2023年河北省邢臺市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2023年河北省邢臺市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

真題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.

已知函數(shù)/（才）在（-8,+8）內(nèi)可導(dǎo)，周期為，1,且|而「1）一/（I-工）=-1,則曲線

y=/（T>在點處的切線斜率為（）

A.yB.OC.-1D.-2

2.

設(shè)/均存在.以下四式中錯誤的一項是（）

A./<.ro）=lim/V—。）B.f'（工。）=]im八勺+髭一,）

C.八Ho）_lim八也+平）+/F）D./（0）=lim

*~*oZXTx—0JC

3.

曲線y=2+lnx在x=e處的法線的斜率為（）

D.

4.

函數(shù))=(1—xY{x<1)的微分dy=()

A.(1-x)JIln(l—x)+B.(1—xYfln(l-x)

C.x(l-r)^dxD.一?r（l—力廣%工

5.

/sirudw=)

A.zB.一nC.1D.0

6.

設(shè)函數(shù)八幻的定義域為[0,1],則函數(shù)/(lnx)的定義域為()

A.(-oo,4-oo)B.[l.e]C.[0,1]D.(O.e]

7.

.設(shè)/(.r)在[―a,a]上連續(xù)，則[―/(一.r)[dz=()

J~a

A.2f/(x)dTB.2[f(—x)dxC.\f(x)d.rD.0

J0J0J-a

8.

oo

已知級數(shù).則下列結(jié)論正確的是()

M-I

8

若lim〃”=0,則2收斂

ft?8_.I

OOOO

3.若的部分和數(shù)列｛SJ有界?則收斂

1n-1

88

二若￡|U.I收斂.則絕對收斂

#■11

88

工若2II發(fā)散.則?”也發(fā)散

1I

9.

3-j2

f2.Zedw=()

Jo

A.1B.OC.1-2e-,D.e-1-1

10.

設(shè)八1)的一個原函數(shù)為sin2?r,則j/(%)dx=()

A.cos2xB.sin2HC.cos2x+CD.sin2%+C

11.

22

若J/XaOdr=jc+C,貝Ijjx?/(1—x)dj'=)

A.-2(l-.?)2+CB.2(1—/)2+C

22

C.一9(1一彳2)2+。D.J(1-^)+C

12.

設(shè)函數(shù)/Cr))

A.1

13.

設(shè)￡=汁苕三I.則其實部和虛部分別為

<_J__32J_32_32_J_1

HrDn-32

.一分’―西25*25.一天’一天25,25

14.

當Z-0時，下列無窮小量與ln(l+2z)等價的是()

A.XB.yJCC.x1D.sin2i

15.

.極限lim,.紅匕—=()

二；g+1-1

A.0B.4c-D.T

4

16.

設(shè)a=jEctr,6=j[""'"clr?則()

A.a=bB.a>6

C.aVbD.a,b無法比較

,函數(shù)匹=ln(x-l)+-」-的定義域為()

V16-X2

17A(l,4]B.[1,4]C.(l,4)D.[l,4)

下列結(jié)論正確的是()

18A.函數(shù)/(x)的駐點一定是/(X)的極值點

B.函數(shù)/(x)的極值點一定是/(x)的駐點

C.函數(shù)/(x)在X。處可導(dǎo)，則/(%)在0處連續(xù)

D.函數(shù)在/連續(xù)，則/(x)在/處可導(dǎo)

19.

下列函數(shù)中.在［一1.11上滿足羅爾定理條件的是()

A.3,—ln(l—X2)B.j=|x|

C.y=v^xs_1D.>=v71+x

20.

若點(1,-2)是曲線的拐點，則()

A.a—1.6=3B.a――3,b——1

C.a――1,b3D.a=4,6=6

21.

設(shè)平面曲線C是從點(1,1)到點(2,3)的直線段，則對坐標的曲線積分

12xdx+(y_x)4y=()

A.-4B.4C.2D.6

22.

(Z*?1],T0,

/(T)=Jlim/(x)存在,則a=)

(21+a.1>0,*"

A.-1B.OC.1D.2

23.

若不定積分j?Cr)dz=J+C,則/'(力=()

A.In!xIB.—C.-4D」

XXJC

24.

?微分方程學(xué)+柴=1是

()

A.二階非線性微分方程B.二階線性微分方程

C.一階非線性微分方程D.一階線性微分方程

25.

若函數(shù)y=/(〃)可導(dǎo),〃=e",則dy=()

Aj(e')drB./(e')deJCJ%)e也D,[/?)了de，

26.

125

若行列式13-2=0,則1=()

25w

A.-3B.-2

C.2D.3

27.

w=0是函數(shù)f(x)=----手壯的()

A.可去間斷點B.連續(xù)點

C.無窮間斷點D.跳躍間斷點

28.

].sin2(1—x)

()

(x-l)2(x+2)

.1?1,2

C.0D.-y

A-T*5

29.

設(shè)四階矩陣N=(a,一%,〃，一九)，8=(夕,七,一73，%)，其中見伉72，73,但均為4

維列向量，且已知行列式國=4,慟=1,則行列式卜-理=()

A.20B.30C.40D.50

30.

下列級數(shù)中發(fā)散的是(

%B.SFC.玄店D.fjsi哪

n

?=i?3B=ivw~r1s=i3

二、填空題(20題)

y/a2—.r2d.J'=

31."

32.

設(shè)曲線L；/+/=t，則對弧長的曲線積分?Cr—sin，犬+J)ds=

二階線性齊次微分方程/+2y—3y=0的通解為

33.

x3Vl-x2dx=.

34.2

積分fcd:=

35.J"

36.

設(shè)/(H)在［O,l］上連續(xù),|"(|cosj'|)dj'=A，則/=|/(|COSJC|)d.z-

J。Jo

函數(shù)(f-D2d的拉氏變換為

37.

38.

向量a=(1?一1.2｝在b=｛0,3,4｝上的投影為

39.

極限lim+2-x—3)

才一十8

已知極限lim/l=e-\則常數(shù)A=

40.…\左下)

41.

設(shè)。=4，-3,2｝與匕=｛1,2,入｝相互垂直，則義=

曲線y=代一，的拐點是.

已知=F(m),則函數(shù)八2/—5)的傅里葉變換為

寤級數(shù)I1一產(chǎn)二的收斂半徑是

44.”7v?!

(3、

(1,2,3)2=.

46.

?Tt

由夕=5111%,直線x=一及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積

2

是一

sin6x

極限lim

47.tan2.r

(jr3—x+l)sin2.

48.」-

49.

設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(YO,8)內(nèi)連續(xù)，且/(x)=3-—乙4>o),則/(0)=

X

limqin(〃+1)-In=°

50.____

三、計算題(15題)

設(shè)函數(shù)了=.y(久)由參數(shù)方程，一“‘所確定,求空及舞.

drdr

51N=c"-

pl—12—13+力=0，

解線性方程組V?一才2+4一3.心=0.

力一q-2工3+3力=0.

52.

53.

求”?dy,其中D={(/,_y)|了》J2+<4}.

.D2戶十)V

求極限lim理二

x-?ox-smx

54.

----?x>0,

求fJ(x)dx.

已知1+x

---,x<0,

ll+e”

55.

31)2”

56求幕級數(shù)指工：的收斂域.

57.

設(shè)之=fCry.x2+/)，且/具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求上.

58.

計算曲線積分I=[J/+y)d.r+(.r+>/7)d_y,其中L為從點0(0.0)經(jīng)過點A(1,0)

到點8(1,1)的一段折線.

59.

設(shè)2=/(%+乂y2一必)，其中z=/(〃,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求宜上.

dydx

求定積分jln,zd.r.

60.J1

61.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-8,+8)上連續(xù)，且滿足f(x)=lnx+，f(x)dx,求/(x).

計算不定積分[c1r.

62.

P（1-cos/）dr

求極限lim蟲-----5-----.

63.2。%

64.

計算曲線積分］（三-2zy）d#+（y=-2中）心,其中L是拋物線y=〃上從點（-1,1）

到點（LD的一段弧.

65.

$+2小-力+h=2,

19.已知線性方程組：卜q+4及一八+3右=*當。取何值時，方程組有解？并求

13q+6T2-2T3+44=5,

出通解.

四、證明題（10題）

66.

求由拋物線:y=IT及其在點（i,o）的切線和y軸所圍成的平面圖形的面積.

67.

，設(shè)函數(shù)/Gr）在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且/⑴=1,證明，在（0.D內(nèi)至少存在

一點&使得/（￡）+&'（《）-2￡=0成立.

68證明：當0V”WK時，4siniI2cosx<2.

69.

已知方程1"一x7—T3+彳=0有一正根才=1.證明方程11110—7.r6-3〃+1=0

必有一個小于1的正根.

設(shè)0<a4〃，證明不等式與且<ln-<”三

70.ba

71.

設(shè)函數(shù)/（.r）在［1,3］上連續(xù)，在（1,3）內(nèi)可導(dǎo)，且八3）=0,證明：至少存在一點

三6（1，3）,使占'（幻1成+/（5）=0.

72.

已知方程4.r+3-V=o有一負根下=—2.證明方程4+9彳2—5Z=0必有一個

大于一2的負根.

證明：當7>0時，有（1+〉arclan.r.

73.

74.

證明：當z〉0時，一—>ln（1+JT）.

75.

設(shè)函數(shù)/（x）在口，31上連續(xù)，在（1.3）內(nèi)可導(dǎo).且八3）=0.證明：至少存在一點

￡6（1，3）,使占'（切1成+/（3）=0.

五、應(yīng)用題（10題）

76.

曲線y=./(]>0),直線r+?=2以及)，軸圍成一平面圖形D,試求平面圖形D繞

》軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

77.

求平面高+++看=1和柱面產(chǎn)+丁=1的交線上與Qy平面距離最短的點.

oTD

78.

假麻企業(yè)在酎互相輔的市場上雌同一種穌，酎市堀幡耨分睚

Q二竽Q廣12-族中工施弗栩飾躺偏(旗怫怖觸野財產(chǎn)

L

跳毓本微以二2(Q-QJ+5,頻御雌，蛭山麒耿橢，井榔聯(lián)

脆

79.

；a"；2'i...一?二薩“,：笥滋?心,.；1轉(zhuǎn)口.1

一曲線通過點(1,3)且在任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標的倒數(shù),求：

(1)該曲線的方程；

(2)該曲線與7軸及直線工=e?所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

80.

設(shè)Di是由拋物線v=2.r2和直線.r=a,z=2及_y=0所圍成的平面區(qū)域；D?是由

拋物線y=2x2和直線y=O,x=a所圍成的平面區(qū)域.其中0Va<2.

(1)試求以繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積V”Q繞｝，軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積V?；

(2)問當a為何值時匕十匕取得最大值?試求此最大值.

81.

求曲線y=Int在區(qū)間(2,6)內(nèi)的一點，使該點的切線與直線x=2,x—6以及

y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

82.

平面圖形由拋物線=2a?與該曲線在點（；，1）處的法線圍成.試求：

（1）該平面圖形的面積；

（2）該平面圖形繞1軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.

83.

求由拋物線y=F與直線y=x所圍成的平面圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周

所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

84.

求曲線y=6z與.y=合所圍成圖形的面積.

85.

要建造一個無蓋長方形水池，其底和壁的總面積為192m2,問水池的尺寸如何設(shè)計

時，水池的容積最大？

六、綜合題（2題）

求/（.r）;

86.

87.

?過坐標原點作曲線y=e，的切線/.切線/與曲線y=e”及y軸圍成的平面圖形記為

G.求：

切線/的方程；

參考答案

l.D

［答案］D

【精析】由導(dǎo)數(shù)定義可得，KmW】r)=1lim八1_：)_/(1)=-^-/(l)=-l.

所以/(D=—2,乂函數(shù)周期為l,故/(5)=/(I)=-2.

2.D

L答案」D

【精析】^(0)-lim/(r)-{(o)lim"r)一八°).因為不確定f(0)是否等于0.

所以不一定有了'?))-lim

J-*-01

B

1

【評注】y=-，在x=e處的法線的斜率為-=-e.

y(e)

3.BX

4.B

［答案］B

【精析】因為y=(1—工/=，所以y'—e*l°n_'r，Qxln(l—x)J*=(1—h)*口n(l

—x)—丁^—1.故dy=(1—7)lln(1—1)一丁^—,故選B.

1-x1—JC

5.D

【精析】由于jy=a2siru?為［一式,用上的奇函數(shù).故|Msirwdr=0,本題選D.

6.B

［答案1B

【精析】f(.r)的定義域為［0,1］,對于來說應(yīng)滿足O&lnx&l,即

故應(yīng)選B.

7.D

【精析】因為/(外一/(一外在［-a,川上是奇函數(shù),所以「L/(x)-/(-x)］cLr=0,

J-a

故應(yīng)選D.

A項中若&=」"，結(jié)論不成立；

8.Cn

B項中若u?=(—D",結(jié)論不成立；

D項中若〃“=(―1)""，結(jié)論不成立;

n

由絕對收斂的定義知?C項正確.

,19ri2

2J,3e-Jd.r=Md(—e-J)

0J0

=—j2e-^2+|2je-r2d.r

9.CoJo

10D【精析】由原函數(shù)及不定積分的定義知，應(yīng)選D.

11.C

【精析】。?/(I-x2)d.r=-^-[/(l-x2)d(l-x2)=-J(1—7+C.

12.C

[答案]C

fsin2j.,

---十e，x<o,

【精析】/(T)=J]在工=0處的左極限lim+門=2+

Jf-*Q

4x2—3x—3x>0

1=3,右極限limEx2-3]1R)=4.因為/(*)在H=0處連續(xù)，則左右極限相等?所

J-01

以4=3.故選C.

13.A

[答案]A

1精機J:-(]+爐+i-(i+M(I+-zu+i)+i(2i)<2i)(l+i)+1

—5+4i=—1-32i

-3-4i~—25-,

14.D

【精析】因為當zf0時sin2j*?2N,ln(l+2M)?2x,

所以當n-??0時ln(l+2M)?sin2],故應(yīng)選D.

15.B

［精析］lim-2—=——2“（47+1+12——

二；=：（/^TT-i）（vGyTT+D

=Hm2.心（，＜v十1+1）

LOxy

y-*O

=41

故選B.

16.A

【精析】

故應(yīng)選A.

C解析：考查函數(shù)定義域.解不等式組［"7：°八即得.

I”16-x2>0

1/.c、

18.C

【評注】本題考查的是駐點與極值點及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.關(guān)于極值點，我們有如下

結(jié)論：極值點可能在駐點或者不可導(dǎo)點處取得；如果函數(shù)可導(dǎo)，則極值點一定為駐點;

駐點、不可導(dǎo)點都不一定是極值點，我們需要根據(jù)駐點（或者是不可導(dǎo)點）左右兩側(cè)

導(dǎo)數(shù)的符號來進一步判斷駐點（不可導(dǎo)點）是否是極值點.

19.C

［答案］C

【精析】該題需要按定理的三個條件“連續(xù)”“可導(dǎo)”“相等”逐一驗證.

A.在］=土1時ln（l-三）無定義.從而函數(shù)在閉區(qū)間1―1,口上不連續(xù)，不滿足羅爾定理

的第一個條件，不合要求；

B.J，=|才|在［一1,口上處處連續(xù)是滿足的，但是函數(shù)在工=0處不可導(dǎo),從而函數(shù)在

（—1,1）內(nèi)不是處處可導(dǎo)的，不滿足羅爾定理的第二個條件，不合要求；

C./（x）=擰=1在（一］」）內(nèi)處處可導(dǎo)，在［-1，門上處處連續(xù)，且八一1）="1），

故該函數(shù)在區(qū)間二一L1］上滿足羅爾定理的各個條件,符合要求；

D.顯然八一1）所以不滿足羅爾定理的第三個條件，不合要求.

故選C.

20.A

匚答案]A

【精析】若點(詼./(工。))為曲線y=f("的拐點，則/(J-O)=0或，QG不存在.

_y=ar3—&r:處處二階可導(dǎo)，_y'=3ar2—2/tr,y'r=6az—2b.

由題意y(l)=-2,/(l)=0.

ta—b=-2,

即.解得a=1,6=3,故選A.

]6a-26=0.

【評注】平面曲線。的參數(shù)方程可記作|(l<x<2),

y=2x~l,

21BJc2xdx+(y-x)dy=j；[2x+(2x-l-x>2]dx=4,所以，選B.

22.A

L答案」A

【精析】由于liin/(jr)存在?則limf(.r)「limf(.r).由題可知limCr2—1)=—1.

?ElLI」IT

lirnf(.r)=lim(21Ia)=a.故a=—1.

L<)+L<)+

23.D

【精析】|/Cr)cLr=工+C,兩邊求導(dǎo)得f⑺=一工/'Cr)=與.

JXXX

［答案1A

9,△【精析】由微分方程的概念知應(yīng)選A.

25.B

【精析】由于y=/(〃)可導(dǎo)，所以dy=(![/(?)]==/'(eDde",故應(yīng)選B.

26.D

［答案］

【精析】j-3=0,故了=3.

27.A

[答案1A

【精析】1而尸(］)=而1。^=1而取=4?因此了=0為/3的可去間斷點.

LOLOXX~*0LXL

28.A

（1一々）2

【精析】陰—二咕=物+=3故應(yīng)選人?

(x-l)2(x+2)

29.C

【評注】|4-用=|a-￡,-2%,2/31-2y4|=眼一4,%，%，八|=必氏%，為M-忸，八，力，九|）

由力=4-為方,一九），且ld=4易知值,72名，九|=4,由8=（人72，-，3，九），且同=1，易

知以y2，，3，/4|=-1，將上述結(jié)果代入，可得|/-a=8值72，，3，九|-忸，72，，3，九|)=40.所

以選C.

30.C

31.

7V，

鏟

［答案］92

4

【精析】設(shè)x=。5儲1/.貝1」cb=acosfdz,

'o_________rf,2f-r

，一—./dr=a'cos'tdt=—z(cos2?+1)dz

J0J0/Jo

=與〃2:］sin2「與十，"2一)=?k1.

Z\Zo()/4

或根據(jù)定積分幾何意義可知

jy/a--.rd.r=ySpq=?:

32.

■K

n

x=—cosa?

【精析】曲線L：/+y=亨的參數(shù)方程為a610,2用,所以

n-

y='Sina，

>(.x—sin十；/)ds=J(--cosa+1)■ysina)2+(-2-cosa)2da

2?

.2

~(與sina上告a)=1M兀，

4乙

33.

產(chǎn)+QeYC，Q為任意常數(shù))

［答案］y=Cea+Ge?G￡為任意常數(shù))

【精析】已知微分方程的特征方程為產(chǎn)+2「-3=0,得特征根a：=-3.n=1.

故微分方程的通解為)，=Ge儲+Ge，,其中GC為任意常數(shù).

34.0

0

【評注】定積分上下限關(guān)于0對稱，且被積函數(shù)為奇函數(shù)，可知結(jié)果為0.

「01.01

【精析】axk=方代=-14-i)2=—i.

35.-iJ,+i1+1

36.

4A,

【精析】由于/(*)在［0，口上連續(xù)，所以/(Icosz|)在(-8.+8)連續(xù)，以7r為周

期,且為偶函數(shù)*則根據(jù)周期函數(shù)在任一周期上的積分相等以及偶函數(shù)的積分性質(zhì)

可得

1=2^f(|COSJT|)cLr=2j*/(ICOSH|)dz="/(|COSJ-|)dj-=4A.

37.

s2—4x+5

［答案］

(s-ir

【精析】L[(，-l)2e叮

=[.[(?-2/4-l)c叮

,+…

(f-2/+l)c-<>_n,d/

.<1

=(7-7+7)L-,.

—-4s+3_/一4s+5

(5—1)；，(5—1”,

38.

［答案11

rmci-/vi,LAA+n.e^.1,0,b1X0+(-1)X3+2X4.

【精析】a在b上的投影為=-------,.=-----=1.

ibIyo2+32+42

39.

5

2

41.2

【精析】由于a,b相互垂直，所以a?方=0即；1-6+2入=0.得義=2.

42.

［答案］(2.由

【精析】由于一Ie-，，令y=-e~—e-J+x^TT=0得x=2,

o

7<2時yf，<。,.r>2時y>0,故y=xe~J的拐點為(2,3).

43.

1-2汝,廠/\

Te2F(v)

【精析】由傅里葉變換性質(zhì)知.，⑵一5）的傅里葉變換為:

P"⑵）」二

2

凡/⑵-5)」=Ff

e-iuT

1-lu，

FreT

~乙

44.

+C.XJ

［答案］+8

【精析】p=limlim—-=0?所以此級數(shù)的收斂半徑為十°°.

(〃+l)!

【精析】(1,2,3)2=10.

1

45.10

46.

n2

~4

Jt27l2

【評注】V=兀￡sin2xdx=cos2x)dx

~4x~4

47.

3

sin6xsin6.r?6w,tan2i~2x

【精析】limlim笑=3.

J-*Otan2j'等價無窮小代換LOLX

48.

1-jsin2

riririri

(x3-x+l)sin2xd^=sin2adM=2sir?3da*=(1—cos2c)dw

J-iJ-iJoJo

=--^-sin2jr^|=1—十sin2.

49.

E|

3Jln3-2xln23,

【評注】因為/(0+0)=lim=ln].所以由f(x)在(-8,+oo)上連續(xù)

XTO*1

知，/(O)=/(O+O)=ln^.

50.1

51.

【精析】因為牛=35筆=3e”.

52.

1—1—111—10—1

同解方程組為

產(chǎn)=xz?7i.

2xt,

JCZ10

取一=??可求得基礎(chǔ)解系為

.r401

11

10

?小=?

牛=02

01

才111

.r?10

所以線性方程組的通解為=kk（k.k為任意常數(shù)）.

.22]2

r30

4.0,1

53.

【精析】在極坐標系下D={（「田）|手〈夕〈，兀,1＜「W2}.

『志7d…[時小等”

《??yJ彳J1/

fT.23嚴.

=sinPcosOd。rdr=:—sinjdsinj

JJi2JT

o亨

=；sin28'=0.

4t

54.

5E-U????1—CoVx-1+COSXc

解：原式=hmC°sx_=]11n-----------------=lim———=2.

x-*01-cosxx-*（l-cosr）cofJCx-*°cosX

55.

解:

j：11一卜=1-ln（l+e*j：=ln（l+e）-In2

其中￡3/=J-

J七改4左d（x+l）=H?2

所以J：/（“比=1n0+e）.

56.

【精析】令21+1『，級數(shù)化為￡，

X2FT+-2

2

o=lim=lim.1,—=Zlim—J=產(chǎn)，若級數(shù)收斂，則pV1,即產(chǎn)＜1，

「wyu??-8n+1tLOOn4-1

從而一1VfVL

OO28

所以級數(shù)＞yn的收斂區(qū)間為（一1.1），當，=±1時,級數(shù)化為3｝是發(fā)散的.

一1V2±+l＜1,即一1＜才＜0,所以所求級數(shù)的收斂域為（-1,0）.

57.

【精析】因為之=/（才＞＞+/）且/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

所以孕=W-3

a2z_a（.y/；+2.r/2）=/"），.雪+2].華

=f\+>'（Vn+2y/12）+2-切%：+2yf^

=fl+xyfu4-2（J2+X2）/12+4^/22.

58.

【精析】1=）演+y）d.r+（1+77）dy+Q（/+》）d.r+（才+77）d.y

=j12clz+f（1+G）dy=+_+_1_尸）]

JoJo30\o/Io

=2

59.

.【評注】令x+y=〃，歹2--=v,z-f{u,v),

品￡+2/，嘉"-2次+2加-4詠=<+2(y-x)￡-4如

60.

原式=^-1In.rdj,2=-y,r2In.r---Jd(1nx)

=-^-/Ine—!X1XIni---[jr2?—d.r

222Ji.r

解:令(/(x)dx=<，則/(x)=lnx+4.故有[3/(%也=J：(lnx+/)ic,即

N=31n3-2+2/,得％=2-31n3,因此/(x)=lnx+2-31n3.

62.

------7+工一ln(]+d)+C

er-r1

^-r-lnd-reO+C.

十i

63.

j^(l-COS/)<k

1-COSX21

解：lim；=lim------------=lim^—-=—.

D3f6

64.

【精析】如右圖，3=萬?dy=2dd1,1：—1f1?

則有

2

(J—2jry)(IJF-b(y2—2ry)dy

j[(x2-2x3)+(x4-2x3)2x]dz

可：(工—"一程

65.

rl2-11rl2-112

【精析】增廣矩陣B=(A")=24—13a-A0011-1

36-2450000u—3

當a=3時.r(B)=r(A)=2<4,方程組有解，此時

(12-112]ri2021

B=(A.b)f0011-1->0011-1

00000[o0000

+2J：2+2x(=1,

同解方程組為令12

J“+=-1,

則通解為，其中瓦，息為任意常數(shù).

66.

【精析】由題意知，拋物線在點(1,0)處切線的斜率/=，-2r|=-2,

U,0>IU.O)

故切線方程為了-0=—2(才—1),即y=一2工十2,易知切線與y軸交點為(0,2),故

所求面積

5=[[_—2H+2-(1—Xs)Jdx=[(x2—2x—1)dx=('「'=

JoJo3o3

67.

【證明】設(shè)F(J)=工/(I)一M,

因為/(/)在mu上連續(xù)，在(。,1)內(nèi)可導(dǎo),

所以FQ)在［0,1］上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，

又/(I)=1.

F(0)=0?/(0)—02=0,F(l)=1?/(l)-I2=0,

即F(0)=F(1).

故在(0,1)內(nèi)至少存在一點￡使尸(6=0,

即⑷-2￡=0成立.

68.

【證明】令/(J)=jsitiz-+2cosz—2,

貝I1/'(JT)=sinx+JTCOSJT-2sin>r=JTCOSJ"-sinr,

=COSJT—zsiruz—COSJC=-xsinjr.

當0〈彳〈式時./'(%)VO,于是，(I)單調(diào)遞減，

且/'(")在［Of］上連續(xù)，所以7(x)</(0)=0,于是f(工)單調(diào)遞減,

所以/(J:)V,/(0)=0,即Hsinz+2cosJT—2<0.結(jié)論成立.

69.

【證明】令fix)=一—夢一+工.則根據(jù)題意可知/(1)=0.

因為/(］)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)=/(I)=0.

故由羅爾定理可知：miG(0.1)，使得/'(￡)=0,即11^0-7m-35+1=0,

故方程112Kl--3/+1=0必有一個小于1的正根.

70.

71.

【證明】令F(J)=/(.r)lnj611,3］.

因為F(x)在口，3］上連續(xù)，在(1,3)內(nèi)可導(dǎo),

F(l)=/(l)lnl