數(shù)學(xué)（人教版必修3）練習(xí)3.3.1幾何概型（活頁作業(yè)）

活頁作業(yè)(二十)幾何概型(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2016·高考全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10min的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為y，當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時(shí)，小明等車時(shí)間不超過10min，因此所求概率P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故選B．答案：B2．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：△ABE的面積是矩形ABCD面積的一半，由幾何概型，點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率為eq\f(1,2)．答案：C3．(2015·高考山東卷)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．1解析：先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式，再根據(jù)幾何概型的概率公式求出概率．不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2).故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4)．答案：A4．如圖，在正方形圍欄內(nèi)均勻撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(π,3)解析：設(shè)事件A＝{小雞正在正方形的內(nèi)切圓中}，則事件A的幾何區(qū)域?yàn)閮?nèi)切圓的面積S＝πR2(2R為正方形的邊長)，全體基本事件的幾何區(qū)域?yàn)檎叫蔚拿娣e，由幾何概型的概率公式可得P(A)＝eq\f(πR2,2R2)＝eq\f(π,4)，即小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率為eq\f(π,4)．答案：B5．在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在[0,1]內(nèi)的概率是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,10)C．eq\f(π,20) D．eq\f(π,40)解析：設(shè)在[0,1]內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2＋b2也在[0,1]內(nèi)，則有0≤a2＋b2≤1.如右圖，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檫呴L為1的正方形，滿足a2＋b2在[0,1]內(nèi)的點(diǎn)在eq\f(1,4)的單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(π,4)．答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．如圖，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向陰影所示區(qū)域時(shí)甲勝，否則乙勝，則甲獲勝的概率是________________．解析：轉(zhuǎn)盤共分為8部分，陰影占5部分，故甲獲勝概率為eq\f(5,8)．答案：eq\f(5,8)7．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，點(diǎn)M落在三棱柱ABC-A1B1C1解析：∵V正方體＝a3，V三棱柱＝eq\f(1,2)a3，∴所求概率P＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)8．已知正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，則在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O解析：設(shè)正方體邊長為1，則V正方體＝1，其內(nèi)切球半徑為eq\f(1,2)，故V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(π,6).故所求概率P＝eq\f(V球,V正方體)＝eq\f(π,6)．答案：eq\f(π,6)三、解答題(每小題10分，共20分)9．設(shè)A為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，求弦長超過半徑的eq\r(2)倍的概率．解：如圖所示，在⊙O上有一定點(diǎn)A，任取一點(diǎn)B與A連接，則弦長超過半徑的eq\r(2)倍，即為∠AOB的度數(shù)大于90°，而小于270°．記“弦長超過半徑的eq\r(2)倍”為事件C，則C表示的范圍是∠AOB∈(90°，270°)．∵270°－90°＝180°．∴試驗(yàn)的的全部結(jié)果是圓周長，滿足要求的結(jié)果是半圓周長，則由幾何概型的概率公式，得P(C)＝eq\f(1,2)．10．平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r＜a的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率解：設(shè)事件A為“硬幣不與任一條平行線相碰”．為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，參看圖，這樣線段OM長度(記作|OM|)的取值范圍是[0，a]，只有當(dāng)r＜|OM|≤a時(shí)，硬幣不與平行線相碰，其長度范圍是(r，a]．所以P(A)＝eq\f(r，a]的長度,[0，a]的長度)＝eq\f(a－r,a)．(20分鐘，40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．如下四個(gè)游戲盤(各正方形邊長和圓的直徑都是單位1)，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，那么可中獎(jiǎng)．小明希望中獎(jiǎng)，則應(yīng)選擇的游戲盤是()解析：P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1－\f(π,4),1)＝1－eq\f(π,4)，P(D)＝eq\f(1,π)，則P(A)最大，故選A．答案：A2．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(7),4)解析：如圖，不妨設(shè)AB＝1，AD＝x，則eq\f(AD,AB)＝x.由圖形的對(duì)稱性和題意知，點(diǎn)P應(yīng)在EF之間(BE＝AB，AF＝AB)，EF＝eq\f(1,2)，DE＝CF＝eq\f(1,4).當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E時(shí)，BP最大為eq\r(x2＋\f(9,16))，∴x2＋eq\f(9,16)＝1.∴x＝eq\f(\r(7),4)．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)3．《廣告法》對(duì)插播廣告的時(shí)間有一定的規(guī)定，某人對(duì)某臺(tái)的電視節(jié)目做了長期的統(tǒng)計(jì)后得出結(jié)論，他任意時(shí)間打開電視機(jī)看該臺(tái)節(jié)目，看不到廣告的概率為eq\f(9,10)，那么該臺(tái)每小時(shí)約有________________min的廣告．解析：60×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝6(min)．答案：64．設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是________．解析：平面區(qū)域D的面積為4，到原點(diǎn)距離大于2的點(diǎn)位于圖中陰影部分，其面積為4－π，所以所求概率為eq\f(4－π,4)．答案：eq\f(4－π,4)三、解答題(每小題10分，共20分)5．如圖，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，試求：(1)△AOC為鈍角三角形的概率；(2)△AOC為銳角三角形的概率．解：如題圖，由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)AD⊥OB時(shí)，OD＝1；當(dāng)OA⊥AE時(shí)，OE＝4，BE＝1．(1)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OD或BE上時(shí)，△AOC為鈍角三角形，記“△AOC為鈍角三角形”為事件M，則P(M)＝eq\f(OD＋BE,OB)＝eq\f(1＋1,5)＝0.4，即△AOC為鈍角三角形的概率為0.4．(2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段DE上時(shí)，△AOC為銳角三角形，記“△AOC為銳角三角形”為事件N，則P(N)＝eq\f(DE,OB)＝eq\f(3,5)＝0.6．6．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．(2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件是a≥b．(1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．事件A包含9個(gè)基本事件：(0,0)，(1,