2022-2023學(xué)年河南省焦作市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧希越獠坏仁娇傻茫?，所以，所?故選：A.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.3.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)橄蛄?，，且，所以，，解?故選：D.4.已知等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，.故選：C.5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（）A. B.3 C. D.6〖答案〗A〖解析〗依題意作下圖：設(shè)，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選：A.6.已知角滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，則，故選：C．7.已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，則，可得，又因?yàn)榍掖嬖?，則，解得，因?yàn)?，則，所以，，故選：B.8.已知函數(shù)存在零點(diǎn)a，函數(shù)存在零點(diǎn)b，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，則函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)，由，得，解得，函數(shù)存在零點(diǎn)b，即方程在上有解，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，?dāng)且無限趨向于時(shí)，無限趨向于負(fù)無窮，則函數(shù)在上的值域?yàn)椋詫?shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.2014—2022年（2022年為上半年）中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）統(tǒng)計(jì)如下，且已知2022年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬億元，則下列結(jié)論中正確的是（）A.2022年下半年中國GDP為64.75萬億元B.2022年中國GDP大于2014年與2015年的GDP之和C.2014—2021年中國GDP同比增長(zhǎng)率超過10%的有2017年、2018年、2021年D.2014—2021年中國GDP同比增長(zhǎng)最快的是2021年〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?022年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬億元，2022年上半年中國GDP為萬億元，所以2022年下半年中國GDP為萬億元，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?014年與2015年中國GDP和為，故2022年中國GDP小于2014年與2015年的GDP之和，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長(zhǎng)率超過10%的有2017年、2018年、2021年，故C正確；對(duì)于D，由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長(zhǎng)最快的是2021年，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，直線與的圖象沒有公共點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為D.當(dāng)有一個(gè)極值點(diǎn)為時(shí)，的極大值為〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，且不恒為零，所以，當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象沒有公共點(diǎn)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于方程，，由，可得，解得，因此，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)有一個(gè)極值點(diǎn)為時(shí)，，解得，則，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的極大值為，D錯(cuò).故選：ABC.11.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為6，則下列結(jié)論中正確的是（）A.橢圓C的短軸長(zhǎng)為B.當(dāng)P，Q分別在x軸的上方和下方時(shí)四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是C.存在四個(gè)不同的點(diǎn)P，使得D.若為銳角三角形，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗由題給條件可得，解之得，則，則橢圓C的方程為.設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為，選項(xiàng)A：橢圓C的短軸長(zhǎng)為.判斷正確；選項(xiàng)B：當(dāng)P，Q分別在x軸的上方和下方時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：中，，，則，則.又當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)取得最大值，則存在2個(gè)不同的點(diǎn)P，使得.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得，由橢圓C的半焦距為2，則由為銳角三角形，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是.判斷正確.故選：AD.12.如圖，在三棱柱中，AB⊥BC，平面ABC，BC＝2，三棱錐的外接球O的表面積為，記直線AC與所成的角為，直線與平面ABC所成的角為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.三棱柱的體積的最大值為6C.球心O到平面的距離為 D.〖答案〗BD〖解析〗如圖，棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，又AB⊥BC，平面ABC，分別取的中點(diǎn)，則球心O為的中點(diǎn).由球O的表面積為，則，即，解得.由平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，又AB⊥BC，所以，又BC＝2，所以.對(duì)于A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三棱柱的體積，當(dāng)取得等號(hào)，所以體積的最大值為6，故B正確；對(duì)于C，球心O為的中點(diǎn)，.球心O到平面的距離即點(diǎn)M為到平面的距離,也即點(diǎn)C為到平面的距離的一半,又BC＝2，球心O到平面的距離為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，記直線AC與所成的角為，，所以，；直線與平面ABC所成的角為，由平面ABC，所以，，.故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若的展開式中的系數(shù)為15，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗或1〖解析〗根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)公式為，則展開式中的系數(shù)為，即，解得或．故〖答案〗為：或.14.某足球隊(duì)共有30名球員練習(xí)點(diǎn)球，其中前鋒6人，中場(chǎng)16人，后衛(wèi)8人．若前鋒點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.9，中場(chǎng)點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.8，后衛(wèi)點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.7，則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門的概率是______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）〖答案〗0.79〖解析〗依題意，選中前鋒的概率為，選中中場(chǎng)的概率為，選中后衛(wèi)的概率為，則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門的概率是.故〖答案〗為：0.79.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，則，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，即，即，即，解得或，因此，不等式的解集為.故〖答案〗為：.16.已知在四面體中，，，則該四面體外接球的體積為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)，連接、，則，，且，所以，則，所以，，平面，所以平面，的外接圓圓心即為斜邊的中點(diǎn)，所以四面體外接球的球心在上，設(shè)球心為，外接球的半徑為，連接，則，即，解得，所以外接球的體積.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知在等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，所以．（2）由（1）可知，，則，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比為，所以，所以．所以．18.已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若c＝2，△ABC的面積為，求證：△ABC是正三角形．（1）解：由及正弦定理得，所以，所以，所以．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以．?）證明：因?yàn)?，所以ab＝4．由余弦定理可得，所以，即，所以a＋b＝4，所以a＝b＝2，所以a＝b＝c，所以△ABC是正三角形．19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，交于點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖所示，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證，且平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫妫?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．20.2023年5月15日至21日是第二個(gè)全國家庭教育宣傳周，為進(jìn)一步促進(jìn)家校共育，某校舉行“家教伴成長(zhǎng)，協(xié)同育新人”主題活動(dòng)，最終評(píng)出了8位“最美家長(zhǎng)”，其中有6位媽媽，2位爸爸，學(xué)校準(zhǔn)備從這8位“最美家長(zhǎng)”中每次隨機(jī)選出一人做家庭教育經(jīng)驗(yàn)分享．（1）若每位“最美家長(zhǎng)”最多做一次家庭教育經(jīng)驗(yàn)分享，記第一次抽到媽媽為事件A，第二次抽到爸爸為事件B，求和；（2）現(xiàn)需要每天從這8位“最美家長(zhǎng)”中隨機(jī)選1人，連續(xù)4天分別為低年級(jí)、中年級(jí)、高年級(jí)和全體教師各做1場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享，1天只做1場(chǎng)，且人選可以重復(fù)，記這4天中爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）根據(jù)題意可知，，．（2）爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且，故，，，，，故X的分布列為：X01234P根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可知，．21.已知函數(shù)．（1）證明：在上單調(diào)遞減；（2）若函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），且單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（1）證明：由題可知的定義域?yàn)椋?，則，．令，得，令，得．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故．所以對(duì)任意恒成立，所以在上單調(diào)遞減．（2）解：由題可知，則．因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，即．令，則，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，則，解得．所以a的取值范圍為．22.已知點(diǎn)在雙曲線C：上，過C的右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)，分別為C的左、右頂點(diǎn)，Q為C上異于，的點(diǎn)，求（k表示斜率）的值；（2）證明以為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：∵點(diǎn)在雙曲線C：上∴，解得，∴雙曲線C的方程為，則，．設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)，則，，∴．∵點(diǎn)Q在雙曲線C上，∴，∴．（2）證明：設(shè)以AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為．由（1）可知雙曲線的右焦點(diǎn)F為．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，∵，∴，整理得到①．由，消去y可得．∵直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴且，∴．由題設(shè)有①對(duì)任意的總成立，∵，，∴①可轉(zhuǎn)化為，整理得到對(duì)任意的總成立，故，解得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，或，，則，即M在以為直徑的圓上．綜上，以為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為．河南省焦作市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧?，所以解不等式可得：，所以，所?故選：A.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.3.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)橄蛄?，，且，所以，，解?故選：D.4.已知等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，.故選：C.5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（）A. B.3 C. D.6〖答案〗A〖解析〗依題意作下圖：設(shè)，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選：A.6.已知角滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，則，故選：C．7.已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，則，可得，又因?yàn)榍掖嬖?，則，解得，因?yàn)椋瑒t，所以，，故選：B.8.已知函數(shù)存在零點(diǎn)a，函數(shù)存在零點(diǎn)b，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，則函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)，由，得，解得，函數(shù)存在零點(diǎn)b，即方程在上有解，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，?dāng)且無限趨向于時(shí)，無限趨向于負(fù)無窮，則函數(shù)在上的值域?yàn)?，所以?shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.2014—2022年（2022年為上半年）中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）統(tǒng)計(jì)如下，且已知2022年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬億元，則下列結(jié)論中正確的是（）A.2022年下半年中國GDP為64.75萬億元B.2022年中國GDP大于2014年與2015年的GDP之和C.2014—2021年中國GDP同比增長(zhǎng)率超過10%的有2017年、2018年、2021年D.2014—2021年中國GDP同比增長(zhǎng)最快的是2021年〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?022年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬億元，2022年上半年中國GDP為萬億元，所以2022年下半年中國GDP為萬億元，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?014年與2015年中國GDP和為，故2022年中國GDP小于2014年與2015年的GDP之和，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長(zhǎng)率超過10%的有2017年、2018年、2021年，故C正確；對(duì)于D，由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長(zhǎng)最快的是2021年，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，直線與的圖象沒有公共點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為D.當(dāng)有一個(gè)極值點(diǎn)為時(shí)，的極大值為〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，且不恒為零，所以，當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象沒有公共點(diǎn)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于方程，，由，可得，解得，因此，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)有一個(gè)極值點(diǎn)為時(shí)，，解得，則，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的極大值為，D錯(cuò).故選：ABC.11.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為6，則下列結(jié)論中正確的是（）A.橢圓C的短軸長(zhǎng)為B.當(dāng)P，Q分別在x軸的上方和下方時(shí)四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是C.存在四個(gè)不同的點(diǎn)P，使得D.若為銳角三角形，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗由題給條件可得，解之得，則，則橢圓C的方程為.設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為，選項(xiàng)A：橢圓C的短軸長(zhǎng)為.判斷正確；選項(xiàng)B：當(dāng)P，Q分別在x軸的上方和下方時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：中，，，則，則.又當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)取得最大值，則存在2個(gè)不同的點(diǎn)P，使得.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得，由橢圓C的半焦距為2，則由為銳角三角形，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是.判斷正確.故選：AD.12.如圖，在三棱柱中，AB⊥BC，平面ABC，BC＝2，三棱錐的外接球O的表面積為，記直線AC與所成的角為，直線與平面ABC所成的角為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.三棱柱的體積的最大值為6C.球心O到平面的距離為 D.〖答案〗BD〖解析〗如圖，棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，又AB⊥BC，平面ABC，分別取的中點(diǎn)，則球心O為的中點(diǎn).由球O的表面積為，則，即，解得.由平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，又AB⊥BC，所以，又BC＝2，所以.對(duì)于A，因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于B，三棱柱的體積，當(dāng)取得等號(hào)，所以體積的最大值為6，故B正確；對(duì)于C，球心O為的中點(diǎn)，.球心O到平面的距離即點(diǎn)M為到平面的距離,也即點(diǎn)C為到平面的距離的一半,又BC＝2，球心O到平面的距離為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，記直線AC與所成的角為，，所以，；直線與平面ABC所成的角為，由平面ABC，所以，，.故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若的展開式中的系數(shù)為15，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗或1〖解析〗根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)公式為，則展開式中的系數(shù)為，即，解得或．故〖答案〗為：或.14.某足球隊(duì)共有30名球員練習(xí)點(diǎn)球，其中前鋒6人，中場(chǎng)16人，后衛(wèi)8人．若前鋒點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.9，中場(chǎng)點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.8，后衛(wèi)點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.7，則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門的概率是______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）〖答案〗0.79〖解析〗依題意，選中前鋒的概率為，選中中場(chǎng)的概率為，選中后衛(wèi)的概率為，則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門的概率是.故〖答案〗為：0.79.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，則，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，即，即，即，解得或，因此，不等式的解集為.故〖答案〗為：.16.已知在四面體中，，，則該四面體外接球的體積為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)，連接、，則，，且，所以，則，所以，，平面，所以平面，的外接圓圓心即為斜邊的中點(diǎn)，所以四面體外接球的球心在上，設(shè)球心為，外接球的半徑為，連接，則，即，解得，所以外接球的體積.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知在等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，所以．（2）由（1）可知，，則，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比為，所以，所以．所以．18.已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若c＝2，△ABC的面積為，求證：△ABC是正三角形．（1）解：由及正弦定理得，所以，所以，所以．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋裕?）證明：因?yàn)?，所以ab＝4．由余弦定理可得，所以，即，所以a＋b＝4，所以a＝b＝2，所以a＝b＝c，所以△ABC是正三角形．19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，交于點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖所示，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證，且平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所