2022-2023學(xué)年上海市靜安區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市靜安區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共3小題，共12.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.（2%—口廠的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

VX

A.-120B,120C.-60D.60

2.已知物體的位移S（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系S=2sinnt,則物體在t=2時(shí)

的瞬時(shí)速度為（）

A.2兀（m/s）B.—2兀（m/s）C.2（m/s）D.—2（m/s）

3.如圖，封閉圖形的曲線部分是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸的長(zhǎng)為2的半/一'、p

個(gè)橢圓，設(shè)P是該圖形上任意一點(diǎn)，則與線段4P的長(zhǎng)度的最大值最/'

接近的是（）///\

A.2.1——-------------

B.2.2

C.2.3

D.2.4

二、填空題（本大題共8小題，共32.0分）

4.以x=1為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

5.7個(gè)人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，有種排法.

6.過點(diǎn)（0,1）的直線/與圓產(chǎn)+/+4X+3=0相切，則直線1的斜率為.

7.若雙曲線C的漸近線方程為丫=±|%,且過點(diǎn)（-2,0）,貝脂的焦距為.

8.已知曲線丫=娟/廠彳上一點(diǎn)P（0,l），則點(diǎn)P處的切線方程為.

9.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和2個(gè)黑球.從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，則其中至少取

到2個(gè)白球的概率為.

10.類比教材中對(duì)圓雙曲線的“對(duì)稱性”和“范圍”的研究，寫出曲線C：V4-x2+y3=

1的對(duì)稱性和所在的范圍為.

11.已知某食品罐頭的體積是常量，其包裝是金屬材質(zhì)的圓柱形，假設(shè)該圓柱形的高和底半

徑分別為八和r,為了使制作包裝的金屬材料最省，h：r的值為.

三、解答題（本大題共5小題，共56.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

12.(本小題10.0分)

設(shè)橢圓C：攝+《=l(a>b>0)過點(diǎn)(0,4),離心率為|.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為看的直線被橢圓C所截線段的長(zhǎng)及中點(diǎn)坐標(biāo).

13.(本小題10.0分)

如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為500小，圓拱的最高點(diǎn)”

離水面48的高度為10(hn,橋面CO離水面AB的高度為50m.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程;

(2)求橋面在圓拱內(nèi)：部分CD的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到O.lzn)

H

14.(本小題11.0分)

設(shè)a>0,函數(shù)〃x)=學(xué).

(1)請(qǐng)討論該函數(shù)的單調(diào)性；

(2)求該函數(shù)在閉區(qū)間口,2a］上的最大值和最小值.

15.(本小題11.0分)

(1)已知?n是自然數(shù)，n是正整數(shù)，且m<n.求證組合數(shù)性質(zhì)：C^=。鏟+C?-1；

(2)按(1)中的組合數(shù)性質(zhì)公式，有琦=酸+。普青自編一個(gè)計(jì)數(shù)問題，使得以與鷹+篇為該

問題的兩個(gè)不同的解法，并簡(jiǎn)要說明解法的依據(jù).

16.(本小題14.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)4(一1,0)、5(1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足:kr-k2=m,其中m是非零常數(shù),

七、七分別為直線P4、PB的斜率.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡T的方程，并討論「的形狀與加值的關(guān)系；

(2)當(dāng)m=—4時(shí),直線y=kx+b交曲線「于C、D兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若線段CD的長(zhǎng)度CD=2,

△C。。的面積S=1,求直線CD的方程.

答案和解析

L【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中的特定項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.

求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0,求解r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng).

【解答】

解：（2%—吉T的展開式的通項(xiàng)公式。+1=c式2x）6-（-言）「

=（一1）丁?26一丁?禺?/,一3外

令6—^丁=0，解得丁=4,

所以（2%—占）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（一1）4.22.牖=60.

故選：D.

2.【答案】A

r

【解析】解:S=2ncosnt9

???t=2時(shí)，Sr=2TICOS2TI=27r（zn/s）.

故選:A.

可求出導(dǎo)函數(shù)S'=271cosnt,然后求出t=2時(shí)的導(dǎo)數(shù)即可.

本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的物理意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：以4B為x軸，4B的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:

2

由題意a=2,b=l,且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以半橢圓方程為￡+/=i(y20),

2(—1,0),8(1,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為&，加)仇20),則苧+瑤=1，

2

所以|P4|二J(久0++據(jù)=J-3耳+2&+5=J-3(x0-1)+y>

因?yàn)閄oJ—1,1],所以當(dāng)Xo=3時(shí)，|P4|max=手=2.31,

5D

所以選項(xiàng)中與線段4P的長(zhǎng)度的最大值最接近的是23

故選：C.

建立直角坐標(biāo)系，求出橢圓方程，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(Xo，y。)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函

數(shù)的性質(zhì)求解即可.

本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，是中檔題.

4.【答案】V=—4%

【解析】解：根據(jù)題意，要求拋物線的準(zhǔn)線方程為x=l,

則拋物線的開口向左，且鄉(xiāng)=1，

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=-4x；

故答案為：y2=-4%

根據(jù)題意，由拋物線的準(zhǔn)線方程分析可得拋物線的開口方向以及鄉(xiāng)的值，分析可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程，即可得答案.

本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，涉及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分析拋物線的開口方向.

5.【答案】240

【解析】解：7個(gè)人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，先排甲，乙有房=2種排法,

在排剩余5人，有盛=120種排法，

故共有2x120=240種排法.

故答案為：240.

根據(jù)題意，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算即可.

本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】0或［

【解析】解:根據(jù)題意，圓/+y2+4%+3=0,即（％+2）2+*=1,其圓心為（一2,0）,半徑r=1,

若直線1過點(diǎn)（0,1）且與圓i+必+4%+3=0相切，則直線/的斜率一定存在，

設(shè)直線，的斜率為k,則有y=kx+l,即kx—y+l=0,

則有圓心到直線，的距離d=解可得k=0或全

直線Z的斜率為?；蛉?/p>

故答案為：o或號(hào).

根據(jù)題意，分析圓的圓心和半徑，設(shè)直線1的斜率為上求出直線/的方程，由直線與圓的位置關(guān)系

分析可得關(guān)于k的方程，解可得答案.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓相切，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】2^13

【解析】解：因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程是y=±|x,故可設(shè)雙曲線的方程為：9/—4y2=m（jn豐

0），

把點(diǎn)（一2,0）代入雙曲線方程可得加=36-0=36,

所以雙曲線方程為9久2-4y2=36,化為標(biāo)準(zhǔn)方程得?-=1,

49

所以M=4,b2=9,??.c2=a2+b2=13,c=713,

所以雙曲線C的焦距為2c=2<l3.

故答案為：2，萬.

設(shè)雙曲線的方程為：9/-4y2=m（m豐0）,把點(diǎn)（—2,0）代入雙曲線方程即可求解.

本題考查了根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解其方程的問題,考查雙曲線的焦距的求法,屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】x-2y+2=0

【解析】解：由y=e*V1—得y'=e"1一x-/—，

J2V1—%

.11

，ylx=o=i-2=5,

曲線y=在點(diǎn)P(O,1)處的切線方程為y=^%+1,

即x-2y+2=0.

故答案為：x—2y+2=0.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值，再由直線方程的斜截式得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，是中檔

題.

9【答案】.

【解析】解：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和2個(gè)黑球.從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，

則其中至少取至IJ2個(gè)白球的概率為萼+學(xué)=福

CgCg12

故答案為：5

利用古典概型概率公式計(jì)算即可.

本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】關(guān)于y軸對(duì)稱，xe[-2,2],y6[-1,1]

【解析】解：由V4-/+y3=]得％￡[—2,2],

因?yàn)閂4—/e[0,2],

.1.y3=1—V4-x2e[-1,1],即yG[-1,1]>

在曲線方程中，以-x代工,得V4—%2+y3=1,與方程相同，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；

以-y代y，得V4—尤2_y3=1,與原方程不同，所以曲線不關(guān)于X軸對(duì)稱；

以—久代x,—y代y,得v4—%2_y3=1,與原方程不同，所以曲線不是中心對(duì)稱圖形.

故答案為：關(guān)于y軸對(duì)稱，xG[—2,2],yG[—1,1].

根據(jù)曲線方程得出xe[—2,2],然后得出ye[—1,1],然后用—X換乃用—y換y,看得到的方程和

原方程是否相同，從而可判斷出該曲線的對(duì)稱性.

本題考查了判斷曲線對(duì)稱性的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】2

【解析】解：設(shè)食品罐頭的體積是u（y為常數(shù)）.

由題意可得兀產(chǎn)八=v,

圓柱的表面積S=2兀產(chǎn)+2nrh=2兀產(chǎn)+；

=277T2+-+->3327n'2.---=3\/2nV.

rrrr

疝等號(hào)成立’此時(shí)心與二V__3絲

當(dāng)且僅當(dāng)2仃2=（,即r=3

叵一、冗.

147r2

3更

h：丁=親=2.

3/7

揚(yáng)

故答案為：2.

設(shè)食品罐頭的體積是u（y為常數(shù)），由題意可得仃2h=心再寫出圓柱的表面積，利用基本不等式

求最值，即可求得h：r的值.

本題考查圓柱體積與表面積的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔

題.

12.【答案】解：⑴由題意得：匕=若=|,又因?yàn)椤?=加+C2,解得a=5,-----（2分）

橢圓C的方程為1+^=1.-------.（4分）

2516

（2）過點(diǎn)（3,0）且斜率為第勺直線方程為y=?（久-3）,

設(shè)直線被橢圓C所截線段的端點(diǎn)為4（句,%）、B（x2,y2）,

中點(diǎn)為M（歿這，笠當(dāng)，-------（5分）

y=-3）與1+4=1聯(lián)立消元得：%2-3%-8=0,--------（6分）

52516

△=41>0,-----（7分）％1+次=3,xrx2=-8--------（8分）

_2丫1+丫2_g月_2、__g

2-2r~_一耳￡_）__于

所以，直線被橢圓C所截線段中點(diǎn)坐標(biāo)為G，-§；…（9分）

\AB\=J01—％2)2+(%—%)2=J(1+急(%1-X2)2=。1+%2)2-4%1%2,

\AB\=^<9V32=?，直線被橢圓c所截線段長(zhǎng)為號(hào)...(12分)

【解析】(1)利用橢圓的離心率以及橢圓經(jīng)過的點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解橢圓方程即可.

(2)求出直線方程，利用橢圓方程聯(lián)立通過中點(diǎn)坐標(biāo)，弦長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能

力.

13.【答案】解：(1)以線段4B所在的直線為x軸，以線段4B的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系,

則由題意,可得8(250,0)、H(0,100),D(a,50),a>0,

則圓心E在y軸上，設(shè)E(0,h),

2

設(shè)要求的圓的方程為/+(y-療=r,

把點(diǎn)B、點(diǎn)H的坐標(biāo)代入，可得酸:；，一解得卜=J25。2+(一,

(.0+(100一九)2=，525

r=~-

故要求的圓的方程為/+(y+等產(chǎn)=2502+(要)2.

(2)把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入圓的方程，可得a?+go+罷產(chǎn)=2502+(季)2,

求得a=V33750=75A=75X1.73X1.41?75X2.44?183(m),

故CD的長(zhǎng)度為2a=366m.

【解析】(1)建立坐標(biāo)系，得到8、H的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)把點(diǎn)。的坐標(biāo)代入圓的方程，求出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，可得的長(zhǎng)度.

本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

14.【答案】解：(1)由題意得［(>)=四產(chǎn)，且函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

???Q>0,?,?判斷1一"久的符號(hào)，

由/'(%)=0得%=e,由/'(%)>0得0<x<e,由/'(%)<0得%>e,

???/(%)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減；

(2)由(1)得/(%)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

.?.當(dāng)2aWe,即0<a<］時(shí)，函數(shù)f(x)在［a,2a］上單調(diào)遞增,

?1?/Wmm=f(a)=Ina,f(x)max=/(2a)=—；

當(dāng)a>e時(shí)，函數(shù)f(x)在［a,2a］上單調(diào)遞減，

???=/(2a)=*，f(x)max=/(a)=Ina；

當(dāng)|<a<e時(shí)，/(%)在［a,e)上單調(diào)遞增，在(e,2a］上單調(diào)遞減，

?1'fWmax=f(e)=pf(.x)min=min(fdd),f(2a)),

11

/(a)—/(2a)=Ina--ln2a=-(Ina-Zn2),

.?.若|<a<2,則/(a)V/(2a),

此時(shí)f(x)?i譏=f(a)=Ina,

若2<a<e,則f(<>/(2a),

此時(shí)f(%)加譏=f(2a)=啜

綜上，當(dāng)0<a<時(shí)，=仇0f⑺max=啜

當(dāng)搟<a<2時(shí)，/(%)7n譏=Ina,f(x)max=*

當(dāng)2<a<U時(shí),f(%)min=-y-，/(X)max=

當(dāng)a>e時(shí),f,/Wmax=Ina.

【解析】(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令/''(>)=0,解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)

的單調(diào)性，從而求解；

(2)由⑴求出/Q)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)a分類討論，然后根據(jù)其單調(diào)性求出/(X)在區(qū)間［a,2團(tuán)上的最值；

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分兩類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中

檔題.

15.【答案】解：(1)因?yàn)樾∈亲匀粩?shù)，n是正整數(shù)，且mWn,

(m—1)!(n—m+1)!'

n!(n—m+1)n!(n—m+l+m)(n+1)!

(n—m+l)!m!m!(n—m+l)!m!(n—m+l)!m!(n—m+1)!

所以叫=例+制-1;

(2)一個(gè)口袋里有8個(gè)白球和1個(gè)紅球，

①從中任取4個(gè)，有多少種方法？C^,

②任取的4個(gè)球中，恰有1個(gè)紅球，有多少種方法？Cl，

③任取的4個(gè)球中，無紅球，有多少種方法？哈

不難看出，②和③其實(shí)就是①任取4個(gè)球所有出現(xiàn)的可能，所以鷹=喘+黨.

【解析】本題根據(jù)組合及組合數(shù)的性質(zhì)，即可推導(dǎo)出公式.

本題考查組合及組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),

因?yàn)?、心分別為直線P4PB的斜率且燈?0=血，

y

所以Wl.—7=m

x-l

所以y2=mx2—m,

所以—y2=TH,

所以/—g=1,

m

所以動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為/—z!=i,

m

當(dāng)血>0時(shí)，軌跡為雙曲線，

當(dāng)TH<0時(shí)，軌跡為橢圓.

(2)當(dāng)rn=—4時(shí)，軌跡r的方程為產(chǎn)+?=1,

4

設(shè)C01/1),D(x2,y2),

y=kx+b

聯(lián)立9y2,得(4+k2)%2+2kb%+人2-4=0,

+T=1

所以％1+%2=-]^，%i%2=

4+kZ4+r

4=(2協(xié))2-4(4+k2Xb2-4)=-16b2+64+16fc2,

點(diǎn)。到直線CD的距離弓-

J1+/

因?yàn)榫€段CD的長(zhǎng)度為2,△COO的面積S=1,

所以SMOO=1\CD\d=1x2xd=l,

所以d=1,

網(wǎng)

所以廠二=1,即/=1+肥,

J1+fc

J=-16b2+64+16k2=-16(1+fc2)+64+16k2=48>0,

所以|CO|=A/1+k2d(%1+12)2—4%1%2=V1+fc2I(_f：2)2~4,

4k2b2(劭2-16)(4+卜2)4k2匕2―4去2b2_16}2+64+16々2

=V1+fc2=V1+fc2

(4+fc2)2(4+fc2)2(4+/C2)2

2—16b2+64+16必/~-■—16(1+攵2)+64+16k2_v1+k2

Vl+/c-------------卞----=V1+K22,

(4+r)z(4+/c2)2—'1

解得々=土b=±V~^，

所以直線CD的方程為y=±y/~2x±V-3-

設(shè)CQi，yi),。(%2，丫2)，

y=kx+b

y2(4+2)%2+24=0,

聯(lián)立,7,得左協(xié)％+爐-

%Z——=1

m

2kbb2-4

所以汽i+x=-

27772'%i%=——2

4+fc24+fc2

4=(2助2-4(4+fc2)(h2-4)=-16b2+64+16fc2,

,_網(wǎng)

點(diǎn)。到直線CD的距離-丁=

1+k2,

因?yàn)榫€段C。的長(zhǎng)度為2,△C。。的面積S=1,

所以SACOD=^\CD\d=1X2Xd=1,

所以d=1,

W_1