2016年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編30圓的有關(guān)性質(zhì)

圓的有關(guān)性質(zhì)

一、選擇題

1.（2016?山東省濱州市?3分）如圖，AB是。。的直徑，C,D是。O匕的點(diǎn)，且OC〃BD,

AD分別與BC,OC相交于點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論：

①AD_LBD；?ZAOC=ZAEC；③CB平分NABD；④AF=DF；@BD=2OF；

⑥4CEF絲ABED,其中一定成立的是（）

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】①由直徑所對(duì)圓周角是直角，

②由于NAOC是。O的圓心角，ZAEC是。O的圓內(nèi)部的角角，

③由平行線得到NOCB=NDBC,再由圓的性質(zhì)得到結(jié)論判斷出NOBC=NDBC；

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位線得到結(jié)論；

⑥得不到^CEF和△BED中對(duì)應(yīng)相等的邊，所以不一定全等.

【解答】解：①、；AB是（DO的直徑，

.\ZADB=90°,

；.AD_LBD,

②、?.?NAOC是。O的圓心角，NAEC是。O的圓內(nèi)部的角角，

ZAOC^ZAEC,

③、：OC〃BD,

；./OCB=/DBC,

VOC-OB,

.?.ZOCB=ZOBC,

ZOBC=ZDBC,

ACB平分NABD,

④、：AB是。0的直徑,

；.NADB=90°,

.\AD±BD,

VOC/7BD,

ZAFO=90°,

,??點(diǎn)。為圓心，

AF=DF,

⑤、由④有，AF=DF,

點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，

...（^是小ABD的中位線，

，BD=2OF,

⑥^.^△CEF和△BED中，沒有相等的邊，

AACEF與4BED不全等，

故選D

【點(diǎn)評(píng)】此題是圓綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題

的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì).

2.（2016.山東省德州市.3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有

下列問(wèn)題“今有勾八步，股十五步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是：”今有直角三角形，勾

（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切

圓）直徑是多少？”（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可確定出內(nèi)切圓半徑.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為行壽=17,

24.1R-17

則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑r=°,°「-3（步），即直徑為6步,

2

故選c

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，RtAABC,三邊長(zhǎng)為a,b,c（斜邊），其內(nèi)

切圓半徑『誓.

3.（2016.山東省濟(jì)寧市.3分）如圖，在。O中，窟二窟，ZAOB=40°,則NADC的度數(shù)

是（）

A.40°B.30°C.20°D.15°

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【分析】先由圓心角、弧、弦的關(guān)系求出NAOC=NAOB=50。，再由圓周角定理即可得出結(jié)

論.

【解答】解：.??在。O中，AB=AC，

AZAOC=ZAOB,

VZAOB=40°,

/.ZAOC=40°,

Z.NADC」/AOC=20。，

2

故選c.

4.（2016?云南省昆明市-4分）如圖，AB為。。的直徑，AB=6,AB,弦CD,垂足為G,

EF切。O于點(diǎn)B,ZA=30°,連接AD、OC、BC,下列結(jié)論不正確的是（）

A.EF〃CDB.△COB是等邊三角形

C.CG=DGD.部的長(zhǎng)為多i

【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算；切線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理和垂徑定理判斷A；根據(jù)等邊三角形的判定定理判斷B；根據(jù)

垂徑定理判斷C；利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出祕(mì)的長(zhǎng)判斷D.

【解答】解：：AB為。。的直徑，EF切。0于點(diǎn)B,

；.AB_LEF,又AB_LCD,

；.EF〃CD,A正確；

?；AB_L弦CD,

，ZC0B=2ZA=60°,又OC=OD,

.,△COB是等邊三角形，B正確；

YABJ^CD,

；.CG=DG,C正確；

踴的長(zhǎng)為：60XJX3一,口錯(cuò)誤，

180

故選：D.

5.（2016?浙江省湖州市?3分）如圖，圓O是R3ABC的外接圓,ZACB=90°,NA=25。,

過(guò)點(diǎn)C作圓。的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則/D的度數(shù)是（）

A.25°B.40℃,50°D.65°

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【分析】首先連接OC,由/A=25。，可求得/BOC的度數(shù)，由CD是圓O的切線，可得

OCXCD,繼而求得答案.

【解答】解：連接OC,

:圓O是RtaABC的外接圓，ZACB=90°,

.??AB是直徑，

ZA=25°,

.?./BOC=2NA=50°,

：CD是圓O的切線,

A0C1CD,

ZD=90°-NBOC=40°.

故選B.

6.（2016?浙江省紹興市?4分）如圖，BD是。O的直徑，點(diǎn)A、C在。。上，研=BG

/AOB=60。，則/BDC的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解：連結(jié)OC,如圖，

7AB=BC>

ZBDC=—ZAOB=—x60°=30°.

22

故選D.

7.（2016廣西南寧3分）如圖，點(diǎn)A,B,C,P在。。上，CDXOA,CE1OB,垂足分

別為Q,E,ZDCE=40°,則/P的度數(shù)為（）

A.140°B.70℃.60°D.40°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出NDOE的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：VCDXOA,CE10B,垂足分別為D,E,/DCE=40。，

.?.ZDOE=180°-40°=140°,

ZP=—ZDOE=70°.

2

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，

都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

8.（2016貴州畢節(jié)3分）如圖，點(diǎn)A,B,C在上，NA=36。，ZC=28°,則/B=（）

A.100°B.72℃.64°D.36°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】連接OA,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NOAC=NC=28。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解

答即可.

【解答】解：連接OA,

VOA-OC,

ZOAC=ZC=28°,

；./OAB=64。，

VOA=OB,

NB=NOAB=64°,

9.（2016河北3分）圖示為4x4的網(wǎng)格圖，A,B,C,D,。均在格點(diǎn)上，點(diǎn)0是（)

第9題圖

A.△4C￡＞的外心B.△ABC的外心

C.△ACQ的內(nèi)心D.△ABC的內(nèi)心

答案：B

解析：點(diǎn)O在△ABC外，且到三點(diǎn)距離相等，故為外心。

.知識(shí)點(diǎn)：外心：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心。

內(nèi)心：三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。（也就是內(nèi)切圓圓心）

10.（2016?山東濰坊?3分）木桿AB斜靠在墻壁上，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑

時(shí)，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動(dòng).下列圖中用虛線畫出木桿中點(diǎn)P隨之下

落的路線，其中正確的是（）

OBVOBXfOBMOB

【考點(diǎn)】軌跡；直角三角形斜邊上的中線.

【分析】先連接OP，易知OP是RSAOB斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半，可得OP=/AB,由于木桿不管如何滑動(dòng)，長(zhǎng)度都不變，那么OP就是一個(gè)

定值，那么P點(diǎn)就在以O(shè)為圓心的圓弧上.

【解答】解：如右圖，

連接OP,由于OP是RtAAOB斜邊上的中線，

所以O(shè)P=*AB,不管木桿如何滑動(dòng)，它的長(zhǎng)度不變，也就是OP是一個(gè)定值，點(diǎn)P就在以

O為圓心的圓弧上，那么中點(diǎn)P下落的路線是一段弧線.

故選D.

11.（2016?陜西?3分）如圖，。0的半徑為4,△ABC是。O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC.若

NBAC與NBOC互補(bǔ)，則弦BC的長(zhǎng)為（）

A.3我B.4收.5揚(yáng).6M

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形.

【分析】首先過(guò)點(diǎn)O作ODLBC于D,由垂徑定理可得BC=2BD,又由圓周角定理，可求

得NBOC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得/OBC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可

求得答案.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作ODJ_BC于D,

則BC=2BD,

:△ABC內(nèi)接于。O,NBAC與/BOC互補(bǔ)，

.".ZBOC=2ZA,/BOC+/A=180°,

，NBOC=120°,

VOB=OC,

/.ZOBC=ZOCB=^=30°,

2

的半徑為4,

/.BD=OB?cos/OBC=4x號(hào)

???BC=4愿.

故選：B.

12.（2016?四川眉山?3分）如圖，A、D是。O上的兩個(gè)點(diǎn)，BC是直徑.若/D=32。，則

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出NB及/BAC的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出/OAB

的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：；BC是直徑，ND=32。，

,NB=ND=32°,ZBAC=90°.

VOA=OB,

/BAO=NB=32。，

，ZOAC=ZBAC-ZBAO=90°-32°=58°.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,

都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

13.(2016?四川攀枝花)如圖，點(diǎn)D(0,3),O(0,0),C(4,0)在。A上，BD是

OA的一條弦，則sin/OBD=()

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】連接CD,可得出NOBD=/OCD,根據(jù)點(diǎn)D(0,3),C(4,0),得OD=3,OC=4,

由勾股定理得出CD=5,再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出sinZOBD即可.

【解答】解：：D(0,3),C(4,0),

r.OD=3,OC=4,

VZCOD=90°,

.?.€0=^32+42=5,

連接CD,如圖所示：

ZOBD=ZOCD,

sinZOBD=sinZOCD=-^^—.

CD5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握?qǐng)A周角定

理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

14.(2016?黑龍江龍東?3分)若點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且NBOC=60。,底邊BC=2,則

△ABC的面積為()

A.2+V3B-C.2-技.4+2^^2-b

3

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)不同情況，求出相應(yīng)的邊的長(zhǎng)度，從而可

以求出不同情況下△ABC的面積，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，如右圖所示，

存在兩種情況，

當(dāng)AABC為AAiBC時(shí),連接OB、OC,

:點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且NBOC=60。，底邊BC=2,OB=OC,

...△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2,OA」BC于點(diǎn)D,

CD=1,OD=,m-]2=<^,

BC?A】D2X（2-付=2-北

"SAABC-

122

當(dāng)△ABC為△A2BC時(shí)，連接OB、OC,

；點(diǎn)0是等腰△ABC的外心，且/BOC=60。，底邊BC=2,OB=OC,

.'.△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2,OA|_LBC于點(diǎn)D,

.'.CD=1,OD=J淤-]

...SAA2BC=BC'DA2/><（2+“）=2+b,

22

由上可得，△ABC的面積為2-Jg或2+、丹，

故選C.

15.（2016?黑龍江齊齊哈爾?3分）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①同位角相等

②經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行

③長(zhǎng)度相等的弧是等弧

④順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】命題與定理.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)平行公理對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)等弧的定義對(duì)

③進(jìn)行判斷；根據(jù)中點(diǎn)四邊的判定方法可判斷順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形為平行四

邊形，加上菱形的對(duì)角線垂直可判斷中點(diǎn)四邊形為矩形.

【解答】解：兩直線平行，同位角相等，所以①錯(cuò)誤：

經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，所以②錯(cuò)誤；

在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，所以③選項(xiàng)錯(cuò)誤；

順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，所以④正確.

故選A.

16.（2016?湖北黃石?3分）如圖所示，。。的半徑為13,弦AB的長(zhǎng)度是24,ON1AB,

垂足為N,則ON=（）

A.5B.7C.9D.11

【分析】根據(jù)的半徑為13,弦AB的長(zhǎng)度是24,ON±AB,可以求得AN的長(zhǎng)，從而

可以求得ON的長(zhǎng).

【解答】解：由題意可得，

OA=13,ZONA=90°,AB=24,

.\AN=12,

ON=7oA2-AN2=7132-122=5'

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是明確垂徑定理的內(nèi)容，利用垂徑定理解答問(wèn)題.

,17.（2016?湖北荊州?3分）如圖，過(guò)。O外一點(diǎn)P引。。的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別

是A、B,OP交。O于點(diǎn)C,點(diǎn)D是優(yōu)弧冠上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、

CD,若NAPB=80。，則NADC的度數(shù)是（)

B

A.15°B.20℃.25°D.30°

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得NBOA,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，根據(jù)圓周角定

理，可得答案.

【解答】解:

由四邊形的內(nèi)角和定理，得

ZBOA=360°-90°-90°-80°=100°,

由公踴，得

ZAOC=ZBOC=50°.

由圓周角定理，得

/ADC」NAOC=25。,

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)得出啟踴是解題關(guān)鍵，又利用了圓周角定

理.

二、填空題

1.（2016.重慶市A卷.4分）如圖，OA,OB是。O的半徑，點(diǎn)C在。O上，連接AC,BC,

若NAOB=120°,則NACB=60度.

【分析】根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧

所對(duì)的圓心角的一半可得答案.

【解答】解：V0A10B,

；.NAOB=120。，

.,.ZACB=120°x^60°,

2

故答案為：60.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

2.（2016?廣西百色?3分）如圖，的直徑AB過(guò)弦CD的中點(diǎn)E,若/C=25。,則/D=65°.

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出NA的度數(shù)，再由垂徑定理求出NAED的度數(shù)，進(jìn)而可得

出結(jié)論.

【解答】解：：/C=25。，

ZA=ZC=25°.

OO的直徑AB過(guò)弦CD的中點(diǎn)E,

AAB±CD,

ZAED=90°,

,ZD=90°-25°=65°.

故答案為：65°.

3.（2016?貴州安順?4分）如圖，AB是。O的直徑,弦CD_LAB于點(diǎn)E,若AB=8,CD=6,

B

【分析】連接0C,根據(jù)垂徑定理得出CE=ED=CD=3,然后在RsOEC中由勾股定理求

出OE的長(zhǎng)度，最后由BE=OB-OE,即可求出BE的長(zhǎng)度.

【解答】解：如圖，連接OC.

:弦CD_LAB于點(diǎn)E,CD=6,

；.CE=ED=2CD=3.

?.?在RtAOEC中，ZOEC=90°,CE=3,OC=4,

.?.OE==V7

.\BE=OB-OE=4-V7.

故答案為4-V7.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟練的運(yùn)用垂徑定理得出

CE、ED的長(zhǎng)度.

4.（2016海南4分）如圖，AB是。O的直徑，AC、BC是。O的弦，直徑DEJAC于點(diǎn)P.若

【分析】解：由AB和DE是。。的直徑，可推出OA=OB=OD=4,ZC=90°,又有DELAC,

得到OP〃BC,于是有△AOPsaABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：；AB和DE是。O的直徑，

.?.OA=OB=OD=4,ZC=90°,

XVDEIAC,

；.OP〃BC,

.?.△AOPs/XABC,

OP_AO

BC-AB,

OP^

即丁而，

；.OP=1.5.

，DP=OP+OP=5.5,

故答案為：5.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，平行線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握

圓周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.（2016?青海西寧?2分）。O的半徑為1,弦AB=&,弦AC=Q,則NBAC度數(shù)為75。

或15。.

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理：解直角三角形.

【分析】連接OA,過(guò)O作OEJ_AB于E,OF_LAC于F,根據(jù)垂徑定理求出AE、FA值，

根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求出NOAB和NOAC,然后分兩種情況求出NBAC即可.

【解答】解：有兩種情況：

①如圖1所示：連接OA,過(guò)O作OE_LAB于E,OF_LAC于F,

.\ZOEA=ZOFA=90°,

由垂徑定理得：AE=BE=亞AF=CF=Y2,

22

COSZOAE=A￡-^,COSZOAF=AF-^,

0A20A2

AZOAE=30°,ZOAF=45°,AZBAC=30o+45°=75°；

②如圖2所示：

連接OA,過(guò)O作OE_LAB于E,OF_LAC于F,

NOEA=NOFA=90°,

由垂徑定理得：AE=BE=瓜，AF=CF=返，

22

/CAUAEM/cauAFV2

cosZOAE=----=二*,cosZOAF=----=-—,

0A2OA2

/.ZOAE=30°,ZOAF=45°,

.,.ZBAC=45o-30°=15°；

故答案為：75。或15。.

CB

圉2

6.（2016?吉林?3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,NDAB=130。，連接OC,點(diǎn)P是半

徑OC上任意一點(diǎn)，連接DP,BP,則NBPD可能為80度（寫出一個(gè)即可）.

【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理.

【分析】連接OB、0D,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NDCB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求

出/DOB的度數(shù)，得到NDCBVNBPDVNDOB.

【解答】解：連接OB、OD,

四邊形ABCD內(nèi)接于ZDAB=130°,

AZDCB=180°-130°=50°,

由圓周角定理得，ZDOB=2ZDCB=100°,

ZDCB<ZBPD<ZDOB,即50°<ZBPD<100°,

ZBPD可能為80°,

故答案為：80.

7.(2016?四川瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(l,0),B(1-

a,0),C(1+a,0)(a>0),點(diǎn)P在以D(4,4)為圓心，1為半徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，且始終滿足NBPC=90。，則a的最大值是6.

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.

【分析】首先證明AB=AC=a,根據(jù)條件可知PA=AB=AC=a,求出。D上到點(diǎn)

A的最大距離即可解決問(wèn)題.

【解答】解：?/A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

AB=I-(1-a)-a,CA=a+l-1-a,

，AB=AC,

/BPC=90°,

PA=AB=AC=a,

如圖延長(zhǎng)AD交。D于P，，此時(shí)AP，最大，

A(1,0),D(4,4),

AD=5,

AP'=5+1=6,

；.a的最大值為6.

故答案為6.

8.(2016?黑龍江龍東?3分)如圖，MN是。O的直徑，MN=4,/AMN=40。，點(diǎn)B為弧AN

的中點(diǎn)，，點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為2M.

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；圓周角定理.

【分析】過(guò)A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)N,連接A，B,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AB即為PA+PB

的最小值，由對(duì)稱的性質(zhì)可知標(biāo)丞',再由圓周角定理可求出NA，ON的度數(shù)，再由勾股

定理即可求解.

【解答】解：過(guò)A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接AB,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AB即為

PA+PB的最小值，

連接OB,OA',AA\

：AA，關(guān)于直線MN對(duì)稱，

ATA71'

*.?ZAMN=40°,

AZA'ON=80°,ZBON=40°,

ZA,OB=120°,

過(guò)O作OQ_LAB于Q,

在RlAA'OQ中，OA'=2,

.,.A,B=2A,Q=2A/3，

即PA+PB的最小值2圾.

故答案為：2代.

1.(2016?四川瀘州)如圖，AABC內(nèi)接于。0,BD為。O的直徑，BD與AC

相交于點(diǎn)H,AC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E,且/A=NEBC.

(1)求證：BE是。。的切線；

(2)已知CG〃EB,且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G,若BG?BA=48,

FG=&,DF=2BF,求AH的值.

【考點(diǎn)】圓的綜合題；三角形的外接圓與外心；切線的判定.

【分析】(1)欲證明BE是OO的切線，只要證明/EBD=90。.

(2)由△ABCs^CBG,得也:膽求出BC,再由ABFCS/\BCD,得

BGBC

BC2=BF?BD求出BF,CF,CG,GB,再通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG=AG,進(jìn)而可以證

明CH=CB,求出AC即可解決問(wèn)題.

【解答】(1)證明：連接CD,

VBD是直徑，

NBCD=90。，即ND+NCBD=90。，

VZA=ZD,NA=NEBC,

，NCBD+NEBC=90°,

，BE_LBD,

ABE是。O切線.

(2)解：VCG^EB,

，NBCG=NEBC,

，ZA=ZBCG,

ZCBG-ZABC

...AABC^ACBG,

.?.里=迪，即BC2=BG?BA=48,

BGBC

???BC=4對(duì)，

VCG/7EB,

ACFIBD,

ABFC^ABCD,

；.BC2=BF?BD,

,/DF=2BF,

BF=4,

在RTABCF中，CF=^/BC2_FB2=472-

；.CG=CF+FG=5&,

在RTABFG中，BG=JBF2+FG2=3&，

：BG?BA=48,

，BA=8揚(yáng)JAG=5加,

；.CG=AG,

AZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°,

ZCHF=ZCBF,

.,.CH=CB=4?,

AABC^ACBG,

.AC_BC

?'育部，

.,_CB-CG_20A/3

??AALr----------，

CG3

AH=AC-CH=^X

3

2.（2016?四川攀枝花）如圖，在AAOB中，/AOB為直角，OA=6,OB=8,半徑為2的

動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<tW5）

以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的。P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D,連結(jié)CD、QC.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？

（2）當(dāng)OQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求。P被OB截得的弦長(zhǎng).

（3）若。P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍.

B

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】(1)由題意知CDJ_OA,所以△ACDs/XABO,利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長(zhǎng)度,

若Q與D重合時(shí)，則，AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值；

(2)由于0＜上5,當(dāng)Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，OQ=4,此時(shí)用時(shí)為4s,過(guò)點(diǎn)P作PE_LOB于點(diǎn)E,

利用垂徑定理即可求出。P被OB截得的弦長(zhǎng)；

(3)若。P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，分以下兩種情況，①當(dāng)QC與OP相切時(shí)，計(jì)算出

此時(shí)的時(shí)間；②當(dāng)Q與D重合時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；由以上兩種情況即可得出t的取值

范圍.

【解答】解：(1)VOA=6,OB=8,

由勾股定理可求得：AB=10,

由題意知：OQ=AP=t,

；.AC=2t,

「AC是。P的直徑，

ZCDA=90°,

；.CD〃OB,

/?△ACD^AABO,

.ACAD

ABOA

AD=--

5

當(dāng)Q與D重合時(shí)，

AD+OQ=OA,

.6,,

??—t+t=6A,

5

..t=—30；

11

(2)當(dāng)。Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，如圖1,

OQ=OA-QA=4,

1

，PA=4,

ABP=AB-PA=6,

過(guò)點(diǎn)P作PELOB于點(diǎn)E,OP與OB相交于點(diǎn)F、G,

連接PF,

...PE〃OA,

/?△PEB^AAOB,

.PEBP

?*'_,,

OAAB

?18

5

...由勾股定理可求得：EF=2叵，

5

由垂徑定理可求知：FG=2EF=±^亙；

5

(3)當(dāng)QC與。P相切時(shí)，如圖2,

此時(shí)NQCA=90。，

VOQ=AP=t,

AQ=6-t,AC=2t,

VZA=ZA,

ZQCA=ZABO,

AAAQC^AABO,

,AQAC

??1二3

ABOA

.6-t2t

??--------

106

t_18

l----f

13

.?.當(dāng)0＜飪契時(shí)，OP與QC只有一個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)QCJ_OA時(shí)，

此時(shí)Q與D重合，

由（1）可知：t=碧，

當(dāng)需＜區(qū)5時(shí)，OP與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)，OP與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為：。＜乜絲或里〈區(qū)5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及圓的切線判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性

質(zhì)，學(xué)生需要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來(lái)分析，并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.

3.（2016?山東濰坊）正方形ABCD內(nèi)接于。O,如圖所示，在劣弧源上取一點(diǎn)E,連接

DE、BE,過(guò)點(diǎn)D作DF〃BE交。。于點(diǎn)F,連接BF、AF,且AF與DE相交于點(diǎn)G,求證:

（1）四邊形EBFD是矩形；

(2)DG=BE.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；矩形的判定；圓周角定理.

【分析】（1）直接利用正方形的性質(zhì)、圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出

ZBED=ZBAD=90°,ZBFD=ZBCD=90°,ZEDF=90°,進(jìn)而得出答案；

（2）直接利用正方形的性質(zhì)標(biāo)的度數(shù)是90。，進(jìn)而得出BE=DF,則BE=DG.

【解答】證明：（1）,??正方形ABCD內(nèi)接于。O,

二NBED=/BAD=90。，NBFD=/BCD=90。，

又,.?DF〃BE,

.".ZEDF+ZBED=180°,

ZEDF=90°,

二四邊形EBFD是矩形；

(2))?.?正方形ABCD內(nèi)接于00,

二俞的度數(shù)是90°,

.?.ZAFD=45°,

又；ZGDF=90°,

.".ZDGF=ZDFC=45°,

；.DG=DF,

又?.?在矩形EBFD中,BE=DF,

；.BE=DG.

4.（2016?廣西桂林?8分）已知任意三角形的三邊長(zhǎng)，如何求三角形面積？

古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個(gè)問(wèn)題，在他的著作《度量論》一書中給出了計(jì)算公式--

海倫公式5=）〃（〃一°）（2一/）（〃一C）（其中心1。是三角形的三邊長(zhǎng)，

n_a+h+c,S為三角形的面積），并給出了證明

例如：在△ABC中，a=3,b=4,c=5,那么它的面積可以這樣計(jì)算：

*.*a=3,b=4,c=5

?a+b+cx

??P=^^6

S=Vp(p-a)(p-b)(p-c>V6X3X2X1-6

事實(shí)上，對(duì)于已知三角形的三邊長(zhǎng)求三角形面積的問(wèn)題，還可用我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶

提出的秦九韶公式等方法解決.

如圖，在△ABC中，BC=5,AC=6,AB=9

(1)用海倫公式求△ABC的面積；

(2)求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；二次根式的應(yīng)用.

【分析】(1)先根據(jù)BC、AC、AB的長(zhǎng)求出P,再代入到公式S』p(p-a)(p-b)(p-c)

即可求得S的值；

(2)根據(jù)公式S=、(AC+BC+AB),代入可得關(guān)于r的方程，解方程得r的值.

【解答】解：(1)VBC=5,AC=6,AB=9,

,BC+AC+AB5+6+9in

22

S=VP(P-a)(P-b)(p-c>V10X5X4X1=10&;

故^ABC的面積1072：

(2)VS=-^r(AC+BC+.AB),

?■-10V2=^r(5+6+9),

解得：r=料，

故^ABC的內(nèi)切圓半徑r=J工.

5.(2016?廣西桂林?10分)如圖，在四邊形ABCD中，AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,ZB=90°,

以AD為直徑作圓O,過(guò)點(diǎn)D作DE〃AB交圓O于點(diǎn)E

(1)證明點(diǎn)C在圓O上；

(2)求tan/CDE的值；

(3)求圓心O到弦ED的距離.

B

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【分析】(1)如圖1,連結(jié)CO.先由勾股定理求出AC=10,再利用勾股定理的逆定理證明

△ACD是直角三角形，ZC=90°,那么OC為RtZkACD斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=,AD=r,即點(diǎn)C在圓0上；

(2)如圖2,延長(zhǎng)BC、DE交于點(diǎn)F,ZBFD=90°.根據(jù)同角的余角相等得出NCDE=/ACB.在

為△ABC中，利用正切函數(shù)定義求出tan/ACB=@-』，則tan/CDE=tan/ACB=N

844

(3)如圖3,連結(jié)AE,作OG_LED于點(diǎn)G,則OG〃AE,且OG=L\E.易證△ABC^ACFD,

2

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CF=g,那么BF=BC+CF=￥.再證明四邊形ABFE

55

是矩形，得出AE=BF=L2,所以O(shè)G=LAE=%.

525

【解答】(1)證明：如圖1,連結(jié)CO.

：AB=6,BC=8,ZB=90°,

AC-10.

XVCD=24,AD=26,102+242=262,

.二△ACD是直角三角形，ZC=90°.

；AD為。。的直徑，

AO=OD,OC為RtAACD斜邊上的中線，

.,.OC=—AD=r,

2

...點(diǎn)C在圓O上;

(2)解：如圖2,延長(zhǎng)BC、DE交于點(diǎn)F,ZBFD=90°.

NBFD=90°,

，ZCDE+ZFCD=90°,

又；NACD=90°,

/.ZACB+ZFCD=90°,

???NCDE=NACB.

在RIAABC中，tanZACB=-^=—,

84

3

tanZCDE=tanZACB=—；

4

(3)解：如圖3,連結(jié)AE,作OG_LED于點(diǎn)G,則OG〃AE,且OG=￡AE.

易證△ABCs/XCFD,

?AB二AC即6_10

"CT"CD，C^~24f

.「口72

5

79112

JBF二BC+CF=8+|乙="乙.

55

VZB=ZF=ZAED=90°,

???四邊形ABFE是矩形，

11?

AAE=BF=-i^,

5

156

AOG=—AE=—,

25

即圓心O至！I弦ED的距離為善.

5

6.（2016?貴州安順?12分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半

徑的圓O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F,且/ACB=NDCE.

（1）判斷直線CE與。O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；.

返

BC=2,求00的半徑.

【分析】（1）連接OE.欲證直線CE與。O相切，只需證明NCEO=90。，即OE_LCE即可;

（2）在直角三角形ABC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得AB=W歷，然后根據(jù)勾股定理求

得AC=J^,同理知DE=1；

方法一、在Rt^COE中，利用勾股定理可以求得CC）2=OE2+CE2,即（、用-=）2=/+3,從

而易得r的值;

方法二、過(guò)點(diǎn)O作OM_LAE于點(diǎn)M,在RSAMO中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得r的

值.

【解答】解：（1）直線CE與。。相切.…（1分）

理由如下:

?.?四邊形ABCD是矩形,

；.BC〃AD,ZACB=ZDAC；

XVZACB=ZDCE,

NDAC=NDCE；

連接OE,則NDAC=NAEO=/DCE；

,/ZDCE+ZDEC=90°

，ZAE0+ZDEC=90°

ZOEC=90°,BP0E1CE.

又OE是（DO的半徑，

直線CE與。O相切.…（5分）

AB返

(2)VtanZACB=BC=2,BC=2,

AB=BC?tanNACB=&,

AAC-V6；

XVZACB=ZDCE,

返

.".tanZDCE=tanZACB=2,

.".DE=DC?tanZDCE=l；

方法一：在Rt^CDE中，CE=VCD2+DE2

連接OE,設(shè)。O的半徑為r,則在RSCOE中，CO2=OE2+CE2,g|J~r)2=r2+3

返

解得：r=4

方法二：AE=AD-DE=1,過(guò)點(diǎn)O作OM_LAE于點(diǎn)M,則AM=2AE=2

AM1_2_V6

在RsAMO中，OA=COSNEA0=2+V^=4...(9分)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；利用勾股定理計(jì)算線段的

長(zhǎng).

7.（2016?黑龍江哈爾濱?10分）已知：ZkABC內(nèi)接于。0,D是上一點(diǎn)，ODJ_BC,垂足

為H.

（1）如圖1,當(dāng)圓心O在AB邊上時(shí)，求證：AC=2OH；

（2）如圖2,當(dāng)圓心0在△ABC外部時(shí)，連接AD、CD,AD與BC交于點(diǎn)P,求證：

NACD=/APB；

（3）在（2）的條件下，如圖3,連接BD,E為。0上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)Q、交

AB于點(diǎn)N,連接OE,BF為OO的弦，BF_LOE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G,若NACD-

ZABD=2ZBDN,AC=5爬,BN=3&,tan/ABC卷，求BF的

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】（1）OD，”BC可知點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，又中位線的性質(zhì)可得AC=2OH；

（2）由垂徑定理可知：BD=CD-物以NBAD=/CAD,由因?yàn)镹ABC=NADC,所以

/ACD=/APB；

（3）由NACD-ZABD=2ZBDN可知NAND=90。，由tan/ABC卷可知NQ和BQ的長(zhǎng)

度，再由BFJ_OE和ODJ_BC可知NGBN=NABC,所以BG=BQ,連接AO并延長(zhǎng)交（DO

于點(diǎn)I,連接IC后利用圓周角定理可求得IC和AI的長(zhǎng)度，設(shè)QH=x,利用勾股定理可求出

QH和HD的長(zhǎng)度，利用垂徑定理可求得ED的長(zhǎng)度，最后利用tan/OED=￡即可求得RG

的長(zhǎng)度，最后由垂徑定理可求得BF的長(zhǎng)度.

【解答】解：（1）VOD1BC,

由垂徑定理可知：點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，

???點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

AOH是AABC的中位線，

.,.AC=2OH；

（2）VOD1BC,

:.由垂徑定理可知：而二而，

???NBAD=NCAD,

???AC二AO

.\ZABC=ZADC,

???180°-ZBAD-ZABC=180°-ZCAD-ZADC,

AZACD=ZAPB,

(3)連接AO延長(zhǎng)交于。O于點(diǎn)I,連接IC,AB與OD相交于點(diǎn)M,

ZACD-ZABD=2ZBDN,

JZACD-NBDN=NABD+NBDN,

???ZABD+ZBDN=ZAND,

/.ZACD-ZBDN=ZAND,

VZACD+ZABD=180°,

.\ZABD+ZBDN=180°-ZAND,

AZAND=180°-ZAND,

.*.ZAND=90o,

VtanZABC=y,BN=3娓，

??.NQ=^^,

2

???由勾股定理可求得：BQ二空，

VZBNQ=ZQHD=90°,

/.ZABC=ZQDH,

VOE=OD,

/.ZOED=ZQDH,

/ERG=90。，

.\ZOED=ZGBN,

AZGBN=ZABC,

VABIED,

???BG=BQ二學(xué),GN=NQ=^^,

VAI是。O直徑，

??ZACI=90°,

tanZAIC=tanZABC=—,

2

.AC1

；.IC=10旄，

由勾股定理可求得：AI=25,

連接OB,

設(shè)QH=x,

VtanZABC=tanZODE=—,

2

.QH1

??—，

HD2

；.HD=2x,

9R

.\OH=OD-HD=—-2x,

2

15

BH=BQ+QH=x,

~2

由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2,

（爭(zhēng)2=（J^-+x）2+（學(xué)-2x）2,

解得：X=1-或x],

當(dāng)QH=-|4Fj-,

.*.QD=7gQH--^^,

/.ND=QD+NQ=6娓，

，MN=3遙，MD=15

,?*MD>—,

2

.??QH=?不符合題意，舍去，

當(dāng)彌=抑

.-.QD=VgQH=1V5

；.ND=NQ+QD=4代，

由垂徑定理可求得：ED=10A/5,

AGD=GN+ND=

，EG=ED-GD=y/5,

VtanZOED=—,

2

.RG1

??—f

ER2

EG=A/^RG)

g

.??RG*

2

，BR=RG+BG=12

六由垂徑定理可知：BF=2BR=24.

/B

（圖3）

8.（2016河北）（本小題滿分10分）

如圖，半圓。的直徑AB=4,以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑，向點(diǎn)。方向作半圓M,其中P點(diǎn)在

AQ（?。┥锨也慌cA點(diǎn)重合，但。點(diǎn)可與8點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn)AP（?。┑拈L(zhǎng)與QB（?。┑拈L(zhǎng)之和為定值/,求/；

思考點(diǎn)M與AB的最大距離為,此時(shí)點(diǎn)P,A間的距離為；點(diǎn)M與AB的

最小距離為,此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為.

探究當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，求AP（?。┑拈L(zhǎng).

第25題圖備用圖

解析：圖畫好，就好求。最大距離就是OM,當(dāng)OMJ_AB時(shí)，利用角和邊的關(guān)系，AAOP

是等邊三角形，點(diǎn)"與48的最小距離，Q與B重合，面積，扇形減三角形。

相切，兩種情況，左邊和右邊，對(duì)稱的，畫好圖，根據(jù)cos35。=逅，cos55。=立,

33

以及已知角，求所需要的角。

知識(shí)點(diǎn)：圓

25.解：發(fā)現(xiàn)連結(jié)。P,OQ,則。尸=。。=尸0=2.

ZPOQ=60°.：.麗的長(zhǎng)2K

T

,,1,27147t

..I=—n-4=——2分

233

思考打2立￡-3

6分

264

探究半圓M與Z8相切，分兩種情況:

①如圖I,半圓M與4。切丁點(diǎn)71時(shí)，連結(jié)尸O,MO,TM.

則MTU。，OMLPQ.

在R3QM中，sinZPOA/=-,

2

二ZPOM=30°.....................................................7分

在RtZXTOM'中，TO=yJ^j2-l2=>/2.

cosZAOM=遠(yuǎn)

即乙40"=35°.