2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含解析版）

2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標H）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分

1.（5分）已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},則AUB=（）

A.（-1,3）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,3）

2.（5分）若為a實數(shù)，且生I=3+i,則2=（）

1+i

A.-4B.-3C.3D.4

3.（5分）根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬

噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關

4.（5分）2（1,-1）,b=（-1,2）貝I]（2a+b）（）

A.-1B.0C.1D.2

5.（5分）已知Sn是等差數(shù)列{aj的前n項和,若a1+a3+a5=3,則Ss=（）

A.5B.7C.9D.11

6.（5分）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截

去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

A-8B-7C，6D，5

7.（5分）已知三點A（1,0）,B(0,?),C(2,A/3)則^ABC外接圓的圓

心到原點的距離為（）

A.5B.叵

D，3

33,?平

8.（5分）如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的"更

相減損術”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18,則輸出的a=（）

A.0B.2C.4D.14

（分）已知等比數(shù)歹）滿足】=（）則（）

9.5l{a/aL,a3a5=4a4-1,a?=

4

A.2B.1C.LD.1.

28

10.（5分）已知A,B是球。的球面上兩點，NAOB=90。，C為該球面上的動點,

若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36nB.64TlC.144nD.256n

11.（5分）如圖，長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,。是AB的中點，點P沿著邊

BC,CD與DA運動，記NBOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的

函數(shù)f（x）,則y=f（x）的圖象大致為（）

12.(5分)設函數(shù)f(x)=ln(l+|x|)>f(2x-1)成

立的x的取值范圍是()

A.(-8,L)U(1,+00)B.(L1)

33

C.(二，1)D.(-8,-)UQ，+8)

333J

二、填空題

13.（3分）已知函數(shù)f（x）=ax3-2x的圖象過點（-1,4）則a=.

'x+y-5<0

14.（3分）若x,y滿足約束條件<2x~y-l30，則z=2x+y的最大值為.

x-2y+l40

15.（3分）已知雙曲線過點（4,6）且漸近線方程為y=±b,則該雙曲線的標

2

準方程是.

16.（3分）已知曲線y=x+lnx在點（1,1）處的切線與曲線y=ax?+（a+2）x+1相

切，則2=

三.解答題

17.AABCD是BC上的點，AD平分NBAC,BD=2DC

(I)求sin/B.

sin/C

(II)若NBAC=60。，求NB.

18.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40

個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率

分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

H地區(qū)用戶法意度評分的頻率分布直方圖

B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2814106

（1）做出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)

滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）

（II）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：

滿意度評分低于70分—F70分到891T1一不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.

19.(12分)如圖，長方體ABCD-AiBiJDi中，AB=16,BC=10,AAi=8,點E,F

分別在上，過的平面a與此長方體的面相交，

AiBi，DiGA1E=D1F=4.E,F

交線圍成一個正方形

(I)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由)

(II)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.

20.橢圓C：式+工1=1,(a>b>0)的離心率返，點(2,我)在C上.

2.22

ab乙

(1)求橢圓c的方程；

(2)直線I不過原點O且不平行于坐標軸，|與C有兩個交點A,B,線段AB的

中點為M.證明：直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

21.設函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).

(I)討論：f(x)的單調(diào)性；

(II)當f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍.

四、選修4-1：幾何證明選講

22.（10分）如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點，與4ABC的底邊BC交于

M,N兩點，與底邊上的高AD交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點.

（1）證明：EF〃BC；

（2）若AG等于。。的半徑，且AE=MN=2jj,求四邊形EBCF的面積.

五、選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

23.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線J：fx=tcosa（t為參數(shù)，tWO）,其

I廠tsina

中OWaWn,在以。為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：p=2sine,

C3：p=2/jcosQ.

（1）求C2與C3交點的直角坐標；

（2）若J與C2相交于點A,J與C3相交于點B,求|AB|的最大值.

六、選修4-5不等式選講

24.（10分）設a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明:

（1）右ab>cd,貝?。?/p>

（2）Va+Vb>Vc+Vd^Ia-bI<Ic-dI的充要條件.

2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(文科)(新課標H)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分

1.(5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|o<x<3},則AUB=()

A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)

【考點】ID：并集及其運算.

【專題】5J：集合.

【分析】根據(jù)集合的基本運算進行求解即可.

【解答】解：；A={x|-1<xV2},B={x|0<x<3},

.*.AUB={x|-l<x<3},

故選：A.

【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎.

2.(5分)若為a實數(shù)，且生L=3+i,則2=()

1+i

A.-4B.-3C.3D.4

【考點】A1：虛數(shù)單位i、復數(shù).

【專題】5N：數(shù)系的擴充和復數(shù).

【分析】根據(jù)復數(shù)相等的條件進行求解即可.

【解答】解：由2-3+i，得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,

1+i01

則a=4,

故選：D.

【點評】本題主要考查復數(shù)相等的應用，比較基礎.

3.(5分)根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬

噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（)

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關

【考點】B8：頻率分布直方圖.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量

減少的最多，故A正確；

B從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；

C從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；

D2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，與年份負相關，故D錯誤.

【解答】解：A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排

放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；

B2004-2006年二氧化硫排放量越來越多，從2007年開始二氧化硫排放量變少，

故B正確；

C從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；

D2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，而不是與年份正相關,故D錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查了學生識圖的能力，能夠從圖中提取出所需要的信息，屬于基

礎題.

4.(5分):(1,-1),b=(-1,2)則(2a+b)()

A.-1B.0C.1D.2

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】5A：平面向量及應用.

【分析】利用向量的加法和數(shù)量積的坐標運算解答本題.

【解答】解：因為aF（1,-1）,b=（-1，2）則（2a+b）*ar（1,。）,（1，

-1）=1；

故選：C.

【點評】本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標運算；屬于基礎題目.

5.（5分）已知Sn是等差數(shù)列｛aj的前n項和,若a1+a3+a5=3,S5=（）

A.5B.7C.9D.11

【考點】85：等差數(shù)列的前n項和.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4A：數(shù)學模型法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】由等差數(shù)列｛aj的性質(zhì)，a1+a3+a5=3=3a3,解得a3.再利用等差數(shù)列的

前n項和公式即可得出.

【解答】解：由等差數(shù)列｛aj的性質(zhì),a1+a3+a5=3=3a3,解得a3=l.

則S5=5（%+a5）=5a3=5.

2

故選：A.

【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、前n項和公式，考查了推理

能力與計算能力，屬于中檔題.

6.（5分）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截

去部分體積與剩余部分體積的比值為（)

A-8B.Lc.LD.

765

【考點】L!：由二視圖求面積、體積.

【專題】11：計算題；5F：空間位置關系與距離.

【分析】由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，把相關數(shù)據(jù)代入棱錐的

體積公式計算即可.

【解答】解：設正方體的棱長為1,由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱

錐，

正方體切掉部分的體積為Lx-xixixi=-^

326

???剩余部分體積為1-1=回，

66

??.截去部分體積與剩余部分體積的比值為

5

故選：D.

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，求幾何體的體積.

7.（5分）已知三點A（1,0）,B（0,遮），C（2,V3）則4ABC外接圓的圓

心到原點的距離為（）

A.1B.叵C.紀5D.A

3333

【考點】J1:圓的標準方程.

【專題】5B：直線與圓.

【分析】利用外接圓的性質(zhì)，求出圓心坐標，再根據(jù)圓心到原點的距離公式即可

求出結(jié)論.

【解答】解：因為AABC外接圓的圓心在直線BC垂直平分線上，即直線x=l上,

可設圓心P（l,p）,由PA=PB得

1PI=7I+（P-V3）2,

得p=2區(qū)

3

圓心坐標為p（1,彥），

3__________

所以圓心到原點的距離［0P1=』+（平產(chǎn)口粵,

故選：B.

【點評】本題主要考查圓性質(zhì)及^ABC外接圓的性質(zhì)，了解性質(zhì)并靈運用是解決

本題的關鍵.

8.（5分）如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的"更

相減損術”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18,則輸出的a=（）

A.0B.2C.4D.14

【考點】EF：程序框圖.

【專題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖.

【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a,b的值，當a=b=2時

不滿足條件a#b,輸出a的值為2.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

a=14,b=18

滿足條件a#b,不滿足條件a>b,b=4

滿足條件a#b,滿足條件a>b,a=10

滿足條件a#b,滿足條件a>b,a=6

滿足條件aWb,滿足條件a>b,a=2

滿足條件a#b,不滿足條件a>b,b=2

不滿足條件aWb,輸出a的值為2.

故選：B.

【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，屬于基礎題.

9.(5分)已知等比數(shù)歹U{aj滿足ai=L,a3a5=4(a4-1),則a?=()

4

A.2B.1C.D.1.

28

【考點】88：等比數(shù)列的通項公式.

【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.

【解答】解：設等比數(shù)列{aj的公比為q,

a3a5=4(a4-1),

化為q3=8,解得q=2

則a2=—x2T—?

42

故選：C.

【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎題.

10.（5分）已知A,B是球。的球面上兩點，ZAOB=90°,C為該球面上的動點,

若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36nB.64rtC.144nD.256Tl

【考點】LG：球的體積和表面積.

【專題】11：計算題；5F：空間位置關系與距離.

【分析】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大,

利用三棱錐O-ABC體積的最大值為36,求出半徑，即可求出球O的表面積.

【解答】解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-

ABC的體積最大，設球0的半徑為R,此時Vo-ABC=VC

AOB=』X&XR?x后!R3=36,故R=6,則球。的表面積為4瓶2=144兀，

326

故選：C.

【點評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面

AOB的直徑端點時，三棱錐0-ABC的體積最大是關鍵.

11.（5分）如圖，長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,。是AB的中點，點P沿著邊

BC,CD與DA運動，記NBOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的

函數(shù)f（x）,則y=f（x）的圖象大致為（）

AR

【考點】HC：正切函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關系，利用排除法進行求解即可.

【解答】解：當OWxWm■時，BP=tanx,AP=2=,

此時f(x)=,L,?2+tanx,OWxW2L,此時單調(diào)遞增，

vHTTanx4

當p在CD邊上運動時，2LwxW①且xw2L時,

442

如圖所示，tanNPOB=tan(n-ZPOQ)=tanx=-tanZPOQ=-^.=-

OQOQ

.\OQ=-1,

tanx

.\PD=AO-OQ=1+-1PC=BO+OQ=1-1,

tanxtanx

PA+PB=2,

J(l--^)+i+J(l+-^)^+l

VtanxVtanx

當x=』L時，PA+PB=2&,

當P在AD邊上運動時，2/WXWH,PA+PB=^4+tan2x-tanx,

由對稱性可知函數(shù)f(x)關于x=2L對稱，

2

且f(2L)>f(2L),且軌跡為非線型，

42

排除A,C,D,

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，根據(jù)條件先求出OWxW工時的

4

解析式是解決本題的關鍵.

12.(5分)設函數(shù)f(x)=ln(l+|x|),則使得f(x)>f(2x-1)成

1+x2

立的x的取值范圍是()

A.(-8,1_)U(1,+8)B.(1_,1)

33

D.(-8,-x,)uA，+8)

【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)

論.

【解答】解：?.?函數(shù)f(x)=ln(l+|x|)為偶函數(shù)，

1+x2

且在xNO時，f(x)=ln(1+x)----,

1+x2

導數(shù)為f'(x)=-L-+—、7>0，

1+x3)2

即有函數(shù)f(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，

/.f(x)>f(2x-1)等價為f(|x|)>f(|2x-),

即1x>2x-11,

平方得3x2-4x+l<0,

解得：1<X<1,

3

所求X的取值范圍是（［，工）.

3

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應

用，運用偶函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

二、填空題

13.（3分）已知函數(shù)f（x）=ax3-2x的圖象過點（-1,4）則a=-2.

【考點】36：函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【專題】11：計算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】f（x）是圖象過點（-1,4）,從而該點坐標滿足函數(shù)f（x）解析式，

從而將點（-1,4）帶入函數(shù)f（x）解析式即可求出a.

【解答】解：根據(jù)條件得：4=-a+2；

.*.a=-2.

故答案為：-2.

【點評】考查函數(shù)圖象上的點的坐標和函數(shù)解析式的關系，考查學生的計算能力,

比較基礎.

'x+y-5<0

14.（3分）若x,y滿足約束條件.2x-y-l>0，則z=2x+v的最大值為8

x-2y+l40

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】59：不等式的解法及應用.

【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)

合確定z的最大值.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）.

由z=2x+y得y=_2x+z,

平移直線y=-2x+z,

由圖象可知當直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，直線y=-2x+z的截距最大,

此時z最大.

由/+y-5=0,解得[x=3,即人（3,2）

[x-2y+l=0[y=2

將A（3,2）的坐標代入目標函數(shù)z=2x+y,

得z=2X3+2=8.即z=2x+y的最大值為8.

故答案為：8.

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)

合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.

15.（3分）已知雙曲線過點（4,a）且漸近線方程為y=±L（,則該雙曲線的標

2

準方程是lx2-y2=l.

【考點】KB：雙曲線的標準方程.

【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】設雙曲線方程為丫2-船2=入，代入點（《，痘）,求出入，即可求出雙曲

4

線的標準方程.

【解答】解：設雙曲線方程為丫2-卜2=入，

4

代入點（4,炳），可得3-：xi6=L

???入二-1,

???雙曲線的標準方程是L?一y2二L

4

故答案為：ix2-y2=i.

4

【點評】本題考查雙曲線的標準方程，考查學生的計算能力，正確設出雙曲線的

方程是關鍵.

16.(3分)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax?+(a+2)x+1相

切，則a=8.

【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】26：開放型；53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】求出y=x+lnx的導數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與

曲線y=ax?+(a+2)x+1相切，有且只有一切點，進而可聯(lián)立切線與曲線方程,

根據(jù)△=()得到a的值.

【解答】解：y=x+lnx的導數(shù)為y'=l+L

X

曲線y=x+lnx在x=l處的切線斜率為k=2,

則曲線y=x+lnx在x=l處的切線方程為y-l=2x-2,即y=2x-1.

由于切線與曲線y=ax?+(a+2)x+1相切,

故y=ax?+(a+2)x+1可聯(lián)立y=2x-1,

得ax2+ax+2=0,

又aHO,兩線相切有一切點，

所以有4=2?-8a=0,

解得a=8.

故答案為：8.

【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在

某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的導數(shù)，設出切線方程運用兩線相切的性質(zhì)

是解題的關鍵.

三.解答題

17.AABCD是BC上的點，AD平分NBAC,BD=2DC

(I)求sin/B.

sin/C

(II)若NBAC=60°,求NB.

【考點】HP：正弦定理.

【專題】58：解三角形.

【分析】(I)由題意畫出圖形，再由正弦定理結(jié)合內(nèi)角平分線定理得答案；

(H)由NC=180。-(NBAC+NB),兩邊取正弦后展開兩角和的正弦，再結(jié)合(I)

中的結(jié)論得答案.

【解答】解：(I)如圖,

由正弦定理得：

AD二BDAD二DC,

sin/Bsin/BAD'sin/Csin/CAD

：AD平分NBAC,BD=2DC,

vsinZB_DC_1.

??sin/C而法

(II)VZC=180°-(ZBAC+ZB),ZBAC=60°,

?,sinNC=sin(NBAC+NB)^^cosNB+'sinNB，

由(I)知2sinZB=sinZC,

.?.tanNB=1,即NB=30°.

3

【點評】本題考查了內(nèi)角平分線的性質(zhì)，考查了正弦定理的應用，是中檔題.

18.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40

個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率

分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2814106

(1)做出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)

滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)

(II)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級:

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.

【考點】B8：頻率分布直方圖；CB：古典概型及其概率計算公式.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】(I)根據(jù)分布表的數(shù)據(jù)，畫出頻率直方圖，求解即可.

(II)計算得出CA表示事件："A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”，CB表示事件:

"B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”，

P(CA),P(CB),即可判斷不滿意的情況.

【解答】解：(I)

H地區(qū)用戶標意度評分的頻率分布直方圖3地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖

通過兩個地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評

分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值，

B地區(qū)的用戶滿意度評分的比較集中，而A地區(qū)的用戶滿意度評分的比較分散.

(II)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.

記CA表示事件："A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意"，CB表示事件："B地區(qū)用

戶的滿意度等級為不滿意"，

由直方圖得P(CA)=(0.01+0.02+0.03)X10=0.6

得P(CB)=(0.005+0.02)X10=0.25

...A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.

【點評】本題考查了頻率直方圖，頻率表達運用，考查了閱讀能力，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，長方體ABCD-AiBiCi%中,AB=16,BC=10,AAi=8,點E,F

分別在AiBi，DiJ上，A1E=D1F=4.過E,F的平面a與此長方體的面相交，

交線圍成一個正方形

(I)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由)

(II)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LJ：平面的基本性質(zhì)及推論.

【專題】15：綜合題；5F：空間位置關系與距離.

【分析】(I)利用平面與平面平行的性質(zhì)，可在圖中畫出這個正方形；

(II)求出MH=J^Z*=6,AH=10,HB=6,即可求平面a把該長方體分成的

兩部分體積的比值.

【解答】解：(I)交線圍成的正方形EFGH如圖所示；

(II)作EMLAB,垂足為M,則AM=AiE=4,EBi=12,EM=AAi=8.

因為EFGH為正方形，所以EH=EF=BC=10,

MH=JEH2_EH2=6,AH=10,HB=6.

因為長方體被平面a分成兩個高為10的直棱柱，

所以其體積的比值為旦.

【點評】本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎.

20.橢圓C：式+占1,(a>b>0)的離心率返，點(2,V2)在C上.

a2,b242

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線I不過原點O且不平行于坐標軸，I與C有兩個交點A,B,線段AB的

中點為M.證明：直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

【考點】K3：橢圓的標準方程；KH：直線與圓錐曲線的綜合.

【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】(1)利用橢圓的離心率，以及橢圓經(jīng)過的點，求解橢圓的幾何量，然后

得到橢圓的方程.

設直線。。，(XM，

(2)I：y=kx+b,(k20,bWO),A(xyB(x2,y2),M

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解K°M，然后推出直線OM的斜率

與I的斜率的乘積為定值.

2哆1,(a>b>0)的離心率券，點(2,V2)

【解答】解：(1)橢圓C：2_+，

a

在C上，可得立!宴=亞，3凸口，解得a2=8,b2=4,所求橢圓C方程

a2a2b2

22

為：jJ

84

（2）設直線I：y=kx+b,（kWO,bWO）,A（X],yi）,B（X2,丫2），M（XM，YM））

22

把直線y=kx+b代入券+彳=1可得（2k2+l）x2+4kbx+2b2-8=0,

故xM=X]+x2.一乎,yM=kxM+b=-—;

22k2+12k2+1

于是在OM的斜率為：KOM=2，，即KoM?k=」.

xM2k2

??.直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

【點評】本題考查橢圓方程的綜合應用，橢圓的方程的求法，考查分析問題解決

問題的能力.

21.設函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).

(I)討論：f(x)的單調(diào)性；

(II)當f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍.

【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】26：開放型；53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】(I)先求導，再分類討論，根據(jù)導數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)先求出函數(shù)的最大值，再構(gòu)造函數(shù)(a)=lna+a-1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即

可求出a的范圍.

【解答】解：(I)f(x)=lnx+a(1-x)的定義域為(0,+?=),

?*.f(x)-a=l-ax

x

若aWO,則「(x)>0,.,.函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

若a>0,則當x@(0,1)時，「(x)>0,當xG(1,+8)時，f(x)<0,

aa

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(工，+8)上單調(diào)遞減，

aa

(II),由(I)知，當aW0時，f(x)在(0,+8)上無最大值；當a>0時,

f(x)在x=l■取得最大值，最大值為f(工)=-lna+a-1,

aa

Vf(1)>2a-2,

a

Ina+a-l<0,

令g(a)=lna+a-1,

Vg(a)在(0,+8)單調(diào)遞增，g(1)=0,

.,.當0Va<1時，g(a)<0,

當a>l時，g(a)>0,

?..a的取值范圍為(0,1).

【點評】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最值的關系，以及參數(shù)的取值范圍，屬

于中檔題.

四、選修4-1：幾何證明選講

22.(10分)如圖，0為等腰三角形ABC內(nèi)一點，與4ABC的底邊BC交于

M,N兩點，與底邊上的高AD交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點.

(1)證明：EF〃BC；

(2)若AG等于。。的半徑，且AE=MN=2E，求四邊形EBCF的面積.

【考點】N4：相似三角形的判定.

【專題】26：開放型；5F：空間位置關系與距離.

【分析】（1）通過AD是NCAB的角平分線及圓0分別與AB、AC相切于點E、F,

利用相似的性質(zhì)即得結(jié)論；

（2）通過（1）知AD是EF的垂直平分線，連結(jié)OE、0M,則OELAE,利用SA

ABC-SMEF計算即可.

【解答】⑴證明：二?△ABC為等腰三角形，ADXBC,

?,.AD是NCAB的角平分線，

又?圓0分別與AB、AC相切于點E、F,

，AE=AF,.\AD±EF,

.?.EF〃BC；

（2）解：由（1）知AE=AF,ADLEF,...AD是EF的垂直平分線，

又：EF為圓0的弦，??.0在AD上，

連結(jié)OE、OM,則OELAE,

由AG等于圓0的半徑可得A0=20E,

NOAE=30°,AABC與4AEF都是等邊三角形,

：AE=2V5，.50=4,OE=2,

VOM=OE=2,DM=1MN=V3?.*.OD=l,

2

，AD=5,AB=1°迎,

3_

四邊形EBCF的面積為/x（號叵02*亨-今）＜（2V5）2X醇耳1

乙O

【點評】本題考查空間中線與線之間的位置關系，考查四邊形面積的計算，注意

解題方法的積累，屬于中檔題.

五、選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

23.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線G：產(chǎn)tc,s。（t為參數(shù)，tWO）,其

[y=tsinCl

中OWaWm在以。為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：p=2sine,

C3：p=2/3cos0.

(1)求C2與C3交點的直角坐標；

(2)若J與C2相交于點A,J與C3相交于點B,求|AB|的最大值.

【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】5S：坐標系和參數(shù)方程.

f222

=x

【分析】(I)由曲線C2：p=2sine,化為p2=2psine,把°+丫代入可得直