構造函數(shù)法在高考解導數(shù)和數(shù)列問題

用構造函數(shù)法給出兩個結論的證明．〔1〕構造函數(shù)，那么，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，．所以，即．〔2〕構造函數(shù)，那么．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，即．要證兩邊取對數(shù)，即證事實上：設那么因此得不等式構造函數(shù)下面證明在上恒大于0．∴在上單調(diào)遞增，即∴∴以上兩個重要結論在高考中解答與導數(shù)有關的命題有著廣泛的應用．例如：2009年廣東21，2008年山東理科21，2007年山東理科22．1．【09天津·文】10．設函數(shù)在R上的導函數(shù)為，且，下面的不等式在R上恒成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由，首先令得，排除B，D．令，那么，①當時，有，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，，從而．②當時，有，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，，從而．綜上．應選A．【考點定位】本試題考察了導數(shù)來解決函數(shù)單調(diào)性的運用．通過分析解析式的特點，考查了分析問題和解決問題的能力．2．【09遼寧·理】21．〔本小題總分值12分〕函數(shù)，．〔Ⅰ〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔Ⅱ〕證明：假設，那么對任意，，有．解：〔Ⅰ〕的定義域為．…2分〔i〕假設即，那么，故在單調(diào)增加．〔ii〕假設，而，故，那么當時，；當及時，．故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．〔iii〕假設，即，同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．〔II〕考慮函數(shù)．那么．由于故，即在單調(diào)增加，從而當時有，即，故，當時，有．………………12分3．【09全國Ⅱ·理】22．〔本小題總分值12分〕設函數(shù)有兩個極值點，且．〔I〕求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；〔II〕證明：．【解】〔I〕由題設知，函數(shù)的定義域是且有兩個不同的根，故的判別式，即且…………………①又故．因此的取值范圍是．當變化時，與的變化情況如下表：因此在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)．〔II〕由題設和①知于是．設函數(shù)那么當時，；當時，故在區(qū)間是增函數(shù)．于是，當時，因此．5．2009屆山東省德州市高三第一次練兵〔理數(shù)〕21．〔本小題總分值12分〕函數(shù)在是增函數(shù),在〔0,1〕為減函數(shù)．〔1〕求、的表達式；〔2〕求證：當時,方程有唯一解；〔3〕當時,假設在∈內(nèi)恒成立,求的取值范圍．解：〔1〕依題意,即,．∵上式恒成立,∴① …………1分又,依題意,即,．∵上式恒成立,∴ ② …………2分 由①②得． …………3分 ∴ …………4分〔2〕由〔1〕可知,方程,設,令,并由得解知………5分令由…………6分列表分析：〔0,1〕1〔1,+〕-0+遞減0遞增可知在處有一個最小值0,…………7分當時,＞0,∴在〔0,+〕上只有一個解．即當x＞0時,方程有唯一解． …………8分〔3〕設,…………9分在為減函數(shù)又………11分所以：為所求范圍． …………12分7．山東省濱州市2009年5月高考模擬試題〔理數(shù)〕20．〔此題總分值12〕函數(shù)〔Ⅰ〕求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕當時，設斜率為的直線與函數(shù)相交于兩點，求證：．解：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕當時，以下先證，所以只需證，即設，那么．所以在時，為減函數(shù)，．即．又，∴成立，即．同理可證．∴．9．山東省安丘、五蓮、諸城、蘭山四地2009屆高三5月聯(lián)考22．〔此題總分值14分〕函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，．〔1〕求的取值范圍；〔2〕假設在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；〔3〕設，假設在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．解：〔1〕由題意，在上恒成立，即．故在上恒成立，……………2分只須，即，只有．結合得．…4分〔2〕由〔1〕，得在上為單調(diào)函數(shù)，或者在恒成立．……………．．6分等價于即而．…………………8分等價于即在恒成立，而．綜上，的取值范圍是．………10分〔3〕構造函數(shù)當