專題10 平行四邊形的存在性問題（原卷版）

專題10平行四邊形的存在性問題一、知識導(dǎo)航考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點(diǎn)B移動到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動到點(diǎn)D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)．【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：（各個點(diǎn)對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問：若坐標(biāo)系中的4個點(diǎn)A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個點(diǎn)”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．二、典例精析平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印焙汀皟啥▋蓜印眱纱箢悊栴}．三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當(dāng)然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減）兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點(diǎn)綜述】“三定一動”的動點(diǎn)和“兩定兩動”的動點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點(diǎn)”，而有一些動點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動點(diǎn)”．從上面例子可以看出，雖然動點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點(diǎn)坐標(biāo)．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點(diǎn)未知量=半動點(diǎn)未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點(diǎn)設(shè)計，由動點(diǎn)設(shè)計可化解問題．三、中考真題演練1．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)為線段的中點(diǎn)，為直線上的一個動點(diǎn)，連接，，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．問是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．(1)若，求n的值；(2)拋物線與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為E．①m為何值時，點(diǎn)E到達(dá)最高處；②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個交點(diǎn)為F，當(dāng)時，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2023·山東·中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？4．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；5．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)時停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時，請在圖1中過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．7．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)