2022年山西省晉城市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案帶解析)

2022年山西省晉城市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考真題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

I已知/（x）=lnarccotx,則/'（1）=（）o

2

A.兀

B.x

K

C.2

K

D~2

曲線y=317-3+=在（1.+8）內(nèi)是（）

A.處處單調(diào)減少

B.處處單調(diào)噌加

C.具有最大值

2.D.具有最小值

((X2$inx+l)dx=..

3.幾()o

A.OB.lC.2D.3

4.

函數(shù)y=F(z)與它的反函數(shù)y=F-Yz)的圖象是

A.關(guān)于直線y=H對(duì)稱

B.是同一條曲線

C.關(guān)于N軸對(duì)稱

D.關(guān)于j軸對(duì)稱

2x+lx<0

設(shè)/(x)=，2x=0,則/(x)在x=0處是

5,卜+1x>0()o

A.連續(xù)的B.可導(dǎo)的C.左極限r(nóng)右極限D(zhuǎn).左極限=右極限

/已知/(x)=lnx,則/“(x)=/、

6?\)o

1

A/

\_

B.5

2

c.7x

2

D.x?

7.函數(shù)曲線y=ln(l+x2)的凹區(qū)間是

A.A.(-1,1)B.(-00,-1)C.(l,+oo)D.(-oo,+oo)

定積分J11”等于《

)

A.0

B.2(e—1)

C.e-l

D.j(e-l)

任意拋擲三枚硬幣，恰有兩枚硬幣朝上的概率是()

11

ABC--

3D.2

10.

設(shè)函數(shù)Z由NCOS’+ycosz+zcosx=1所確定，則全微分dz=

過曲線y=x+ku上M)點(diǎn)的切線平行直線y=2x+3,則切點(diǎn)何。的坐標(biāo)是

A.(1,i)B.(e,e)

11C.(19e+1)D.(e,e+2)

12.設(shè)事件A,B相互獨(dú)立，A,B發(fā)生的概率分別為0.6,0.9,則A,B都

不發(fā)生的概率為()。

A.0.54B.0.04C.0.1D.0.4

13.

設(shè)z=4xy，貝lj牛=

a(I.D

14.設(shè)f(x)=xa+axlna,(a>0且a^l),則f'(l)=

A.A.a(l+lna)B.a(l-lna)C.alnaD.a+(l+a)

15.

下列各式中，正確的是

A.lim(l——)*=e

B.lim(l+—)^=e

X

C.lim(l+x)-^=e

x-*0

D.lim(l+z)+=e

x-*0

16設(shè)/("=詈，則【J/(x)dx)'=()

cosx

X

A.

sinx

B.x

C—+C

C.X

sinx_

-----+C

D.x

下列等式不成立的是

A.lim(l+-)*+5=eB.=e",

C.lim(l+-L)"=eD.lim(l--y)"=1

M'--M?-n

18若/"y，=yjTy+充,則/，(2,i)=.

設(shè)11m型但di,則加

19.…x

A.A.-1B.-2C.lD.2

設(shè)/(x)=dr,則6(x)=

NU?

A.A.爪.-g⑴

B.，g(S

C(x2-D-g(x)

D.2xg(xb

21.若在(a,b)內(nèi)r(x)>0,f(b)>0,則在(a,b)內(nèi)必有()0

A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=OD.f(x)符號(hào)不定

J\ln(l+2/)d/

lim----------：--------=

22.3*()0

A.3B.2C.lD.2/3

23.設(shè)函數(shù)f(sinx)=sin2x,貝！)f'(x)等于()。

A.2cosxB.-2sinxcosxC.%D.2x

24.

下列命題肯定正確的是

A.若limf(z)存在，limg(w)不存在，則lim[f(z)+gGr)]必不存在

B.若limfGr)與Hmg(z)都不存在，則lim"(z)+g(z)]必不存在

L、L、1為

C.若limf(z)存在，limg(z)不存在，則lim[f(H)?gGr)]必不存在

L%LH。L4

D.若limf(H)不存在，則lim=|/(x)|必不存在

“設(shè)/(j)=1)(,r-2)(J-3)(才-I),則=.

26.設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xsinx,則f(x)的導(dǎo)函數(shù)是()。

A.2sinxxcosxB.2cosxxsinxC.-2sinx+xcosxD.-2cosx+xsinx

(即

B,C,-^^D.

*?Xz

27.

28.函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處有定義，是f(x)在點(diǎn)xO處連續(xù)的()o

A.必要條件，但非充分條件B.充分條件，但非必要條件C.充分必要條

件D.非充分條件，亦非必要條件

如果/(i)=「，則K陰dr…)

■cAL+CB1+CC.-Inj*CDIn^+C

29./[

由曲線y=-V,直線工=1及工軸所圍成的面積S等于（

A-1

兒3

B.—?--

2

二、填空題（30題）

31設(shè)"J<ln.r+InyJi則

32f'/x+Vl-x2）dr-

33.

曲線y=2x2+3x-26上點(diǎn)M處的切線斜率是15,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是

34.

35.

不定積分Jf（H）dz=3j：+C,則Jarf（5一工2）dx=.

36.設(shè)/（x）=x+｝，則<⑴|_,=

37.

rr7

39.

函數(shù)/(x)=—二的駐點(diǎn)x=______________.

Inx

._lim(12+x-V7)=______________

40.11

41.

r2x+1,xCO,

已知/(欠)=2八則f(0)二一.

I”,x>09

42.Ji

43.

si?n一I，*>0，

x

設(shè)函數(shù)八"二｛

a?<*"

xsin一x<0,

x

D.不存在

A.-1B.0C.1

44.

J；d[jdInx]=_______________

4V設(shè)函數(shù)y=x'.則

f*/krvr」

46..

47設(shè)/(x)=^ln(t2+l)d/.則/'(x)=

48.設(shè)函數(shù)y=l+2x,則y<l)=

設(shè)理扁=2,則J*冷--------------

49.

50.

0

51.

袋中裝有數(shù)字為1、2、3、4的4個(gè)球，從中任取2個(gè)球，設(shè)事件A={2個(gè)球上的

數(shù)字和25},則P(A)=.

52.

53.

設(shè)函數(shù)Z=cos(x2+1/),則奈=.

limx^-cos(x-l)

54.XTIInx

55.設(shè)函數(shù)y=l+2x,則y'(l)=_.

56.

57.已知(cotx)，=f(x),貝!J[xF(x)dx=

「X-X

‘Qlim--------------------=

□O?*T+8X

59設(shè)[/(，)d-e+,則/(x)=

60.曲線y=ln（l+x）的垂直漸近線是.

三、計(jì)算題（30題）

設(shè)2=?*rtanR?求蔡

61.

計(jì)算定積分Jco^xsinjrdx.

62.

63.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

1+*'?”<0,n

設(shè)的數(shù)”工）-J求八工-2)dr.

64.?！?JT>0.

65.求微分方程Wudy+(>—lnx)dx=0濡足=1的特解.

66.

計(jì)算二重積分/="1業(yè)以其中D為由曲線y=1-x*與、=工,一1所圍成的區(qū)域.

67求做分方程(.vsinx—siiir-l)dr4-co>.i<lv—0的通解.

計(jì)算J/dxdy,其中D為圓環(huán)區(qū)域J4/+/&4.

68.

設(shè)下述積分在全平面上與路徑無關(guān):

j卦卬力必+［督⑺一切ydy.

69.其中函敗廖a具有連續(xù)導(dǎo)致,并且61)=】.求函數(shù)6工).

70.已知函數(shù)》=arcsinx后孺,求判一.

rlsiin—.1X0.

求函數(shù)八力二11工的導(dǎo)數(shù).

71.1°-1=。

72.

求!(/+/)匕.其中D為y=I,y=上+ay=a和y=3?(a>0)為邊的平行四

邊形.

設(shè)D是由曲線>-/（x>與直線曠―0少-3圈成的區(qū)域,其中

IJ?x42?

/（x）-J

16x?*>2?

73?求，力'4H1成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

計(jì)算二重物分J'&rdy,其中D是由直線.r=2~-上與雙曲線工y-］所圉成

74.的區(qū)域.

75.求函數(shù)/（*）=/-9"的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)，

?設(shè)義工）是連續(xù)函數(shù),且「'/（，）d，=H.求/"⑺.

76.J"

77.①求曲線y=x2（x>0）,y=l與x=0所圍成的平面圖形的面積S：

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

78求;|e"'dxdy.其中D是由直線.y=x.y=1及〉軸圍成的區(qū)域.

79.諛函數(shù)￡=?*?y）,其中CJ.v）為可■函數(shù).求

求微分方程y=i+lf”的通解.

80.c?！薄?/p>

求極限1而卜一了7（1+工）］.

設(shè)/+V+2I一2六=c-確定函數(shù)之=之(工,山,求生.生.

82.dxdy

83.求值分方程yd，十(/_4_r>dy-0的通解.

84.求函數(shù)f(x)=x±3x-2的單調(diào)區(qū)間和極值.

計(jì)算卜z&rdy,其中D為留/+式=1及/+式=9所圍成的環(huán)形區(qū)域.

86求微分方程2y'-3y=_re，的通解.

求極限lime.一。

87.，一《sirw-x

求定枳分］二嚙1

<Lr.

88.

89.求函數(shù)f(x)=(x2-l)3+3的單調(diào)區(qū)間和極值.

設(shè)人工)為可微函敗且稠足方程I

xj/(f)dr??(x4-1)J(x>0)?

90.求函數(shù)人工).

四、綜合題(10題)

91證明：方程4/一1=[:在/在（0.1）內(nèi)僅有一個(gè)根.

求函數(shù)/（x）=￡一。++-J"的單調(diào)區(qū)間和極值.

92.

征明：當(dāng)』。時(shí)，ln（l卜X）>.

93.1-:

過點(diǎn)PU.O）作拗構(gòu)線>=/口的切線，讀切線與上述整物線及，軸圉成一平面圖

94.彩，求此留股立，軸宜用一周所成的篋轉(zhuǎn)體的體根.

平面圖形由拋物線/H2l.與該曲線在點(diǎn)處的法線所圍成.試求，

（D該平面圖形的面積,

95.（2）該平面圖形繞工軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體枳.

已知曲線y=a6（a>0）與曲線In6在點(diǎn).“）處有公切線.試求：

（1）常數(shù)a和切點(diǎn)（HO.W）:

96.（2）兩曲線與，軸隔成的平面圖形的面積S.

97.

過曲線.v=rl（x>0）上某點(diǎn)A作切線,若過點(diǎn)人作的切線?曲線》一/及■!■軸用成

的圖形面積為工,求該圖形繞，軸旋轉(zhuǎn)一冏所得旋轉(zhuǎn)體體積V.

98.證明方程R-3工一1=0在1與2之間至少有一個(gè)實(shí)根.

99求函敷，-苧的單■區(qū)間.霰值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)和漸近線.

100.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當(dāng)月租金定為2000元時(shí),公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100元時(shí)?就會(huì)多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi).試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

五、解答題（10題）

101.

JT0?24

設(shè)隨機(jī)變量&的分布列為^M/，求E?）和

（本題清分8分）設(shè).（2）=1.求叫噌

102.—

103.

做一個(gè)如下圖所示的角鐵架子，其底為等腰三角形，底邊長(zhǎng)為

6m、架子總長(zhǎng)為5m,試求所用角鐵為最少時(shí)，三根角鐵的長(zhǎng)度各為多少？

104.

x

WA*...esinx-sinx

TT算hm：

L01-cosx

（本題滿分8分）計(jì)算----7----Ax

105.01+J\X

(J?sint)dt

106.（本題滿分8分）計(jì)算!看匕-cca?

107.

5人排成一行，試求下列事件的概率：

（DA=｛甲、乙二人必須排在頭尾）.

（2）B=｛甲、乙二人必須間隔一人排列｝.

1.」1

—sinux+1vx<0

X

/(X)=?2,x=0

,1,,

Tsin—卜69x>0

108.試確定a,b的值，使函數(shù)X,在點(diǎn)x=0

處連續(xù).

109.

設(shè)z=f（zy,負(fù)，求dz.

110.

一枚2分硬幣，連續(xù)拋擲3次，設(shè)4=｛至少有一次國(guó)徽向上｝.

求尸（4）.

六、單選題（0題）

U1.曲線、=失音的漸近線有---------?

參考答案

1.B

因?yàn)榘诵?力）?所以"卜一

4

2.B

3.C

J：(x'sinx+Ddx=J：dr=2.

4.A

5.D

lim/(x)=lim(2x+1)=1.lim/(x)=lim(x2+1)=1.故選D.

JCT0-XTO~XTO*ITO*

6.B

因?yàn)閒*(x)=l/x,f'*(x)=-l/x2o

7.A

2x2(1+r)-4x2_2(1-/)

因?yàn)閥'=1+x2'y(1+x2)2(l+x2)2

/>0的區(qū)間為卜/>0,即-l<x<L所以選A.

8.B

9.B

—：-------------[(cosyzsinx)dx4-(cosz-xsiny)dv

10.ysinz—cos-r

―：-------------[(cosyzsinx)dx+(cosz-xsiny)dv

"ma-COS-T

[解析J本題將四個(gè)選項(xiàng)代入等式，只有選項(xiàng)A的坐標(biāo)使等式成立.

事實(shí)上y'=J+』=2得x=L所以y=l

ll.Ax

12.B

設(shè)u=xy,0lJz=Vu

dzd?111

因?yàn)?-二=-?y-?y=一

疝du3x2VM'2.Jxy2

蟲=1H=1

所以

況川2丫化2

13.B解析：

14.A

f'(x)=(xa),+(ax),+(lna),=axnl+axlna,所以f(l)=a+alna=a(l+lna),選

Ao

15.D

16.B

[解析]利用第二個(gè)重要極限易判定：

A.lim(1+l)"*s=lim(1+-)"(1+-)J=e

Q-?Oiinn

-1

B.lim(l--)"=[nm(l+一—〃]=e-*

|[21

C.lim(l+-^)"=lim[(l+-^-)"]-=e°=l

flff

112I

D.lim(l--)"=lim[(l+—)"尸=e°=l

n-nrn--fiT

17.C故選C?

18.1/2

19.A

..§in(2x?-ar)等價(jià)代換2x2-ax附”.

hm---------------==hm-----------=-a=IJ力以a=

*3x*3x

20.D

八x)=[j；g(nM=g(/)(x2y

=2xg(x2).

21.D

22.D

J；"n(l+2i)出洛必達(dá)法則xin(l+2x)等階代換「2x22

hm------；-----,…:lim-----：---------lim―<=—

I。XXT)3x2-03*23

23.D

本題的解法有兩種：

解法L先用換元法求出f(x)的表達(dá)式，再求導(dǎo)。

設(shè)sinx=u,則f(x)=U2,所以f'(u)=2u,即f'(x)=2x,選Do

解法2：將f(sinx)作為f(x),u=sinx的復(fù)合函數(shù)直接求導(dǎo)，再用換元法

寫成f'(x)的形式。

等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

f'(sinx)*cosx=2sinxcosx,f'(sinx)=2sinxo

用x換sinx,得f'(x)=2x,所以選D。

24.A

25.4I

26.B

本題主要考查原函數(shù)的概念。

因?yàn)閒(x)=(xsinx)'=sinx+xcosx,

貝!If'(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,選B。

27.C

28.A

函數(shù)f(x)在XO處有定義不一定在該點(diǎn)連續(xù)，故選A。

29.B

30.C

31.1/y

32.2

(3,1)

［解析J因?yàn)閥z=4x+3=15

解得x=3又/3)=2X32+3X3-26=1

故點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,1)

34.

35.

36.應(yīng)填2.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二階導(dǎo)數(shù)值的計(jì)

因?yàn)?(%)=工+工■，則

X

12

/，(「)=T，/?(?)=5,

算.從而廣(“)=2,故填2.

-l-ln(4d-x2)+C-i-ln(4-1-xz)+C

37.22

38.

2/x+x2+C

［解析］JL—Ldx=f-j=J==d(x+jr2)=2>Jx+x2+C.

JVX+JT2Jvx+x2

39.x=ex=e解析

因?yàn)閞(x)=@舁30得x=e

Inx

所以x=e是函數(shù)/(x)的駐點(diǎn).

40.0

41.

解題指導(dǎo)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)在出處的函數(shù)值的計(jì)笄，

本題的關(guān)鍵是分清&處的函數(shù)表達(dá)式#=0是NWO的區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，因此有/(x)=2x+l,

所以/(0)=2x0+1=1.

42.

I普案】**2,,In2

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算可得答案.注意In2是常數(shù).

43.D

44.1

J；d(JdInx)=JdInx=In：=I

45.

答案填20/.

解IS指導(dǎo)本西號(hào)IS的知識(shí)點(diǎn)是高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.

因?yàn)閥'=5/.則y"=20」.

46.

r??j

【，侑<?<*r

，一<1.1：

1+，

上工?$?.?*,，+與dx-0.

at■Z-.Aat.

47.1n(x2+l)

48.21n2

2

3

9

［解析］令3u=2x,HPu=—x?當(dāng)XTO時(shí)，u—>0?則有

lim/(2x)_/吟1Hm〃3u)

X->oxJTTO3,2、“TO3

-(-X)-u

232

21211

49./(3M)

1

因?yàn)椋踖4jdx=—c

50.1/41/4解析：44

C；+C；=2

尸（4）二

C：3

51.2/32/3解析:

52.TT/4

53.

—2xsin(x2+y2)

M4.x2-cos(x-l).0?...2x+sin(x-1).

［I解A析C1］hm----------------(一型)=lim-----------------=2

IInA0*-??

54.x

55.因?yàn)閥，=2xln2,貝!)y”)=21n2。

56.1n(lnx)+C

xX

--7-5----COtX-hC-7-：----cotx+C

57.sinxsinx

58.應(yīng)填

0

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是極限的計(jì)算.由于分子是“8-8”，應(yīng)首先有理化，再約去

“8”因子.本題若直接用洛必達(dá)法則求解反而比較麻煩.

X2+4%-%2

=lim■=lim-------

X-?+?x(^/xl-4x+4)*—?+00

x,x

本題也可以直接消去“8”因子:

59.

【答案】應(yīng)填（1+引住，

【解析）本題考杳的知識(shí)點(diǎn)是原函數(shù)存在定理,即變上限的定積分/7（1）&是函數(shù)/（,）在

該區(qū)間匕的一個(gè)原函數(shù),因此有

〃幻=（點(diǎn)）、（i+打止

60.

**Z=r,

:.—=e2〃+J.----\---.---紅

Hzl+d+y?72“+.

=e'1rtoi/^寸

2

61.&'+-(1+x+y)

.--1--.--?￡__

dx14-x?+y2+.

=.e'rrtan//寸

/'+，(1+X2+J)

設(shè)u=COST■則du==—sin/ctr.當(dāng)工=0時(shí)=1,當(dāng)工==■^時(shí),u=0

設(shè)u=COST■則du=-sin_r(Lr,當(dāng)工=0時(shí)1<=1$當(dāng)<r=g?時(shí)，”二。

???原式-r?*<i?--1.

63?

亞

==

晟2X

2y得駐點(diǎn)（0,-1）.

一

az一

A-+20,

因?yàn)锳=-^-fI=2.B=~~=0,C=~=2,

dxI(o.-ijdxdy?d)dy(o.-i)

所以B：-4C=-4<0,且4=2>0.從而可知M0.-l)=-l為極小值.

j"(上一2)dr=//(，)&

=『/(t)dr-lj/(r)dz

.__.=P(l+H)<k4-[e'dt=4-----

64.令x-2=t那么:「令，x-2=t,

工一2)dx=j(/(r)ci/

=「/〃)&+j：/■⑺山

=J(I+f)d/4-je'dz?y—p

那么：

原微分方程可化為丁+-7.

于犯，方程的通解中=[J;ei±“dr+C}e

lord/+C

如一+C）,七

將初始條件yI代人.有c=5.故滿足條件的特解為,

”資工+!七=+七）.

65.

原做分方程可化為，'+?=+?

[J±"d"+([?e

于是，方程的通解，茅

[JJ.lxk+C]?亡

yln*X+('),i￡

將初始條件y|=1代人.有C=:,故滿足條件的特解為,

尸*+3土』…亡）.

原式/=mw

=看J(1—X1—x2+Ddx

=1J(2-2/)cLr

66.

原式7=IT.同二U

=亮j(1—xr-Xs+1)dr

方程可化為半+加皿=2+tanr這是一階線性微分方程,利用通解公式

dr

(seer+tanx)efu"u4/dj-+C

力or+?(?

cow

=COSJ/taar+------

\cosur

67.!*inx+Ccow+I.

方程可化為半+*U=seer+taru■這是一階線性微分方程,利用通解公式

dr

(seer+tanxJel^dj-+C

y

rfMecx+tanx」.

?co^r------------------dr+(

Ucosx

=COST/tartr+---+C\

\COST)

=5inx+CCOSJ-+1.

68.

積分區(qū)域D如圖所示.D的邊界/+：/=1"'+V

=4用極坐標(biāo)表示分別為r=1,r=2,故積分區(qū)域/）在極坐標(biāo)

系下為

{(r,0)|04夕&2*，1&2),

故

l]j2dxd^=1d&|/cos:傳dr

I)

cosJ0d0JrJdr

「寧"此

cos2OdO

號(hào)J2cos2Odd

=￥[*(l+cos2Gd，

15,21.Iu_15K

=="(G+-x-sinZ9a/n)=.

oZIo4

積分區(qū)域。如圖所示.D的邊界i+?z=1、/+V

=4用極坐標(biāo)表示分別為r=1.r=2,故積分區(qū)域￡＞在極坐標(biāo)

系下為

{(r,0)|0&8&2x,l<2},

故

/cos沿dr

cos汩dd|r'dr

J中"比"

=￥j°°曉'的

=呈j2cos.2Odd

=竽J(1+g$20)d夕

=裊6+4rsin25)IT

O4

P=■|?yW■r),Q=”一卦.

由積分與路徑無關(guān).得

8Q_3P

即

(^>z(x>—x)y=3>p(x)或tp(.x)—3y>(x)

得

中(z)a*[卜J*dr+c]

e-,J[pencLr+C]

叫一！"e"+C]

一"1■("”-je-^dx)+C

+上")"]

=一5一§+小”.

由61)=1得.1一!一!+。/.解得（7一9-=故有

<p(x)一工+15?,?

69.99

P=.Q—[/("一

由積分與路徑無關(guān)?得

dxdy

即

(/(■X)_H)y=3沖(工)或fix)—3^(x)=x.

得

T+CeE

由中(1)巨1得.1=一"—g"+Cel解得C=號(hào)廠.故

70.

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將工=0代人計(jì)算比較麻煩.下面利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算.

/I-sin，

arcsinx

71+sin”limRI5=1.

…國(guó)華三抖qlim

x-0J-*O、l+sinx

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將l=0代人計(jì)算比較麻煩，下面利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算.

/I-sin，

arcsinxV1+sinx

lim--------lim席匹=1

z-*O-。v1+sinx

71.

當(dāng)工#0時(shí),/(/)=/sin5是初等函數(shù),可直接求導(dǎo).即

f(x)=sin/)，

=2xsin-+x2cos

X十T)

=2xsin——

當(dāng)z=0時(shí).

2?1

xsin一

，(0)=limA上心lim---------=limxsin—=0.

j-0x-?0XJ-。X

當(dāng)1盧0時(shí),/(I)=[7由上是初等函數(shù),可直接求導(dǎo).即

X

f(x)=(x2sin—)z

=2xsin—+x2cos—(―工)

XXX1

.11

=9Zjrstn------cos—?

當(dāng)z=0時(shí),

x2si.n一1

/(o)=-A”lirn---------=limxsin—=0.

i-0?r-?0X4-。*

首先畫出積分區(qū)域D.把它看做Y型.則

(x7+y)d<7=Jd>|(x2+yz)cLr

=j+/J-)

72.

首先畫出積分區(qū)域D.把它看做Y型.則

)

(x*4-ydff=C(x2+y?)<Lr

由題意得

匕u(6—y)，dy-nJ《G〉'dy

一卜=手x.

73.

由題意得

匕一/，(6—yVdy—icj(6)'dy

-36一”卜&=

,1<x<2.

先沿y方向積分,區(qū)域D可表示成/1)則

74.

[14za2.

先沿y方向積分,區(qū)域D可表示成」1,則

—《y&才?

X

75.f(x)的定義域?yàn)?-8,0),(0,+8),且

/,(X)=2X+4/*<*)=2-4.

XX

41f，(x)=0J9x=-i：4-/■?(?)=0J9x=邁.

列表如下:

X(-?.-1)-1(-1.0)(0.5)5(我)

/,(x)-0?

r(<)■-0?

A*)極小值37/拐點(diǎn)（蘇,0）/

由上表可知,函數(shù)/（*）的單調(diào)減少區(qū)間為（-8「1）,單調(diào)增加區(qū)間為（-1,0）和（0,+8）;

/（-1）=3為極小值；

函數(shù)/（X）的凹區(qū)間為（-8,0）和（蘇，+8）,凸區(qū)間為（0,萬）；

拐點(diǎn)坐標(biāo)為（/.0）.

等式兩邊對(duì)丁求導(dǎo)得

/（P-1）?3x:=】.即/（X1-1）=白,

“0x:2,得八7）一上.

70."

等式兩邊對(duì)了求導(dǎo)得

/（X,-1）?3/=1.即fix,-1）=J，

令H=2,得/⑺-5

77.①由已知條件畫出平面圖形如圖陰影所示

S=￡（l7*十一3（年

②旋轉(zhuǎn)體的體積

匕=卜％大加=罰[吟

78.

積分區(qū)域D如圖所示,由于被枳函數(shù)八人山=^，'.因?yàn)榇嗽摱罔追诌m用

于化為“先對(duì)x積分.后對(duì)>積分”的二次枳分進(jìn)行計(jì)算.

fO<y<1,

又區(qū)域?？伤ナ緸?，*

]0=才（y.

積分區(qū)域D如圖所示,由于被積函數(shù)人工.山=1，,因?yàn)榇嗽摱罔追诌m用

于化為“先對(duì)x積分.后對(duì)y積分”的二次積分進(jìn)行計(jì)算.

[04y4l.

又區(qū)域D可表示為:

于是，Ardy=jdyjc'"dx

=j?y.eJdy

-7-fe，

u1-e').

dz=當(dāng)(￡r+當(dāng)dy

3-rdy

79.=["'(1,3)―/(X?y)]cLr+[3y'+]/'(N.y)]d?

dz=當(dāng)<Lr+當(dāng)dy

Ardy

=[J/‘(工?5+/(jr?y)l<lr+[3y:+(工■>)](]?

80.

方程兩邊同乘以cosy,則得cosy?》’=/+1—siny.即

d(sinv)??ii

————rsiny=1+1.

djr

令”=*in?則方程化為券+u=1+l.屬線性方程,用求通解公式得

u=/嗎(1+1)-&+C]

=e-J[J(x4-1)crctr+C]

=+De*—er+Cj

C'-C).

則原方程的通解為siny=e/(xe,+C).

方程兩邊同乘以cosy.則得cosy?/="+1-siny,即

任坐邊+3”=1+1.

djr

令u=siny.則方程化為*+“=i+1.屬線性方程?用求通解公式得

u=ef中工+1)加+C]

=e~[J(工+1)erctr+C]

=e^[(x+De,-er4-C]

=C/I+C).

則原方程的通解為siny=e+C).

該題屬于“8一8”型,我們用倒代換工=:讓其產(chǎn)生分母,然后通分計(jì)算

之.

(1+7)]=fe[7_F,n<1+r)]

=il.imt-----l-n(；-1-+--Z-)

?-*0t2

1-----

1吁2/(/+z)=T

該題屬于“8-8”型,我們用倒代換工=:讓其產(chǎn)生分母,然后通分計(jì)算

之.

(1+7)]=1??[7-7,n<1+r)]

../-In(l+r)

=lim----；------

，—0廣

1

1一

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r-*