小學數學奧林匹克競賽模擬題及解答

小學數學奧林匹克競賽模擬題及解答第一部分二節(jié)二、有規(guī)律的數列前一節(jié)里我們對一類特殊的數列——等差數列作了研究，找到了求其中第n個數以及求其中前面n個數之和的計算規(guī)律。除了等差數列以外，還有各種不同的數列，如何找出相應數列的組成規(guī)律，仍然是我們解決問題的一個重要法寶。讓我們來看下面的例子。例1、找出以下各個數列的規(guī)律，在括號里填上適當的數。(1)4，6，10，16，24，34，46，()；(2)1，4，7，5，8，11，9，12，()；(3)1，4，9，16，25，36，()；(4)5，9，8，16，11，23，14，30，()。解(1)是一個不斷增大的數列，我們把相鄰兩數增加的部分記下來，作成下面的表這樣一來，它增加的規(guī)律就非常清楚，46后面一個數應是46+14=60。注意，表中“+”號表示增加。(2)雖然不再是一個不斷增加的數列，我們仍可以用上法記下后一數比前一數增加(用“+”號)或減少(用“-”號)的數量，于是得到下表由此也清楚看出這數列的規(guī)律是從1開始按照“加3，加3，再減2”的法則做的，因為9到12是在減2，后面接的第一個“+3”，故12后面那個數應是12+3=15。(3)不難看出是由平方數組成的，括號中應填72=49。另一方面，(3)仍是一個不斷增加的數列，因此還可以按上面的方法研究它增加的規(guī)律，我們得到下表因此，下一個數應是36+13=49，這與當作平方數看所得結果相同。(4)也是有增有減的數列，記下相鄰兩數增減的數量可得下表我們發(fā)現，帶“+”號的數是等差數列4，8，12，16，…，而帶“-”號的諸數也是一個等差數列1，5，9，…，于是下一個數應填30-13=17。實際上(4)可看成是由5，8，11，14，…，及9，16，23，30，…，這兩個等差數列相間組合而成的。一般說來，一個有規(guī)律的不斷增加的數列常?？梢苑磸陀蒙侠?1)的方法找出其規(guī)律。請看下面的例子。例2、找出下列數列的規(guī)律，然后在括號里填上適當的數。(1)1，3，17，55，129，251，()；(2)0，2，44，234，752，1850，()。解：對數列(1)反復應用上一例中的方法，即把相鄰兩數之差記下來(用“+”“-”號表示增加還是減少)，再對得到的新數列用此方法，直到得到一個等差數列為止，我們得到如下的表即其中數列12，24，36，48，…已是一個等差數列。故括號中應填的數是12+48+122+251=433。對數列(2)則需要連續(xù)四次運用上述方法才可找到這個數列增加的規(guī)律，其中出現的數列108，180，252，…是一個等差數列，即把乙=61代入(2.4)式得甲=136-乙=136-61=75。這種解題方法在討論應用題時還要再詳談。現在可以談談分配律了。分配律指乘法對于加法的分配律，在解題、計算中有非常重要的作用，下面看一個例子。例5、設n是任意給定的一個自然數，證明(n+1)2-n2=2n+1(2.7)證明(n+1)2=(n+1)×(n+1)，為了用分配律計算這個式子，我們先把乘積中第一個n+1看作一個數A，于是有(n+1)2=A×(n+1)=An+A×1=n×(n+1)+(n+1)，再對n×(n+1)用一次分配律得到n×(n+1)=n×n+n×1=n2+n，把上面幾個結果合起來就得到(n+1)2=n2+n+n+1，即(n+1)2=n2+2n+1，(2.8)在這個等式兩邊同時減n2仍得等式(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2，而這正是要證明的。下面可以給上節(jié)的例1的計算公式一個新的證明了。由于公式(2.7)對一切自然數n都成立，當然可以讓n分別取1，2，3，…，n代替(2.7)中的n，這樣就得到下面的n個等式取n=1得(1+1)2-12=2×1+1；取n=2得(2+1)2-22=2×2+1；取n=3得(3+1)2-32=2×3+1；…………取n為(n-1)得(n-1+1)2-(n-1)2=2×(n-1)+1；最后有(n+1)2-n2=2×n+1。把上面這n個等式左邊與右邊分別相加，仍然得到一個等式，注意到(1+1)2-22=0；(2+1)2-32=0；…；(n-1+1)2-n2=0。于是這n個等式的左邊相加后，只剩下(n+1)2-12，這樣就得到(n+1)2-12=2×1+2×2+…+2×n+。(2.9)利用分配律有(見(2.8)式)(n+1)2-12=n2+2n+1-1=n2+2n以及2×1+2×2+…+2×n=2×(1+2+…n)，把這兩式代入(2.9)式中得到n2+2n=2×(1+2+…+n)+n，此式兩邊各減去n得n2+2n-n=2×(1+2+…+n)+n-n，這就是(左右兩邊交換位置，等式仍然是等式)，2(1+2+…+n)=n2+n，即2(1+2+…+n)=n(n+1)，這里用到分配律，上式兩邊同除以2仍得等式1+2+…+n=，這正是要證明的公式。這種證明方法看起來比上節(jié)例1的方法麻煩了許多，但是用它卻可以求出(2.1)式的和來。例6、計算前n個平方數的和。解：定義a3=a×a×a，例如43=4×4×4=64，注意43≠4×3。首先我們用分配律來計算(n+1)3。我們有(n+1)3=(n+1)×(n+1)×(n+1)=(n+1)×(n+1)2，把乘積中第一個因數n+1看成A，對第二個因數(n+1)2應用已證明的公式(2.8)就得到(n+1)3=A×(n2+2n+1)=n2×A+2n×A+1×A=n2×(n+1)+2n×(n+1)+n+1，(2.10)仍用分配律可得n2×(n+1)=n2×n+n2×1=n3+n22n×(n+1)=2n×n+2n×1=2n2+2n，把上面兩式的結果代入(2.10)式得(n+1)3=n3+n2+2n2+2n+n+1，即(n+1)3=n3+3n2+3n+1，(2.11)在(2.11)式左右兩邊同時減去n3得如下等式(n+1)3-n3=3n2+3n+1。(2.12)因為(2.12)式對任何自然數n都成立，分別取(2.12)式中的n為1，2，3，…，n就得到以下n個等式(1+1)3-13=3×12+3×1+1；(2+1)3-23=3×22+3×2+1；(3+1)3-33=3×32+3×3+1；…………(n-1+1)3-(n-1)3=3×(n-1)2+3×(n-1)+1；(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1。把這n個等式的左邊全部相加，右邊也全部相加，仍得到一個等式，注意到(1+1)3-23=0，(2+1)3-33=0，…，(n-1+1)3-n3=0。故左邊相加后只剩下(n+1)3-13，這就得到(n+1)3-13=3×12+3×22+…+3×n2+3×1+3×2+…+3×n+，這就是(用到分配律)(n+1)3-1=3×(12+22+…+n2)+3×(1+2+…+n)+n，利用(2.11)式及1+2+…+n=代入就得到n3+3n2+3n+1-1=3×(12+22+…+n2)+n(n+1)+n，上式兩邊都減去n(n+1)+n得n3+3n2+3n-n-n(n+1)=3×(12+22+…+n2)，(2.13)注意到反復用分配律有n3+3n2+3n-n-n(n+1)=n3+3n2+2n-n(n+1)=(n3+n2)+(2n2+2n)-n(n+1)=n2(n+1)+2n(n+1)-n(n+1)=n(n+1)(n+2-)=n(n+1)(n+)(2.14)由(2.13)及(2.14)式有3×(12+22+…+n2)=n(n+1)(n+)，于是得12+22+…+n2=n(n+1)(n+)。(2.15)習題二1、找出以下各個數列的規(guī)律，在括號里填上適當的數。(1)3，12，27，48，75，()；(2)3，26，111，324，755，1518，2751，()；(3)2，10，10，66，26，218，50，514，82，1002，()，()；(4)0.25，0.4，0.5，1.6，0.75，3.6，1，6.4，()，()。2、239被某數除，所得的商與除數相同，余數比除數少1，求出余數來。3、在一個兩位數的兩個數字中間加一個0，那么所得的3位數是原數的7倍，求這個兩位數。4、一個兩位數，把它的個位數字與十位數字交換位置后所得的兩位數比原數多18，求出這個兩位數來。5、由算式，求出x，y，z代表什么數。6、六年級有甲乙丙丁4個班，不算甲班，其余3班一共有147人，不算丁班，其余3個班共有144人，乙丙兩班人數之和與甲丁兩班人數之和相等，求4個班共有多少人？7、計算下式的值：(1++++)×(++++)-(1+++++)×(+++)。8、(第7題的推廣)設n≥3是一個自然數，計算下式的值：(1++…+)×(++…+)-(1+++…++)×(+…+)。9、有9個不同的自然數，從小到大排成一行，相加的和為61，如果去掉其中最小的和最大的數，剩下7個數的和是49，求在原來排列的次序中，第三個數是多少？10、計算。11、一個分數在約分前分子分母的和為108，如果分子加上15，分母加上12再作約分，恰好得到，求原來的分數化成最簡分數應是多少？12、連結圓周上任意兩點的線段叫做弦，直徑正好就是經過圓心的弦。一個圓被一條直徑和一條弦劃分，最多可分成4個區(qū)域。一個圓被2條直徑和一條弦劃分，最多可分成7個區(qū)域。那么，一個圓若被一百條直徑和一條弦來分，最多可分成多少個區(qū)域呢？13、3個三角形最多可把整個平面分成多少個區(qū)域？4個三角形呢？10個三角形呢？14、仿照例6的方法計算13+23+33+…+n3。15、10條直線最多可以把平面分成幾部分？習題二提示及部分解答1、(1)仿例1(1)題的方法即可；(2)反復用例1(1)題的做法，直到找出規(guī)律為止；(3)這是由兩個數列湊合而成的，對每個數列用上述方法；(4)它也是由兩個數列合成的，做法與上一小題同。2、解法一：因為商與除數相同，所以商與除數的乘積是一個平方數，而且這個平方數一定不超過239(想一想理由是什么？)。然后判斷不超過239的平方數中，哪個平方數是符合題目要求的(這里要用到除法中除數與余數的大小關系)。由此即可求出除數。解法二：設除數是x，那么根據條件，并把除法改用乘法(想想怎樣用乘法對除法作驗算)寫出來就可得到239=x2+x-1。等式兩邊都加1得239+1=x2+x，這就是x(x+1)=240。把這個式看成是兩個連續(xù)自然數的積是240，你應該知道怎樣求x了。3、設這個兩位數為ab，a是十位數字，b是個位數字，那么這個兩位數可以寫成10a+b。同理，中間加一個0所得的3位數可以寫成100a+b。于是由題給條件可列出下面的式子，100a+b=7(10a+b)，從而100a+b-b-70a=70a+7b-b-70a，這就是30a=6b，因此b=5a。注意到a、b只能取小于10的數即可求出它們的值。4、注意兩位數ab與ba分別可表示成10a+b以及10b+a，然后按題意列式求解。5、這種幾個字母輪換出現的式子通常用加法去做，即把3個式子的左邊和右邊分別相加，這就得到4x+4y+4z=44，由此即可求出x+y+z的值。6、根據條件列出以下式子：由①，②兩式推出丁=甲+3，代入③式得2甲=乙+丙-3④把②式兩邊都乘以2得2甲+2乙+2丙=288⑤用④式代替⑤式中的2甲，就可求出乙+丙的值。再利用③式就可求出四班人數總和。7、算式里有4個括號，4個括號中共同有的是+++，就設a=+++，題目中的式子就變成(1+a)×(a+)-(1+a+)×a，利用分配律兩次(參考(2.8)式的計算過程)就可以算出它的值。8、做法與上題同，只不過這次應假設a=+…+，于是原式變?yōu)?1+a)×(a+)-(1+a+)×a。9、注意其中最小與最大的兩個數的和是61-49=12。由此再利用2+3+4+5+6+7+8+9+10=54比61小推出，最小，最大兩數只可能是1和11。最后注意1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。剩下的推理由你自己完成。10、此題與第7、8兩題類同，千萬不要直接計算。注意到分子、分母中四個數的共同點，可以設a=9876543210，于是原式變?yōu)?，用分配律把分母的值算出來即可?1、假設約分前分子為a，分母為b，那么由題意得到a+b=108(1)=(2)注意到(2)式就是b+12=2×(a+15)，即有b+12-2a-12=2a+2×15-2a-12，這就是b-2a=18。(3)(1)式表示a與b的和是108，而(3)式表示b比a的2倍還多18，現在求a，b就容易了。12、解法一：先研究3條直徑和1條弦最多可把圓分成幾個區(qū)域，結論是10個，再由數列4，7，10，…的規(guī)律求出問題的答案。解法二：先考慮一百條直徑把圓分成多少個區(qū)域(注意每加一條不同的直徑，劃分的區(qū)域多出2個)，然后再添上一條弦，看它能增加最多多少個區(qū)域。13、注意先研究一個及兩個三角形的情形。方法與上題類似。14、先證明對任何自然數n有(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1，(1)由此推出(n+1)4-n4=4n4+6n2+4n