材料力學例題及解題指導

材料力學例題及解題指導〔第二章至第六章〕第二章拉伸、壓縮與剪切例2-1試畫出圖a直桿的軸力圖解：此直桿在A、B、C、D點承受軸向外力。先求AB段軸力。在段內(nèi)任一截面1-1處將桿件截開，考察左段〔圖2-5b〕。在截面上設出正軸力N1。

由此段的平衡方程X＝0得N1－6＝0，N1＝＋6kN圖2-5N1得正號說明原先假設拉力是正確的，同時也就說明軸力是正的。AB段內(nèi)任一截面的軸力都等于+6kN。

再求BC段軸力，在BC段任一截面2-2處將桿件截開，仍考察左段〔圖2-5c〕，在截面上仍設正的軸力N2，由X＝0圖2-5－6＋18＋N2＝0N2＝－12kNN2得負號說明原先假設拉力是不對的〔應為壓力〕，同時又說明軸力N2是負的。BC段內(nèi)任一截面的軸力都等于－12kN。同理得CD段內(nèi)任一截面的軸力都是－4kN。畫內(nèi)力圖，以水平軸x表示桿的截面位置，以垂直x的坐標軸表示截面的軸力，按選定的比例尺畫出軸力圖，如圖2-5〔d〕所示。由此圖可知數(shù)值最大的軸力發(fā)生在BC段內(nèi)。解題指導：利用截面法求軸力時,在切開的截面上總是設出正軸力N，然后由X＝0求出軸力N，如N得正說明是正軸力〔拉力〕，如得負那么說明是負軸力〔壓力〕。圖2-6例2-2試求自由懸掛的直桿〔圖2-6a〕由縱向均勻分布荷載q〔力／長度〕引起的應力和縱向變形。設桿長l、截面積A及彈性模量E均圖2-6解：在桿上距下端為x處取一任意橫截面m-m，那么該截面軸力為N(x)＝qx，根據(jù)此式可作出軸力圖如圖2-6b所示。m-m截面的應力為〔x〕＝N(x)/A＝qx/A。顯然，懸掛端有最大軸力Nmax＝ql及最大正應力。求桿縱向變形，由于各橫截面上軸力不等，不能直接應用公式(2-4)，而應從長為dx的微段出發(fā)。在x處取微段dx，其縱向伸長可寫為桿件的總伸長研究上端固定桿件由于自重引起的伸長時，桿件自身重量就是一種均勻縱向分布力，此時單位桿長的分布力q＝A1，此處是材料單位體積的重量即容重。將q代入上式得到此處G＝Al是整個桿的重量。上式說明等直桿自重引起的總伸長等于全部重量集中于下端時伸長的一半。解題指導：對于軸力為變數(shù)的桿，利用虎克定律計算桿件軸向變形時，應分段計算變形，然后代數(shù)相加得全桿變形，當軸力是連續(xù)函數(shù)時那么需利用積分求桿變形。圖2-7例2-3圖2-7圖2-7解：a桿：b桿：兩桿應變能之比：解題指導：從本例可看出，在受力相同的情況下，剛度小的桿件應變能大。圖2-8例2-4平行桿系1、2、3懸吊著剛性橫梁AB如圖2-8a所示。在橫梁上作用著荷載G。如桿1、2、3的截面積、長度、彈性模量均相同，分別為A、l、E。試求三根桿的軸力N1、N2、N3。圖2-8解：設在荷載G作用下，橫梁移動到AB位置〔圖2-8b〕，那么桿1的縮短量為l1，而桿2、3的伸長量為l2、l3。取橫梁AB為別離體，如圖2-8c，其上除荷載G外，還有軸力N1、N2、N3以及X。由于假設1桿縮短，2、3桿伸長，故應將N1設為壓力，而N2、N3設為拉力。(1)平衡方程〔a〕三個平衡方程中包含四個未知力，故為一次超靜定問題。(2)變形幾何方程由變形關(guān)系圖2-8b可看出B1B＝2C1C，即，或(b)(3)物理方程(c)將(c)式代入(b)式，然后與(a)式聯(lián)立求解，可得解題指導：在解超靜定問題中：假定各桿的軸力是拉力、還是壓力，要以變形關(guān)系圖中各桿是伸長還是縮短為依據(jù)，兩者之間必須一致。經(jīng)計算三桿的軸力均為正，說明正如變形關(guān)系圖中所設，桿2、3伸長，而桿1縮短。例題及解題指導圖3.6例2-5圖3-6所示螺釘承受軸向拉力F，許可切應力[]和拉伸許可應力[]之間的關(guān)系為：[]=0.6[]，許可擠壓應力[bs]和拉伸許可應力[]之間的關(guān)系為：[bs]=2[]。試建立D，d，t圖3.6解：(1)螺釘?shù)睦鞆姸?2)螺帽的擠壓強度(3)螺帽的剪切強度得：D:d:t=1.225:1:0.415解題指導：注意此題的剪切面、擠壓面。圖3.7例2-6一托板用8只鉚釘鉚于立柱上，如圖3-7a，鉚釘間距為a，F(xiàn)＝80kN，距離l＝3a。鉚釘直徑d＝20mm，許可切應力[]＝130MPa圖3.7解：鉚釘群的形心C位于立柱的y軸上。將力F向C點平移得到一個過C點的y向力F和一個順時針轉(zhuǎn)動的力偶Fl。通過C的力F在每個鉚釘受剪面上引起的剪力相等，其值為F/8，圖3-7(c)所示，圖中只示出1、2、8三個鉚釘沿負y方向的剪力F/8。力偶Fl在每一鉚釘中也引起剪力，假設剪力方向與該鉚釘中心至C的連線正交，而大小與連線長度成正比。圖3-7(b)示出Fl引起的鉚釘剪力；鉚釘1、3、5、7的剪力都是Q1；2、4、6、8的剪力都是Q2。諸鉚釘?shù)募袅之矩之和等于Fl，即再利用，代入上式得鉚釘2的總剪力Q2＝F/8＋F/4＝3F/8。鉚釘1的總剪力是所以鉚釘1、3受力最為危險，故＝115MPa<[]解題指導：在對鉚釘群構(gòu)成的連接件進行剪切強度計算時，要正確分析每個鉚釘?shù)氖芰?。當外力通過鉚釘群中心時，可以近似看作每個鉚釘受力相同。當外力不通過鉚釘形心時那么應根據(jù)實際受力情況分析鉚釘受力。第三章例題和解題指導例3.1傳動軸〔圖4-5(a)〕的轉(zhuǎn)速n＝300r/min，主動輪A輸入的功率P＝400kW，三個從動輪輸出的功率分別為PB＝120kW，PC＝120kW，PD＝160kW。試畫軸的扭矩圖。解：(1)計算作用在各輪上的扭矩m。因為A是主動輪，故mA的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向一致；而從動輪上的轉(zhuǎn)矩是軸轉(zhuǎn)動時受到的阻力，故從動輪B、C、D上的轉(zhuǎn)矩方向與軸的轉(zhuǎn)向相反?！?〕求各段軸的扭矩。先求1-1截面扭矩，從該截面切開，保存右段，并在截面上設出正扭矩MT1〔圖4-5〔b〕〕。由平衡條件mx＝0，有mD－mA－MT1＝0得這里MT1得負號說明該截面的扭矩是負號。在A、B輪之間所有截面的扭矩都等于－12.74kNm。仿此可得出MT2＝－8.92kNm，MT3＝－10kNm?！?〕畫扭矩圖。以橫坐標表示截面位置，以縱坐標表示扭矩，按選定的比例尺作出AB、BC、CD三段軸的扭矩圖，因為在每一段內(nèi)扭矩為常數(shù)，故扭矩圖由三段水平線組成，如圖4-5(c)。最大的扭矩7.64kNm發(fā)生在中間段。解題指導：求軸橫截面扭矩時，在截面上總是設出正扭矩MT，再用mx＝0求此扭矩。如MT得正號說明是正扭矩，如得負號那么說明是負扭矩。假設將此例中的A、B輪對調(diào)，那么扭矩圖如圖4-5(d)所示，由此可知，合理布置荷載可以降低內(nèi)力的最大值，提高桿件的承載能力。例3.2傳動軸為鋼制實心軸，最大扭矩MT＝7.64kNm，材料的許可切應力[]＝30MPa，切變模量G＝80GPa，許可扭角[]＝0.3/m，試按強度條件和剛度條件設計軸徑d。解：根據(jù)強度條件式(4-6)得出：再根據(jù)剛度條件式(4-9b)得出：兩個直徑中應選其中較大者，即實心軸直徑不應小于117mm，說明在此設計中剛度是主要的。例3.3圓軸受外力偶矩m＝2kNm，材料的許可切應力[]＝60MPa?！?〕試設計實心圓軸的直徑D1;〔2〕假設該軸改為=d/D=0.8的空心圓軸，式設計空心圓軸的內(nèi)、外徑d2、D2解：〔1〕扭矩MT=m=2kNm，實心圓截面直徑〔2〕假設改為＝0.8的空心圓軸，設計外徑內(nèi)徑d2=0.8×D2=0.8×66.0＝52.8mm。〔3〕比擬二者面積空心軸的截面積：實心軸的截面積：=解題指導：由此例可見使用空心圓軸比實心圓周可以節(jié)約很多材料，其主要原因是空心圓軸的材料布置離軸心較遠，充分發(fā)揮了材料的承載能力。圖4-6例3.4計算圖4-6受扭圓軸的應變能。設d1=2d2，材料的切變模量為G圖4-6解此軸扭矩是常數(shù)，MT=m，但AB和BC截面尺寸不同，因此應分段計算應變能，然后-再相加。有附錄局部例題和解題指導例1求圖5-5所示截面的形心C的位置。圖5解：該截面具有縱對稱軸，那么形心一定在此對稱軸上，因此只要求出形心在高度方向的值即可確定形心。選取參考坐標系，以對稱軸為y軸，x0軸選擇截面的下邊緣。下面用兩種方法計算形心C的座標yc圖5圖圖6解法1，將該組合截面分割為①、②、③三個矩形截面，如圖5-5。它們的面積Ai和形心Ci的縱座標yci分別是于是截面形心C在參考軸xoy系內(nèi)的縱坐標yc為解法2，也可將以上組合截面看作在①200×310矩形的根底上，挖去一個②180×300的矩形，挖去矩形的面積取為負值。于是矩形①、②的面積及形心坐標y’ci分別為截面形心C在參考軸xoy系內(nèi)的縱坐標yc為兩種解法結(jié)果完全相同。解題指導：計算形心時參考坐標軸可以任意選取，但好的選擇可以使計算更容易。此題的第二種解法稱為負面積法，是計算截面幾何性質(zhì)時常用的方法。例2試計算圖5-7所示圖形對水平形心軸x的的形心主慣性矩。解〔1〕求形心。建立參考坐標軸x1、y，形心顯然在對稱軸y上，只需求出截面形心C距參考軸x1的距離yc。將該截面分解為兩個矩形，各矩形截面的面積Ai及自身水平形心軸距參考軸x1的距離yci分別為：Ac1=200×50=10000(mm)2，yc1＝150mm;Ac2=50×150=7500(mm)2，yc2＝25mm;圖5-7圖5-7〔2〕求形心主慣性〔略〕第四章彎曲內(nèi)力例題及解題指導圖6.3例4.1寫出圖6-3圖6.3解：〔1〕分兩段列Q、M方程：AC段CB段〔2〕作圖：AC段剪力：剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖是斜直線，由兩點即可確定該直線。當x=0，QA=0；當x=a，得QC=－qa。BC段剪力：剪力圖是水平線，由于C點無集中力作用，C點剪力連續(xù)，Q＝QC=－qa。AC段彎矩：彎矩方程是x的二次函數(shù)，由q＝c<0，q與彎矩的關(guān)系知，彎矩圖是下凸拋物線。當x=0，MA=0；當x=a，得。BC段彎矩：彎矩方程是剪力圖是x的一次函數(shù)，彎矩圖是斜直線。因梁上沒有集中力偶，彎矩圖在C點應連續(xù)，x=2a時，。作出剪力圖和彎矩圖如圖示。圖6.4例4.2試繪出圖6-4圖6.4解：(1)利用平衡條件求出A、B支座的支反力YA和YB。mA＝0，20×1－40＋YB×4－10×4×2＝0∴YB＝25kNmB＝0，20×5－YA×4＋10×4×2－40＝0∴YA＝35kN(2)列CA段Q、M方程：建立坐標系，以C端為x軸坐標原點，CA段距左端為x的任意截面，取左側(cè)為對象，那么Q1＝－20，〔0＜x＜1m〕 (a)M1＝－20x，〔0≤x＜1m＝ (b)(3)列AB段Q、M方程：AB段距C端為x的任意截面，如取右側(cè)為對象，那么Q2＝－YB＋q(5－x)＝－25＋10(5－x)〔1＜x＜5＝(c)M2＝Y(jié)B(5－x)－q(5－x)(5－x)/2＝25(5－x)－5(5－x)2，〔1＜x≤5＝(d)利用(a)、(b)和(c)、(d)式可繪出CA和AB段的Q、M圖〔圖6-2b，c〕。(4)檢查Q、M圖的正確性a、利用集中力、集中力偶作用處的突變關(guān)系。梁上C、A、B三處分別有集中的力20kN(↓)、35kN(↑)、25kN(↑)，因而由左向右經(jīng)過上述各處時，剪力圖分別突變20kN(↓)、35kN(↑)、25kN(↑)，因C、B在梁的兩端，上述突變表現(xiàn)為C右截面剪力為－20kN，B左截面剪力為－25kN。梁上A處有順時針集中力偶40kNm，因而A處左截面至右截面的彎矩突變+40kNm。b、利用微分關(guān)系對于CA段，分布荷載集度q＝0，剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。對于AB段，q＝－10kN/m，剪力圖為斜直線，并在A右1.5m處〔D截面〕剪力為零。彎矩圖為下凸的二次拋物線，并在D截面有極大值。解題指導：截面的內(nèi)力既可以用截面的左半局部計算也可以用截面的右半局部計算，所得結(jié)果相同。畫出內(nèi)力圖后利用微分關(guān)系和Q、M圖的規(guī)律檢查內(nèi)力圖的正確性，可以確保結(jié)果正確。圖6.5例4-3作出圖示具有中間鉸鏈〔圖6-5a圖6.5解：(1)求支反力：在中間鉸鏈處將梁拆開成兩局部，其間的相互作用力以QB代替，如圖6-5(b)所示。顯然，拆開后連續(xù)梁可以看成一個受集中力偶的簡支梁和一個梁上受均布力、自由端受集中力QB的懸臂梁。由簡支梁AB很容易求出QB:(2)分別作簡支梁AB和懸臂梁BC的彎矩圖，如圖6-5〔c〕。因單個梁的彎矩圖很容易得到，作圖過程在此不再贅述。注意兩個梁的彎矩圖應合并畫在同一條水平軸線上。解題指導：(1)求解有中間鉸鏈的連續(xù)梁問題，一般都從鉸接處拆開。拆開后能獨立存在的局部稱為主梁，如圖中的BC梁；不能獨立存在的局部稱為輔梁，如圖中的AB梁。先從輔梁上解出鉸鏈處的約束力，再把此約束力當作外荷載加到主梁上，這樣就變成了兩個簡單梁，作這兩個簡單梁的內(nèi)力圖并連接到一起，即為有中間鉸鏈梁的內(nèi)力圖。(2對轉(zhuǎn)動，固中間鉸鏈只能傳遞力不能傳遞力偶。因此只要鉸鏈左右兩側(cè)沒有集中力偶，其彎矩應為零。圖6.6例4.4利用剪力、彎矩與荷載集度的關(guān)系作圖6-6圖6.6解：計算支座反力YA＝Y(jié)B＝qa/4AC段剪力：q=c<0，剪力為下降的斜直線，A點剪力：QA=qa/4，C點偏左剪力：QC左=－3qa/4。AC段彎矩：q=c<0，彎矩為下凸拋物線，A點彎矩：MA=0，C點偏左彎矩：在距離A端支座為a/4的D處，剪力等于零，彎矩在此截面應有極值：BC段剪力：q=c>0，剪力為上升的斜直線，C點剪力：因C點無集中力，剪力在C點連續(xù)，C點偏右剪力：QC右=QC左=－3qa/4；B點剪力：QB=qa/4。BC段彎矩：q=c>0，彎矩為上凸拋物線，C點偏右彎矩：MC右=qa2/4，B點彎矩：MB=0。在距離B端支座為a/4的E處，剪力等于零，彎矩有極值:根據(jù)以上分析和計算，畫出剪力、彎矩圖如圖6-6(b)、(c)所示。解題指導：熟練掌握剪力、彎矩圖的規(guī)律，可以不寫剪力、彎矩方程，直接繪圖。對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載時，剪力圖是對稱的，彎矩圖是反對稱的。圖7-7圖7-7例5.1將一根直徑d＝1mm的直鋼絲繞于直徑D＝1m的卷筒上〔圖7-7〕，鋼絲的彈性模量E＝200GPa，試求鋼絲由于彈性彎曲而產(chǎn)生的最大彎曲正應力。又材料的屈服極限s＝350MPa，求不使鋼絲產(chǎn)生塑性變形的卷筒軸徑D1應為多大。解：〔1〕最大彎曲正應力由式(7-2)，有曲率與彎矩間的關(guān)系即又〔2〕求軸徑D1，那么得軸徑D1＝0.571m解題指導：鋼絲的直徑d遠小于卷筒的直徑徑D，因此鋼絲的曲率半徑可以近似為。例5.2T字形截面鑄鐵梁的荷載及截面尺寸如圖7-8(a)示，C為T形截面的形心，慣矩Iz＝6013×104mm4，材料的許可拉應力[t]＝40MPa，許可壓應力[c]＝160MPa，試校核梁的強度。圖7-8解：梁彎矩圖如圖7-8(b)所示。絕對值最大的彎矩為負彎矩，發(fā)生于B截面上，應力分布如圖7-8(c)圖7-8＝36.2MPa<[t]＝78.6MPa<[c]雖然A截面彎矩的絕對值|MA|<|MB|，但MA為正彎矩，應力分布如圖7-8(d)所示。最大拉應力發(fā)生于截面下邊緣各點，由于y1>y2因此，全梁最大拉應力究竟發(fā)生在哪個截面上，必須經(jīng)計算才能確定。A截面最大拉應力為＝39.3MPa<[t]最大壓應力在B截面下邊緣處，最大拉應力在A截面下邊緣處，都滿足強度條件。解題指導：由此例可知，對于鑄鐵等脆性材料，由于拉、壓許可應力不等，通常制成上、下不對稱截面，以充分發(fā)揮材料的承載潛力。應特別注意此種梁的彎矩有正、有負時，可能出現(xiàn)兩個危險截面，而且兩個危險點可能不在同一個截面上。例5-3矩形截面懸臂梁如圖7-9示，試計算梁的最大切應力和最大正應力并比擬大小。解：梁的最大彎矩在固定端處，Mmax=Pl,剪力在梁的各截面均為常數(shù)，危險截面在固定端處。圖7-9圖7-9應力比：解題指導：對于細長梁，如l＝5h，那么有max＝0.05max，亦即最大切應力遠小于最大正應力。這一結(jié)論適用于通常的非薄壁截面梁〔指厚壁截面梁及實心截面梁〕。一般說來，非薄壁截面細長梁橫力彎曲的強度計算可以只考查正應力強度，不必考慮切應力。但對于順紋方向抗剪強度差的材料如木制梁及切應力較大的薄壁截面梁或短梁〔跨度與梁的高度比小于5〕那么需同時進行正應力和切應力的計算。圖7.10例5.4圖7-10所示懸臂梁由三塊膠合在一起，截面尺寸為：b=100mm，a=50mm。木材的[]＝10MPa，[]＝1MPa，膠合面的[j]＝0.34Mpa試求許可荷載[P]圖7.10解：〔1〕由梁的抗拉強度確定的許可荷載P1〔a〕〔2〕由梁的剪切強度確定的許可荷載P2，〔3〕由膠合面的剪切強度確定的許可荷載P3，在三個荷載中選擇最小的，得膠合梁的許可荷載[P]=3.75kN。解題指導：在上面膠合梁中假設膠合層發(fā)生破壞，那么桿的彎曲特性隨之而改變，抗彎強度將會顯著降低。設三個梁接觸面間摩擦力甚小，每個梁可以自由彎曲，且彎曲曲率完全一樣。這時，可近似認為每個梁上承當?shù)耐饬Φ扔赑/3，那么每一梁的最大正應力等于與式〔a〕比擬，最大正應力增加了三倍。第六章彎曲變形例題及解題指導例6.1用積分法求圖8-2所示梁撓曲線方程時，要分幾段積分？將出現(xiàn)幾個積分常數(shù)？列出確定其積分常數(shù)條件?！矎椈蓜偠葹閗〕圖8-2解：〔a〕分兩段積分，1.AC段，2.CB段。4個積分常數(shù)。邊界條件：vA=0，vB=RB/k(RB為B點支反力)連續(xù)條件：vC1＝vC2C1＝C2〔b〕分三段積分，1.AD段，2.DC段，3.CB段。6個積分常數(shù)。邊界條件：vA=0，A=0，vB=0，連續(xù)條件：vD1＝y(tǒng)D2，D1＝D2，vC2＝y(tǒng)C3。解題指導：〔1〕在荷載突變處、中間約束處、截面變化處〔慣性矩