數(shù)學(xué)（九省新高考新結(jié)構(gòu)卷01）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)臨考押題（全解全析）

第第頁絕密★啟用前2024年高考押題預(yù)測卷01【新九省卷】數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，故，故選A2．為了了解學(xué)生們的身體狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一?高二?高三三個年級共抽取100人進(jìn)行各項指標(biāo)測試.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高三年級抽取的人數(shù)為（

）A．30 B．25 C．20 D．15【答案】B【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：高三年級抽取的人數(shù)為，故選B3．已知，，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，所以，解得，故選A.4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以.故選：D5．雙曲線的左、右焦點分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選A．6．我國元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（

）（附：）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該圓臺的上底面?下底面的半徑分別為，由題意可知：，則圓臺的母線長，所以其側(cè)面積為.故選：B.7．已知為坐標(biāo)原點，直線與圓相交于，兩點，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】圓即，圓心為，半徑，又直線，令，則，即直線恒過點，即直線恒過圓心，又直線與圓相交于，兩點，所以，所以.故選：C8．在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【解析】依題意設(shè)炮彈第一次命中點為，則，，，，在中，即，解得，所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），在中，所以，即炮臺與彈著點的距離為公里.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．袋子中有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（

）A．事件與是互斥事件 B．事件與是對立事件C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨立【答案】AB【解析】對于AB：取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，故事件與是互斥事件，也是對立事件，AB正確；對于C：如果取出的數(shù)為，則事件與事件均發(fā)生，不互斥，C錯誤；對于D：，則，即事件與不相互獨立，D錯誤；故選：AB.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．的圖象過點C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【解析】A：設(shè)該函數(shù)的最小正周期為，則有，即，由函數(shù)的圖象可知：，即，由圖象可知：，所以，因此本選項不正確；B：，所以本選項正確；C：因為，，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因此本選項正確；D：當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時，則有，故選：BCD11．如圖，在棱長為2的正方體中，是棱BC的中點，是棱上的動點（含端點），則下列說法中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若是棱的中點，則過A，M，N的平面截正方體所得的截面圖形的周長為C．若是棱的中點，則四面體的外接球的表面積為D．若CN與平面所成的角為，則【答案】AD【解析】對于A,連接,因為,平面,平面,所以平面,又點是棱上的動點（含端點），所以點到平面的距離為定值，設(shè)為，則，為定值，故A正確；對于B,如圖，四邊形為過A，M，N的平面截正方體所得的截面圖形，因為平面平面,且平面平面,且平面平面,根據(jù)面面平行的判斷定理知，，又因為為中點，所以為四等分點，則四邊形的周長為：,故B錯誤；對于C,如圖所示，連接,取的中點為,連接，設(shè)外接圓圓心為,外接球球心為,連接,則,在中，設(shè)其外接圓半徑為，由正弦定理知，，所以，即，依題易得,故,弦所對的圓周角相等，故四點共圓，則,設(shè)外接球半徑為,過作,交于,則在中，,即,①在中，,即,②聯(lián)立①②，解得,故外接球的表面積為,故C錯誤；對于D，以為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,則,設(shè)平面的法向量，則，令，則，故，則,,當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，綜上可知，，故D正確，故選：AD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知集合，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】由，得,解得，所以.因為，所以或，解得或，所以的取值范圍是.13．已知橢圓的一個焦點的坐標(biāo)為，一條切線的方程為，則的離心率.【答案】【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程，可得，由為橢圓切線，則有，化簡得，又，故，又橢圓的一個焦點的坐標(biāo)為，故有，則，故，則.14．關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為．【答案】【解析】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由，得，而，令，則，所以，若，如圖作出函數(shù)的圖象，由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實數(shù)根，即，由，得，即，當(dāng)時，，即，又，，所以，所以不成立，即當(dāng)時，不恒成立，綜上所述，的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（本小題滿分13分）為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3：2：1．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作為代表分兩周進(jìn)行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時間處于[80，100）的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均閱讀時間的平均數(shù)為：（分鐘）（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人的可能取值為：0，1，2則

所以的分布列為：01216．（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，與的距離為，，．(1)證明：平面平面ABC；(2)若點N在棱上，求直線AN與平面所成角的正弦值的最大值．【解】（1）取棱中點D，連接，因為，所以因為三棱柱，所以，所以，所以因為，所以，；因為，，所以，所以，同理，因為，且，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）取中點O，連接，取中點P，連接，則，由（1）知平面，所以平面因為平面，平面，所以，，因為，則以O(shè)為坐標(biāo)原點，，，所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可設(shè)點，，，，，設(shè)面的法向量為，得，取，則，，所以設(shè)直線與平面所成角為，則若，則，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值.17．（本小題滿分15分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論極值點的個數(shù).【解】（1）當(dāng)時，定義域為，又，所以，由，解得，此時單調(diào)遞增；由，解得，此時單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域為，由題意知，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，即極值點的個數(shù)為個；當(dāng)時，易知，故解關(guān)于的方程得，，，所以，又，，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，即極值點的個數(shù)為個.綜上，當(dāng)時，極值點的個數(shù)為個；當(dāng)時，極值點的個數(shù)為個.18．（本小題滿分17分）設(shè)拋物線，過焦點的直線與拋物線交于點，.當(dāng)直線垂直于軸時，.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點，直線，分別與拋物線交于點，.①求證：直線過定點；②求與面積之和的最小值.【解】（1）由題意，當(dāng)直線垂直于軸時，，代入拋物線方程得，則，所以，即，所以拋物線.（2）（i）設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，.設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，，則.同理可得.所以.因此直線，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以直線過定點.（ii）因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值.19．（本小題滿分17分）給定整數(shù)，由元實數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合S為一個元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對值之和.(1)判斷、哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；(2)任取一個元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；(3)當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)的最小值.注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).【解】（1）對于集合A：因為，所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；對于集合B：因為，又，，，，，，所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.（2）不妨設(shè)集合S中的元素為，即，因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立；當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立；當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；綜上所述：.（3）法一：不妨設(shè)，因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當(dāng)時，則當(dāng)時，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即范數(shù)的最小值；當(dāng)時，則當(dāng)時，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，則范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即范數(shù)的最小值；當(dāng)，使得，且，當(dāng)，即，即時，則當(dāng)時，可得