2022-2023學(xué)年江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知z為復(fù)數(shù)，￡為z的共軌復(fù)數(shù)，且W=0―l+5i,貝物的虛部是（）

A.5iB.-5iC.5D.-5

2.設(shè)a,b是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則能得出a16的是（）

A.ala,b][B，al/7B.a1a,b1p,cc〃B

C.aua,b10,D.aua,b///?,

3.投擲3枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，觀察正面向上的點(diǎn)數(shù)，則對(duì)于這3個(gè)點(diǎn)數(shù)，下列說(shuō)法正

確的是（）

A.有且只有1個(gè)奇數(shù)的概率為9

B.事件“都是奇數(shù)”和事件“都是偶數(shù)”是對(duì)立事件

C.在已知有奇數(shù)的條件下，至少有2個(gè)奇數(shù)的概率為今

D.事件“至少有1個(gè)是奇數(shù)”和事件“至少有1個(gè)是偶數(shù)”是互斥事件

4.已知平面上的三點(diǎn)4,B,C滿足|4B|=2,|BC|=/攵，向量四與近的夾角為45。，且

（A5C-ZF）1AB，則實(shí)數(shù)4=（）

A.0B.1C.-2D.2

5.一個(gè)不透明的盒子里裝有10個(gè)大小形狀都相同的小球，其中3個(gè)黑色、7個(gè)白色，現(xiàn)在3個(gè)

人依次從中隨機(jī)地各取一個(gè)小球，前一個(gè)人取出一個(gè)小球記錄顏色后放回盒子，后一個(gè)人接

著取球，則這3個(gè)人中恰有一人取到黑球的概率為（）

22

A.9B.C.Cf0x0.7x0.3D.x0.7x0.3

1U410

6.已知圓錐的高為1,體積為兀，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)作圓錐截面的面積最大值為（）

A.V-3B.2C.2V_37rD.3兀

7.對(duì)一個(gè)十位數(shù)1234567890,現(xiàn)將其中3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行調(diào)換，使得這3個(gè)數(shù)字都不在

原來(lái)的數(shù)位上，其他數(shù)位上的數(shù)字不變，則可以得到不同的十位數(shù)（首位不為0）的個(gè)數(shù)為（）

A.120B.232C.240D.360

8.正四棱錐S-4BCD的底面邊長(zhǎng)為/攵，各側(cè)棱長(zhǎng)為2,各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則過(guò)球

心與底面平行的平面截得的臺(tái)體體積是（）

3843

A.亨B16Cr

.81■81

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知復(fù)數(shù)Z「Z2,Z3,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.^1,22,Z3=Z2,Z3,Z1

B.（1）=g（z2^0）

C若Z—Z2I=[Z]+Z2I，貝!Jz「Z2=0

D.若ZI-Z2>Z2?Z3,則㈤>|z3|

10.下列說(shuō)法正確的有（）

A.在△ABC中，BC-Cl<0，則△ABC為銳角三角形

B.已知。為△ABC的內(nèi)心，且4=30。，B=60°,則函+C加+2元=6

C.已知非零向量落3滿足：a-b=a2,4c^2a+b，則嘉的最小值為J

網(wǎng)Id2

D.已知五=（1,2）,3=（1,1），且五與五+23的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（―%—今

殘差，把數(shù)據(jù)（168,89）去掉后，再用剩下的9組數(shù)據(jù)計(jì)算得到線性回歸方程為丫=+厲％'

相關(guān)系數(shù)為萬(wàn).則（）

A.的<a2B.瓦<b2C.*<彩D,瓦>0,b2>0

12.已知在棱長(zhǎng)為4的正方體4BCD中，點(diǎn)。為正方形公當(dāng)6。1的中心，點(diǎn)P在棱

CQ上，下列說(shuō)法正確的有（）

A.BD1PO

B.當(dāng)直線力P與平面BCC/i所成角的正切值為乳寸，PC=3

C.當(dāng)PC=1時(shí)，點(diǎn)G到平面APDi的距離是|

D.當(dāng)PC=2時(shí)，以。為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為，攵兀

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.+2x）1。的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知a(C,0),B(0,l),以4為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB按順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)30。，得到線段2C,則向量荏在向量而上的投影向量的坐標(biāo)是.

15.己知平面四邊形力BCD,^ADC=90°,AB=BC=CD=3,AD=4,則前.前=

16.已知在矩形ABC。中，AB=2,BC=C，P為48的中點(diǎn)，將△力DP沿DP翻折，得到

四棱錐為一BCDP,則二面角4一DC-B的余弦值最小是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)z是虛數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，z,z,｝對(duì)應(yīng)的向量分別為初，OB，OC.

(1)證明：。，B,C三點(diǎn)共線；

(2)若z3=1,求向量瓦？+區(qū)的坐標(biāo).

18.(本小題12.0分)

如圖，在六面體4BCD—4/iGDi中，AAJ/CCr，平面力4的。1菱形4BCD.證明：

(1)B,。四點(diǎn)共面；

(2)BD1DD1.

19.(本小題12.0分)

在平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)4,B,C滿足荏=(1,2)，AC=(-2,3),D,E分別是線段BC,AC上

的點(diǎn)，滿足BD=2CD,CE=2AE,4D與BE的交點(diǎn)為G.

(1)求NBGD的余弦值；

(2)求向量前的坐標(biāo).

20.(本小題12.0分)

某種季節(jié)性疾病可分為輕癥、重癥兩種類型，為了解該疾病癥狀輕重與年齡的關(guān)系，在某地

隨機(jī)抽取了患該疾病的3s位病人進(jìn)行調(diào)查，其中年齡不超過(guò)50歲的患者人數(shù)為s,輕癥占,

O

年齡超過(guò)50歲的患者人數(shù)為2s,輕癥占，

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表.若要有99%以上的把握認(rèn)為“該疾病癥狀輕重”與“年齡”有關(guān),

則抽取的年齡不超過(guò)50歲的患者至少有多少人?

輕癥重癥合計(jì)

不超過(guò)50歲S

超過(guò)50歲2s

合計(jì)3s

2

n(ad—bc')

附：%2(其中ri=a+b+c+d~),P(%2>6.635)=0.01.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(2)某藥品研發(fā)公司安排甲、乙兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)分別研發(fā)預(yù)防此疾病的疫苗，兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各至多安

排2個(gè)周期進(jìn)行疫苗接種試驗(yàn)，每人每次疫苗接種花費(fèi)t(t>0)元.甲團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次疫苗

接種后產(chǎn)生抗體的概率為p(0<p<1),根據(jù)以往試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，甲團(tuán)隊(duì)平均花費(fèi)為-3tp2+6t.乙

團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次疫苗接種后產(chǎn)生抗體的概率為q(0<q<1),每個(gè)周期必須完成3次疫苗

接種，若第一個(gè)周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)疫苗接

種周期.假設(shè)兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)每次疫苗接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨(dú)立.若p<q,從兩個(gè)團(tuán)隊(duì)試

驗(yàn)的平均花費(fèi)考慮，該公司應(yīng)如何選擇團(tuán)隊(duì)進(jìn)行藥品研發(fā)？

21.(本小題12.0分)

n

記左(久)=(久+1)"=aox++—1_an_rx+an,nE.N*.

(1)化簡(jiǎn)：￡之i(i+l)%；

xn71

(2)證明：/n+1(x)+27n+2(久)+…+kfn+k(x)-+-----Fnf2n(.)(.eN*)的展開式中含X項(xiàng)的系

數(shù)為0+1)或Ml.

22.(本小題12.0分)

如圖，在多面體EF-4BCD中，底面2BCD是菱形，且CE1_底面ABCD,AF//CE,AC=CD=

CE=AF1,點(diǎn)M在線段E尸上.

(1)若M為EF的中點(diǎn)，求直線和平面BDE的距離；

(2)試確定M點(diǎn)位置，使二面角D—AM-B的余弦值為-

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：設(shè)2=。+乩，a,b€R,：.z=a-bi,\z\—Va2+b2>

■■■a-bi=Va2+b2-1+5t>

.[a=Va2+b2—1fa=12

"l-b=5'"lb=-5-

故選：D.

設(shè)2=。+兒，a,bER,再寫出3,|z|,由條件式和復(fù)數(shù)相等可得關(guān)于a,b的方程組，求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)的模、共甄復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：4若al。，ala,aC。，b1a,貝Ua〃b,故A錯(cuò)；

2.若a1a,a〃0,則a10,又bl￡,則(1〃6,故8錯(cuò)；

C若bLB,a〃0,則61a,又aua,則a1b,故C正確；

。.若a10,b//p,設(shè)an￡=c,由線面平行的性質(zhì)得，b//c,若a〃c,貝Ua〃b,故。錯(cuò).

故選：C.

可通過(guò)線面垂直的性質(zhì)定理，判斷力；通過(guò)面面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，判斷B；通過(guò)面面

平行的性質(zhì)和線面垂直的定義，即可判斷C；由線面平行的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)，即可判斷。.

本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系：平行和垂直，考查線面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)，熟記這些是迅速解題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：將這三次正面向上的點(diǎn)數(shù)記為數(shù)對(duì)(x,y,z),則樣本空間。共有6x6x6=216個(gè)樣

本點(diǎn).

選項(xiàng)4有且只有一個(gè)奇數(shù)的概率P==|,選項(xiàng)從錯(cuò)誤；

選項(xiàng)8,事件“都是奇數(shù)”的對(duì)立事件是“不都是奇數(shù)”，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,在已知有奇數(shù)的條件下，至少有2個(gè)奇數(shù)的概率P=叁2=。選項(xiàng)C正確；

216-337

選項(xiàng)當(dāng)X,y,Z三個(gè)數(shù)既有奇數(shù)又有偶數(shù)時(shí)，事件“至少有1個(gè)是奇數(shù)”和事件“至少有1個(gè)

是偶數(shù)”同時(shí)發(fā)生，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：C.

由古典概型的概率公式及事件的定義，對(duì)選項(xiàng)中列舉的事件一一判斷即可.

本題考查古典概型的概率公式及事件的定義，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：???|4B|=2,|BC|<AB,BC>=45°，

AB-BC=ZyTZx早=2，

(ABC-AB)1AB-

???(ZBC-AB)-AB=AAB-~BC-/=24—4=0,

???A=2.

故選：D.

根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算求出通?瓦=2，然后根據(jù)(2前-彳的1卷可得出(2砒-南)?

前=0,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出2的值.

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：3個(gè)人中恰有一人取到黑球的概率為程x0.72X0.3.

故選：D.

根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算即可.

本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：當(dāng)截面過(guò)圓錐的軸時(shí)，此時(shí)的截面為以底面直徑為底，母線為腰的等腰三角形，

設(shè)圓錐的底面半徑為r,貝皆兀產(chǎn)義1=兀，解得r=q,圓錐的母線長(zhǎng)為：2,

二底面直徑為2小豆，此時(shí)等腰三角形的頂角大于90。，

當(dāng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)作圓錐截面的面積的最大值為，截面是等腰直角三角形，

二所求最大截面面積為：;x2x2=2.

故選：B.

判斷截面面積的最大值時(shí)的截面的位置，然后求解即可.

本題考查圓錐的軸截面以及圓錐的體積，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：3個(gè)數(shù)字，交換后不在原來(lái)數(shù)位，3個(gè)數(shù)字有2種情況，則此時(shí)有2X汽0=240個(gè)不

同的數(shù)字，

其中當(dāng)數(shù)字出現(xiàn)1,0時(shí)，不滿足條件.

若數(shù)字中含有1,0,比如1,2,0,三個(gè)數(shù)字，則交換之后不在原來(lái)數(shù)位上，不滿足的只有0,1,

2一種情況，此時(shí)有盤=8個(gè)數(shù)字，

則滿足條件的數(shù)字個(gè)數(shù)為240-8=232個(gè).

故選：B.

交換后不在原來(lái)數(shù)位上3個(gè)數(shù)字，只有2種情況，先進(jìn)行求解，然后去掉0和1進(jìn)行交換不成立的情

況即可.

本題主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，利用排除法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：如圖,

正四棱錐S-ABCD的底面正方形的邊長(zhǎng)為/攵，貝UC=2,

設(shè)底面正方形的中心為G,貝！|4G=1,

???SA=2,.?.正四棱錐的高SG=/I.

正四棱錐的外接球的半徑即為正三角形S4C的外接圓的半徑，設(shè)為R,

則篇=28可得R=^

設(shè)過(guò)球心與底面平行的平面截棱錐所得截面面積為S,

2AT3O

則卜（古T用得S'

???過(guò)球心與底面平行的平面截得的臺(tái)體體積是U=1?哈+2+J|x2)=嚕1

故選：C.

由題意畫出圖形，求出棱錐的高與棱錐外接球的半徑，再由相似多邊形面積比等于相似比的平方

求出截面多邊形的面積，代入棱臺(tái)體積公式求解.

本題考查多面體的外接球，考查棱臺(tái)體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：設(shè)Zi=a+bi,z2=c+di,z3=e+/i,a,b,c,d,e,fER,

對(duì)于4-z2-z3=(a+bi)(c+di)(e+ft)=(ace—bde—adf—bcf)—(acf-bdf+ade+

bce}i9

z2-z3-=(c—di)(e—/i)(a—bi)=(ace—bde—adf—bcf)—{acf—bdf+ade+bce)i,正

確；

Zac+bd+(ad—bc)i

vu-zpp,zi、za+bLrac+bd+(bc-ad)i-.ac+bd-\-(ad-bc)i1_a—bi

對(duì)于小蟆=w=一]=一,mE28正確;

C2+d

對(duì)于C,[Z]—z?|=|a—c+(b—d)i|,|z[+z2|—|a+c+(b+d)i|，令(a-c)^+(b—d)?=(a+

c)2+(b+d)2,

得，ac+bd=0,z1-z2-ac—bd+(ad+bc)i,不一定為0,C錯(cuò)誤;

22222222

對(duì)于。，Z?Z2/=(ac—bd)+(ad+be)—(a+fa)(c+d~)=\zr\■|z2|,若區(qū)?z2|>瓦?

z3I>則

222222

|zt-z2|>|z2-z3|,BPlzJ-|z2|>\z2\■\z3\,即㈤>㈤,。正確.

故選：ABD.

設(shè)Z]=a+6i,z2=c+di,Z3=e+fi代入各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)相關(guān)性質(zhì)，屬中檔題.

10.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于4JC-CA=\BC\\CA|COS(TT-C)=-\BC\\CA\cosC<0,

則cosC>0,即C為銳角，

但4B的角度未知，故不能判斷△ABC為銳角三角形，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,依題意，C=90°,設(shè)|BC|=1,則|4C|=43，MB|=2，

點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)圓。的半徑為r,貝礙xlxq=g（l+C+2）r,

解得r=烏1,

所以。（話匚，要

），

則引=（手，空），話=（寧，寧），而=（寧，寧），

所以應(yīng)+yTlOB+20C=+（1-C,1-C）=（0,0），

則選項(xiàng)2正確；

對(duì)于C,設(shè)。=＜口3＞，由于1-1=片，

則cos。=畀

設(shè)瓦？=優(yōu)話=3，則△CMB為以。B為斜邊的直角三角形,

不妨設(shè)|市|=1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則瓦？=8=(1,0),OB=K=(l,b)(b*0).

所以4m=2(l,0)+(l,b)=(3,b),則左=《,6,

設(shè)3+。2=t>3,

b-c_t_t_1

則麗=EE=JA4I2=1FJ

=，i-q

JT2住幸度7^2，

當(dāng)且僅當(dāng)J=：，即t=3+/=6,即62=3時(shí)等號(hào)成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

tO

對(duì)于D，a+Ab=(1,2)+2(1,1)=(1+尢2+4)，

由于反與方+的夾角為鈍角，

則cos<a,a+Ab><0且<a,a+Ab>Kn>

所以需嚕<°,且鬻嚕片「I,

|可|a+勸||可|a+勸|

1+4+4+24n1+4+4+24q

即------12<0且------1------7KT,

7T+4J(l+A)z+(2+A)z7T+4J(l+A)z+(2+A)z

解得；1<-暫，選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

對(duì)于4根據(jù)題意可得C為銳角，但4B中的其中一個(gè)角度可能為鈍角，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)

18cl=1,建立平面直角坐標(biāo)系，求得內(nèi)心。的坐標(biāo)，再判斷即可；對(duì)于C,設(shè)瓦？=優(yōu)證=另，

分析可知404B為以。B為斜邊的直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)加=在南=b，\~0A\=1，

再化簡(jiǎn)盥，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到最小值；對(duì)于0，只需cos(優(yōu)五+43><0且〈乙方+

網(wǎng)|c|

>片兀，由此可得求得實(shí)數(shù)2的取值范圍.

本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

H.【答案】BCD

【解析】解：由表格中數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖如圖:

-1

身高的平均數(shù)為自(165+168+170+172+173+174+175+177+179+182)=173.5,

???離群點(diǎn)(168,89)的橫坐標(biāo)168小于平均值173.5,縱坐標(biāo)89相對(duì)過(guò)大,

???去掉離群點(diǎn)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，

a1>a2,b1<b2,且加>0，b2>0,故A錯(cuò)誤，8正確，￡）正確;

去掉離群點(diǎn)后成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，擬合效果會(huì)更好，

<r2,或<”,故C正確.

故選：BCD.

求出身高的平均數(shù)，再根據(jù)J展，產(chǎn)的意義逐一判斷即可得答案.

本題主要考查了經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ABD

【解析】解：由題意可得CG1平面ABC。，BDu平面4BCD,

CC]1BD,又AC1BD,ACClCQ=C,

B。_L平面4CC14,???OPu平面4CC14，BD1OP,故A正確;

■-AB_L平面BCG2,.?.乙4P8為直線4P與平面BCG%所成的角,

???tanNAPB=需=焉=，；.BP=5,又BC=4,.-.CP=V52-42=3,故B正確;

22

當(dāng)PC=1時(shí)，ADr=%P=5,AP=(4<1)+l=

32+25-33_24_3V-2.Ar\nV82

cosZ-AD^=sin乙

2x477x5—40。―10

???SAmp=2X4<7x5X票=2E，

設(shè)點(diǎn)Q到平面AP%的距離為d,

L-/。針=匕-GAP，???yS—Oipd=QSAJDIP'

???Ix2<4l-d=|xix4x3x4,解得d=具=

33241

???點(diǎn)Cl到平面4PD1的距離是二子，故c錯(cuò)誤；

當(dāng)PC=2時(shí)，可得P。=V8+4=243,

取a/i的中點(diǎn)o',

球心。平面4BB141的距離為。O'=2,

??.OP為半徑的球面與側(cè)面2BB1&的交線是以。'為圓心，2/至為半徑的圓與側(cè)面4BB1A的交線,

易得交線長(zhǎng)為「兀，故。正確.

故選：ABD.

利用空間幾何體的性質(zhì)，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的條件證明或計(jì)算可得結(jié)論.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

13.【答案】252

【解析】解：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，?+2x）1。的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，

此時(shí)，r=5,

該項(xiàng)的系數(shù)為Cfo?25-（|）5=252.

故答案為：252.

由題意，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】（—芋,|）

【解析】解：如圖，由a（V3,o）,B（0,1）,根據(jù)條件，可得c（C—

：.AB=(-0,1),XC=(—1,C),

南在》上的投影向量坐標(biāo)為券并?盍^=(-1,1^)=(-?,|).

故答案為：(一號(hào),|).

根據(jù)條件可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后即可得出向量荏，前的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可

得出向量存在向量而上的投影向量的坐標(biāo).

本題考查了投影向量的計(jì)算公式，向量坐標(biāo)的數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

15.【答案】|

【解析】解：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC,所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)B(x,y),

則由題意知。(0,0),4(0,4),C(3,0).

則前=(3,—4)，~BD=(-%,-y)，

所以冠?前=4y-3x,

因?yàn)?B=CB,AB=(x,y-4)CB=(x-3,y)，

所以久2+(y—4)2=(%—3)2+y2,整理化簡(jiǎn)得8y—6x=7.

故4y—3久=(,所以前.麗=g.

故答案為：

建立平面直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)B的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積，然后依據(jù)已知條件列出關(guān)系式，運(yùn)

用整體思想，將結(jié)果算出.

本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，屬中檔題.

16.【答案】號(hào)

【解析】解：如圖，過(guò)4作4H1FC,垂足為H,過(guò)H作HG1DC,垂足為G,連接4G,

因?yàn)镈E1平面&FC,AHu平面4FC,所以人”1DE,

又因?yàn)锳iHlFC,FCr\DE=F,DE,FCu平面BCDE,所以1平面BCDE.

因?yàn)镃Du平面BCDE,所以4"1CD.又因?yàn)镠G1CD,A±HCtHG=H,

A±H,HGu平面A/G,所以CD1平面&HG,

因?yàn)锳Gu平面為"G,所以CD1&G,所以NAiGH是二面角4-CD-B的平面角.

在翻折過(guò)程中，設(shè)N4FC=0,9E（0,兀）,在矩形4BCD中，由力B=2,BC=C，

E為力B的中點(diǎn)，得4尸=?,FC=亨，

在直角三角形&FH中，=譏。，F(xiàn)H==cos。，

所以HC=FC-FH=?（2-cos。），

因?yàn)镠G1DC,所以“G〃/1D,所以祭=號(hào)，

所以HG=￥（2-COS0），在直角三角形中，tan/A4GH=誓=普空，

3HGL-cost）

設(shè)了=。C（0,兀），所以y/~Wsin。+ycos9=2y,所以J3+y2cm（6+g）=2y,

2y

即sin（e+0）=-^=<1.解得0<yw1,則0<tanNAiG"<1,

因?yàn)?<gGH<J,所以0<乙41GH<7,

Z4

所以二面角為一DC-B的余弦值最小是殍.

故答案為：￡?.

過(guò)久作2H1FC,垂足為H,過(guò)H作HG1DC,垂足為G,連接4G,可得乙41GH是二面角4一CD-B

的平面角.設(shè)乙4尸。=氏可得tan〃4G"=誓=票嗎，可得0<N&G"W也從而可求二面

1HG2,—cosu-

角為-DC-B的余弦值最小值.

本題考查求二面角的余弦值的最小值，考查轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題.

a—bi_ab

17.【答案】證明：(1)設(shè)z=a+bi,a,bER,z=a—bi^=2222

(a+bi)(a—bi)—a+ba+b,

;麗=(a，-b)，1=(帚，9)，

a

…(一品)…)*=0,

a2+b2

^~OB//OC^

.??。，B,C三點(diǎn)共線;

解：(2)vz3=(a+bi)3=(a3—3afo2)+(3a2b—b3)i=1,

.(a3—3ab2=1

13a2b—/=0，

z是虛數(shù)，??.bH0,

??.OA=(a,b),OC=(a,—b)，

/.01+OC=(a,b)+(a,-b)=(2a,0)=(-1,0).

【解析】(1)設(shè)出復(fù)數(shù)Z,求出再將點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線問題即可;

(2)由條件式求出z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化，求向量和即可.

本題考查復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，復(fù)數(shù)的運(yùn)算等，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】證明：(1)根據(jù)題意，在六面體2BCD—4/iGDi中,

由于4仆〃"i，而CGu平面BBigC,441C平面BBiQC,

則44，/平面BBiGC,

又由u平面A41B1B,平面力41當(dāng)8Cl平面BBiQC=BB「

則有44〃BBi，

同理：AA1//DD1,

「

則有A4//DD1，故B,BDr,。四點(diǎn)共面；

(2)根據(jù)題意，連接BD,

底面力BCD為菱形，則BD14C,

而平面A41C1C1平面4BCD,平面4ale1CC平面4BCD=4C,BDu平面力BCD,

故BDL平面A41GC,

則有BD144i，

又由44//BB1，

故BD1DD1.

【解析】(1)根據(jù)題意，由直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)可得2&〃BE1和4&〃。劣，則有

AA1//DD1,即可得8,B「D「。四點(diǎn)共面；

(2)根據(jù)題意，連接BD,易得BD1AC,由平面與平面垂直的性質(zhì)可得BD1平面2&GC,進(jìn)而可

得BD1A&,又由4仆〃BB「可得證明.

本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，涉及直平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

XEB=EA+AB=-^AC+AB

=一家1-2,3)+(1,2)=亭51),

??AD-EB-0+□9AA^482

所以COSMGO=

(2)由題設(shè)及(1)得，在平面直角坐標(biāo)系中，A,G,。三點(diǎn)共線,

所以而=4同=g/l四+1/1萬(wàn)(2eR),

又濟(jì)=iiAB+(1-/z)AE=//AB+1(1-/z)XC(/zGR),

fl1

所以由平面向量基本定理，得舊1，解得：

p=|(l-2)7

故於=(1,2)+5(—2,3)=(-5,3).

【解析】⑴計(jì)算出而與赤，即可求出NBGD的余弦值；

(2)利用三點(diǎn)共線，由平面向量基本定理即可求出而的坐標(biāo).

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)2x2列聯(lián)表如下:

輕癥重癥合計(jì)

5s

不超過(guò)50歲s

6s6

2s4s

超過(guò)50歲2s

TT

33s

合計(jì)3s

2ST

要有99%以上的把握認(rèn)為“該疾病癥狀輕重”與“年齡”有關(guān),

則，2=零空宣邕4>6.635,

工X/X2sxs

解得s>9.9525,

由題意知s是6的倍數(shù)，所以s的最小整數(shù)值為12.

所以抽取的年齡不超過(guò)50歲的患者至少有12人.

(2)甲研發(fā)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)總花費(fèi)為X元，根據(jù)以往試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得E(X)=-3tp2+6t,

設(shè)乙研發(fā)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)總花費(fèi)為丫元，貝/的可能取值為336t,

32

所以P(Y=3t)=窗q2(i-q)+q3=_2Q3+3q2,p(y=6t)=1+2q-3q,

所以E。)=3t(—2q3+3q2)+6tq+2q3-3q2)=6tq3—9tq2+6t,

因?yàn)椤?lt;p<q<1,

所以E(y)—E(X)—6tq3—9tq2+6t—(—3tp2+6t)=6tq3—9tq2+3tp2<6tq2(q—1)<0,

所以乙團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)的平均花費(fèi)較少，

所以該公司應(yīng)選擇乙團(tuán)隊(duì)進(jìn)行研發(fā).

【解析】(1)完善列聯(lián)表，計(jì)算卡方，根據(jù)卡方和臨界值的關(guān)系可得答案;

(2)先求出乙的期望，作差比較大小可得答案.

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)以及離散型隨機(jī)變量的期望的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】(1)解:i+=Sili(i+1)CA=2C^+3C^+-+ntr1+(n+1)C?,

1++1)僚=C°+23+3鬣+???+nC丁i+(n+1)印,右側(cè)倒序相加得，

2(1+2X1(i+1)或)=5+2)(C°+礙+鬣+-+C尸+翁)=(n+2)2%

所以Eki(i+1)%=(幾+2)2n-1—1；

(2)證明：/n+i(x)+2^+2(%)+…+fc/n+k(x)+…+0n(%)(九GN*),

其展開式中含針項(xiàng)的系數(shù)為圖+1+2印+2+3印+3+…+九％,

因?yàn)閊=(n+1)，=(n+1