2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型11 綜合探究題 類型3 與折疊有關(guān)的探究題（專題訓(xùn)練）（教師版）

PAGE類型三與折疊有關(guān)的探究題（專題訓(xùn)練）1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線．如圖2，將SKIPIF1<0的兩個頂點B，C分別沿SKIPIF1<0折疊后均與點D重合，折痕分別交SKIPIF1<0于點E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿SKIPIF1<0折疊，使得頂點B與點H重合，折痕分別交SKIPIF1<0于點M，N，SKIPIF1<0的對應(yīng)線段交SKIPIF1<0于點K，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)四邊形SKIPIF1<0是菱形，理由見解析(2)30【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得到SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論．（2）先證明四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，等積法得到SKIPIF1<0的積，推出四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，即可得解．【詳解】（1）解：四邊形SKIPIF1<0是菱形，理由如下：∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線，∴SKIPIF1<0，∵將SKIPIF1<0的兩個頂點B，C分別沿SKIPIF1<0折疊后均與點D重合，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同法可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形；（2）解：∵折疊，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∵SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線分線段對應(yīng)成比例，菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．2.在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作SKIPIF1<0等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：對折矩形紙片SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，得到折痕SKIPIF1<0，把紙片展開（如圖13-1）．第二步：再一次折疊紙片，使點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，并使折痕經(jīng)過點SKIPIF1<0，得到折痕SKIPIF1<0，同時得到線段SKIPIF1<0（如圖13-2）．猜想論證：（1）若延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，如圖13-3所示，試判定SKIPIF1<0的形狀，并證明你的結(jié)論．拓展探究：（2）在圖13-3中，若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0滿足什么關(guān)系時，才能在矩形紙片SKIPIF1<0中剪出符（1）中的等邊三角形SKIPIF1<0？【答案】(1)SKIPIF1<0是等邊三角形，理由見解析；（2）SKIPIF1<0，理由見解析【分析】（1）連接SKIPIF1<0，由折疊性質(zhì)可得SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后可得到SKIPIF1<0，即可判定SKIPIF1<0是等邊三角形．（2）由折疊可知SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0的三角函數(shù)即可求得．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0是等邊三角形，證明如下：連接SKIPIF1<0．由折疊可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形．（2）解：方法一：要在矩形紙片SKIPIF1<0上剪出等邊SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或（SKIPIF1<0）時，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊SKIPIF1<0．方法二：要在矩形紙片SKIPIF1<0上剪出等邊SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）時，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正確理解折疊性質(zhì)靈活運用三角函數(shù)解直角三角形是解本題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動點，將SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進行如下探究：獨立思考：小明：“當(dāng)點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0．”小紅：“若點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，給出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的長，就可求出SKIPIF1<0的長．”實踐探究：奮進小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上時，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，若點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成SKIPIF1<0的等腰三角形，可以將問題進一步拓展．問題2：如圖3，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0；問題2：SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得SKIPIF1<0，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)鄰補角互補可得SKIPIF1<0，即可得證；（2）連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，勾股定理求得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0即可求解；問題2：連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，根據(jù)已知條件可得SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，勾股定理求得SKIPIF1<0，根據(jù)三線合一得出SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理求得SKIPIF1<0的長，即可求解．【詳解】（1）∵等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如圖所示，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

∵折疊，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；問題2：如圖所示，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4.（2021·山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試猜想SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點）所在直線折疊，如圖②，點SKIPIF1<0的對應(yīng)點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，請判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將SKIPIF1<0沿過點SKIPIF1<0的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，折痕交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．該小組提出一個問題：若此SKIPIF1<0的面積為20，邊長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求圖中陰影部分（四邊形SKIPIF1<0）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）SKIPIF1<0；見解析；（2）SKIPIF1<0，見解析；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）如圖，分別延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=SKIPIF1<0∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=SKIPIF1<0，可得AG=BG；（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)SKIPIF1<0可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【詳解】（1）SKIPIF1<0．如圖，分別延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點P，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，在△PDF和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△PDF≌△BCF，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．∵將SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0所在直線折疊，點SKIPIF1<0的對應(yīng)點為SKIPIF1<0，∴∠CFB=∠C′FB=SKIPIF1<0∠CFC′，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴∠FDC′=∠FC′D，∵SKIPIF1<0=∠FDC′+∠FC′D，∴SKIPIF1<0，∴∠FC′D=∠C′FB，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，DC=AB，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，∵SKIPIF1<0的面積為20，邊長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，∴BH=50÷5=4，∴CH=SKIPIF1<0，A′H=A′B-BH=1，∵將SKIPIF1<0沿過點SKIPIF1<0的直線折疊，點A的對應(yīng)點為SKIPIF1<0，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，AB//CD，∴SKIPIF1<0，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：NH=2，∵SKIPIF1<0，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：MQ=SKIPIF1<0，∴S陰=S△A′MB-S△A′NH=SKIPIF1<0A′B·MQ-SKIPIF1<0A′H·NH=SKIPIF1<0×5×SKIPIF1<0-SKIPIF1<0×1×2=SKIPIF1<0．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．5．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片SKIPIF1<0對折，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，展平紙片，得到折痕SKIPIF1<0；折疊紙片，使點B落在SKIPIF1<0上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕SKIPIF1<0，點B，E的對應(yīng)點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，展平紙片，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

請完成：(1)觀察圖1中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，試猜想這三個角的大小關(guān)系；(2)證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上的一點，連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕SKIPIF1<0；折疊紙片，使點B，P分別落在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，得到折痕l，點B，P的對應(yīng)點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，展平紙片，連接，SKIPIF1<0．

請完成：(3)證明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一條三等分線．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見詳解(3)見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可進行求解；（2）由折疊的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0是等邊三角形，進而問題可求證；（3）連接SKIPIF1<0，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明SKIPIF1<0，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0．【詳解】（1）解：由題意可知SKIPIF1<0；（2）證明：由折疊的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）證明：連接SKIPIF1<0，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵折痕SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一條三等分線．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明，SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵．6.(2022·重慶市A卷)如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；

(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN.在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP，點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK，連接PQ.在點D，E運動過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出PQBC的值．

【答案】解：(1)如圖1中，在射線CD上取一點K，使得CK=BE，

在△BCE和△CBK中，

BC=CB∠BCK=∠CBEBE=CK，

∴△BCE≌△CBK(SAS)，

∴BK=CE，∠BEC=∠BKD，

∵CE=BD，

∴BD=BK，

∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，

∵∠BEC+∠AEF=180°，

∴∠ADF+∠AEF=180°，

∴∠A+∠EFD=180°，

∵∠A=60°，

∴∠EFD=120°，

∴∠CFE=180°?120°=60°；

(2)結(jié)論：BF+CF=2CN．

理由：如圖2中，∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=CB，∠A=∠CBD=60°，

∵AE=BD，

∴△ABE≌△BCD(SAS)，

∴∠BCF=∠ABE，

∴∠FBC+∠BCF=60°，

∴∠BFC=120°，

如圖2?1中，延長CN到Q，使得NQ=CN，連接FQ，

∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ，

∴△CNM≌△QNF(SAS)，

∴FQ=CM=BC，

延長CF到P，使得PF=BF，則△PBF是等邊三角形，

∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，

∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，

∵PB=PF，

∴△PFQ≌△PBC(SAS)，

∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，

∴△PCQ是等邊三角形，

∴BF+CF=PC=QC=2CN．

(3)由(2)可知∠BFC=120°，

∴點F的運動軌跡為紅色圓弧(如圖3?1中)，

∴P，F(xiàn)，O三點共線時，PF的值最小，

此時tan∠APK=AOAP=23，

∴∠HPK>45°，

∵QK⊥PF，

∴∠PKH=∠QKH=45°，

如圖3?2中，過點H作HL⊥PK于點L，設(shè)PQ交KH題意點J，設(shè)HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，

7.(2022·廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8，AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH=CH，求AE的長．

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點，∠D=60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．

【答案】(1)證明：∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處，四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，

∴∠BFG=90°=∠C，

∵AB=BC=BF，BG=BG，

∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；

(2)解：延長BH，AD交于Q，如圖：

設(shè)FH=HC=x，

在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，

∴82+x2=(6+x)2，

解得x=73，

∴DH=DC?HC=113，

∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，

∴△BFG∽△BCH，

∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，

∴BG=254，F(xiàn)G=74，

∵EQ//GB，DQ//CB，

∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，

∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736?73，

∴DQ=887，

設(shè)AE=EF=m，則DE=8?m，

∴EQ=DE+DQ=8?m+887=1447?m，

∵△EFQ∽△GFB，

∴EQBG=EFFG，即1447?m254=m74，

解得m=92，

∴AE的長為92；

(3)解：(Ⅰ)當(dāng)DE=13DC=2時，延長FE交AD于Q，過Q作QH⊥CD于H，如圖：

設(shè)DQ=x，QE=y，則AQ=6?x，

∵CP//DQ，

∴△CPE∽△QDE，

∴CPDQ=CEDE=2，

8.(2021·湖北省荊州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F(xiàn)是對角線AC上不與點A，C重合的一點，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點G在射線AD上，連接CG．

(1)如圖1，若點A的對稱點G落在AD上，∠FGC=90°，延長GF交AB于H，連接CH．

①求證：△CDG∽△GAH；

②求tan∠GHC．

(2)如圖2，若點A的對稱點G落在AD延長線上，∠GCF=90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．

【答案】(1)如圖1，

①證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠GAH=90°，

∴∠DCG+∠DGC=90°，

∵∠FGC=90°，

∴∠AGH+∠DGC=90°，

∴∠DCG=∠AGH，

∴△CDG∽△GAH．

②由翻折得∠EGF=∠EAF，

∴∠AGH=∠DAC=∠DCG，

∵CD=AB=2，AD=4，

∴DGCD=AHAG=CDAD=tan∠DAC=24=12，

∴DG=12CD=12×2=1，

∴GA=4?1=3，

∵△CDG∽△GAH，

∴CGGH=CDGA，

∴tan∠GHC=CGGH=CDGA=23．

(2)不全等，理由如下：

∵AD=49.(2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處．

(1)如圖1，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；

(2)如圖2，當(dāng)AB=5，且AF?FD=10時，求BC的長；

(3)如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當(dāng)NF=AN+FD時，求ABBC【答案】解：(1)∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，

∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，

∵BC=2AB，

∴BF=2AB，

∴∠AFB=30°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠AFB=∠CBF=30°，

∴∠CBE=12∠FBC=15°；

(2)∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，

∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，

又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，

∴∠AFB=∠DEF，

∴△FAB∽△EDF，

∴AFDE=ABDF，

∴AF?DF=AB?DE，

∵AF?DF=10，AB=5，

∴DE=2，

∴CE=DC?DE=5?2=3，

∴EF=3，

∴DF=EF2?DE2=32?22=5，

∴AF=105=25，

∴BC=AD=AF+DF=25+5=35．

(3)過點N作NG⊥BF于點G，

∵NF=AN+FD，

∴NF=12AD=12BC10.在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F．

(1)求證：△ABF∽△FCE；

(2)若AB=23，AD=4，求EC的長；

(3)若AE?DE=2EC，記∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，

由翻折可知，∠D=∠AFE=90°，

∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠CEF=90°，

∴∠AFB=∠FEC，

∴△ABF∽△FCE．

(2)設(shè)EC=x，

由翻折可知，AD=AF=4，

∴BF=AF2?AB2=16?12=2，

∴CF=BC?BF=2，

∵△ABF∽△FCE，

∴ABCF=BFEC，

∴232=2x，

∴x=233，

∴EC=233．

(3)∵△ABF∽△FCE，

∴AFEF=ABCF，

∴tanα+tanβ=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=11.已知：在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一個動點，將矩形SKIPIF1<0折疊，使點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，點SKIPIF1<0落在點SKIPIF1<0處，折痕為SKIPIF1<0．（1）如圖1，當(dāng)點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合時，則線段SKIPIF1<0_______________，SKIPIF1<0_____________；（2）如圖2，當(dāng)點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均不重合時，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接并延長SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的延長線交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形：②當(dāng)SKIPIF1<0時，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）2，4；（2）①見解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）過點F作FH⊥AB，由翻折的性質(zhì)可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可得∠CFE＝∠FEC，由等角對等邊可得：CF＝CE，設(shè)AE＝CE＝x，BE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值，進而可得BE、DF的長，由矩形的判定可得四邊形DAHF是矩形，進而可求FH、EH的長，最后由勾股定理可得EF的長；（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，根據(jù)已知條件可得SKIPIF1<0，從而易證SKIPIF1<0，進而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定即可求證結(jié)論；②連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又由①知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，繼而易證∠MAD＝PAB，接根據(jù)三角函數(shù)求得PB，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程可得PE的長，繼而代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）SKIPIF1<02，SKIPIF1<04；過點F作FH⊥AB，∵折疊后點A、P、C重合∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∵CD∥AB∴∠CFE＝∠FEA，∴∠CFE＝∠FEC，∴CF＝CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB﹣AE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：x＝4，即AE＝CE＝CF＝4∴BE＝2、DF＝2，∵∠D＝∠A＝∠FHA＝90°∴四邊形DAHF是矩形，∴FH＝SKIPIF1<0、EH＝AB﹣BE﹣AH＝6﹣2﹣2＝2在Rt△EFH中，由勾股定理可得:SKIPIF1<0＝4（2）①證明：如圖2，∵在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由折疊（軸對稱）性質(zhì)，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形：②如圖2，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又由①知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，若設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查矩形與翻折的問題，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定及其性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、正切的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識并且學(xué)會作輔助線．12.（2021·湖南中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為斜邊SKIPIF1<0上一動點，將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0折疊，使得點SKIPIF1<0的對應(yīng)點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如圖①，若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．（2）如圖②，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．（3）如圖③，若SKIPIF1<0，是否存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．若存在，求此時SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）存在，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)平行線的判定可得SKIPIF1<0，最后根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點為點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，先證出SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)線段的和差可得SKIPIF1<0，代入可求出SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，再在SKIPIF1<0中，解直角三角形可得SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義即可得；（3）如圖（見解析），設(shè)SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，分①點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的左側(cè)；②點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的右側(cè)兩種情況，再分別利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折疊的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0；（2）如圖，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點為點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折疊的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由折疊的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的左側(cè)時，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0（等腰三角形的三線合一），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②如圖，當(dāng)點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的右側(cè)時，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，由折疊的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上，存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．13.（2021·浙江中考真題）（推理）如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：SKIPIF1<0．（運用）（2）如圖2，在（推理）條件下，延長BF交AD于點H．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求線段DE的長．（拓展）（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值（用含k的代數(shù)式表示）．

【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)ASA證明SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，由折疊得SKIPIF1<0，進一步證明SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可；（3）如圖，連結(jié)HE，分點H在D點左邊和點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點右邊兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DE的長，再由勾股定理得SKIPIF1<0，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）如圖，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0折疊得到，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0四邊形ABCD是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）如圖，連接SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折疊得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）．（3）如圖，連結(jié)HE，由已知SKIPIF1<0可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可令SKIPIF1<0，①當(dāng)點H在D點左邊時，如圖，同（2）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由折疊得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）．SKIPIF1<0②當(dāng)點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點右邊時，如圖，同理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）．SKIPIF1<0【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．14.（2021·湖北中考真題）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是對角線SKIPIF1<0上不與點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合的一點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在射線SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0．（1）如圖1，若點SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，SKIPI