幾何綜合題中考真題（解析版）

幾何綜合題中考真題1．如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC，（1）求證：AD＝BC；（2）求證：△AGD∽△EGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等可得GA=GB，GD=GC．由“SAS”可判定△AGD≌△BGC根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得AD=BC；（2）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似可判定△AGB∽△DGC，再由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比可得，再證得∠AGD=∠EGF，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可判定△AGD∽△EGF；（3）如圖1，延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH．由△AGD≌△BGC可知∠GAD=∠GBC．在△GAM和△HBM中，由∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB可證得∠AGB=∠AHB=90°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠AGE=45°，即可得出，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得．【詳解】（1）證明：，E為AB的中點，．同理，．，易證，．（2）證明：，．，，點E，點F分別是AB、CD的中點，，，．．易證，，即．易證．（3）方法1：如圖所示，延長AD和BC，相交于點H，與BG相交于點M．AD，BC所在的直線互相垂直，．．．．在等腰直角三角形GAB中，．由（2）的結(jié)論：，可得．方法2：如圖所示，連接對角線AC，取AC的中點H，連接EH，F(xiàn)H．F、H、E分別是CD，AC，AB中點，F(xiàn)H是的中位線，EH是的中位線，∴HF//AD，，HE//BC，．AD、BC所在的直線互相垂直，．，，在等腰直角三角形HEF中，，．方法3如圖所示，過點A作AM//DC，使，連接MB，MC，過點E作EN//AM，交BM于點N，連接NC，則四邊形AMCD為平行四邊形．∴AD//MC，，EN//AM//CD．E為AB中點，N為BM中點，，四邊形ENCF為平行四邊形，．AD，BC所在的直線互相垂直，，是等腰直角三角形，，即．2．已知正方形，點為邊的中點.（1）如圖1，點為線段上的一點，且，延長，分別與邊，交于點，.①求證：；②求證：.（2）如圖2，在邊上取一點，滿足，連接交于點，連接延長交于點，求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）【詳解】試題分析：(1)①利用ASA判定證明兩個三角形全等；②先利用相似三角形的判定，再利用相似三角形的性質(zhì)證明；（2）構(gòu)造直角三角形，求一個角的正切值.試題解析：(1)①證明：∵四邊形為正方形，∴，，又，∴，又，∴，∴(ASA)，∴.②證明：∵，點為中點，∴，∴，又∵，從而，又，∴，∴，即，由，得.由①知，，∴，∴.(2)解：(方法一)延長，交于點(如圖1)，由于四邊形是正方形，所以，∴，又，∴，故，即，∵，，∴，由知，，又，∴，不妨假設(shè)正方形邊長為1，設(shè)，則由，得，解得，(舍去)，∴，于是,(方法二)不妨假設(shè)正方形邊長為1，設(shè)，則由，得，解得，(舍去)，即，作交于(如圖2)，則，∴，設(shè)，則，，∵，即，解得，∴，從而，此時點在以為直徑的圓上，∴是直角三角形，且，由(1)知，于是.考點：（1）全等三角形的判定；（2）相似三角形的判定及性質(zhì)；（3）求一個角的三角函數(shù)值.3．如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AC上一點，DE⊥AB于點E，點M為BD中點，CM的延長線交AB于點F（1）求證：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如圖2，若△DAE≌△CEM，點N為CM的中點，求證：AN∥EM【答案】（1）證明見解析；（2）∠EMF=100°；（3）證明見解析.【詳解】【分析】（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半進(jìn)行證明即可得；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠ABC=40°，根據(jù)CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，從而可得∠CMD=2∠CBM，繼而可得∠CME=2∠CBA=80°，根據(jù)鄰補角的定義即可求得∠EMF的度數(shù)；（3）由△DAE≌△CEM，CM=EM，∠DEA=90°，結(jié)合CM=DM以及已知條件可得△DEM是等邊三角形，從而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，繼而可得∠ACM=75°，連接AM，結(jié)合AE=EM=MB，可推導(dǎo)得出AC=AM，根據(jù)N為CM中點，可得AN⊥CM，再根據(jù)CM⊥EM，即可得出AN∥EM.【詳解】（1）∵M(jìn)為BD中點，Rt△DCB中，MC=BD，Rt△DEB中，EM=BD，∴MC=ME；（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-50°=40°，∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°，∴∠EMF=180°-80°=100°；（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，又∵CM=ME=BD=DM，∴DE=EM=DM，∴△DEM是等邊三角形，∴∠EDM=60°，∴∠MBE=30°，∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，∵∠MCB+∠ACE=45°，∠CBM+∠MBE=45°，∴∠ACE=∠MBE=30°，∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，連接AM，∵AE=EM=MB，∴∠MEB=∠EBM=30°，∠AME=∠MEB=15°，∵∠CME=90°，∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，∴AC=AM，∵N為CM中點，∴AN⊥CM，∵CM⊥EM，∴AN∥CM.【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等，綜合性較強，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)部一點，且∠APB=∠BPC=135°（1）求證：△PAB∽△PBC（2）求證：PA=2PC（3）若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12=h2·h3【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）結(jié)合題意，易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，然后由∠APB=∠BPC=135°即可證明△PAB∽△PBC；（2）根據(jù)（1）中△PAB∽△PBC，可得，然后由△ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC；（3）過點P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于點D，E，首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出，即，再根據(jù)△PAB∽△PBC可得出，整理即可得到.【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB，又∵∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC；（2）∵△PAB∽△PBC，∴，在Rt△ABC中，AC=BC，∴,∴∴PA=2PC；（3）過點P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于點D，E，∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°∴∠EAP=∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴∵△PAB∽△PBC，∴即.【點睛】本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，其中第（3）問有一定難度，通過作輔助線構(gòu)造出Rt△AEP∽Rt△CDP是解題關(guān)鍵.5．如圖1．已知四邊形是矩形．點在的延長線上．與相交于點，與相交于點求證：；若，求的長；如圖2，連接，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）由矩形的形及已知證得△EAF≌△DAB，則有∠E=∠ADB，進(jìn)而證得∠EGB=90o即可證得結(jié)論；（2）設(shè)AE=x，利用矩形性質(zhì)知AF∥BC，則有，進(jìn)而得到x的方程，解之即可；（3）在EF上截取EH=DG，進(jìn)而證明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，則證得△HAG為等腰直角三角形，即可得證結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠EAD=90o，AO=BC，AD∥BC，在△EAF和△DAB，，∴△EAF≌△DAB(SAS)，∴∠E=∠BDA，∵∠BDA+∠ABD=90o，∴∠E+∠ABD=90o，∴∠EGB=90o，∴BG⊥EC；（2）設(shè)AE=x，則EB=1+x，BC=AD=AE=x，∵AF∥BC，∠E=∠E，∴△EAF∽△EBC，∴，又AF=AB=1，∴即，解得：，（舍去）即AE=；（3）在EG上截取EH=DG，連接AH，在△EAH和△DAG，，∴△EAH≌△DAG(SAS)，∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，∵∠EAH+∠DAH=90o，∴∠DAG+∠DAH=90o，∴∠HAG=90o，∴△GAH是等腰直角三角形，∴即，∴GH=AG，∵GH=EG-EH=EG-DG，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識，涉及知識面廣，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，提取相關(guān)信息，利用截長補短等解題方法確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計算．6．如圖1，在四邊形ABCD中，，點E在邊BC上，且，，作交線段AE于點F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求的值．【答案】（1）見解析；（2）6；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證，，即可得，；再證四邊形AFCD是平行四邊形即可得，所以，根據(jù)SAS即可證得；（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長BM、ED交于點G．易證，可得；設(shè)，，，由此可得，；再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得．證明，根據(jù)相似