷出滿足約束條件的平面區(qū)域的形狀，其中根據(jù)平面直線方程判斷出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與直線垂直，且在點(diǎn)取得最大值，并由此構(gòu)造出關(guān)于的不等式組是解答本題的關(guān)鍵．6、B【解析】

數(shù)列為，則所以前n項(xiàng)和為．故選B7、C【解析】

由流程圖循環(huán)4次，輸出，即可得出結(jié)果.．【詳解】初始值，，是，第一次循環(huán)：，，是，第二次循環(huán)：，，是，第三次循環(huán)：，，是，第四次循環(huán):S，，否，輸出．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的循環(huán)，分析框圖的作用，逐步執(zhí)行即可，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

根據(jù)已知得到的值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，求得的值.【詳解】依題意，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】的面積.

故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

寫(xiě)出集合中的元素，分別判斷是否滿足即可得解.【詳解】集合且的元素，,，，，，.基本事件總數(shù)為，滿足方程的基本事件數(shù)為.故所求概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或.【解析】

設(shè)直線的方程為，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直線方程【詳解】設(shè)直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以①.因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,所以②.由①②可知或解得或故直線的方程為或，即或.【點(diǎn)睛】本題考查截距式方程和直線與坐標(biāo)軸形成的三角形面積問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題12、3【解析】

分別取AC、BC的中點(diǎn)D、E,

,

,即,

是DE的一個(gè)三等分點(diǎn),

,

故答案為:3.13、【解析】

求圓心到直線的距離，用距離減去半徑即可最小值.【詳解】圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線的距離為：，所以最小值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值，若圓心距為d，圓的半徑為r且圓與直線相離，則圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為d+r，最小值為d-r.14、【解析】

設(shè)三邊按遞增順序排列為，其中.則，即.解得.由q≥1知q的取值范圍是1≤q<.設(shè)三邊按遞減順序排列為，其中.則，即.解得.綜上所述，.15、【解析】

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和疊加法求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.時(shí)也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊加法在數(shù)列中的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

設(shè)直線的截距式方程為，利用該直線過(guò)可得，再利用基本不等式可求何時(shí)即取最小值，從而得到相應(yīng)的直線方程．【詳解】設(shè)直線的截距式方程為，其中且．因?yàn)橹本€過(guò)，故．所以，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)取最小值時(shí)，直線方程為：．填．【點(diǎn)睛】直線方程有五種形式，常用的形式有點(diǎn)斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的軸的直線沒(méi)有點(diǎn)斜式、斜截式和截距式，垂直于軸的直線沒(méi)有截距式，注意根據(jù)題設(shè)所給的條件選擇合適的方程的形式，特別地，如果考慮的問(wèn)題是與直線、坐標(biāo)軸圍成的直角三角形有關(guān)的問(wèn)題，可考慮利用截距式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)平均數(shù)74.9,眾數(shù)75.14,中位數(shù)75；(Ш)【解析】

（I）根據(jù)頻率之和為列方程，結(jié)合求出的值.（II）利用各組中點(diǎn)值乘以頻率然后相加，求得平均數(shù).利用中位數(shù)是面積之和為的地方，列式求得中位數(shù).以頻率分布直方圖最高一組的中點(diǎn)作為中位數(shù).（III）先計(jì)算出從,中分別抽取人和人，再利用列舉法和古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】解：(I)依題意得,所以,又,所以．(Ⅱ)平均數(shù)為中位數(shù)為眾數(shù)為(Ш)依題意,知分?jǐn)?shù)在的市民抽取了2人,記為,分?jǐn)?shù)在的市民抽取了6人,記為1,2,3,4,5,6,所以從這8人中隨機(jī)抽取2人所有的情況為：,共28種,其中滿足條件的為,共13種,設(shè)“至少有1人的分?jǐn)?shù)在”的事件為,則【點(diǎn)睛】本小題主要考查求解頻率分布直方圖上的未知數(shù)，考查利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的方法，考查利用古典概型求概率.屬于中檔題.18、（1）.；.（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，由，兩式相減得，用等差中項(xiàng)確定是等差數(shù)列再求通項(xiàng)公式.令，根據(jù)成等比數(shù)列，求得，從而得到（2）由（1）知根據(jù)證明的結(jié)構(gòu)使用放縮法，得到，再相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，所以是等差數(shù)列.又因?yàn)?，所以，所以，所?.令，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以?同理所以所以.所以當(dāng)且時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系和等比數(shù)列的性質(zhì)，放縮法證明數(shù)列不等式問(wèn)題，屬于難題.19、（1）；（2）[0，].【解析】

(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，∴f(α)＝＝＝＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋＝sin(2x＋)＋，∵≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin(2x＋)≤1，0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．本試題組要是考查了三角函數(shù)的運(yùn)用.20、（1）或（2）（3）【解析】

（1）由題,由可得,進(jìn)而求解即可；（2）由題意得到,進(jìn)而求解即可；（3）由可得,整理可得關(guān)于的函數(shù),進(jìn)而求解即可【詳解】（1）由題,,因?yàn)?所以,則,因?yàn)?所以或（2）由題,,因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),,因?yàn)槭且詾樽钚≌芷诘闹芷诤瘮?shù),所以（3）由（1）,由題,,若,則,則,因?yàn)?所以【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的坐標(biāo)表示,考查垂直向量的坐標(biāo)表示,考查解三角函數(shù)的不等式21、（1）非奇非偶，理由見(jiàn)解析；（2）21或20個(gè).【解析】

（1）先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用和可判斷為非奇非偶函數(shù).（2）求出的解析式后結(jié)合函數(shù)的圖像、周期及給定區(qū)間的特點(diǎn)可判斷在給定的范圍上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1），則，故不是奇函數(shù)，又，，故不是偶函數(shù).綜上，為非奇非偶函數(shù).（2），的圖象如圖所示：令，則