內(nèi)蒙古赤峰市2024屆高三上學(xué)期1.30模擬理科數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

赤峰市高三年級1.30模擬考試試題理科數(shù)學(xué)2024.01本試卷共23小題，共150分，共8頁，考試時間用時120分鐘，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題答案必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答案區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙，試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液，修正帶，刮紙刀.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，為的共軛復(fù)數(shù)，等于（）A.2i B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)加減運算法則計算.【詳解】，故，則.故選：B2.若全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，利用補集和交集的概念進行計算.【詳解】，故，.故選：B3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出函數(shù)定義域再利用函數(shù)奇偶性的定義逐項判斷即可得出結(jié)論.【詳解】對于A，函數(shù)定義域為，且，為奇函數(shù)，A錯誤；對于B，函數(shù)定義域為，且，為非奇非偶函數(shù)，B錯誤；對于C，函數(shù)定義域為，且，為奇函數(shù)，C錯誤；對于D，函數(shù)定義域，，為偶函數(shù)，D正確.故選：D4.已知實數(shù)，，，則，，這三個數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】由于，即，由，即，由，即，故.故選：C5.已知直線，則“是直線與相交”的（）A.充分必要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分別驗證充分性，必要性即可得到.【詳解】當(dāng)直線：與相交時，則，即，當(dāng)時滿足，即“是直線與相交”的充分條件，當(dāng)直線：與相交時，不一定有，如時也滿足，所以“是直線與相交”的充分不必要條件，故選：C.6.已知拋物線的焦點為，點的坐標(biāo)是，P為上一點，則的最小值為（）A. B.6 C. D.5【答案】D【解析】【分析】過點P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為點，過點A作于點H，結(jié)合拋物線的定義可得答案.【詳解】由拋物線知，則，準(zhǔn)線l方程為，如圖所示，點A在拋物線內(nèi)，過點P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為點，過點A作于點H，由拋物線的定義得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)點P是線段與拋物線的交點（即A，P，H三點共線）時取等號．所以的最小值為，故選：D.7.為了測量西藏被譽稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的方式進行，測量人員從山腳開始，直到到達山頂分段測量過程中，已知豎立在點處的測量覘標(biāo)高米，攀登者們在處測得，到覘標(biāo)底點和頂點的仰角分別為，則的高度差約為（）A.7.32米 B.7.07米 C.27.32米 D.30米【答案】A【解析】【分析】畫出示意圖，結(jié)合三角函數(shù)的定義和正切展開式求解即可.【詳解】模型可簡化為如上圖，在中，，所以，而，代入上式并化簡可得米，故選：A.8.已知遞增的等比數(shù)列的前項和為，若是與的等差中項，則（）A21 B.21或57 C.21或75 D.57【答案】A【解析】【分析】由題意列方程求得等比數(shù)列的首項和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由是與的等差中項，得，解得或，則時，，當(dāng)時，，此時等比數(shù)列遞減，不合題意；故，，則，故選：A9.七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成，如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丟一粒種子，則種子落入黑色部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)小正方形邊長1，求陰影部分的面積和大正方形的面積，利用幾何概型即可計算.【詳解】設(shè)小正方形邊長1，可得黑色平行四邊形底為，高，黑色等腰直角三角形直角邊為2，斜邊，即大正方形邊長，所以落入黑色部分的概率，故選：D.10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，后由裂項求和法可得答案.【詳解】注意到，則.則.故選：B11.過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，與的兩條漸近線分別交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線方程與漸近線方程聯(lián)立，解出兩點的橫坐標(biāo)，再利用已知列方程解出，最后求出離心率即可.【詳解】設(shè)直線方程為，因為漸近線方程為，聯(lián)立兩方程解得，因為，所以，即，化簡可得，所以離心率，故選：B.12.已知函數(shù)定義域為，，，則下列命題正確的個數(shù)是（）①若，，則函數(shù)在上是增函數(shù)②若，，則函數(shù)是奇函數(shù)③若，，則函數(shù)是周期函數(shù)④若，且，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減A.3個 B.2個 C.1個 D.0個【答案】A【解析】【分析】令可判斷①，利用奇函數(shù)定義可判斷②，由周期函數(shù)的定義可判斷③，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷④.【詳解】對于①，令此時，即滿足，此時，舉例，，則，則函數(shù)在上不是增函數(shù)，故①錯誤；對于②，令，則，可得，即滿足，則函數(shù)是奇函數(shù)，可知②正確；對于③，若，，令，所以，即，滿足，可得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，即③正確；對于④，取，滿足，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；可得，因為，且，，所以；即，可得且；所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④正確；綜上共3個正確，故選：A.【點睛】方法點睛：在求解抽象函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性時，要根據(jù)已知條件充分利用奇偶性和單調(diào)性定義，化簡變形進行證明即可求得結(jié)論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.有3名同學(xué)同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有_________種不同的去法.（用數(shù)字回答）【答案】7【解析】【分析】按去1，2，3個人分類，利用組合數(shù)求解即可.【詳解】由題意，去1人有種去法，去2人有種去法，去3人有種去法，所以共有種不同的去法，故答案為：714.已知單位向量滿足，則________.【答案】【解析】【分析】由向量數(shù)量積的運算率和模長計算可得.【詳解】，又為單位向量，所以，，故.故答案為：15.《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問題.如：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，即，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為________.【答案】19【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項和公式，即可得到，再由基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：16.祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期的數(shù)學(xué)家，著作《綴術(shù)》上論及多面體的體積：緣冪勢既同，則積不容異——這就是祖暅原理.用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這個兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.在棱長為2的正方體中，是上一點，于點，，點繞旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積為_________（用表示）；將空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為_________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空由已知，點繞旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積即為以為半徑的圓面積；第二空空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積，利用祖暅原理可以轉(zhuǎn)化為一個底面半徑和高均為的圓柱體積加一個一個底面半徑和高均為的圓錐的體積.【詳解】在正方體中，棱長為2，是上一點，于點，，，，即點繞旋轉(zhuǎn)一周所得圓的半徑為，點繞旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積為.根據(jù)祖暅原理“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這個兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”，將空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周，可以轉(zhuǎn)化為一個底面半徑和高均為的圓柱體積加一個一個底面半徑和高均為的圓錐的體積，所以空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為：.故答案為：；.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接受.針對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個月的帶貨金額的統(tǒng)計表（金額（萬元））.月份1月2月3月4月5月月份編號12345金額712131924（萬元）（1）根據(jù)統(tǒng)計表，①求該公司帶貨金額的平均值；②求該公司帶貨金額與月份編號的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認為與的線性相關(guān)性較強；，則認為與的線性相關(guān)性較弱）；（2）該公司現(xiàn)有一個直播間銷售甲、乙兩種產(chǎn)品.為對產(chǎn)品質(zhì)量進行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡單隨機抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進行初檢，再從中隨機選取3件做進一步的質(zhì)檢，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為，試求的分布列與期望.附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】（1）①；②，兩個變量具有很強的線性相關(guān)性（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和相關(guān)系數(shù)公式代入求解即可；（2）利用超幾何分布求分布列，進而求期望即可.【小問1詳解】①由統(tǒng)計表數(shù)據(jù)可得：，②由于，，，所以相關(guān)系數(shù)，因此，兩個變量具有很強的線性相關(guān)性.【小問2詳解】由題意知，的可能取值為0，1，2，3，因為，，，，所以的分布列為：0123所以.18.在①，②中任選一個作為已知條件，補充在下列問題中，并作答.問題：在中，角、、所對邊分別為、、，已知_________.（1）求；（2）若的外接圓半徑為2，且，求.注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個解答計分.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化，即可結(jié)合三角恒等變換求解，（2）根據(jù)余弦的和差角公式可得，進而利用率正弦定理可得，由余弦定理即可求解.【小問1詳解】選擇條件①：因為，在中，由余弦定理可得，由余弦定理可得，則，因為，所以.選擇條件②：因為，由正弦定理得，.即，則，因為，所以，因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，即，即，又因為，所以.由于的外接圓半徑為，由正弦定理可得，可得，所以，由余弦定理可得，所以.19.如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是線段的中點.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得四邊形是平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行判定定理，即可證得平面；（2）法1、由，得到，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；法2、過點作，得到，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，因為是線段的中點，且，可得，又因為，所以，因為，四邊形是平行四邊形，所以，又因為內(nèi)，所以平面，所以平面.【小問2詳解】解：法1、因為底面是等腰梯形，且，，可得，在中，由余弦定理得，所以，又由，所以，因平面，平面，可得，以為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示可得，，，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，，所以，又由向量，設(shè)直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.法2、因為底面是等腰梯形，且，過點作，垂足為，則，以為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，設(shè)，因為，可得，所以，，設(shè)平面的法向量為，則,取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為，為橢圓上一點，且.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點（其中點位于軸上方），記直線的斜率分別為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義直接求解即可；（2）設(shè)直線，，，將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解即可.【小問1詳解】由于橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上，且，所以根據(jù)橢圓定義可知，，則，所以橢圓的方程為：.【小問2詳解】由題意可知直線斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立可得，則得，，所以，由于點位于軸上方，所以均大于，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為．【點睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達定理求解.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）若，，使得，①求的單調(diào)區(qū)間；②求的取值范圍.【答案】（1）（2）①遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為，；②【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程；（2）①求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)進行因式分解，解不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②得到，求出，在上遞減，在上遞增，分，和，得到函數(shù)單調(diào)性和最大值，進而得到不等式，求出答案.【小問1詳解】時，，，又，，所以，即.【小問2詳解】①由題可得，令，可得，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為，.②由題可得，由（1）得在上遞增，上遞減，，，所以.由題可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增.若，即，則在單調(diào)遞增，，則，所以.若，即，則在單調(diào)遞減，所以，所以無解.若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以或，則，且，解得.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖象確定條件.（二）選考題：共10分.請考生在第22