11.1 余弦定理（五大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁11．1余弦定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）學(xué)生能用向量等知識證明余弦定理．（2）能初步運(yùn)用余弦定理及其推論解三角形，能解決三角形的計(jì)算問題．（3）提高運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，會從數(shù)學(xué)角度對某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究探索．（1）掌握余弦定理的表示形式及推論、證明方法．（2）會運(yùn)用余弦定理解決基本的解三角形問題．（3）能用余弦定理解決簡單的實(shí)際問題．知識點(diǎn)01余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：余弦定理的變形公式：【即學(xué)即練1】（2024·湖南長沙·高一長沙一中?？计谀┰谥校?，，，則最長邊（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】在中，，，，由余弦定理得，，化簡得，解得或，因?yàn)槭亲铋L的邊，所以，故選：B知識點(diǎn)02利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角；②已知三角形的三條邊，求其三個(gè)角．知識點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一．【即學(xué)即練2】根據(jù)下列條件解三角形（邊長精確到0.01，角度精確到0.1°，）：(1)已知，，，求a；(2)已知，，，求．【解析】（1）由余弦定理，得，所以．（2）由余弦定理，得，所以．知識點(diǎn)03解三角形我們把三角形的三個(gè)角和三條邊叫作三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫作解三角形．【即學(xué)即練3】（1）在△ABC中，已知a=2，b=2，c=，求A，B，C；（2）在△ABC中，已知a=8，B=60°，c=4(+1)，解此三角形.【解析】（1）由余弦定理的推論，得：，又，=60°.，又，B=45°.∴；（2）由余弦定理，得又，A=45°，∴．題型一：已知兩邊及一角解三角形【典例1-1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）在中，角的對邊分別是，已知，，，則等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由余弦定理，將，，，代入得，則有，且，解得．故選：B．【典例1-2】（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則邊（

）A．1 B．2 C．1或2 D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理得：整理得，，解得：或．檢驗(yàn)或滿足題意，故選：C．【變式1-1】（2024·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┰谥校?，，所對的邊分別為，，，若，且，，求的值（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】，即，解得，負(fù)值舍去．故選：A【變式1-2】（2024·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期末）在中，若，，，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】中，若，，，由余弦定理，，則．故選：C【變式1-3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，內(nèi)角的對邊分別為．若，，且則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，且由余弦定理知，，解得，故選：【方法技巧與總結(jié)】已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊．題型二：已知三邊解三角形【典例2-1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中角A、B、C所對邊a、b、c滿足，，，則（

）．A．4 B．5 C．6 D．6或【答案】C【解析】由得，即，又，，故，（舍），故選：C【典例2-2】（2024·江西宜春·高一統(tǒng)考期末）在中，分別是，，的對邊．若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，故選：A【變式2-1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，則角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又，所以．故選：B【變式2-2】（2024·上海徐匯·高一位育中學(xué)?？计谀┰阝g角中，角所對的邊分別為，若，則最大邊的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭氢g角三角形，，且是最大邊，由余弦定理可得，于是可得，且，解得，又，所以邊的取值范圍是．故選：D【變式2-3】（2024·吉林通化·高一?？茧A段練習(xí)）在中，已知，則角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由及余弦定理的推論，得，因?yàn)?，所以．故選：B．【變式2-4】（2024·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理得．故選：A【方法技巧與總結(jié)】已知三角形的三邊解三角形的方法利用余弦定理求出三個(gè)角的余弦值，進(jìn)而求出三個(gè)角．題型三：利用余弦定理判斷三角形的形狀【典例3-1】（2024·河南鄭州·高一中牟縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】由，得，化簡得，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，令，則，得，得，所以，所以為直角三角形，故選：A【典例3-2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，內(nèi)角的對邊分別為.若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】根據(jù)余弦定理知，，所以，則,故三角形為直角三角形，故選：【變式3-1】（2024·北京·高一東直門中學(xué)?？计谀┲校?，，分別是內(nèi)角，，的對邊，若且，則的形狀是（

）A．底角是的等腰三角形 B．等邊三角形C．三邊均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】在，上分別取，，使，，以，為鄰邊作平行四邊形，則四邊形為菱形，連接，，則平分，，，，，，又，，且，，即，，由余弦定理得，，，，是底角是的等腰三角形．故選：A．【變式3-2】（2024·廣西欽州·高一浦北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角對邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所?所以直角三角形.故選：B【變式3-3】（2024·江蘇常州·高一校聯(lián)考期末）在中，，，，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】C【解析】在中,由余弦定理以及，，可知:,故為鈍角，因此是鈍角三角形故選：C【變式3-4】（2024·全國·高一專題練習(xí)）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A【方法技巧與總結(jié)】（1）利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線①先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系．②先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（2）判斷三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常用到以下結(jié)論①為直角三角形或或．②為銳角三角形，且，且．③為鈍角三角形或或．④若，則或．題型四：余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例4-1】（2024·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谀毒耪滤阈g(shù)》是中國古代一部數(shù)學(xué)專著，其中的“邪田”為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長為，東畔長為，在A處測得C，D兩點(diǎn)處的俯角分別為49°和19°，則正廣長約為（注：）（

）A．6.6 B．3.3 C．4 D．7【答案】A【解析】由題意知：，在中，由余弦定理可得：，代入得：，即，因?yàn)?，故，?故選：A.【典例4-2】（2024·河南商丘·高一商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）位于燈塔處正西方向相距海里的處有一艘甲船燃油耗盡，需要海上加油．位于燈塔處北偏東30°方向有一艘乙船（在處），乙船與甲船（在處）相距海里，乙船為了盡快給甲船進(jìn)行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（

）A．西偏南15° B．西偏南30°C．南偏西45° D．南偏西65°【答案】A【解析】如圖，，由正弦定理得，解得．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以乙船航行的最佳方向?yàn)槲髌?故選：A.【變式4-1】（2024·河南周口·高一?？茧A段練習(xí)）兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以的速度向正北方向行駛，另一艇以的速度向北偏東（）角的方向行駛.若經(jīng)過，兩艇相距，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，點(diǎn)為的船后到達(dá)的點(diǎn)，點(diǎn)為的船后到達(dá)的點(diǎn)，則，則，又因，所以.故選：C.【變式4-2】（2024·江蘇鹽城·高一校考階段練習(xí)）《墨經(jīng)·經(jīng)說下》中有這樣一段記載：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在遠(yuǎn)近有端，與于光，故景庫內(nèi)也.”這是中國古代對小孔成像現(xiàn)象的第一次描述.如圖為一次小孔成像實(shí)驗(yàn)，若物距：像距，則像高為.【答案】/1.5【解析】由，則，又，則,即，又物距∶像距，則，即像高為，故答案為：．【變式4-3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中用“圭田”一詞代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰長為4，頂角的余弦值為，則該“圭田”的底邊長為．【答案】【解析】設(shè)“圭田”的底邊長為，則由余弦定理可得，解得，即該“圭田”的底邊長為.故答案為：.【變式4-4】（2024·全國·高一專題練習(xí)）為提高執(zhí)法效能，國家決定組建國家海洋局，國家海洋局以中國海警局名義開展海上維權(quán)執(zhí)法.某海警船從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.如果海警船直接從海島出發(fā)到海島，則航行的路程為海里.【答案】【解析】根據(jù)題意作出圖形，由圖得，海里，海里，根據(jù)余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得即，解得，則航行的路程為海里.故答案為：.【變式4-5】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某住宅小區(qū)的平面呈扇形AOC，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A和點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑OA的長約為米.（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】445【解析】設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得米，米，.在△CDO中，由余弦定理得，即，解得.故扇形的半徑OA的長約為445米.故答案為：445.【變式4-6】（2024·廣東佛山·高一統(tǒng)考競賽）在一個(gè)圓心角為，半徑為1米的扇形鐵板中按如圖方式截出一塊矩形，則該矩形的面積的最大值為平方米.

【答案】【解析】設(shè)，則，連接，于是在中，由余弦定理，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.所以該矩形面積的最大值為平方米.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】解決實(shí)際問題其實(shí)只比解三角形多一步，即把實(shí)際問題中涉及的量納入到圖形中．這一過程中要特別注意準(zhǔn)確理解和翻譯相關(guān)術(shù)語．題型五：利用余弦定理求最值【典例5-1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則的最大值為．【答案】/【解析】由題意，,所以消去得，由,得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴，∴原式故答案為：.【典例5-2】（2024·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谀┰谄矫嫠倪呅沃校?，，，則的最大值為.

【答案】【解析】設(shè)，，則，代入數(shù)據(jù)得，，，在中運(yùn)用余弦定理得，即，，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為3，則的最大值為.故答案為：.【變式5-1】（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是邊BC的中點(diǎn)，，，則的最大值為．【答案】【解析】因?yàn)椋?，設(shè)，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.故答案為：【變式5-2】（2024·福建南平·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)D在邊BC上，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)，.【答案】【解析】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.【變式5-3】（2024·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┰凇鰽BC中，邊a，b，c滿足，，則邊c的最小值為.【答案】【解析】由余弦定理可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號，所以.故答案為：.【變式5-4】（2024·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎谥?，AD為BC邊上的中線，且，，則的最小值為．【答案】/0.6【解析】依題意，，，如圖，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，即，兩式相加得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，在中，，所以的最小值為.故答案為：一、單選題1．（2024·四川資陽·高一四川省安岳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是鈍角三角形的三邊長，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于是鈍角三角形的三邊長，所以，且，所以.設(shè)最長邊對的角為，則，解得.故選：B2．（2024·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期末）在中，若，則角的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，由余弦定理可得，因?yàn)?，所?故選：C.3．（2024·吉林通化·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則角B的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題知，，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又不是三角形的最大邊，所以為銳角，所以的取值范圍是.故選：B.4．（2024·高一校考單元測試）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若、、，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又因?yàn)?，則，故選：C5．（2024·高一單元測試）中，，且，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，所以，又因?yàn)椋?，可得，解得，所以的面積為.故選：A.6．（2024·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）在中，角，，的對邊分別是，，，若，，，則（

）A．2 B．2或6 C．6 D．【答案】C【解析】在中，，，，由余弦定理得，得，即，而，解得，所以.故選：C7．（2024·河南洛陽·高一欒川縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是等腰直角斜邊的三等分點(diǎn)，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意及圖形：設(shè)三角形的直角邊為3，則斜邊為，又由于為三等分點(diǎn)，所以，又，在中有余弦定理得：，在中，利用余弦定理得：，在中利用同角間的三角函數(shù)關(guān)系可知：．故選：D.8．（2024·安徽滁州·高一?？茧A段練習(xí)）若鈍角的內(nèi)角，，滿足，且最大邊長與最小邊長的比值為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)三角形的三邊從小到大依次為，，，因?yàn)椋瑒t，故可得，根據(jù)余弦定理得：，于是，因?yàn)闉殁g角三角形，故，于是，即，則，即.故選：B.二、多選題9．（2024·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）在中，已知，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】BD【解析】由，得，，又，利用余弦定理可得，即，整理得，解得或．故選：BD10．（2024·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則可能的取值有（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】BD【解析】在中，，，，則由余弦定理得，，整理得，解得或，故選：BD11．（2024·江蘇南京·高一南京市寧海中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，角所對的邊分別為，且，則下列關(guān)系可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，，將代入，得到，所以，故，，故選：ACD.三、填空題12．（2024·廣東東莞·高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）在中，角對應(yīng)的邊分別為，則【答案】【解析】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，解得或（舍?故答案為：.13．（2024·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A是等邊外一點(diǎn)，且，，，則的周長為．

【答案】/【解析】在中，由余弦定理可知，整理可得，解得，所以，又是等邊三角形，所以，，由勾股定理可得，，所以的周長為．故答案為：.14．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖為一角槽示意圖，已知，，并量得mm，mm，mm，則，．（精確到0.1°）

【答案】;67.7°【解析】在中由余弦定理可得：,又因?yàn)樗?,故答案為：;.四、解答題15．（2024·