2024年中考數(shù)學二輪題型突破練習題型9 二次函數(shù)綜合題 類型6 二次函數(shù)與等腰三角形有關的問題（專題訓練）（原卷版）

PAGE類型六二次函數(shù)與等腰三角形有關的問題（專題訓練）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求該拋物線的表達式；(2)點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0下方拋物線上一動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值及此時點SKIPIF1<0的坐標；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移SKIPIF1<0個單位，點SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0的對應點，平移后的拋物線與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以SKIPIF1<0為腰的SKIPIF1<0是等腰三角形的點SKIPIF1<0的坐標，并把求其中一個點SKIPIF1<0的坐標的過程寫出來．2．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，與y軸交于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與拋物線交于B，C兩點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形，求點B的坐標；(3)過點SKIPIF1<0作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得SKIPIF1<0始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．3．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標系SKIPIF1<0中，拋物線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0SKIPIF1<0為拋物線上一動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸交直線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0．

(1)直接寫出拋物線和直線SKIPIF1<0的解析式；(2)如圖2，連接SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為等腰三角形時，求SKIPIF1<0的值；(3)當SKIPIF1<0點在運動過程中，在SKIPIF1<0軸上是否存在點SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的三角形與以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的三角形相似（其中點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0相對應），若存在，直接寫出點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．4.如圖，已知拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為SKIPIF1<0．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ．當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且SKIPIF1<0．在y軸上是否存在點F，使得SKIPIF1<0為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．5.如圖，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與SKIPIF1<0軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當∠CAQ=∠CBASKIPIF1<045°時，求點P的坐標；(3)如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作SKIPIF1<0軸的垂線交BC于點H，當△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．

6.如圖，已知二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸交于原點及點SKIPIF1<0．

（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）求頂點SKIPIF1<0的坐標及直線SKIPIF1<0的表達式；（3）判斷SKIPIF1<0的形狀，試說明理由；（4）若點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，且SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，一動點SKIPIF1<0從點SKIPIF1<0出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段SKIPIF1<0勻速運動到點SKIPIF1<0，再以每秒1個單位長度的速度沿線段SKIPIF1<0勻速運動到點SKIPIF1<0后停止運動，求點SKIPIF1<0的運動時間SKIPIF1<0的最小值．7.如圖，已知拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，（點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的左邊），與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為拋物線的頂點，連接SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0．

（1）求拋物線的解析式；（2）點SKIPIF1<0是拋物線上的一點，當SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形時，求點SKIPIF1<0的坐標；（3）點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一點，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一點，連接SKIPIF1<0，并延長SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0（點SKIPIF1<0在第一象限）．當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，求出點SKIPIF1<0的坐標．8.已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，﹣3），頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）求拋物線的解析式．（2）在y軸上找一點E，使得△EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標．（3）點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標；若不存在，請說明理由．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．設M點的坐標為M（m，0），請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．10.如圖，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為D，連接與拋物線的對稱軸l交于點E．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是第一象限內拋物線上的動點，連接，當時，求點P的坐標；（3）點N是對稱軸l右側拋物線上的動點，在射線上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．11.已知直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的一個交點為，點是x軸正半軸上的動點．（1）當直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個交點為該拋物線的頂點E時，求k，b，c的值及拋物線頂點E的坐標；（2）在（1）的條件下，設該拋物線與y軸的交點為C，若點Q在拋物線上，且點Q的橫坐標為b，當時，求m的值；（3）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為，當?shù)淖钚≈刀鄷r，求b的值．12.如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C．直線經(jīng)過點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l與直線相交于點P，連接，判定的形狀，并說明理由；（3）在直線上是否存在點M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．13.如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2，將拋物線先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線，若拋物線與拋物線相交于點，連接，，．①求點的坐標；②判斷的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點，使得為等腰直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．14.如圖，拋物線SKIPIF1<0交x軸于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0