2024屆安徽省滁州三中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆安徽省滁州三中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若數(shù)列，若，則在下列數(shù)列中，可取遍數(shù)列前項(xiàng)值的數(shù)列為（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為18，若S3=1，aA．9 B．21 C．27 D．363．演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差4．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過(guò)，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A． B．3 C．6 D．5．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等.如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．96．已知點(diǎn)滿足條件則的最小值為（）A．9 B．-6 C．-9 D．67．若長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2，3，6，則此長(zhǎng)方體的外接球的表面積等于（）A． B． C． D．8．已知向量，滿足且，若向量在向量方向上的投影為，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．圖像的對(duì)稱中心是B．在定義域內(nèi)是增函數(shù)C．是奇函數(shù)D．圖像的對(duì)稱軸是10．將函數(shù)圖像上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖像向左平移個(gè)單位得到數(shù)學(xué)函數(shù)的圖像，在圖像的所有對(duì)稱軸中，離原點(diǎn)最近的對(duì)稱軸為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，.若向量與垂直，則________.12．若,則________.13．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個(gè)三角形頂角的正弦值為_(kāi)_______．14．一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．15．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證成立時(shí)，等號(hào)左邊的式子是______.16．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則等于__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知.（1）求的值；（2）若為第二象限角，且角終邊在上，求的值.18．某城市的華為手機(jī)專賣(mài)店對(duì)該市市民使用華為手機(jī)的情況進(jìn)行調(diào)查.在使用華為手機(jī)的用戶中，隨機(jī)抽取100名，按年齡(單位:歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)的估計(jì)值(均精確到個(gè)位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進(jìn)行分層抽樣，抽取20人參加華為手機(jī)宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中年齡在和的人群里，隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部華為手機(jī)，求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.19．某車(chē)間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)技工加工的合格零件數(shù)，按十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉得到的莖葉圖如圖所示．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為10.（1）求的值；（2）分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和，并由此分析兩組技工的加工水平；20．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足.（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值；（2）求的值.21．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）證明；（2）若，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，求首項(xiàng)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

推導(dǎo)出是以6為周期的周期數(shù)列，從而是可取遍數(shù)列前6項(xiàng)值的數(shù)列．【詳解】數(shù)列，，，，，，，，，是以6為周期的周期數(shù)列，是可取遍數(shù)列前6項(xiàng)值的數(shù)列．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性與三角函數(shù)知識(shí)的交會(huì)，考查基本運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．2、C【解析】

利用前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)可求n【詳解】因?yàn)镾3而a1所以6Snn【點(diǎn)睛】一般地，如果an為等差數(shù)列，Sn為其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，則am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn3、A【解析】

可不用動(dòng)筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．【詳解】設(shè)9位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來(lái)平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來(lái)極差可能相等可能變小，D不正確．【點(diǎn)睛】本題旨在考查學(xué)生對(duì)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.4、C【解析】

利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示，再利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸，雙曲線實(shí)軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等立，的最小值為6，故選:C．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、B【解析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，解題的關(guān)鍵是讀懂流程圖各個(gè)變量的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】試題分析：滿足約束條件的點(diǎn)的可行域，如圖所示由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，故選B.考點(diǎn)：線性規(guī)劃問(wèn)題.7、C【解析】

設(shè)長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，，，由已知面積求得，，的值，得到長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)一步得到外接球的半徑，則答案可求．【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，，，則，解得，，．長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為．則長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，此長(zhǎng)方體的外接球的表面積等于．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體外接球表面積的求法，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為長(zhǎng)方體外接球的直徑.8、A【解析】由，即，所以，由向量在向量方向上的投影為，則，即，所以，故選A．9、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】．，由得，，的對(duì)稱中心為，，故正確；．在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；．為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；．的圖象不是軸對(duì)稱圖形，故錯(cuò)誤．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了整體思想，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬基礎(chǔ)題．10、A【解析】分析：根據(jù)平移變換可得，根據(jù)放縮變換可得函數(shù)的解析式，結(jié)合對(duì)稱軸方程求解即可.詳解：將函數(shù)的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，得到，再將所得圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，即，由，得，當(dāng)時(shí)，離原點(diǎn)最近的對(duì)稱軸方程為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為；由可得對(duì)稱軸方程；由可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7【解析】

由與垂直，則數(shù)量積為0，求出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，計(jì)算即可.【詳解】，，，又與垂直，故，解得，解得.故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)向量數(shù)量積求參數(shù)的值.12、【解析】

先求，再代入求值得解.【詳解】由題得所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內(nèi)角和為，建立底角和頂角之間的關(guān)系，再求解三角函數(shù)值．【詳解】設(shè)此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【點(diǎn)睛】給值求值的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角與角之間的關(guān)系，再利用已知的函數(shù)求解未知的函數(shù)值．14、【解析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由圓錐的側(cè)面積、圓面積公式列出方程組求解，代入圓錐的體積公式求解．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，其側(cè)面積為，底面積為，則，解得，，∴高＝＝＝，∴＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積的求法，考查圓錐的側(cè)面積、底面積、體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)左邊的式子是從開(kāi)始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1求解即可.【詳解】因?yàn)樽筮叺氖阶邮菑拈_(kāi)始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【點(diǎn)睛】項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問(wèn)題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.16、50【解析】由題意可得，=，填50.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)先根據(jù)誘導(dǎo)公式將原式子化簡(jiǎn)，再將已知條件中的表達(dá)式平方，可得到結(jié)果；（2）原式子可化簡(jiǎn)為，由已知條件可得到，再由第一問(wèn)中得到，結(jié)合第一問(wèn)中的條件可得到結(jié)果.【詳解】（1）=已知,將式子兩邊平方可得到（2）為第二象限角，且角終邊在上，則根據(jù)三角函數(shù)的定義得到原式化簡(jiǎn)等于由第一問(wèn)得到將已知條件均代入可得到原式等于.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)必會(huì)的三種方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切.(2)“1”的靈活代換法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】分析：（1）直接利用頻率分布直方圖的平均值和中位數(shù)公式求解.(2)利用古典概型求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.詳解：(Ⅰ)平均值的估計(jì)值:中位數(shù)的估計(jì)值：因?yàn)?，所以中位?shù)位于區(qū)間年齡段中，設(shè)中位數(shù)為，所以，.(Ⅱ)用分層抽樣的方法，抽取的20人，應(yīng)有4人位于年齡段內(nèi)，記為，2人位于年齡段內(nèi)，記為.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)基本事件空間為，則設(shè)2名市民年齡都在為事件A，則,所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查平均值和中位數(shù)的計(jì)算和古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和基本的運(yùn)算能力.(2)先計(jì)算出每個(gè)小矩形的面積，通過(guò)解方程找到左邊面積為0.5的點(diǎn)P，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)就是中位數(shù).一般利用平均數(shù)的公式計(jì)算.其中代表第個(gè)矩形的橫邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，代表第個(gè)矩形的面積.19、（1）；（2）,乙組加工水平高．【解析】

（1）根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是并結(jié)合平均數(shù)公式可求出、的值；（2）利用方差公式求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，根據(jù)方差大小來(lái)對(duì)甲、乙兩組技工的加工水平高低作判斷．【詳解】（1）由于甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，即，解得，同理，，解得；（2）甲組的個(gè)數(shù)據(jù)分別為：、、、、，由方差公式得，乙組的個(gè)數(shù)據(jù)分別為：、、、、，由方差公式得，，因此，乙組技工的技工的加工水平高．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖與平均數(shù)、方差的計(jì)算，從莖葉圖中讀取數(shù)據(jù)時(shí)，要注意莖的部分?jǐn)?shù)字為高位，葉子部分的數(shù)字為低位，另外，這些數(shù)據(jù)一般要按照由小到大或者由大到小的順序排列．20、(1)；(2).【解析】

(1)構(gòu)造數(shù)列等差數(shù)列求得的通項(xiàng)公式,再進(jìn)行求和,再利用裂項(xiàng)相消求得；

(2)由題出現(xiàn),故考慮用分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進(jìn)行計(jì)算.【詳解】(1)由得,即,所以是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故,故.所以,故.

(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),，當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),

綜上所述,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列定義的應(yīng)用，考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式與裂項(xiàng)求和及奇偶并項(xiàng)求和的方法，考查了分析問(wèn)題的能力及邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,變形可證明為等差數(shù)列.結(jié)合條件,,可得,進(jìn)而表示出.由為等差數(shù)列,表示出,化簡(jiǎn)變形后結(jié)合不等式性質(zhì)即可證明.（2）將三角函數(shù)式分組,