專題22 胡不歸模型（原卷版）

胡不歸模型一、知識導(dǎo)航在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會遇上形如“PA+kPB”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓．本文簡單介紹“胡不歸”模型．【故事介紹】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？【模型建立】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。締栴}分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型總結(jié)】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．二、典例精析如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則的最小值是_______．【分析】本題關(guān)鍵在于處理“”，考慮tanA=2，△ABE三邊之比為，，故作DH⊥AB交AB于H點，則．問題轉(zhuǎn)化為CD+DH最小值，故C、D、H共線時值最小，此時．【小結(jié)】本題簡單在于題目已經(jīng)將BA線作出來，只需分析角度的三角函數(shù)值，作出垂線DH，即可解決問題，若稍作改變，將圖形改造如下：則需自行構(gòu)造α，如下圖，這一步正是解決“胡不歸”問題關(guān)鍵所在．三、中考真題演練1．（2023·山東·中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，其對稱軸為．

(1)求拋物線的表達式；(3)如圖2，動點P在直線上方的拋物線上，過點P作直線的垂線，分別交直線，線段于點E，F(xiàn)，過點F作軸，垂足為G，求的最大值．2．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？3．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；4．（2023·天津·中考真題）已知拋物線，為常數(shù)，的頂點為，與軸相交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸相交于點，拋物線上的點的橫坐標為，且，過點作，垂足為．(1)若．①求點和點的坐標；②當時，求點的坐標；(2)若點的坐標為，且，當時，求點的坐標．5．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一交點為．

(1)若點的橫坐標為，求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在（1）條件下，設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到后停止．當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中用時最少?6．（2023·廣西柳州·二模）已知拋物線過點，兩點，與軸交于點，，

(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)點為拋物線上位于直線下方的一動點，當面積最大時，求點的坐標；(3)若點為線段上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．7．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）拋物線分別交x軸于點，，交y軸于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點D，點M為線段OC上的動點，點N為線段AC上的動點，且．(1)求拋物線的表達式；(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由；(3)在M，N移動的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請寫出理由．8．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點C的坐標是，將繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點A的對應(yīng)點是點E．①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標．9．（2018·江蘇徐州·一模）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點，直線AC：y=-交y軸與點C，點E是直線AB上的動點，過點EF∥y軸交AC于點F，交拋物線于點G．（1）直接寫出拋物線y=-x2+bx+c的解析式為_______；（2）在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；（3）在（2）的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為圓E上一動點，求AM+CM的最小值．10．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；（2）點M為拋