2015年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2015年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的選項(xiàng)代

號(hào)涂在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分24分）

1.在數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離是（）

A.5B.-5C.1D.-1

2.（3分）（2015?湘潭）下面四個(gè)立體圖形中，三視圖完全相同的是（）

3.（3分）（2015?湘潭）下列計(jì)算正確的是（）

A.V5-V2=V3B.3-1=-3C.（a4）2=a8D.a56-*?a2=a3

4.（3分）（2015?湘潭）在△ABC中，D、E為邊AB、AC的中點(diǎn)，已知△ADE的面積為4,

那么AABC的面積是（）

5.（3分）（2015?湘潭）下列四個(gè)命題中，真命題是（）

A."任意四邊形內(nèi)角和為360。"是不可能事件

B."湘潭市明天會(huì)下雨”是必然事件

C."預(yù)計(jì)本題的正確率是95%”表示100位考生中一定有95人做對(duì)

D-拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是工

6.（3分）（2015?湘潭）如圖，已知直線AB11CD,且直線EF分別交AB、CD于M、N兩點(diǎn),

NH是NMND的角平分線.若NAMN=56。，則NMNH的度數(shù)是（）

E

A.28°B.30°C.34°D.56°

7.（3分）（2015?湘潭）如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，若NDAB=60。，則NBCD

的度數(shù)是（）

A.60°B.90°C.100°D.120°

8.（3分）（2015?湘潭）如圖，觀察二次函數(shù)y二ax?+bx+c的圖象，下列結(jié)論:

①a+b+c>0,②2a+b>0,（3）b2-4ac>0,（4）ac>0.

其中正確的是（）

①②B.①④C.②③D.③④

二、填空題（本題共8個(gè)小題，請(qǐng)將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分24

分）

9.（3分）（2015?湘潭）工的倒數(shù)是

2

10.（3分）（2015?湘潭）計(jì)算：23-（-2）=.

11.（3分）（2015?湘潭）在今年的湘潭市"黨和人民滿意的好老師”的評(píng)選活動(dòng)中，截止到5

月底，王老師獲得網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)贊共計(jì)183000個(gè)，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)為

12.（3分）（2015?湘潭）高一新生入學(xué)軍訓(xùn)射擊訓(xùn)練中，小張同學(xué)的射擊成績(jī)（單位：環(huán)）

為：5、7、9、10、7,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

13.（3分）（2015?湘潭）湘潭盤龍大觀園開園啦！其中杜鵑園的門票售價(jià)為：成人票每張

50元，兒童票每張30元.如果某日杜鵑園售出門票100張，門票收入共4000元.那么當(dāng)

日售出成人票張.

14.（3分）（2015?湘潭）已知菱形ABCD的面積為24cm2,若對(duì)角線AC=6cm,則這個(gè)菱形

的邊長(zhǎng)為cm.

15.（3分）（20.15?湘潭）如圖，將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋.轉(zhuǎn)60。得到△AED,若線段AB=3,

貝I」BE=.

BE

不A

16.（3分）（2015?湘潭）小華為參加畢業(yè)晚會(huì)演出，準(zhǔn)備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所

示，如果紙帽的底面半徑為8cm,母線長(zhǎng)為25cm,那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的

面積為cm?.（結(jié)果保留兀）

三、解答題（本大題共10個(gè)小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將解答

過(guò)程寫在答題卡相應(yīng)位置上，滿分72分）

x+5〉3

17.（6分）（2015?湘潭）解不等式組：

x+6>4x~3

2

18.（6分）（2015?湘潭）先化簡(jiǎn)，再求值：（1-上）J:2x+l,其中x=J^+i.

2

x+1x-l

19.（6分）（2015?湘潭）"東方之星"客船失事之后，本著"關(guān)愛生命，救人第一”的宗旨.搜

救部門緊急派遣直升機(jī)到失事地點(diǎn)進(jìn)行搜救，搜救過(guò)程中，假設(shè)直升機(jī)飛到A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)

前方江面上B處有一漂浮物，從A測(cè)得B處的俯角為30。，已知該直升機(jī)一直保持在距江面

100米高度飛行搜索，飛行速度為10米每秒，求該直升機(jī)沿直線方向朝漂浮物飛行多少秒

可到達(dá)漂浮物的正上方？（結(jié)果精確到0.1,73=1.73）

20.（6分）（2015?湘潭）2015年湘潭市中考招生政策發(fā)生較大改變，其中之一是：省級(jí)示

范性高中批次志愿中，每個(gè)考生可填報(bào)兩所學(xué)校（有先后順序），我市某區(qū)域的初三畢業(yè)生

可填報(bào)的省級(jí)示范性高中有A、B、C、D四所.

（1）請(qǐng)列舉出該區(qū)域?qū)W生填報(bào)省級(jí)示范性高中批次志愿的所有可能結(jié)果；

（2）求填報(bào)方案中含有A學(xué)校的概率.

21.（6分）（2015?湘潭）水利部確定每年的3月22日至28日為“中國(guó)水周"（1994年以前

為7月1日至7日），從1991年起,我國(guó)還將每年5月的第二周作為城市節(jié)約用水宣傳周.某

社區(qū)為了進(jìn)一步提高居民珍惜水、保護(hù)水和水憂患意識(shí)，提倡節(jié)約用水，從本社區(qū)5000戶

家庭中隨機(jī)抽取100戶，調(diào)查他們家庭每月的平均用水量，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下的兩

幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

用戶月用水量頻數(shù)分布表

平均用水量（噸）頻數(shù)頻率

3-6噸100.1

6?9噸m0.2

9—12噸360.36

12~15噸25n

15-18噸90.09

請(qǐng)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)圖表，解答下列問(wèn)題：

（1）在頻數(shù)分布表中：m=,n=；

（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖；

（3）如果自來(lái)水公司將基本月用水量定為每戶每月12噸，不超過(guò)基本月用水量的部分享受

基本價(jià)格，超出基本月用水量的部分實(shí)行加價(jià)收費(fèi)，那么該社區(qū)用戶中約有多少戶家庭能夠

22.（6分）（2015?湘潭）如,圖，在R3ABC中，ZC=90°,AACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落

在斜邊AB上的點(diǎn)E處.

（.1）求證：△BDE-△BAC；

（2）已知AC=6,BC=8,求線段AD的長(zhǎng)度.

23.（8分）（2015?湘潭）如圖，已知一次函數(shù)y=x+b與反比例函數(shù)y=上的圖象交于A、B兩

X

點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,3）.

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b>X的解集.

24.（8分）（2015?湘潭）閱讀材料：用配方法求最值.

已知x,y為非負(fù)實(shí)數(shù)，

,x+y_2Vxy-?(yfy)-詬)""

/.x+y>2Vxy?當(dāng)且僅當(dāng)〃x二y〃時(shí)，等號(hào)成立.

示例：當(dāng)x>0時(shí)，求y=x+—+4的最小值.

解：y=（x+—）+4>2J>A+4=6,當(dāng)x=L即x=l時(shí)，y的最小值為6.

（1）嘗試：當(dāng)x>0時(shí)，求y=X°+x+l的最小值.

X

（2）問(wèn)題解決：隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來(lái)越多家庭的交通工具，

假設(shè)某種小轎車的購(gòu)車費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)繳保險(xiǎn)費(fèi)等各類費(fèi)用共計(jì)0.4萬(wàn)元，n年的

2.

保養(yǎng)、維護(hù)費(fèi)用總和為2期萬(wàn)元.問(wèn)這種小轎車使用多少年報(bào)廢最合算（即：使用多少年

10、

的年平均費(fèi)用最少，年平均費(fèi)用=所有宮'之和）?最少年平均費(fèi)用為多少萬(wàn)元？

年數(shù)n

25.（10分）（2015?湘潭）如圖，已知AB是。。的直徑，過(guò)點(diǎn)A作。。的切線MA,P為直

線MA上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑作。P,交。。于點(diǎn)C,連接PC、OP、BC.

（1）知識(shí)探究（如圖1）：

①判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

②判斷直線OP與BC的位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論.

（2）知識(shí)運(yùn)用（如圖2）：

當(dāng)PA>OA時(shí)，直線PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若BD=2AB,求tanNABC的值.

圖1圖2

26.（10分）（2015?湘潭）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（-1,0）、B（3,

0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,連接BC,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)

Q以每秒加個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，連接PQ,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)

時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）求二次函數(shù)的解析.式；

（2）如圖1,當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2,當(dāng)t<2時(shí)，延長(zhǎng)QP交y軸于點(diǎn)M,在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得PQ的

2015年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的選項(xiàng)代

號(hào)涂在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分24分）

1.在數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離是（）

A.5B.-5C.1D.-1

考點(diǎn)：數(shù)軸.

分析：根據(jù)正負(fù)數(shù)的運(yùn)算方法，用3減去-2,求出在數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間

的距離為多少即可.

解答：解：3-（-2）

=2+3

=5.

所以在數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離為5.

故選A

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算方法，關(guān)鍵是根據(jù)在數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)

之間的距離列出式子.

2.（3分）（2015?湘潭）下面四個(gè)立體圖形中，三視圖完全相同的是（）

A.

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖.

分析：根據(jù)三視圖的概念求解.

解答：解：A、主視圖、左試圖是矩形，俯視圖是圓，故A錯(cuò)誤;

B、主視圖、左視圖、俯視圖都是圓，故B正確；

C、主視圖、左視圖都是三角形，俯視圖是圓，故C錯(cuò)誤；

D、主視圖、俯視圖都是矩形，左視圖是三角形，故D錯(cuò)誤;

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：本體考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，從正面看得到的視圖是主視圖，從左邊看得到的視

圖是左視圖，從上面看得到的視圖是俯視圖.

3.（3分）（2015?湘潭）下列計(jì)算正確的是（）

A.-V2=V3B.3-1=-3C.（a4）2=a8D.a6-?a2=a3

考點(diǎn)：塞的乘方與積的乘方；同底數(shù)幕的除法；負(fù)整數(shù)指數(shù)塞；二次根式的加減法.

分析：A.不是同類二次根式，不能合并；B.依據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則計(jì)算即可；C.依

據(jù)幕的乘方法則計(jì)算即可；D.依據(jù)同底數(shù)累的除法法則計(jì)算即可.

解答：解：A.不是同類二次根式，不能合并，故A錯(cuò)誤；

B.3一1,，故B錯(cuò)誤；

C.（a4）2=a4x2=a8,故c正確;

D.a64-a2=a62=a4,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是數(shù)與式的運(yùn)算，掌握同類二次根式的定義、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、積的乘

方、塞的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

4.（3分）（2015?湘潭）在△ABC中，D、E為邊AB、AC的中點(diǎn)，已知△ADE的面積為4,

C.16D.20

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

分析：由條件可以知道DE是△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)就可以求出邁」，再根據(jù)

BC2

相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.

解答：解：D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

?DE是4ABC的中位線，

/.DEIIBC,邁」，

BC-2

△ADE-△ABC,

...SAADE_（J）2,

,△ABC2

△ADE的面積為4,

.41

SAABC4

-SAABC=16.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查中位線的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明

AADE-AABC是解答本題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2015?湘潭）下列四個(gè)命題中，真命題是（）

A."任意四邊形內(nèi)角和為360?！笔遣豢赡苁录?/p>

B."湘潭市明天會(huì)下雨”是必然事件

C."預(yù)計(jì)本題的正確率是95%"表示100位考生中一定有95人做對(duì)

D-拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是工

2

考點(diǎn)：命題與定理.

分析：根據(jù)四邊形內(nèi)角和和不可能事件的定義對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)必然事件的定義對(duì)B進(jìn)行

判斷；根據(jù)估計(jì)的含義對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)概率的定義對(duì)D進(jìn)行判斷.

解答：解：A、"任意四邊形內(nèi)角.和為360?！笔潜厝皇录?，錯(cuò)誤；

B、"湘潭市明天會(huì)下雨”是隨機(jī)事件，錯(cuò)誤；

C、"預(yù)計(jì)本題的正確率是95%”表示100位考生中不一定有95人做對(duì)，錯(cuò)誤；

D、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是工，正確.

2

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)

論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成

"如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理.

6.（3分）（2015?湘潭）如圖，已知直線ABIICD,且直線EF分別交AB、CD于M、N兩點(diǎn),

NH是NMND的角平分線.若NAMN=56。，則NMNH的度數(shù)是（）

C.34°D.56°

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì).

分析：先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NMND的度數(shù)，再由角平分線的定義即可得出結(jié)論.

解答：解：,直線ABUCD,NAMN=56°,

ZMND=NAMN=56°.

NH是NMND的角平分線，

ZMNH=lzMND=28°.

2

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

7.（3分）（2015?湘潭）如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，若NDAB=60。，則NBCD

的度數(shù)是（）

A.60°B.90°C.100°D.120°

考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，求解.

解答：解：：四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

ZDAB+ZDCB=180".

ZDAB=60",

/.ZBCD=180°-60°=120°.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：解答本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的

性質(zhì).

8.（3分）（2015?湘潭）如圖，觀察二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論:

①a+b+c>0,②2a+b>0,（3）b2-4ac>0,④ac>0.

其中正確的是（）

C.②③D.③④

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

分析：令X=1代入可判斷①；由對(duì)稱軸X=-_k的范圍可判斷②；由圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)

2a

可判斷③；由開口方向及與X軸的交點(diǎn)可分別得出a、c的符號(hào)，可判斷④.

解答：解：由圖象可知當(dāng)x=l時(shí)，y<0,

.二a+b+c<0,

故①不正確；

由圖象可知o<-A<i,

2a

A>-1,

2a

又開口向上，

/.a>0,

/.b>-2a,

/.2a+b>0,

故②正確；

由圖象可知二次函數(shù)與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

△>0,即b2-4ac>0,

故③正確；

由圖象可知拋物線開口向上，與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，

a>0,c<0,

/.ac<0,

故④不正確；

綜上可知正確的為②③，

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、與x軸的

交點(diǎn)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共8個(gè)小題，請(qǐng)將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分24

分）

9.（3分）（2015?湘潭）工的倒數(shù)是2.

2

考點(diǎn)：倒數(shù).

分析：根據(jù)倒數(shù)的定義，工的倒數(shù)是2.

2

解答：解：工的倒數(shù)是2,

2

故答案為：2.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

10.（3分）（2015?湘潭）計(jì)算：23-（-2）=10.

考點(diǎn)：有理數(shù)的乘方；有理數(shù)的減法.

分析：根據(jù)有理數(shù)的混合計(jì)算解答即可.

解答:解：23-（-2）

=8+2

=10.

故答案為：10.

點(diǎn)評(píng)：此題考查有理數(shù)的乘方，關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)的乘方得出23=8,再與2相加.

11.（3分）（2015?湘潭）在今年的湘潭市"黨和人民滿意的好老師”的評(píng)選活動(dòng)中，截止到5

月底，王老師獲得網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)贊共計(jì)183000個(gè)，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)為1.83x105.

考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中n為整數(shù).確定n的值時(shí),

要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).

解答：解：將183000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.83X105.

故答案為1.83X105.

點(diǎn)評(píng)：本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)<|a|

<10,n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

12.（3分）（2015?湘潭）高一新生入學(xué)軍訓(xùn)射擊訓(xùn)練中，小張同學(xué)的射擊成績(jī)（單位：環(huán)）

為：5、7、9、10、7,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是7.

考點(diǎn)：眾數(shù).

分析：根據(jù)眾數(shù)的定義即可求解.

解答：解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是7.

故答案為：7.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了眾數(shù)的概念.關(guān)鍵是根據(jù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注

意眾數(shù)可以不止一個(gè).

13.（3分）（2015?湘潭）湘潭盤龍大觀園開園啦！其中杜鵑園的門票售價(jià)為：成人票每張

50元，兒童票每張30元.如果某日杜鵑園售出門票100張，門票收入共4000元.那么當(dāng)

日售出成人票50張.

考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用.

分析：根據(jù)總售出門票100張，共得收入4000元，可以列出方程求解即可.

解答：解：設(shè)當(dāng)日售出成人票x張，兒童票（100-X）張，

可得：50X+30（100-X）=4000,

解得：x=50.

答：當(dāng)日售出成人票50張.

故答案為：50.

點(diǎn)評(píng)：此題考查一元一次方程的應(yīng)用，本題解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的

條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.

14.（3分）（2015?湘潭）已知菱形ABCD的面積為24cm2,若對(duì)角線AC=6cm,則這個(gè)菱形

的邊長(zhǎng)為5cm.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì).

分析：根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可求出另一條對(duì)角線BD的長(zhǎng).然后根據(jù)勾股

定理即可求得邊長(zhǎng).

解答：解：菱形ABCD的面積」AC?BD,

2

???菱形ABCD的面積是24cm2,其中一條對(duì)角線AC長(zhǎng)6cm,

另一條對(duì)角線BD的長(zhǎng)=8cm；

邊長(zhǎng)是：^j2^^2=5cm.

故答案為：5.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì).菱形被對(duì)角線分成4個(gè)全等的直角三角形，以及菱形的面積

的計(jì)算，理解菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

15.（3分）（20.15?湘潭）如圖，將小ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋.轉(zhuǎn)60。得到△AED,若線段AB=3,

則BE=3.

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NBAE=60。，AB=AE,得出△BAE是等邊三角形，進(jìn)而得出BE=3

即可.

解答：解：,?,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△AED,

ZBAE=60",AB=AE,

.〔ABAE是等邊三角形,

BE=3.

故答案為：3.

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形

的大小、形狀都不改變.要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)-旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；

③旋轉(zhuǎn)角度.

16.（3分）（2015?湘潭）小華為參加畢業(yè)晚會(huì)演出，準(zhǔn)備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所

示，如果紙帽的底面半徑為8cm,母線長(zhǎng)為25cm,那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的

面積為200ncm?.（結(jié)果保留n）

考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算.

分析：圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)X母線長(zhǎng)

解答：解：底面半徑為8cm,

則底面周長(zhǎng)=16兀，

側(cè)面面積=1xl6TTx25=200n:cm2.

2

故答案為200n.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式，熟練記憶圓錐的側(cè)面

積計(jì)算公式是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共10個(gè)小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將解答

過(guò)程寫在答題卡相應(yīng)位置上，滿分72分）

fx+5>3

17.（6分）（2015?湘潭）解不等式組：

x+6>4x-3

考點(diǎn)：解一元一次不等式組.

分析：先求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解.

解答：.（x+5>3①

解：V、->

x+6>4x-3②

由①得，x>-2,

由②得，x<3.

所以，不等式組的解集為-2<x<3.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求解.求不等

式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）.

18.（6分）（2015?湘潭）先化簡(jiǎn)，再求值：（1-上）J2二2x+l,其中x=J^+i.

x+1x2-l

考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值.

分析：首先將小括號(hào)內(nèi)的部分進(jìn)行通分、計(jì)算，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，接下來(lái)再進(jìn)行分解、

約分，最后代數(shù)求值即可.

解答：YJ-I/-2x+l

解：原式二（2±1-上Y）「.十工

2

x+1x+1x-1

1x2-l

=---■---------

x+1x2-2x+l

1r（x+1）（X-1）

x+1"（x-1）2

,1

-----------------------9

X-1

將x=V5+l代入得：原式一』=近.

V5+1-1V55

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是分式的化簡(jiǎn)與計(jì)算，掌握分式的通分、約分、分式的減法、分式的

乘法、除法法則是解題的關(guān)鍵.

19.（6分）（2015?湘潭）"東方之星"客船失事之后，本著"關(guān)愛生命，救人第一”的宗旨.搜

救部門緊急派遣直升機(jī)到失事地點(diǎn)進(jìn)行搜救，搜救過(guò)程中，假設(shè)直升機(jī)飛到A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)

前方江面上B處有一漂浮物，從A測(cè)得B處的俯角為30。，已知該直升機(jī)一直保持在距江面

100米高度飛行搜索，飛行速度為10米每秒，求該直升機(jī)沿直線方向朝漂浮物飛行多少秒

可到達(dá)漂浮物的正上方？（結(jié)果精確到0.1,73=1.73）

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.

分析：作AD±BD于點(diǎn)D,由題意得：ZABC=30°,AD=100米，在RtAABD中，3P=tanNABC,

BE

求得BD的長(zhǎng)后除以速度即可得到時(shí)間.

解答：解：作AD±BD于點(diǎn)D,

由題意得：ZABC=30°,AD=100米,

在RtAABD中，-^5=tanZABC,

BD

BD=—皿—=挈=100、質(zhì)米，

tan30°2/^

飛行速度為10米每秒，

?飛行時(shí)間為100?+10=10?=17.3秒，

該直升機(jī)沿直線方向朝漂浮物飛行17.3秒可到達(dá)漂浮物的正上方.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠從實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角

形，難度不大.

20.（6分）（2015?湘潭）2015年湘潭市中考招生政策發(fā)生較大改變，其中之一是：省級(jí)示

范性高中批次志愿中，每個(gè)考生可填報(bào)兩所學(xué)校（有先后順序），我市某區(qū)域的初三畢業(yè)生

可填報(bào)的省級(jí)示范性高中有A、B、C、D四所.

（1）請(qǐng)列舉出該區(qū)域?qū)W生填報(bào)省級(jí)示范性高中批次志愿的所有可能結(jié)果；

（2）求填報(bào)方案中含有A學(xué)校的概率.

考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法.

分析：（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，從而可得到所有可能結(jié)果；

（2）根據(jù)樹狀圖找出所有含有A的結(jié)果，然后再利用概率公式計(jì)算即可.

解答：解：（1）該區(qū)域?qū)W生填報(bào)省級(jí)示范性高中批次志愿的所有可能結(jié)果如下圖所示:

RCDACDABDABC

（2）根據(jù)樹狀圖可知：該區(qū)域?qū)W生填報(bào)省級(jí)示范性高中批次志愿的所有可能結(jié)果共

有12種，其中含有A的共有6種，

故填報(bào)方案中含有A學(xué)校的概率=_1」.

122

點(diǎn)評(píng)：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果,

那么事.件A的概率P（A）=E.

n

21.（6分）（2015?湘潭）水利部確定每年的3月22日至28日為“中國(guó)水周"（1994年以前

為7月1日至7日），從1991年起,我國(guó)還將每年5月的第二周作為城市節(jié)約用水宣傳周.某

社區(qū)為了進(jìn)一步提高居民珍惜水、保護(hù)水和水憂患意識(shí)，提倡節(jié)約用水，從本社區(qū)5000戶

家庭中隨機(jī)抽取100戶，調(diào)查他們家庭每月的平均用水量，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下的兩

幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

用戶月用水量頻數(shù)分布表

頻數(shù)|頻率

平均用水量（噸）

3—6噸100.1

6?9噸m0.2

9-12噸360.36

12-15噸25n

15-18噸90.09

請(qǐng)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)圖表，解答下列問(wèn)題：

（1）在頻數(shù)分布表中：m=20,n=0.25；

（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖；

（3）如果自來(lái)水公司將基本月用水量定為每戶每月12噸，不超過(guò)基本月用水量的部分享受

基本價(jià)格，超出基本月用水量的部分實(shí)行加價(jià)收費(fèi)，那么該社區(qū)用戶中約有多少戶家庭能夠

考點(diǎn)：頻數(shù)（率）分布直方圖；頻數(shù)（率）分布表.

分析：（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)十?dāng)?shù)據(jù)總數(shù)，可得到m+100=0.2,可求得m=20,然后利用頻率=

頻數(shù)十?dāng)?shù)據(jù)可求得n的值；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果畫出統(tǒng)計(jì)圖即可；

（3）求得100戶家庭中能夠全部享受基本價(jià)的頻數(shù)，然后再乘5即可.

解答：解：（1）m4-100=02,

解得m=20,

n=25+100=0.25；

故答案為：20；0.25；

（2）補(bǔ)全頻數(shù)直方圖如圖：

用戶月用水量頻數(shù)直方圖

答：該社區(qū)用戶中約有330戶家庭能夠全部享受基本價(jià)格.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，掌握頻數(shù)、總數(shù)、頻率之間的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

22.（6分）（2015?湘潭）如，圖，在R3ABC中，ZC=90°,zXACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落

在斜邊AB上的點(diǎn)E處.

（.1）求證：△BDE-△BAC；

（2）己知AC=6,BC=8,求線段AD的長(zhǎng)度.

CDB

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）.

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出NC=NAED=90。，利用NDEB=NC,NB=NB證明三角形相

似即可；

（2）由折疊的性質(zhì)知CD=DE,AC=AE.根據(jù)題意在RtZkBDE中運(yùn)用勾股定理求DE,

進(jìn)而得出AD即可.

解答：證明：（1）;NC=90。，AACD沿AD折疊，

ZC=NAED=90°,

/.ZDEB=NC=90",

,/ZB=ZB,

△BDE—△BAC；

（2）由勾股定理得，AB=10.

由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6,DE=CD,ZAED=ZC=90".

BE=AB-AE=10-6=4,

在RtABDE中，由勾股定理得，

DE2+BE2=BD2,

即CD2+42=（8-CD）2,

解得：CD=3,

在RtAACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2,

即32+62=AD2,

解得：AD=W^.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱

變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變

化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、勾股定理求解.

23.（8分）（2015?湘潭）如圖，已知一次函數(shù)y=x+b與反比例函數(shù)y=上的圖象交于A、B兩

X

點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,3）.

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b＞上的解集.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入■次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可求出解析式；

（2）把一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立得出方程組，求出方程組的解即可；

（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)結(jié)合圖象即可得出答案.

解答：解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)（2,3）代入一次函數(shù)的解析式中，可得：3=2+b,解得：b=l,

所以一次函數(shù)的解析式為：y=x+l；

把點(diǎn)A的坐標(biāo)（2,3）代入反比例函數(shù)的解析式中，可得：k=6,

所以反比例函數(shù)的解析式為：y=2

x

（2）把一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立得出方程組，

'y=x+l

可得：，6，

y=X-

解得：xi=2,X2=-3,

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3,-2）；

（3）A（2,3）,B（-3,-2）,

.使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的范圍是：-3<x<0或x>2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，

函數(shù)的圖形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和觀察圖形的能力，用了數(shù)形

結(jié)合思想.

24.（8分）（2015?湘潭）閱讀材料:用配方法求最值.

已知x,y為非負(fù)實(shí)數(shù)，

,X+y"2Vxy-(A/X)?(yfy)-樂(lè))

/.x+y>2Vxy?當(dāng)且僅當(dāng)〃x二y〃時(shí)，等號(hào)成立.

示例：當(dāng)x>0時(shí)，求y=x+—+4的最小值.

x

解：y=(x+—)+4>2Jx4+4=6,當(dāng)x=L即x=l時(shí)，y的最小值為6.

(1)嘗試：當(dāng)X>0時(shí)，求y=X、x+l的最小值.

X

(2)問(wèn)題解決：隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來(lái)越多家庭的交通工具，

假設(shè)某種小轎車的購(gòu)車費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)繳保險(xiǎn)費(fèi)等各類費(fèi)用共計(jì)0.4萬(wàn)元，n年的

2.

保養(yǎng)、維護(hù)費(fèi)用總和為三上萬(wàn)元.問(wèn)這種小轎車使用多少年報(bào)廢最合算(即：使用多少年

10、

的年平均費(fèi)用最少，年平均費(fèi)用=所有W之和)?最少年平均費(fèi)用為多少萬(wàn)元？

年數(shù)n

考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用.

22

分析：(1)首先根據(jù)y=三皿,可得y=x+1+.l,然后應(yīng)用配方法,求出當(dāng)x>0時(shí),y=三上也

XXX

的最小值是多少即可.

2

(2)首先根據(jù)題意，求出年平均費(fèi)用=(JL±5+0.4n+10)然后應(yīng)用

1010

配方法，求出這種小轎車使用多少年報(bào)廢最合算，以及最少年平均費(fèi)用為多少萬(wàn)元即

可.

解答：2,1J—7

解：(1)y=X=X+工+1'21X.』+1=3,

XXVX

當(dāng)x=A,即x=l時(shí)，y的最小值為3.

X

2j

(2).年平均費(fèi)用=(n^n+0,4n+10)印=杰J^+^〉2j^X^+^=2+O.5=2.5,

.當(dāng)n_1.0.

"To^7"

即n=10時(shí)，最少年平均費(fèi)用為2.5萬(wàn)元.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了配方法的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確配方法的關(guān)鍵

是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一

半的平方.

25.（10分）（2015?湘潭）如圖，已知AB是。。的直徑，過(guò)點(diǎn)A作。。的切線MA,P為直

線MA上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑作。P,交。。于點(diǎn)C,連接PC、OP、BC.

（1）知識(shí)探究（如圖1）：

①判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

②判斷直線0P與BC的位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論.

（2）知識(shí)運(yùn)用（如圖2）：

考點(diǎn)：圓的綜合題.

分析：（1）①PC與。。相切.易證明△PA。2△PCO,則NPAO=NPCO,由PA是。0的切

線，可知NPAO=ZPCO=90°,即可證明結(jié)論；

②OPIIBC.由（1）可知NPOA=NPOC,根據(jù)圓周角定理可知NB=NPOA,根據(jù)同位

角相等可證明OPUBC.

（2）根據(jù)OPIIBC,可知些由BD=2AB,可知AD=6OA,OD=5OB,所以PD=5PC,

0D-PD

設(shè)設(shè)PA=PC=R,OA=r，根據(jù)勾股定理列方程求出R與r的數(shù)量關(guān)系，即可在RtAPAO

中求出tanNABC=tanNPOA.

解答：（1）①PC與。。相切.

證明：如圖1,連接0C,

在^PAO和小PCO中，

'0A=0C

<P0=P0，

PA=PC

△PAO^△PCO,

ZPAO=ZPCO,

,；PA是。。的切線，AB是。。的直徑,

ZPAO=ZPCO=90°,

?PC與。0相切.

②OPIIBC.

證明：???△PAO^△PCO,

ZPOA=ZPOC,

ZB=ZPOA,

OPIIBC.

(2)解：如圖2,

BD=2AB,

BD=4OB,AD=6OA,

.BD^4

一而而，

OPIIBC,

.BD_CD_4

'OD^PD^

PD=5PC,

設(shè)PA=PC=R,OA=r,

AD=6r,PD=5R,

PA2+AD2=PD2,

R2+(6r)2=(5R)2

解得：R=Jlr,

2

tanZABC=tanZPOA=理，

OA

Vs

tanZABC=奧?=近.

OAr2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、切線的性質(zhì)與判定、平行線分線段成比例定理、勾股

定理以及銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔

助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題.

26.(10分)(2015?湘潭)如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A(-1,0)、B(3,

0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,連接BC,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)

Q以每秒加個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，連接PQ,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)

時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求t的值；

(3)如圖2,當(dāng)t<2時(shí)，延長(zhǎng)QP交y軸于點(diǎn)M,在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得PQ的

中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)根據(jù)二次函數(shù)y=x?+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，應(yīng)用待定系

數(shù)法，求出二次函數(shù)的解析式即可.

(2)首先根據(jù)待定系數(shù)法，求出BC所在的直線的解析式，再分別求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的

坐標(biāo)各是多少；然后分兩種情況：①當(dāng)NQPB=90。時(shí)；②當(dāng)NPQB=90。時(shí)；根據(jù)等腰

直角三角形的性質(zhì)，求出t的值各是多少即可.

(3)首先延長(zhǎng)MQ交拋物線于點(diǎn)N,H是PQ的中點(diǎn)，再用待定系數(shù)法