2015年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2015年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（1-8小題每小題3分，9-12小題每小題3分）

1.下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中,

是軸對稱圖形的是（）

A.⑥B.0.⑥D(zhuǎn).6

2.宜的算術(shù)平方根是（）

A.2B.±2C.V2D.±72

3.2的結(jié)果是（）

A.a5B.-a5C.a6D.-a6

4.某市測得一周PM2.5的日均值（單位：微克/立方米）如下：31,30,34,

35,36,34,31,對這組數(shù)據(jù)下列說法正確的是（）

A.眾數(shù)是35B.中位數(shù)是34c.平均數(shù)是35D.方差是6

5.小紅在觀察由一些相同小立方塊搭成的幾何體時，發(fā)現(xiàn)它的主視圖、俯視圖、

左視圖均為如圖，則構(gòu)成該幾何體的小立方塊的個數(shù)有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

6.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件:

①AB=BC,②NABC=90。，③AC=BD,（4）AC±BD中選兩個作為補充條件,

使口ABCD為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選法，你認為其中錯誤的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

‘2-x》3

7.不等式組33的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

-rx+l^x——

122

-h------------j------->-J——J

A.-5-4-3-2-101B.012345

8.如圖，等腰直角AABC中，AB=AC=8,以AB為直徑的半圓O交斜邊BC

于D,則陰影部分面積為（結(jié)果保留冗）（）

A.24-4nB.32-4nC.32-8nD.16

9.某縣大力推進義務(wù)教育均衡發(fā)展，加強學(xué)校標準化建設(shè)，計劃用三年時間對

全縣學(xué)校的設(shè)施和設(shè)備進行全面改造，2014年縣政府已投資5億元人民幣，若

每年投資的增長率相同，預(yù)計2016年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增

長率為（）

A.20%B.40%C.-220%D.30%

10.如圖，在直角ABAD中，延長斜邊BD到點C,使DC=1BD,連接AC,

若tanB=2則tan/CAD的值()

3

11.觀察下列各式及其展開式：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

請你猜想(a+b)i°的展開式第三項的系數(shù)是()

A.36B.45C.55D.66

12.如圖是拋物線yi=ax?+bx+c(a^O)圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A(1,

3),與x軸的一個交點B(4,0),直線y2=mx+n(mwO)與拋物線交于A,B

兩點，下列結(jié)論：

①2a+b=0；②abc>0；③方程ax?+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根；④拋物線與

x軸的另一個交點是(-1,0)；⑤當(dāng)l<x<4時，有y2<yi,

其中正確的是()

A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤

二、填空題(每小題4分，共16分)

13.若｛(x-3)2=3-x,則x的取值范圍是.

14.邊長為1的一個正方形和一個等邊三角形如圖擺放，則AABC的面積

15.如果m,n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2-m=3,n2-n=3,那么代數(shù)式

2n2-mn+2m+2015=.

16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正

方形，點F在x軸的正半軸上，點C在邊DE上，反比例函數(shù)y=K(kwO,x>0)

X

的圖象過點B,E.若AB=2,則k的值為

三、解答題

17.先化簡，再求值：（口+1）+一一，其中a=?；

2

a+1a-1

（2）已知關(guān)于x,y的二元一次方程組，*+2k3的解滿足x+y=O,求實數(shù)m

3x+5y=irri-2

的值.

18.為進一步推廣“陽光體育"大課間活動，某中學(xué)對已開設(shè)的A實心球，B立

定跳遠，C跑步，D跳繩四種活動項目的學(xué)生喜歡情況進行調(diào)查，隨機抽取了部

分學(xué)生，并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1,圖2的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中的信息解答下列

問題:

（1）請計算本次調(diào)查中喜歡“跑步”的學(xué)生人數(shù)和所占百分比，并將兩個統(tǒng)計圖

補充完整；

（2）隨機抽取了5名喜歡“跑步”的學(xué)生，其中有3名女生，2名男生，現(xiàn)從這5

名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，請用畫樹狀圖或列表的方法，求出剛好抽到同性別

19.如圖1所示，某乘客乘高速列車從甲地經(jīng)過乙地到丙地，列車勻速行駛，

圖2為列車離乙地路程y（千米）與行駛時間x（小時）時間的函數(shù)關(guān)系圖象.

（1）填空：甲、丙兩地距離千米.

（2）求高速列車離乙地的路程y與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的

取值范圍.

圖1

20.如圖，已知，在ZkABC中，CA=CB,ZACB=90°,E,F分別是CA,CB

邊的三等分點，將AECF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a角（CTVa<90。），得到AMCN,

連接AM,BN.

（1）求證：AM=BN；

（2）當(dāng)MA〃CN時，試求旋轉(zhuǎn)角a的余弦值.

21.閱讀資料：

如圖1,在平面之間坐標系xOy中，A,B兩點的坐標分別為A(xi,yi),B(X2,

y2),由勾股定理得AB2=|x2-xiF+|y2-yiF，所以A,B兩點間的距離為

AB=22

y/(x2-Xj)+(y2-Yi)-

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖2,在平面直角坐

標系xoy中，A(x,y)為圓上任意一點，則A到原點的距離的平方為OA?=|x

-0|2+|y-0|2,當(dāng)。。的半徑為r時，的方程可寫為：x2+y2=r2.

問題拓展：如果圓心坐標為P(a,b),半徑為r,那么。P的方程可以寫

為.

綜合應(yīng)用：

如圖3,OP與x軸相切于原點0,P點坐標為(0,6),A是OP上一點，連接

0A,使tanNPOA=g作PDLOA,垂足為D,延長PD交x軸于點B,連接

4

AB.

①證明AB是OP的切點；

②是否存在到四點0,P,A,B距離都相等的點Q?若存在，求Q點坐標，并

寫出以Q為圓心，以0Q為半徑的的方程；若不存在，說明理由.

22.如圖，拋物線y=-1x2+mx+n與直線y=--lx+3交于A,B兩點，交x軸與D,

C兩點，連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

(I)求拋物線的解析式和tanZBAC的值；

(H)在(I)條件下：

(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA,過點P作PQXPA交y軸于點Q,

問：是否存在點P使得以A,P,Q為頂點的三角形與AACB相似？若存在，請

求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(2)設(shè)E為線段AC上一點(不含端點)，連接DE,一動點M從點D出發(fā)，

沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒加個單位的速

度運動到A后停止，當(dāng)點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少？

VA

<8

ODX

2015年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（1?8小題每小題3分，9?12小題每小題3分）

1.下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，

是軸對稱圖形的是（）

4⑥B.a◎6

考點：軸對稱圖形.

分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.

解答：解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

D、是軸對稱圖形，故本選項正確.

故選D.

點評：本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形

兩部分沿對稱軸折疊后可重合.

2.F的算術(shù)平方根是（）

A.2B.±2C.V2D.±72

考點：算術(shù)平方根.

專題：計算題.

分析：先求得F的值，再繼續(xù)求所求數(shù)的算術(shù)平方根即可.

解答：解：：返二2，

而2的算術(shù)平方根是血,

.?.?的算術(shù)平方根是血，

故選：c.

點評：此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，解題時應(yīng)先明確是求哪個數(shù)的算術(shù)

平方根，否則容易出現(xiàn)選A的錯誤.

3.2的結(jié)果是()

A.a5B.-a5C.a6D.-a6

考點：募的乘方與積的乘方.

分析：根據(jù)哥的乘方?和積的乘方的運算法則求解.

解答：解：(-a3)2=a6.

故選C.

點評：本題考查了哥的乘方和積的乘方，掌握運算法則是解答本題關(guān)鍵.

4.某市測得一周PM2.5的日均值(單位：微克/立方米)如下：31,30,34,

35,36,34,31,對這組數(shù)據(jù)下列說法正確的是()

A.眾數(shù)是35B.中位數(shù)是34c.平均數(shù)是35D.方差是6

考點：方差；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù).

分析：根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)和方差的計算公式分別進行計算即可得出答

案.

解答：解：A、31和34出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是31和34,故

本選項錯誤；

B、把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，最中間的數(shù)是34,則中位數(shù)是34,故本選項錯

正確；

C、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：(31+30+34+35+36+34+31)+7=33,故本選項錯誤；

D、這組數(shù)據(jù)的方差是：1[2(31-33)2+(30-33)2+2(34-33)2+(35-33)

7

2+(36-33)2]=留，故本選項錯誤；

7

故選B.

點評：本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的定義.用到的知識點：一組數(shù)據(jù)中

出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到

?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù).平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù).一般地設(shè)n

個數(shù)據(jù)，XI,X2,...Xn的平均數(shù)為K，則方差S2==（XI-X）2+（X2-X）2+-+（Xn

n

-x）2].

5.小紅在觀察由一些相同小立方塊搭成的幾何體時，發(fā)現(xiàn)它的主視圖、俯視圖、

左視圖均為如圖，則構(gòu)成該幾何體的小立方塊的個數(shù)有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

考點：由三視圖判斷幾何體.

分析：根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得

到的圖形.

解答：解：從俯視圖發(fā)現(xiàn)有3個立方體，從左視圖發(fā)現(xiàn)第二層最多有1個立方

塊，

則構(gòu)成該幾何體的小立方塊的個數(shù)有4個；

故選B.

點評：此題考查了學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空

間想象能力方面的考查.如果掌握口訣"俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖

拆違章”就更容易得到答案.

6.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：

①AB=BC,②NABC=90。，③AC=BD,④ACLBD中選兩個作為補充條件，

使口ABCD為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選法，你認為其中錯誤的是（）

DC

A.①②B.②③C.①③D.②④

考點：正方形的判定.

分析：利用矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別，結(jié)合正方形的判定方法分

別判斷得出即可.

解答：解：A、..?四邊形ABCD是平行四邊形，

當(dāng)①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，

當(dāng)②NABC=90。時，菱形ABCD是正方形，故此選項錯誤；

B、：四邊形ABCD是平行四邊形，

當(dāng)②NABC=90。時，平行四邊形ABCD是矩形，

當(dāng)AC=BD時，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項

正確；

C、四邊形ABCD是平行四邊形，

當(dāng)①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，

當(dāng)③AC=BD時，菱形ABCD是正方形，故此選項錯誤；

D、?四邊形ABCD是平行四邊形，

??.當(dāng)②NABC=90。時，平行四邊形ABCD是矩形，

當(dāng)④ACLBD時，矩形ABCD是正方形，故此選項錯誤.

故選：B.

點評：此題主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正確掌握正

方形的判定方法是解題關(guān)鍵.

‘2-x》3

7.不等式組33的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

-x+l^x——

122

A.-4-3-2i01^B.(S匕§0

考點：在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組.

分析：分別求出各不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可.

2~x》3①

解答：解：，3由①得，x<-1,由②得，x>-5,

[-x+l>X--0

故-5<x<-1.

在數(shù)軸上表示為：

受，二______>

-5-4-3-2-10V.

故選A.

點評：本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知“小于向左，大于向右"

是解答此題的關(guān)鍵.

8.如圖，等腰直角△ABC中，AB=AC=8,以AB為直徑的半圓0交斜邊BC

于D,則陰影部分面積為（結(jié)果保留兀）（）

A.24-4nB.32-4nC.32-8nD.16

考點：扇形面積的計算.

分析：連接AD,因為^ABC是等腰直角三角形，故NABD=45。，再由AB是

圓的直徑得出NADB=90。，故AABD也是等腰直角三角形，所以俞=俞，S陰影

=SAABC-SAABD-S弓形AD由此可得出結(jié)論.

解答：解：連接AD,0D,

?.?等腰直角AABC中，

AZABD=45".

VAB是圓的直徑，

AZADB=90°,

...△ABD也是等腰直角三角形，

AAD=BD.

VAB=8,

.，.AD=BD=4加,

??S陰影=SAABC-SAABD-S弓形AD=SAABC-SAABD-(S扇形AOD

2

--IsAABD)=1x8x8-』x4%x4&-9。兀二&+冬冬4我'4我=16-4n+8=24-

22236022

4n.

故選A.

C

點評：本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

9.某縣大力推進義務(wù)教育均衡發(fā)展，加強學(xué)校標準化建設(shè)，計劃用三年時間對

全縣學(xué)校的設(shè)施和設(shè)備進行全面改造，2014年縣政府已投資5億元人民幣，若

每年投資的增長率相同，預(yù)計2016年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增

長率為（）

A.20%B.40%C.-220%D.30%

考點：一元二次方程的應(yīng)用.

專題：增長率問題.

分析：首先設(shè)每年投資的增長率為X.根據(jù)2014年縣政府已投資5億元人民幣,

若每年投資的增長率相同，預(yù)計2016年投資7.2億元人民幣，列方程求解.

解答：解：設(shè)每年投資的增長率為X,

根據(jù)題意，得：5(1+x)2=7.2,

解得：xi=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),

故每年投資的增長率為為20%.

故選：A.

點評：此題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握增長率問

題中的一般公式為a(1+x)%其中n為共增長了幾年，a為第一年的原始數(shù)據(jù),

x是增長率.

10.如圖，在直角ABAD中，延長斜邊BD到點C,使DC二1BD,連接AC,

2

若tanB9,貝ljtan/CAD的值()

3

考點：解直角三角形.

分析：延長AD,過點C作CE±AD,垂足為E,由tanB=^,即以=2設(shè)AD=5x,

3AB3

則AB=3x,然后可證明△CDEs^BDA,然后相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得:

CE__pE_CD__l；進而可得CE=?x,DE=4,從而可求tanNCAD=罡J.

ABADBD222AE5

解答：解：如圖，延長AD,過點C作CELAD,垂足為E,

:tanB=—,即—,

3AB3

.?.設(shè)AD=5x,則AB=3x,

VZCDE=ZBDA,ZCED=ZBAD,

.,.△CDE^ABDA,

?CE_DE_CD_1,

，，AB=AD=BD^2,

.*.CE=^x,DE=2x，

22

AE=—

2

.*.tanZCAD=^=l.

AE5

點評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三

角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線，將/

CAD放在直角三角形中.

11.觀察下列各式及其展開式：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

請你猜想(a+b)的展開式第三項的系數(shù)是()

A.36B.45C.55D.66

考點：完全平方公式.

專題：規(guī)律型.

分析：歸納總結(jié)得到展開式中第三項系數(shù)即可.

解答：解：解：(a+b)2=a?2+2ab+b2；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；

(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；

第8個式子系數(shù)分別為：1,8,28,56,70,56,28,8,1；

第9個式子系數(shù)分別為：1,9,36,84,126,126,84,36,9,1；

第10個式子系數(shù)分別為：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,

則(a+b)10的展開式第三項的系數(shù)為45.

故選B.

點評：此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

12.如圖是拋物線yi=ax?+bx+c(aM)圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A(1,

3),與x軸的一個交點B(4,0),直線y2=mx+n(mrO)與拋物線交于A,B

兩點，下列結(jié)論：

①2a+b=0；②abc>0；③方程ax?+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根；④拋物線與

x軸的另一個交點是(-1,0)；⑤當(dāng)l<x<4時，有y2<yi,

其中正確的是()

A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點.

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：根據(jù)拋物線對稱軸方程對①進行判斷；由拋物線開口方向得到a<0,由

對稱軸位置可得b>0,由拋物線與y軸的交點位置可得c>0,于是可對②進行

判斷；根據(jù)頂點坐標對③進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性對④進行判斷；根據(jù)

函數(shù)圖象得當(dāng)l<x<4時，一次函數(shù)圖象在拋物線下方，則可對⑤進行判斷.

解答：解：???拋物線的頂點坐標A(1,3),

??.拋物線的對稱軸為直線x=-A=l,

2a

...2a+b=0,所以①正確；

???拋物線開口向下，

.*.a<0,

/?b=-2a>0,

???拋物線與y軸的交點在x軸上方，

.??abcVO,所以②錯誤；

?拋物線的頂點坐標A（1,3）,

/.x=l時，二次函數(shù)有最大值，

???方?程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根，所以③正確；

?.?拋物線與x軸的一個交點為（4,0）

而拋物線的對稱軸為直線x=L

...拋物線與x軸的另一個交點為（-2,0）,所以④錯誤；

二,拋物線yi=ax?+bx+c與直線y2=mx+n（HIHO）交于A（1,3）,B點（4,0）

.,.當(dāng)l<x<4時，y2<yi,所以⑤正確.

故選C.

點評：本題考查了二次項系數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，0）,

二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)

a<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位

置：當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<

0）,對稱軸在y軸右.（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋

物線與y軸交于（0,c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2-4ac>0時，

拋物線與x軸有2個交點；A=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；

-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

二、填空題（每小題4分，共16分）

13.若《（x-3）2=3-x,則x的取值范圍是xW3.

考點：二次根式的性質(zhì)與化簡.

分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出3-X20,求出即可.

解答：解：(x-3)2=3-X,

/?3-x>0?

解得：x<3,

故答案為：x<3.

點評：本題考查了二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：當(dāng)心0時，J*=a,當(dāng)a<0

時，#=笈

14.邊長為1的一個正方形和一個等邊三角形如圖擺放，貝SABC的面積為

1

考點：正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.

分析：過點C作CD和CE垂直正方形的兩個邊長，再利用正方形和等邊三角

形的性質(zhì)得出CE的長，進而得出aABC的面積即可.

解答：解：過點C作CD和CE垂直正方形的兩個邊長，如圖，

：一個正方形和一個等邊三角形的擺放,

，四邊形DBEC是矩形，

.,.CE=DB=A,

2

.'.△ABC的面積」AB?CE=』xlx』」，

2224

故答案為：1.

4

點評：此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出BE

和CE的長.

15.如果m,n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2-m=3,n2-n=3,那么代數(shù)式

2n2-mn+2m+2015=2026.

考點：根與系數(shù)的關(guān)系.

分析：由于m,n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2-m=3,n2-n=3,可知m,

n是x2-x-3=0的兩個不相等的實數(shù)根.則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=2,

mn=-3,又n2=n+3,利用它們可以化簡2n2-mn+2m+2015=2(n+3)-

mn+2m+2015=2n+6-mn+2m+2015=2(m+n)-mn+2021,然后就可以求出所求

的代數(shù)式的值.

解答：解：由題意可知：m,n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2-m=3,n2-n=3,

所以m,n是x2-x-3=0的兩個不相等的實數(shù)根，

則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=l,mn=-3,

又n2=n+3,

則2n2-mn+2m+2015

=2(n+3)-mn+2m+2015

=2n+6-mn+2m+2015

=2(m+n)-mn+2021

=2x1-(-3)+2021

=2+3+2021

=2026.

故答案為：2026.

點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是把所求代數(shù)式化成

兩根之和、兩根之積的系數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系式求值.

16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正

方形，點F在x軸的正半軸上，點C在邊DE上，反比例函數(shù)y=K(kH),x>0)

x

的圖象過點B,E.若AB=2,則k的值為6+2—.

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

分析：設(shè)E(x,x),則B(2,x+2),根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得出x2=x

(x+2),求得E的坐標，從而求得k的值.

解答：解：設(shè)E(x,x),

.*.B(2,x+2),

???反比例函數(shù)y=X(krO,x>0)的圖象過點B、E.

x

/.X2=2(X+2),

解得*1=1+粕，X2=l-V5(舍去)，

k=x?=6+2泥，

故答案為6+2V5-

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖

象上點與反比例函數(shù)中系數(shù)k的關(guān)系.

三、解答題

17.先化簡，再求值：(口+1)+一一，其中a=?；

2

a+1a-1

(2)已知關(guān)于x,y的二元一次方程組尸2尸3的解滿足x+y=0,求實數(shù)m

(3x+5y=irri-2

的值.

考點：分式的化簡求值；二元一次方程組的解.

分析：（1）先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a的值代入進行

計算即可；

（2）先把m當(dāng)作已知條件求出x、y的值，再根據(jù)足x+y=O求出m的值即可.

解答：解：（1）原式J-a+a+1.（a+1）

a+12

_2.（a+1）（a-1）

―寶2

=a-1,

當(dāng)時，原式=、巧-1；

（2）解關(guān)于x,y的二元一次方程組［x+2產(chǎn)3得產(chǎn)11,

13x+5y=nH-2-m

?；x+y=O,

2m-11+7-m=0,解得m=4.

點評：本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的

關(guān)鍵.

18.為進一步推廣"陽光體育"大課間活動，某中學(xué)對已開設(shè)的A實心球，B立

定跳遠，C跑步，D跳繩四種活動項目的學(xué)生喜歡情況進行調(diào)查，隨機抽取了部

分學(xué)生，并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1,圖2的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中的信息解答下列

問題：

（1）請計算本次調(diào)查中喜歡“跑步”的學(xué)生人數(shù)和所占百分比，并將兩個統(tǒng)計圖

補充完整；

（2）隨機抽取了5名喜歡“跑步”的學(xué)生，其中有3名女生，2名男生，現(xiàn)從這5

名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，請用畫樹狀圖或列表的方法，求出剛好抽到同性別

學(xué)生的概率.

考點：列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.

分析：（1）用A的人數(shù)除以所占的百分比，即可求出調(diào)查的學(xué)生數(shù)；用抽查

的總?cè)藬?shù)減去A、B、D的人數(shù)，求出喜歡“跑步”的學(xué)生人數(shù)，再除以被調(diào)查的

學(xué)生數(shù)，求出所占的百分比，再畫圖即可；

（2）用A表示男生，B表示女生，畫出樹形圖，再根據(jù)概率公式進行計算即可.

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

154-10%=150（名）.

本項調(diào)查中喜歡“跑步”的學(xué)生人數(shù)是；150-15-45-30=60（人），

所占百分比是：&lxl00%=40%,

（2）用A表示男生，B表示女生，畫圖如下:

共有20種情況，同性別學(xué)生的情況是8種,

則剛好抽到同性別學(xué)生的概率是國$.

205

點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用以及概率的求法，讀

懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能

清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

19.如圖1所示，某乘客乘高速列車從甲地經(jīng)過乙地到丙地，列車勻速行駛,

圖2為列車離乙地路程y（千米）與行駛時間x（小時）時間的函數(shù)關(guān)系圖象.

（1）填空：甲、丙兩地距離900千米.

（2）求高速列車離乙地的路程y與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的

取值范圍.

考點：一次函數(shù)的應(yīng)用.

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖形可得，甲、丙兩地距離為：900+150=1050（千米）；

（2）分兩種情況：當(dāng)04x43時，設(shè)高速列車離乙地的路程y與行駛時間x之間

的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,把（0,900）,（3,0）代入得到方程組，即可解答;

根據(jù)確定高速列出的速度為300（千米/小時），從而確定點A的坐標為（3.5,150）,

當(dāng)3<x<3.5時，設(shè)高速列車離乙地的路程y與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式為:

y=kix+bi,把（3,0）,（3.5,150）代入得到方程組,即可解答.

解答：解：（1）根據(jù)函數(shù)圖形可得，甲、丙兩地距離為：900+150=1050（千米）,

故答案為：900.

（2）當(dāng)04x43時，設(shè)高速列車離乙地的路程y與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式

為：y=kx+b,

把（0,900）,（3,0）代入得：戶=90°,

l3k+b=0

00

解得b：；oo

.*.y=-300x+900,

高速列出的速度為：900+3=300(千米/小時),

1504-300=0.5(小時),3+0.5=3.5(小時)

如圖2,點A的坐標為(3.5,150)

圖2

當(dāng)3<x<3.5時，設(shè)高速列車離乙地的路程y與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式為:

y=kix+bi,

3k1+bi=0

把(3,0),(3.5,150)代入得：,

3.5k[+b『150

'ki=300

解得:

b^-900

.*.y=300x-900,

._'-300x+900(0<x<3)

|300x-900(3<x<3.5)

點評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂圖象，獲取相關(guān)信

息，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

20.如圖，已知，在ZkABC中，CA=CB,ZACB=90°,E,F分別是CA,CB

邊的三等分點，將AECF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0。<。<90。)，得到^MCN,

連接AM,BN.

(1)求證：AM=BN；

(2)當(dāng)MA〃CN時，試求旋轉(zhuǎn)角a的余弦值.

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)由CA=CB,E,F分別是CA,CB邊的三等分點，得CE=CF,根

據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF,ZACM=ZBCN=a,證明AAMC/ZXBNC即

可；

(2)當(dāng)MA〃CN時，ZACN=ZCAM,由NACN+NACM=90。，得到NCAM+

NACM=90°,所以cota=—=—.

AC3

解答：解：(1)VCA=CB,ZACB=90°,E,F分別是CA,CB邊的三等分點，

，CE=CF,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF,ZACM=ZBCN=a,

在AAMC和ABNC中，

'CA=CB

-ZACM=ZBCN，

,CM=CN

AAAMC^ABNC,

.*.AM=BN；

(2)：MA〃CN,

/.ZACN=ZCAM,

VZACN+ZACM=90°,

/.ZCAM+ZACM=90°,

/.ZAMC=90",

???P??~-_-CM-_--C-E_-1?

ACAC3

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)

以及銳角三角函數(shù)的綜合運用，難度適中，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

21.閱讀資料：

如圖1,在平面之間坐標系xOy中，A,B兩點的坐標分別為A(xi,yi),B(X2,

y2),由勾股定理得AB2=|x2-xiF+|y2-yiF，所以A,B兩點間的距離為

AB=J(X。_X[)2+(y。_yJ2.

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點的集合，如圖2,在平面直角坐

標系xoy中，A(x,y)為圓上任意一點，則A到原點的距離的平方為OA?=|x

-0|2+|y-0|2,當(dāng)。。的半徑為r時，。。的方程可寫為：x2+y2=r2.

問題拓展：如果圓心坐標為P(a,b),半徑為r,那么OP的方程可以寫為(x

-a)2+(y-b)2=於.

綜合應(yīng)用：

如圖3,OP與X軸相切于原點0,P點坐標為(0,6),A是。P上一點，連接

0A,使tanNPOA=a,作PDL0A,垂足為D,延長PD交x軸于點B,連接

4

AB.

①證明AB是OP的切點；

②是否存在到四點0,P,A,B距離都相等的點Q?若存在，求Q點坐標，并

寫出以Q為圓心，以0Q為半徑的。。的方程；若不存在，說明理

考點：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角

形斜邊上的中線；勾股定理；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳

角三角函數(shù)的定義.

專題：閱讀型.

分析：問題拓展：設(shè)A(x,y)為。P上任意一點，則有AP=r,根據(jù)閱讀材料

中的兩點之間距離公式即可求出。P的方程；

綜合應(yīng)用：①由PO=PA,PDLOA可得NOPD=NAPD,從而可證到△POB/4

PAB,則有NPOB=NPAB.由。P與x軸相切于原點0可得NPOB=90。，即可得

到NPAB=90。，由此可得AB是(DP的切線；

②當(dāng)點Q在線段BP中點時，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可

得QO=QP=BQ=AQ.易證NOBP=NPOA,則有tan/OBP=^=三由P點坐標

'0B4

可求出OP、0B.過點Q作QHLOB于H,易證△BHQs^BOP,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)可求出QH、BH,進而求出0H,就可得到點Q的坐標，然后運用問

題拓展中的結(jié)論就可解決問題.

解答：解：問題拓展：設(shè)A(x,y)為。P上任意一點，

VP(a,b),半徑為r,

AP2=(x-a)2+(y-b)2=r2.

故答案為(x-a)2+(y-b)2=r2；

綜合應(yīng)用：

@VPO=PA,PD±OA,

AZOPD=ZAPD.

在APOB和APAB中，

'PO=PA

<Z0PB=ZAPB，

TB=PB

/.△POB^APAB,

AZPOB=ZPAB.

與x軸相切于原點0,

AZPOB=90°,

ZPAB=90°,

/.AB是OP的切線；

②存在到四點0,P,A,B距離都相等的點Q.

當(dāng)點Q在線段BP中點時，

VZPOB=ZPAB=90°,

.*.QO=QP=BQ=AQ.

此時點Q到四點O,P,A,B距離都相等.

VZPOB=90°,OA±PB,

ZOBP=90°-ZDOB=ZPOA,

AtanZOBP="=tanZPOA=^.

OB4

點坐標為（0,6）,

.?.OP=6,OB&P=8.

3

過點Q作QHLOB于H,如圖3,

則有NQHB=NPOB=90°,

...QH〃PO,

.,.△BHQ^ABOP,

??--------------,

OPOBBP2

/.QH=1OP=3,BH=1OB=4,

22

/.OH=8-4=4,

???點Q的坐標為（4,3）,

*'?°Q=7OH2+QH2=5,

??.以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的。O的方程為（X-4）2+（y-3）2=25.

點評：本題是一道閱讀題，以考查閱讀理解能力為主，在解決問題的過程中，

用到了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、

勾股定理、切線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角

函數(shù)的定義等知識，有一定的綜合性.

22.如圖，拋物線y=lx2+mx+n與直線y=-』x+3交于A,B兩點，交x軸與D,

22

C兩點，連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

(I)求拋物線的解析式和tanZBAC的值；

(II)在(I)條件下：

(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA,過點P作PQXPA交y軸于點Q,

問：是否存在點P使得以A,P,Q為頂點的三角形與AACB相似？若存在，請

求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(2)設(shè)E為線段AC上一點(不含端點)，連接DE,一動點M從點D出發(fā)，

沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒我個單位的速

度運動到A后停止，當(dāng)點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少？

考點：二次函數(shù)綜合題；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；矩形的判定與性質(zhì)；

軸對稱的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

專題：壓軸題.

分析：(I)只需把A、C兩點的坐標代入y=^x2+mx+n,就可得到拋物線的解

析式，然后求出直線AB與拋物線的交點B的坐標，過點B作BH，x軸于H,

如圖1.易得NBCH=NACO=45。，BC=AC=3j^,從而得到NACB=90。，

然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tanZBAC的值；

(II)(1)過點P作PG±y軸于G,則ZPGA=90°.設(shè)點P的橫坐標為x,由P

在y軸右側(cè)可得x>0,貝i]PG=x,易得NAPQ=NACB=90。.若點G在點A的下

方，①當(dāng)NPAQ=NCAB時，△PAQs^CAB.止匕時可證得△PGAs^BCA,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x.則有P(x,3-3x),然后把P(x,3-

3x)代入拋物線的解析式，就可求出點P的坐標②當(dāng)NPAQ=NCBA時，APAQ

s^CBA,同理，可求出點P的坐標；若點G在點A的上方，同理，可求出點

P的坐標；(2)過點E作EN，y軸于N,如圖3.易得AE=?EN,則點M在整

個運動中所用的時間可表示為亞+gi=DE+EN.作點D關(guān)于AC的對稱點D,連

1V2

接D，E,則有D，E=DE,DC=DC,ZD,CA=ZDCA=45°,從而可得NDCD=90。,

DE+EN=D,E+EN.根據(jù)兩點之間線段最短可得：當(dāng)D\E、N三點共線時，

DE+EN=DE+EN最小.此時可證到四邊形OCDN是矩形，從而有ND,=0C=3,

ON=DZC=DC.然后求出點D的坐標，從而得到OD、ON、NE的值，即可得到

點E的坐標.

解答