專題10 平行四邊形的存在性問題（原卷版）

專題10平行四邊形的存在性問題一、知識導(dǎo)航考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：（各個點對應(yīng)的橫縱坐標相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問：若坐標系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．二、典例精析平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印焙汀皟啥▋蓜印眱纱箢悊栴}．三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標系內(nèi)確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設(shè)D點坐標為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當(dāng)然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標相加減）兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標．【分析】設(shè)C點坐標為（m，0），D點坐標為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設(shè)計，由動點設(shè)計可化解問題．三、中考真題演練1．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)求點的坐標；(3)設(shè)為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應(yīng)點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點在函數(shù)的圖象上．(1)若，求n的值；(2)拋物線與x軸交于兩點M，N（M在N的左邊），與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．①m為何值時，點E到達最高處；②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個交點為F，當(dāng)時，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023·山東·中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？4．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標；5．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．(1)求拋物線的表達式；(2)當(dāng)時，請在圖1中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．7．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點