自動控制原理-第五章-頻率特性法

第5章頻率特性法自動控制原理2024年5月21日5.1頻率特性的基本概念5.2幅相頻率特性及其繪制5.3對數(shù)頻率特性及其繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.7閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性2024年5月21日

控制系統(tǒng)的時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時域指標(biāo)直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點。然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達(dá)式是相當(dāng)困難的，需要大量計算，只有在計算機(jī)的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。2024年5月21日在工程實踐中,往往并不需要準(zhǔn)確地計算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而是希望避開繁復(fù)的計算，簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細(xì)介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性等，是工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。2024年5月21日

頻率特性分析法

，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達(dá)式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如：①根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結(jié)論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。②時域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗公式，簡化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計。

頻率特性分析法的特點2024年5月21日③具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。2024年5月21日5.1頻率特性的基本概念2024年5月21日5.1.1頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)是時間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數(shù)。下面用用一個簡單的實例來說明頻率響應(yīng)的概念：2024年5月21日示例：如圖所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與uo(t)分別為輸入與輸出信號，其傳遞函數(shù)為

RC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

其中T=RC，為電路的時間常數(shù)，單位為s。

2024年5月21日

在零初始條件下，當(dāng)輸入信號為一正弦信號，即

ui(t)=Uisin

tUi與

分別為輸入信號的振幅與角頻率，可以運用時域法求電路的輸出。輸出的拉氏變換為：

Uo(s)=對上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時域表達(dá)式：2024年5月21日輸出與輸入相位差為：

=-arctanTω輸入信號為ui(t)=Uisin

t

二者均僅與輸入頻率

，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為：2024年5月21日

實際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號為正弦信號r（t）=sin

t

時，過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為

Css（t）=Asin（ωt+

），如圖所示。線性定常系統(tǒng)sin

tAsin（ωt+

）tr（t）Css（t）

線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖2024年5月21日5.1.2頻率特性1、基本概念

對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進(jìn)一步的分析，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比A與相位差

只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號的頻率ω有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，幅值比A與相位差

僅是ω的函數(shù)，可以分別表示為A（ω）與

（ω）。因此，頻率特性可定義為：

線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。

頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。2024年5月21日A（ω）反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大（A＞1）還是衰減（A＜1）。而

（ω）反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前（

＞0o）還是滯后（

＜0o）。

系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強(qiáng)調(diào)頻率ω是一個變量。2024年5月21日對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為：A（ω）=

（ω）=-arctanTωRC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

2024年5月21日2、頻率特性的復(fù)數(shù)表示方法

對于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個正弦信號

r（t）=Rsinωt時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為Css（t）=A(ω)Rsin（ωt+

（ω））由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其表示為復(fù)數(shù)形式，則輸入輸出之比為

可見，輸出輸入的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達(dá)式。2024年5月21日

若用一個復(fù)數(shù)G（jω）來表示，則有

G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej

指數(shù)表示法

G（jω）=A(ω)∠

(ω)幅角表示法

G（jω）就是頻率特性通用的表示形式，是ω的函數(shù)。

當(dāng)ω是一個特定的值時，可以在復(fù)平面上用一個向量去表示G（jω）。向量的長度為A(ω)，向量與正實軸之間的夾角為

(ω)，并規(guī)定逆時針方向為正，即相角超前；規(guī)定順時針方向為負(fù)，即相角滯后。2024年5月21日

另外還可以將向量分解為實數(shù)部分和虛數(shù)部分，即

G（jω）=R（ω）+jI（ω）

R（ω）稱為實頻特性，I（ω）稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：2024年5月21日

以上函數(shù)都是ω的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律，使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡便的優(yōu)點，應(yīng)用廣泛。

并且A(ω)與R（ω）為ω的偶函數(shù)，

(ω)與I（ω）是ω的奇函數(shù)。2024年5月21日三、頻率特性的實驗求取方法

向待求元件或系統(tǒng)輸入一個頻率可變的正弦信號

r（t）=Rsinωt

在0→∞的范圍內(nèi)不斷改變ω的取值，并測量與每一個ω值對應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出

Css（t）=A(ω)Rsin（ωt+

（ω））測量并記錄相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出輸入幅值比與相角差。根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制出幅值比與相角差隨ω的變化曲線，并據(jù)此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性A(ω)與相頻特性

（ω）的表達(dá)式，便可求出完整的頻率特性表達(dá)式。2024年5月21日5.1.3由傳遞函數(shù)求取頻率特性（重要）

實際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性為描述系統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，都是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通過簡單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。

系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為瞬態(tài)分量，對應(yīng)特征根；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號的形式。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實部均為負(fù)，瞬態(tài)分量必將隨時間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號的穩(wěn)態(tài)分量必為同頻率的正弦信號。

2024年5月21日輸出信號的拉氏變換為：對輸出求拉氏反變換可得為簡化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負(fù)實根。輸入信號為r(t)=Rsinωt設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2024年5月21日css(t)=Kce-jωt+K-cejωt

系數(shù)Kc和K-c由留數(shù)定理確定，可以求出css(t)=A(ω)·R·sin[ωt+

(ω)]

A(ω)=|G（s）|s=jω

=|G（jω）|

(ω)=∠G（jω）

輸入信號為r(t)=Rsinωt

A(ω)是系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達(dá)式。

(ω)是系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。系統(tǒng)的頻率特性為

G（jω）=G（s）|s=jω=A(ω)·ej

重要2024年5月21日線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s）G（jω）=

G（s）|s=jω=A(ω)·ej

RsinωtA(ω)·R·sin[ωt+

(ω)]A(ω)是幅頻特性，

是相頻特性

可推得一個十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）將jω代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s=σ+jω。當(dāng)σ=0時，s=jω。所以G（jω）就是σ=0時的G（s）。即當(dāng)傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用jω代替時，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。

因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，可以避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。2024年5月21日對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為：A（ω）=

（ω）=-arctanTωRC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

2024年5月21日頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。2024年5月21日頻率特性的數(shù)學(xué)意義

頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學(xué)模型,與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換。

以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)系統(tǒng)的運動本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)模型。

微分方程（以t為變量）

傳遞函數(shù)（以s為變量）

頻率特性（以ω為變量）

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系2024年5月21日5.1.4常用頻率特性曲線

頻率特性是穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的幅值比和相位差隨頻率變化的規(guī)律。在實際應(yīng)用中，為直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況，是將幅頻特性與相頻特性在相應(yīng)的坐標(biāo)系中繪成曲線，并從這些曲線的某些特點來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和其它品質(zhì)以便對系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合。系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的頻率響應(yīng)曲線的表示方法很多,其本質(zhì)都是一樣的,只是表示的形式不同而已。頻率特性曲線通常采用以下三種表示形式：2024年5月21日1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），圖形常用名為奈奎斯特圖或奈氏圖，坐標(biāo)系為極坐標(biāo)。奈氏圖反映A(ω)與

(ω)隨ω變化的規(guī)律。2.對數(shù)頻率特性曲線，包括：對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。圖形常用名為對數(shù)坐標(biāo)圖或波德圖，坐標(biāo)系為半對數(shù)坐標(biāo)。波德圖反映L(ω)=20lgA(ω)與

(ω)隨lgω變化的規(guī)律。3.對數(shù)幅相頻率特性曲線，圖形常用名尼柯爾斯圖或?qū)?shù)幅相圖，坐標(biāo)系為對數(shù)幅相坐標(biāo)。尼柯爾斯圖反映L(ω)=20lgA(ω)隨

(ω)的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。2024年5月21日5.2幅相頻率特性及其繪制

2024年5月21日5.2.1幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念

繪制奈氏圖的坐標(biāo)系是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的重合。取極點為直角坐標(biāo)的原點,極坐標(biāo)軸為直角坐標(biāo)的實軸。由于系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式為

G（jω）=A（ω）·ej

對于某一特定頻率ωi下的G（jωi）總可以用復(fù)平面上的一個向量與之對應(yīng)，該向量的長度為A（ωi），與正實軸的夾角為

（ωi）。2024年5月21日

由于A(

)和

(

)是頻率的函數(shù)，當(dāng)ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，向量的幅值與相角均隨之連續(xù)變化，不同ω下的向量的端點在復(fù)平面上掃過的軌跡即為該系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖所示。G(j

2)Re

(

1)

(

2)A(

1)A(

2)G(j

1)

極坐標(biāo)圖的表示方法

Im

在繪制奈氏圖時，常把ω作為參變量，標(biāo)在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。2024年5月21日

前面已經(jīng)指出，系統(tǒng)的幅頻特性與實頻特性是ω的偶函數(shù)，而相頻特性與虛頻特性是ω的奇函數(shù)，即G（jω）與G（-jω）互為共軛。因此，假定ω可為負(fù)數(shù)，當(dāng)ω在-∞→0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，相應(yīng)的奈氏圖曲線G（jω）必然與G（-jω）對稱于實軸。ω取負(fù)數(shù)雖然沒有實際的物理意義，但是具有鮮明的數(shù)學(xué)意義，主要用于控制系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判別中。2024年5月21日

當(dāng)系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)已知時，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性，再求出系統(tǒng)幅頻特性、相頻特性或者實頻特性、虛頻特性的表達(dá)式，再逐點計算描出奈氏曲線。具體步驟如下：1.用jω代替s，求出頻率特性G（jω）2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性

（ω）的表達(dá)式，也可求出實頻特性與虛頻特性，幫助判斷G（jω）所在的象限。3.在0→∞的范圍內(nèi)選取不同的ω，根據(jù)A(ω)與

（ω）表達(dá)式計算出對應(yīng)值，在坐標(biāo)圖上描出對應(yīng)的向量G（jω），將所有G（jω）的端點連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。也可以用實驗的方法求取。2024年5月21日5.2.2典型環(huán)節(jié)的奈氏圖

1、比例環(huán)節(jié)用j

替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達(dá)式為

G(j)=KImRe0K

→0

→

比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性傳遞函數(shù)為：G(s)=K幅頻特性A(ω)=

|K|=K相頻特性

（ω）=0o2024年5月21日

比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率

無關(guān)。所以當(dāng)

由0變到,G(j)始終為實軸上一點，說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；

(

)=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2024年5月21日2、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性為A(

)=|1/

|=1/

，與角頻率ω成反比相頻特性為

(

)=-90o

→0

→

0Re

積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性Im2024年5月21日

積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示，在0＜

＜

的范圍內(nèi),幅頻特性與負(fù)虛軸重合。積分環(huán)節(jié)的奈氏圖表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。2024年5月21日3、微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=s頻率特性為

G(j

)=j

故幅頻特性為:A(

)=|

|=

，與

成正比。相頻特性為：

(

)=90o。2024年5月21日

理想微分環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖所示，在0＜

＜

的范圍內(nèi),其奈氏圖與正虛軸重合?？梢姡硐胛⒎汁h(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。2024年5月21日4、慣性環(huán)節(jié)

根據(jù)實頻特性與虛頻特性表達(dá)式，可以判斷出實頻特性恒≥0，而虛頻特性恒≤0，由此可見慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標(biāo)系的第四象限。2024年5月21日

當(dāng)

從0變到

時,可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達(dá)式描點繪制奈氏圖，例如可以繪出三個點，

是一個位于第四象限的半圓，圓心為(1/2,0),直徑為1。若慣性環(huán)節(jié)的比例系數(shù)變?yōu)镵，則幅頻特性成比例擴(kuò)大K倍，而相頻特性保持不變，即奈氏圖仍為一個半圓，但圓心為(K/2,0),直徑為K。由慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→-90o。2024年5月21日5、一階微分環(huán)節(jié)

可見一階微分環(huán)節(jié)的實頻特性恒為1，而虛頻特性與輸入頻率

成正比。當(dāng)

從0變到

時,可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達(dá)式描點繪制奈氏圖，可以繪出三個點，見表G(s)=(

s+1)

(

)=arctan(

)2024年5月21日

由一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率

越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。

一階微分環(huán)節(jié)的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪出幅相頻率特性，是平行于正虛軸向上無窮延伸的直線。2024年5月21日6、二階振蕩環(huán)節(jié)

以

為參變量,計算不同頻率

時的幅值和相角,其中幾個重要的特征點見表。可以判斷出虛頻特性恒≤0，故曲線必位于第三與第四象限。2024年5月21日

在極坐標(biāo)上畫出

由0變到

時的矢量端點的軌跡,便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性,如圖所示，且

1＞

2。且振蕩環(huán)節(jié)與負(fù)虛軸的交點頻率為

=1/T，幅值為1/(2

)。

由奈氏圖可知，振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時

的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況

2024年5月21日1.

＞0.707

幅頻特性A(

)隨

的增大而單調(diào)減小，如圖5-12中

1所對應(yīng)曲線，此刻環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當(dāng)

＞1時，振蕩環(huán)節(jié)有兩個相異負(fù)實數(shù)極點，若

足夠大，一個極點靠近原點，另一個極點遠(yuǎn)離虛軸（對瞬態(tài)響應(yīng)影響很?。问锨€與負(fù)虛軸的交點的虛部為1/(2

)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)，如圖所示。

2024年5月21日2.0≤

≤0.707當(dāng)

增大時，幅頻特性A(

)并不是單調(diào)減小，而是先增大，達(dá)到一個最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點最遠(yuǎn)處所對應(yīng)的頻率為諧振頻率

r，所對應(yīng)的向量長度為諧振峰值Mr=A(

r)=A(

r)/A(0)

。諧振表明系統(tǒng)對頻率

r下的正弦信號的放大作用最強(qiáng)。2024年5月21日可得振蕩環(huán)節(jié)的諧振角頻率諧振峰值為

可見隨

的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率

r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率

n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比

越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。當(dāng)

=0時，

r≈

n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

由幅頻特性A(

)對頻率

求導(dǎo)數(shù),并令其等于零,可求得諧振角頻率

r和諧振峰值Mr，2024年5月21日7、延遲環(huán)節(jié)幅頻特性為：A(

)=1相頻特性為：

(

)=-

單位為弧度（rad）。或者

(

)=G(s)=e-

sG(j

)=e-j

2024年5月21日

=

時，

(

)=-

，即輸出相位滯后輸入為無窮大。當(dāng)

從0連續(xù)變化至

時，奈氏曲線沿原點作半徑為1的無窮次旋轉(zhuǎn)，τ越大，轉(zhuǎn)動速度越大。故延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個以原點為圓心,半徑為1的圓。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。2024年5月21日在低頻區(qū)，頻率特性表達(dá)式根據(jù)泰勒公式展開為當(dāng)

很小時，有

即在低頻區(qū)，延遲環(huán)節(jié)的頻率特性近似于慣性環(huán)節(jié)。從奈氏圖也可見，二者的曲線在低頻區(qū)基本重合。2024年5月21日

延遲環(huán)節(jié)與其他典型環(huán)節(jié)相結(jié)合不影響幅頻特性，但會使相頻特性的最大滯后為無窮大。如某系統(tǒng)傳遞函數(shù)是慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)相結(jié)合，傳遞函數(shù)為單位為度（°）2024年5月21日

可見隨

的增大，幅頻特性A()單調(diào)減小，而相位滯后單調(diào)增加，相頻特性

(

)從0°一直變化到負(fù)無窮大。故該系統(tǒng)的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)

次，最后終止于原點，與實軸、虛軸分別有無數(shù)個交點。2024年5月21日5.2.3開環(huán)奈氏圖的繪制1.定義：系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф（jω）與開環(huán)頻率特性Gk（jω），分別對應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Ф（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk（s）。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。2024年5月21日

對于由多個典型環(huán)節(jié)組合而成的系統(tǒng)（延遲環(huán)節(jié)除外），其頻率特性應(yīng)該滿足下面的規(guī)律（重要）

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為2024年5月21日

控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，則系統(tǒng)頻率特性的繪制與典型環(huán)節(jié)的頻率特性的繪制方法是基本相同的。可根據(jù)復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)求出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅頻特性A(

)與相頻特性

(

)的表達(dá)式，或由分母有理化求出實頻特性與虛頻特性，再由奈氏圖的基本繪制方法求出系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。

2024年5月21日2.開環(huán)奈氏圖基本繪制規(guī)律當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為多個典型環(huán)節(jié)組合時，其開環(huán)奈氏圖的繪制與根軌跡的繪制類似，具有一定的規(guī)律?？梢韵雀鶕?jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些特征繪制出近似曲線，再利用A(

)與

(

)等的表達(dá)式描點，在曲線的重要部分修正。2024年5月21日(1)低頻段的確定（

→0）

Gk（jω）的低頻段表達(dá)式為

(

)=-v90°

根據(jù)向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達(dá)式分別為2024年5月21日可見低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開環(huán)傳遞系數(shù)K有關(guān)。1.0型系統(tǒng)，v=0：A(0)

=K，

(0)=0o低頻特性為實軸上的一點(K,0)。2.Ⅰ型系統(tǒng)，v=1：A(0)=∞，

(0)=-90o3.Ⅱ型系統(tǒng)，v=2：A(0)=∞，(0)=-180o2024年5月21日(2)高頻段（

→∞）不失一般性，假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負(fù)實數(shù)極點與零點。m為分子多項式的階數(shù)，

n為分母多項式的階數(shù)，且一般m＜n

2024年5月21日

故A(

)=0,高頻段終止于坐標(biāo)原點；而最終相位為

(

)=-(n-m)90

，

由n-m確定特性以什么角度進(jìn)入坐標(biāo)原點。2024年5月21日

①(n-m)=1,則

(

)=-90

,即幅相特性沿負(fù)虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點。②(n-m)=2,則

(

)=-180

,即幅相特性沿負(fù)實軸進(jìn)入坐標(biāo)原點。③(n-m)=3,則

(

)=-270

,即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點。2024年5月21日(3)奈氏圖與實軸、虛軸的交點將頻率特性表達(dá)式按照分母有理化的方法分解為實部與虛部。1）曲線與實軸的交點處的頻率由虛部為0求出

Im[G(j

)]=I(

)=0求出交點處的

，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點的坐標(biāo)。2）曲線與虛軸的交點處的頻率由實部為0求出

Re[G(j

)]=R(

)=0求出交點處的

，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點的坐標(biāo)。2024年5月21日(4)開環(huán)零點對曲線的影響1）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒有開環(huán)零點，則在

由0增大到

過程中,特性的相位單調(diào)連續(xù)減小（滯后連續(xù)增加）,特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應(yīng)該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。2）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有開環(huán)零點，則在

由0增大到

過程中,特性的相位不再是連續(xù)減小。視開環(huán)零點的時間常數(shù)的數(shù)值大小不同,特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內(nèi)呈增加趨勢，此時,特性曲線出現(xiàn)凹部。

2024年5月21日

根據(jù)以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略奈氏圖。

在０＜

＜

的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數(shù)有關(guān)，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。2024年5月21日若該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點，開環(huán)頻率特性表達(dá)式為此系統(tǒng)仍為Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)

→0時，幅值趨于無窮大,而相角位移為-180，即奈氏圖的起點基本未變。在

→

時，A()=0，

(

)=-(n-m)90

=-2

90

=-180

，奈氏圖沿負(fù)實軸終止于原點。

由于增加了開環(huán)零點，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時，相位先滯后增加，達(dá)到一個滯后最大值后，相位滯后又開始減?。聪辔辉黾樱麠l曲線出現(xiàn)了凹凸。2024年5月21日下圖列出了常見系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)概略奈氏圖。

2024年5月21日2024年5月21日5.3對數(shù)頻率特性及其繪制2024年5月21日5.3.1對數(shù)頻率特性曲線基本概念（重點）

對數(shù)頻率特性圖（Bode圖）將幅頻和相頻特性分別畫出，并按對數(shù)分度運算，使系統(tǒng)的分析和設(shè)計變得十分簡便。

1.伯德（Bode）圖的構(gòu)成

對數(shù)幅頻特性圖的橫坐標(biāo)是對

取以10為底的對數(shù)進(jìn)行分度的。2024年5月21日

標(biāo)注角頻率的真值,以方便讀數(shù)。

每變化十倍,橫坐標(biāo)1gω就增加一個單位長度，記為decade或簡寫dec,稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。橫坐標(biāo)對于ω是不均勻的，但對1gω卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標(biāo)的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。

若橫軸上有兩點ω1與ω2，則該兩點的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1，如2與20、10與100之間的距離均為一個單位長度，即一個十倍頻程。2024年5月21日0.1110100

/(rad·s-1)確定Bode圖坐標(biāo)系232024年5月21日對數(shù)頻率特性曲線坐標(biāo)系如圖所示，在繪制函數(shù)關(guān)系時，相當(dāng)于lgω為自變量。

縱坐標(biāo)是對幅值分貝(dB)數(shù)進(jìn)行分度，用L(

)=20lgA(ω)表示。對數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)分度方法同對數(shù)幅頻特性，而縱坐標(biāo)則對相角進(jìn)行線性分度，單位為度（o）

,仍用

(

)表示。2024年5月21日G(j

)=G1(j

)G2(j

)…Gn(j

)=

A(

)ej

(

)

式中A(

)=A1(

)A2(

)…An(

)；

(

)=

1(

)+

2(

)+…+

n(

)

在極坐標(biāo)中繪制幅相頻率特性,要花較多時間，而在繪制對數(shù)幅頻特性時,有

L(

)=20lgA(

)=20lgA1(

)+20lgA2(

)+…+20lgAn(

)=L1(

)+L2(

)+…+Ln(

)2024年5月21日2．Bode圖法的特點（1）橫坐標(biāo)按頻率

取對數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數(shù)［20Lg|GH|］后，使各因子間的乘除運算變?yōu)榧訙p運算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設(shè)計和分析變得容易。2024年5月21日（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試中,開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移。2024年5月21日5.3.2典型環(huán)節(jié)的伯德圖

1.比例環(huán)節(jié)（K）

2024年5月21日

說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；

(

)=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2024年5月21日2.積分環(huán)節(jié)(1/s)

402000.010.111020100.010.11

頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在

=1這一點穿過0dB線。2024年5月21日

表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。2024年5月21日3.微分環(huán)節(jié)（s）

1

微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜+20dB/dec的斜線,并且在

=1這一點穿過0dB線。2024年5月21日

積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負(fù)號，二者以

軸為基準(zhǔn)，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以

軸為鏡象?？梢姡硐胛⒎汁h(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。2024年5月21日4.慣性環(huán)節(jié)(1)對數(shù)幅頻特性

為簡化對數(shù)頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對數(shù)幅頻特性曲線（特別是在初步設(shè)計階段）。2024年5月21日1.低頻段在T

<<1(或

<<1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為T

0,從而有

故在頻率很低時,對數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,這稱為低頻漸近線。2024年5月21日2.高頻段

在T

>>1(或

>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為L(

)為因變量，lg

為自變量，因此對數(shù)頻率特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點為

T

=1/T，

T稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性時的一個重要參數(shù)。2024年5月21日

同時，如需由漸近對數(shù)幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個十倍頻程范圍內(nèi)對漸近對數(shù)幅頻特性曲線進(jìn)行修正就足夠了。2024年5月21日（2）對數(shù)相頻特性

精確相頻特性為:

(

)=-arctan(ωT)；

對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于ω=1/T及

(

)=-45°這一點斜對稱，如圖所示，可以清楚地看出在整個頻率范圍內(nèi)，

(

)程滯后持續(xù)增加的趨勢，極限為-90

。2024年5月21日

當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。2024年5月21日2024年5月21日5．一階微分環(huán)節(jié)（Ts＋1）

1.

低頻段

在T

<<1(或

<<1/T)的區(qū)段,對數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,為低頻漸近線。2.高頻段在T

>>1(或

>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為高頻漸近線是一條斜線,斜率為20dB/dec,當(dāng)頻率變化10倍頻時,L(

)變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為

T=1/T。2024年5月21日

可知,一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號相反。如轉(zhuǎn)折頻率處

T對應(yīng)的精確值是L（

T）=0+3=3dB。2024年5月21日

一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率

越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。

一階微分環(huán)節(jié)的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。2024年5月21日

6．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對數(shù)幅頻特性

1.低頻段T

<<1(或

<<1/T)時，L(

)

20lg1=0dB，低頻漸近線與0dB線重合。0≤

≤12024年5月21日2.高頻段T

>>1(或

>>1/T)時,并考慮到（0≤

≤1），有L(

)

-20lg(T

)2=-40lg(T

)=-40lgT-40lg

dB這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線,稱為高頻漸近線。

T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點處的橫坐標(biāo)，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率

n。2024年5月21日2024年5月21日

可見

0.4時，漸近線需要加尖峰修正。隨

的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率

r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率

n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比

越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。當(dāng)

=0時，

r≈

n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

2024年5月21日2024年5月21日（2）相頻特性

可知，當(dāng)ω=0時，

(

)=0；ω=1/T時，

(

)=-90°；ω→∞時，

(

)→-180°。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于ω=1/T及

(

)=-90°這一點斜對稱。

振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時

的取值對曲線形狀的影響較大。2024年5月21日8．延遲（滯后）環(huán)節(jié)（e-Ts）

(

)是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨ω增加而滯后無限增加，2024年5月21日

系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф（jω）與開環(huán)頻率特性Gk（jω），分別對應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Ф（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk（s）。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：

由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成5.3.3開環(huán)伯德圖的繪制2024年5月21日1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L(

)的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。順序斜率疊加法在繪制系統(tǒng)Bode圖時，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個典型環(huán)節(jié)的L(ω)繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(ω)曲線,Ф(ω)曲線描點或疊加求取。2024年5月21日（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定Gk（jω）的低頻段表達(dá)式為

(

)=-v90°2024年5月21日對數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達(dá)式為可見低頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關(guān)。

低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。同時，低頻漸近線（及其延長線）上在

=1時,有L(1)=20lgK。2024年5月21日（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v

及開環(huán)傳遞系K有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L(

)的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率－20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(

s+1)的轉(zhuǎn)折頻率1/

處，斜率＋20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率－40dB/dec2024年5月21日（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當(dāng)

→

時,由于n＞m，所以高頻段的近似表達(dá)式為

(

)=-（n-m）·90°2024年5月21日對數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達(dá)式為高頻段為一條斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。說明高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。

(

)=-（n-m）·90°2024年5月21日2．繪制步驟利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L(

)整條曲線一次畫出，步驟如下：

1．開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)的時間常數(shù)表達(dá)式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。

2．選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。

3．確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK的點，過該點作斜率為-20vdB/dec的斜線。

4.由低頻向高頻延伸，每到一個轉(zhuǎn)折頻率,斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。2024年5月21日5．如有必要，可對分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(

)通過0分貝線,即

L(

c)=0或A(

c)=1時的頻率

c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率

c

是分析與設(shè)計時的重要參數(shù)。2024年5月21日6．在對數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。也可求出

(

)的表達(dá)式，逐點描繪。低頻時有

(

)=-v(90

)，最終相位為

(

)=-(n-m)90

。

7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點繪制對數(shù)相頻特性曲線。2024年5月21日0.1110100204060[-20][-40][-60]確定Bode圖坐標(biāo)系2024年5月21日2812502024年5月21日(2)將各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率由低到高依次標(biāo)于ω軸上,如下圖所示。(3)繪制低頻漸近線。由于是I型系統(tǒng),ω

=1處的幅值為20lg100=40(dB)。以此點為基準(zhǔn)繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線,是一條斜率為-20dB/dec

的直線。(4)由低頻到高頻順序繪出對數(shù)幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎(chǔ)上,每遇到一個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,根據(jù)該環(huán)節(jié)的性質(zhì)作一次斜率變化,直至最后一個環(huán)節(jié)完成為止。(5)必要時對漸近線進(jìn)行修正,畫出精確的對數(shù)幅頻特性。

2024年5月21日

分析對數(shù)幅頻特性可見，系統(tǒng)L(

)由3段折線構(gòu)成，而且在

=10與

=100之間穿過0dB線。

曲線穿過0dB線時所對應(yīng)的頻率稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率

c可以通過坐標(biāo)系直接讀出，也可根據(jù)簡單的計算求出。2024年5月21日1.由低頻漸近線可求得L（

1）=L（1）=20lgK=40（dB）2.由于

1點與

2點位于同一條斜線，斜率為-40dB/dec，則L（

2）可如下求得3.同理，

c可如下求取2024年5月21日2024年5月21日2024年5月21日5.3.4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

“最小相位”這一概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié),其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環(huán)節(jié);反之,其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。1.基本概念控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般是關(guān)于s的有理真分式，系統(tǒng)的性質(zhì)是由開環(huán)傳遞函數(shù)的零點與極點的性質(zhì)決定的。根據(jù)零極點的不同，一般分為以下兩種系統(tǒng)2024年5月21日（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半S平面上沒有極點和零點，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成），如（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上有一個(或多個)零點或極點，稱為非最小相位系統(tǒng)；

2024年5月21日

顯然G1（s）屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個系統(tǒng)幅值相同，具有同一個幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念。2024年5月21日兩者的對數(shù)幅頻特性是相同的，而相頻特性則有

1(

)=arctan

-arctanT

2(

)=-arctan

-arctanT

2024年5月21日

從傳遞函數(shù)看,這二者均有相同的儲能元件數(shù),但是由于G2(s)的零點在右半s平面,它產(chǎn)生了附加的相位滯后位移,因而

G1(s)具有較小的相位變化范圍（0°，-90°）,為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大（0°，-180°）。

從波德圖上看,最小相位系統(tǒng)為具有相同幅頻特性的許多系統(tǒng)中其相移范圍為最小可能值的系統(tǒng)。2024年5月21日2、性質(zhì)☆

(1)最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性是一一對應(yīng)的。也就是說，對于最小相位系統(tǒng)，一條對數(shù)幅頻特性只有一條對數(shù)相頻特性與之對應(yīng)，知道其對數(shù)幅頻特性，也就知道其對數(shù)相頻特性。因此，利用Bode圖對最小相位系統(tǒng)進(jìn)行分析時，往往只分析其對數(shù)幅頻特性L(

)。2024年5月21日(2)最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性的變化趨勢相同，即若L(

)的斜率減?。ɑ蛟龃螅瑒t

(

)的相位也相應(yīng)地減?。ɑ蛟龃螅蝗绻谀骋活l率范圍內(nèi),對數(shù)幅頻特性L(

)的斜率保持不變,則在這些范圍內(nèi),相位也幾乎保持不變。2024年5月21日由前面的分析可知：1）對數(shù)頻率特性的低頻漸近線為斜率為-20vdB/dec的斜線。

(

)=-90v°，低頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關(guān)。2）在

→

時,由于n＞m，所以高頻漸近線為斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。

(

)=-90（n-m）°，高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。2024年5月21日1.在低頻區(qū)的漸近線斜率為-20dB/dec，相位起點約為-90

。

2.在頻率

1=1附近，L(

)斜率減小到-40dB/dec，則相位呈減小的趨勢；而在頻率

2=2附近，微分環(huán)節(jié)的作用使L(

)斜率為-20dB/dec,

(

)，相位有增大的趨勢。

3.最終L(

)斜率為-20dB/dec；而

(

)相位最大滯后為-90

。2024年5月21日

可以推出如下結(jié)論：若系統(tǒng)只包含除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)，并且無局部正反饋回路時，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母必?zé)o正實根，該系統(tǒng)必定為最小相位系統(tǒng)。原因為：

由于延遲環(huán)節(jié)按冪級數(shù)分解之后，其各項系數(shù)有正負(fù)，因而必定有具有正實部的零點，所以延遲環(huán)節(jié)屬于非最小相位系統(tǒng)。同樣，若系統(tǒng)有局部正反饋回路，則必有具有正實部的開環(huán)極點。2024年5月21日小結(jié)：最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)給出了一個重要的結(jié)論：

對于最小相位系統(tǒng)，可以通過實驗的方法測量并繪制出開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L(

)，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應(yīng)的

(

)，寫出其開環(huán)傳遞函數(shù)。2024年5月21日5.3.5由實測波德圖求傳遞函數(shù)☆由實測開環(huán)波德圖求開環(huán)傳遞函數(shù)是由已知的開環(huán)傳遞函數(shù)求開環(huán)波德圖的逆過程，方法有共同之處。步驟如下：1.在需要的頻率范圍內(nèi)，給被測系統(tǒng)輸入不同頻率的正弦信號，測量相應(yīng)輸出的穩(wěn)態(tài)幅值與相位，作出對數(shù)幅頻特性與相頻特性曲線；2.若幅頻特性曲線與相頻特性曲線的變化趨勢一致，則該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，可直接由幅頻特性曲線求出傳遞函數(shù)；3.根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線，由0、±20、±40dB/dec斜率的線段近似，求出其漸近線；4.由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K

低頻漸近線的表達(dá)式為L(

)=20lgK-20vlg

?？墒紫扔傻皖l段的斜率確定v，再由低頻段上的一個具體點的坐標(biāo)確定K，如可代L(1)=20lgK；2024年5月21日5.由漸近線的每個轉(zhuǎn)折點確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；并由漸近線在轉(zhuǎn)折點斜率的變化量確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)。如若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減小20dB/dec，則必有慣性環(huán)節(jié)；若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率增加20dB/dec，則必有一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(

s+1)；若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減去40dB/dec，則有振蕩環(huán)節(jié)；二階系統(tǒng)的阻尼比ζ可由諧振峰值的大小查表求取2024年5月21日小結(jié)：☆1低頻段確定K、V

斜率確定積分、微分環(huán)節(jié)個數(shù)起始段（或延長線）在

=1處高度為20lgK，

L(

)=20lgK-20Vlg

a.對一型v=0{起始斜率[0]}b.對一型v=1{起始斜率[-20]}c.對二型v=2（起始斜率[-40]）2．轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)斜率變化確定慣性，振蕩，一階微分，二階微分。

2024年5月21日5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2024年5月21日

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負(fù)實部，即位于s左半平面。在時域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統(tǒng)，非常困難且費時,也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對穩(wěn)定性的影響。特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于一個自動控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學(xué)模型易于獲取，同時它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

2024年5月21日

除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點有1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）。3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設(shè)計；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

2024年5月21日5.4.3簡化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1.繪制

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j

)

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j

)順時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為N，已知系統(tǒng)開環(huán)右極點數(shù)為P

，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點個數(shù)為Z

（不包括虛軸上的極點）：

Z=P+2N’

當(dāng)Nyquist曲線G(jω)通過(-l,j0)點時,表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定。2024年5月21日

開環(huán)頻率特性曲線逆時針穿越（-∞，-1）區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+。反之，開環(huán)頻率特性曲線順時針穿越（-∞，-1）區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負(fù)穿越N’-。頻率特性曲線包圍(-1,j0)點的情況，就可以利用頻率特性曲線在負(fù)實軸（-∞，-1）區(qū)間的正、負(fù)穿越來表達(dá)。2.采用穿越的概念簡化復(fù)雜曲線包圍次數(shù)的計算

由0變到+

時開環(huán)頻率特性曲線要形成對(-1,j0)點的一次包圍，勢必穿越（-∞，-1）區(qū)間一次。2024年5月21日

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j

)對(-1,j0)點的總包圍次數(shù)為

N=（N’--

N’+

）利用正、負(fù)穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)敘述為：

Z=P+2（N’--

N’+

）

注意奈氏曲線在(-1,j0)點以右負(fù)實軸上相位有變化不算穿越。2024年5月21日3.半次穿越

奈氏曲線始于或至于(-1,j0)點以左負(fù)實軸，稱為一個半次穿越，如圖所示。[例5.9]某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于曲線始于（-3，j0）點，故順時針包圍（-1，j0）點的次數(shù)為1/2，N’-=1/2。由于開環(huán)右極點數(shù)為P=0，故

Z=P+2（N’--0）=P+2N’-=1閉環(huán)系統(tǒng)有一個右極點，閉環(huán)不穩(wěn)定。2024年5月21日[例5.10]經(jīng)實驗測得某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖如圖所示，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可以看出,當(dāng)

由0變到+時,G(j

)矢量在(-1,j0)點以左負(fù)實軸上正負(fù)穿越次數(shù)各一次。

Z=P+2（N’-

-N’+

）

=0。

故由奈氏穩(wěn)定判據(jù)知該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

由于為最小相位系統(tǒng)，開環(huán)右極點數(shù)P=0，且為0型系統(tǒng)，故直接利用開環(huán)頻率特性G(j

)的軌跡判斷穩(wěn)定性。2024年5月21日4.型別v≥1系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j

)曲線的處理

在

=0附近,幅相特性以

為半徑,逆時針補畫

=v·90°的圓弧，添加圓弧后相當(dāng)于得到新的開環(huán)頻率特性G(j

)曲線。此圓弧與實軸或虛軸的交點相當(dāng)于新的起點，對應(yīng)

=0，原有曲線的起點對應(yīng)于

=0+。注意所指曲線仍為

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j

)。

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線作如上處理后，代入簡化奈氏穩(wěn)定判據(jù)即可，且系統(tǒng)在虛軸上的0值開環(huán)極點作左極點處理。

Z=P+2（N’--

N’+

）2024年5月21日[例5.11]判斷圖示系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性Z=P+2（N’--

N’+

）

由以上分析可知，開環(huán)系統(tǒng)型別過高會影響穩(wěn)定性，而串聯(lián)比例微分調(diào)節(jié)器可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，起到校正的作用，但要選擇合適的參數(shù)。2024年5月21日[例5.12]判斷圖示系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性b圖所示系統(tǒng)為一Ⅰ型二階系統(tǒng)，該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，P=1，在=0附近,曲線以

為半徑,逆時針補畫=1·90°=90°的圓弧與負(fù)實軸相交。由0變到+

時，順時針包圍（-1，j0）點半次，有N’-=1/2。則Z=2N’-+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)有兩個右極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z=P+2（N’--

N’+

）2024年5月21日5.4.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在伯德圖上的應(yīng)用

由于系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制較奈奎斯特曲線更為簡單、方便，自然使用伯德圖來進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別就更適用。該判據(jù)不但可以回答系統(tǒng)穩(wěn)定與否的問題，還可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（相對穩(wěn)定性），以及研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。2024年5月21日1、奈氏圖與伯德圖的對應(yīng)關(guān)系開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性之間存在如下對應(yīng)關(guān)系:

（1）在G(j

)平面上,|G(j

)|=1的單位圓,對應(yīng)于對數(shù)幅頻特性的0分貝線;

單位圓外部如(-

,-1)區(qū)段，對應(yīng)L(

)>0dB，單位圓內(nèi)部對應(yīng)L(

)<0dB。

（2）從對數(shù)相頻特性來看,G(j

)平面上的負(fù)實軸,對應(yīng)于對數(shù)相頻特性上的

(

)=-180°。（3）(-1,j0)點的向量表達(dá)式為1∠-180°，對應(yīng)于波德圖上穿過0分貝線，并同時穿過

(

)=-180°的點。2024年5月21日2、穿越在波德圖上的含義（1）穿越：在L(

)>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過-180°；在L(

)<0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過-180°不是穿越。（2）正穿越N+ˊ：產(chǎn)生正的相位移，這時，相頻特性應(yīng)由下部向上穿越-180°線。（3）負(fù)穿越N-ˊ：產(chǎn)生負(fù)的相位移,這時,相頻特性應(yīng)由上部向下穿越-180°線。正、負(fù)穿越的定義和前面的定義實際上是一致的。2024年5月21日3、對數(shù)幅頻特性曲線的奈氏判據(jù)根據(jù)上述對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合使用正、負(fù)穿越情況的穩(wěn)定判據(jù)，在伯德圖上使用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)時，就是在L(

)>0dB的頻率范圍內(nèi)，根據(jù)相頻曲線穿越-180o的相位線的次數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性做出判定?？蓪?shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏穩(wěn)定判據(jù)表述如下:

設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)為P，則L(

)>0dB的頻率范圍內(nèi)，當(dāng)頻率增加時對數(shù)相頻特性曲線對-180o的相位線的正、負(fù)穿越次數(shù)為N’+與N’-

，閉環(huán)右極點個數(shù)為

Z=2（N’--N’+）+P2024年5月21日[例5.13]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖所示，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，在L(

)>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線

(

)不穿越-180o的相位線，即正、負(fù)穿越次數(shù)差為0，由Z=2N′+P可知，Z=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

2024年5月21日

對于型別v≥1（v為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在原點處的極點數(shù)）的系統(tǒng)，應(yīng)將Bode圖對數(shù)相頻特性在ω→0處附加一段自上而下的、變化范圍為-v·90°的曲線與相頻特性曲線在ω→0處相連。相頻特性經(jīng)過處理后，再使用上述穩(wěn)定性判據(jù)。2024年5月21日5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2024年5月21日

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，且接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)時，雖然從理論上講，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但實際上，系統(tǒng)可能已處于不穩(wěn)定狀態(tài)。其原因可能是在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時，采用了線性化等近似處理方法；或系統(tǒng)參數(shù)測量不準(zhǔn)確；或系統(tǒng)參數(shù)在工作中發(fā)生變化等。因此要求系統(tǒng)保有一定的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度），這樣才可以保證不致于分析設(shè)計過程中的簡化處理，或系統(tǒng)的參數(shù)變化等因素而導(dǎo)致系統(tǒng)在實際運行中出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。

系統(tǒng)穩(wěn)定裕度用于表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度，經(jīng)常作為控制系統(tǒng)的頻率域性能指標(biāo)。2024年5月21日可知：K值較小時，系統(tǒng)穩(wěn)定；K值較大時，系統(tǒng)不穩(wěn)定的；K取兩者間的某個值時，Nyquist曲線通過(-1,j0)點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)Nyquist曲線與實軸交點坐標(biāo)離(-1,j0)點的距離，可作為表征系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的一個指標(biāo)。通常用相角裕量γ和幅值裕量hg表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。

2024年5月21日5.5.2相位裕量

使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定需要增加的相角,稱為相角裕量,用γ表示。

γ=

（

c）-（-180o）=

（

c）+180o2024年5月21日

相角穩(wěn)定裕度的物理意義在于：對于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，在

=

c處，系統(tǒng)的相角如果再減小

角度，系