重難點06 二次函數(shù)圖象性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（原卷版）-2024中考數(shù)學(xué)查缺補漏

重難點06二次函數(shù)圖象性質(zhì)及其綜合應(yīng)用考點一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)是中考三大函數(shù)中內(nèi)容最多，考察難度最大的一個函數(shù)。而二次函數(shù)的圖象更是其龐大內(nèi)容的核心，初中數(shù)學(xué)中需要我們詳細(xì)的掌握拋物線的畫法、特征、性質(zhì)、與系數(shù)的關(guān)系、幾何變換等幾個方面的知識，進(jìn)而在多變的題型中快速找到解決它們的方法。題型01二次函數(shù)圖象與性質(zhì)易錯點01：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：形狀：拋物線；對稱軸：直線；頂點坐標(biāo)：；其中拋物線的頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與一元二次方程解法中的公式法的表達(dá)式比較相似，需要重點加以區(qū)分；易錯點02：拋物線的增減性問題，由a的正負(fù)和對稱軸同時確定，單一的直接說y隨x的增大而增大（或減?。┦遣粚Φ?，必須在確定a的正負(fù)后，附加一定的自變量x取值范圍；解題大招：對于上的各個點，當(dāng)時，拋物線開口向上，圖象有最低點，函數(shù)有最小值，哪個點離對稱軸越近，哪個點的縱坐標(biāo)越?。划?dāng)時，拋物線開口向下，圖象有最高點，函數(shù)有最大值，哪個點離對稱軸越近，哪個點的縱坐標(biāo)越大；【中考真題練】1．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限2．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023?揚州）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小；④當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②③ C．② D．③④4．（2023?安徽）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+15．（2023?棗莊）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是拋物線上的兩點，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤對于任意實數(shù)m，都有m（am+b）≥a+b，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．26．（2023?呼和浩特）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的結(jié)論：①對于任意實數(shù)a，都有x1＝3+a對應(yīng)的函數(shù)值與x2＝3﹣a對應(yīng)的函數(shù)值相等．②若圖象過點A（x1，y1），點B（x2，y2），點C（2，﹣13），則當(dāng)x1＞x2＞時，＜0．③若3≤x≤6，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，則﹣＜m≤﹣或≤m＜．④當(dāng)m＞0且n≤x≤3時，﹣14≤y≤n2+1，則n＝1．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經(jīng)過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且y1＜y2，則n的取值范圍是．8．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【中考模擬練】1．（2024?虹口區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2，如果函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，那么x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣42．（2024?鄭州模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象大致為（）A． B． C． D．3．（2024?霍邱縣模擬）函數(shù)y＝kx2﹣4x+3和y＝kx﹣k（k是常數(shù)，且k≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．4．（2024?余姚市一模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函數(shù)y＝﹣x2+c（c＞0）的圖象上，點A，C是該函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k為常數(shù)且k＞0）的圖象的交點．若x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y25．（2024?武威二模）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，則下列結(jié)論正確的是（）①若x＞2時，則y隨x的增大而減??；②若圖象經(jīng)過點（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函數(shù)圖象上的兩點，則y1＜y2；④若圖象上兩點，對一切正數(shù)n．總有y1＞y2，則．A．①② B．①③ C．①④ D．③④6．（2024?福田區(qū)模擬）已知函數(shù)y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，對于方程|x2﹣4|＝m（m為實數(shù)），若該方程恰有3個不相等的實數(shù)根，則m的值是．7．（2024?合肥模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，G（x1，y1）為拋物線y＝x2+4x+2上一點，H（﹣3x1+1，y1）為平面上一點，且位于點G右側(cè)．（1）此拋物線的對稱軸為直線；（2）若線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有兩個交點，則的x1取值范圍是．8．（2024?碑林區(qū)校級一模）如圖，拋物線的對稱軸l與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求點A、B的坐標(biāo)；（2）C為該拋物線上的一個動點，點D為點C關(guān)于直線l的對稱點（點D在點C的左側(cè)），點M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請問是否存在這樣的點C，使得四邊形ACMD是正方形？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型02二次函數(shù)與幾何變換 易錯點：拋物線平移步驟：①將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，②根據(jù)“左加右減（x），上加下減（整體）”來轉(zhuǎn)化平移所得函數(shù)解析式；解題大招：的軸對稱變換規(guī)律【中考真題練】1．（2023?無錫）將二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個單位長度，所得函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，﹣1）2．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+43．（2023?西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（）A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度 B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度 C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度 D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度4．（2023?牡丹江）將拋物線y＝（x+3）2向下平移1個單位長度，再向右平移2或4個單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點．5．（2023?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段AB上，以點C為頂點的拋物線M：y＝ax2+bx+c經(jīng)過點B，點C不與點B重合．（1）求點A，B的坐標(biāo)；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯(lián)結(jié)CD，且CD∥x軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數(shù)解析式．【中考模擬練】1．（2024?津市市一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣6的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的解析式為（）A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣52．（2024?秦都區(qū)一模）已知拋物線，拋物線C2與C1關(guān)于直線y＝l軸對稱，兩拋物線的頂點相距5，則m的值為（）A． B． C．或 D．或3．（2024?濟南模擬）將拋物線y＝（x+1）2的圖象位于直線y＝9以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線y＝x+m與此圖象有四個交點，則m的取值范圍是（）A．＜m＜7 B．＜m＜5 C．＜m＜9 D．＜m＜74．（2024?松江區(qū)二模）平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點，且頂點在第四象限，那么平移后的拋物線的表達(dá)式可以是.（只需寫出一個符合條件的表達(dá)式）5．（2024?新北區(qū)校級模擬）如圖，將拋物線y＝2（x+1）2+1繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線，新曲線與直線y＝x交于點M，則點M的坐標(biāo)為．6．（2024?廉江市一模）已知拋物線．（1）寫出拋物線C1的對稱軸：．（2）將拋物線C1平移，使其頂點是坐標(biāo)原點O，得到拋物線C2，且拋物線C2經(jīng)過點A（﹣2，﹣2）和點B（點B在點A的左側(cè)），若△ABO的面積為4，求點B的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，直線l1：y＝kx﹣2與拋物線C2交于點M，N，分別過點M，N的兩條直線l2，l3交于點P，且l2，l3與y軸不平行，當(dāng)直線l2，l3與拋物線C2均只有一個公共點時，請說明點P在一條定直線上．題型03二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系解題大招01：二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系a的特征與作用b的特征與作用(a與b“左同右異”）c的特征與作用解題大招02：二次函數(shù)圖象題符號判斷類問題大致分為以下幾種基本情形∶①a、b、c單個字母的判斷，a由開口判斷，b由對稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點判斷;②含有a、b兩個字母時，考慮對稱軸;③含有a、b、c三個字母，且a和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖像判斷，例如∶二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)x=1時，y=a+b+c，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c，當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三個字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個字母再判斷∶④含有b2和4ac，考慮頂點坐標(biāo)，或考慮△.⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進(jìn)行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖像增減性進(jìn)行判斷?！局锌颊骖}練】1．（2023?營口）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．下列說法：①abc＜0；②拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1；③當(dāng)﹣3＜x＜0時，ax2+bx+c＞0；④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m為任意實數(shù)），其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023?河北）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常數(shù)）的圖象與x軸都有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，則這兩個函數(shù)圖象對稱軸之間的距離為（）A．2 B．m2 C．4 D．2m23．（2023?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)bc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．點（﹣2，0）在函數(shù)圖象上4．（2023?東營）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝﹣1．若點A的坐標(biāo)為（﹣4，0），則下列結(jié)論正確的是（）A．2a+b＝0 B．4a﹣2b+c＞0 C．x＝2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個根 D．點（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，當(dāng)x1＞x2＞﹣1時，y1＜y2＜05．（2023?恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝1，與x軸的一個交點位于（2，0），（3，0）兩點之間．下列結(jié)論：①2a+b＞0；②bc＜0；③a＜﹣c；④若x1，x2為方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則﹣3＜x1?x2＜0；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．46．（2023?菏澤）若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點”．在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜57．（2023?廣安）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）．有下列結(jié)論：①abc＞0；②若點（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在拋物線上，則y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023?南充）拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），若﹣2≤m≤1，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1 C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥9．（2023?聊城）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點（0，2），其對稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①3a+c＞0；②若點（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＞y2；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個相等的實數(shù)根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2023?日照）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a≠0），滿足，已知點（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，則m，n，t的大小關(guān)系為（）A．t＜n＜m B．m＜t＜n C．n＜t＜m D．n＜m＜t11．（2023?遂寧）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣2．下列說法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t為全體實數(shù)）；④若圖象上存在點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當(dāng)m＜x1＜x2＜m+3時，滿足y1＝y(tǒng)2，則m的取值范圍為﹣5＜m＜﹣2，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2023?青島）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標(biāo)為﹣3，點B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是.（只填寫序號）13．（2023?南京）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a為常數(shù)，a≠0）．（1）若a＜0，求證：該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點．（2）若a＝﹣1，求證：當(dāng)﹣1＜x＜0時，y＞0．（3）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是．14．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小．（2）若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求a的取值范圍．【中考模擬練】1．（2024?杭州一模）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（2，m），且經(jīng)過點B（5，0），其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．若拋物線經(jīng)過點（t，n），則必過點（t+4，n） B．若點和（4，y2）都在拋物線上，則y1＞y2 C．a(chǎn)﹣b+c＞0 D．b+c＝m2．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）若拋物線y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常數(shù)）的圖象只經(jīng)過第一、二、四象限，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．m≥1 C．1≤m＜2 D．m≤23．（2024?嶗山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＞0；②若點（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；④若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c≤﹣9a．正確結(jié)論的序號為（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③4．（2024?霍邱縣一模）已知拋物線y＝mx2+nx﹣m，其中m為實數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點（1，5），則n＝；（2）該拋物線經(jīng)過點A（2，﹣m），已知點B（1，﹣m），C（2，2），若拋物線與線段BC有交點，則m的取值范圍為．5．（2024?青島一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（3，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④拋物線上有兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．其中正確的是.（只填寫序號）6．（2024?余姚市一模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常數(shù)，a≠0）．（1）判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，并說明理由；（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝2，A（x1，m），B（x2，m）為該函數(shù)圖象上的任意兩點，其中x1＜x2，求當(dāng)x1，x2為何值時，m＝8a；（3）若該函數(shù)圖象的頂點在第二象限，且過點（1，2），當(dāng)a＜b時求3a+b的取值范圍．題型04二次函數(shù)解析式的求法【中考真題練】1．（2023?上海）一個二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是．2．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．3．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時，①求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【中考模擬練】1．（2023?思明區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點是（1，3），當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，則拋物線解析式可以是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+32．（2023?海淀區(qū)校級一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為．3．（2024?梅縣區(qū)一模）已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y＝﹣2x2+9x相同，且它的頂點坐標(biāo)為（﹣1，6），則這條拋物線的解析式為．4．（2024?霍邱縣模擬）已知拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）．（1）若拋物線經(jīng)過點（0，3），（4，3），則拋物線的表達(dá)式為；（2）在（1）的條件下，拋物線經(jīng)過點（m，k），（n，k），當(dāng)1≤n﹣m＜8時，k的取值范圍為．考點二：二次函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用二次函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在利用二次函數(shù)的頂點式求最值、利用點與二次函數(shù)圖象的關(guān)系解決與其他幾何圖形的結(jié)合問題、以及二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關(guān)系等。題型01二次函數(shù)的最值解題大招：當(dāng)a＞0，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值；當(dāng)a＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；而函數(shù)的最值都是定點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)?！局锌颊骖}練】1．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣2a2．（2023?蘭州）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點坐標(biāo)為（2，3） C．函數(shù)的最大值是﹣3 D．函數(shù)的最小值是﹣33．（2023?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，6），其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值4．（2023?泰安）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．5．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝．【中考模擬練】1．（2024?浙江模擬）已知：，，m+n＝2，則下列說法中正確的是（）A．n有最大值4，最小值1 B．n有最大值3，最小值 C．n有最大值3，最小值1 D．n有最大值3，最小值2．（2024?全椒縣一模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值為m，最大值為n，則m+n＝（）A．﹣14 B．﹣6 C．﹣8 D．23．（2023?衢江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，過點P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時，p有最小值 B．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時，p有最大值 C．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時，p有最小值 D．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時，p有最大值4．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，，∠B＝60°，∠D＝120°，當(dāng)四邊形ABCD面積最大時，作AE平分該四邊形ABCD面積交BC于點E，則此時線段BE的長為．5．（2024?陽新縣一模）已知二次函數(shù)y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，當(dāng)﹣≤x≤，y有最大值為﹣3，則a的值為．6．（2024?渠縣校級一模）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，點P在邊AC上，從點A向點C移動，點Q在邊CB上，從點C向點B移動．若點P，Q均以1cm/s的速度同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是．7．（2024?浙江模擬）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣2的圖象過點（5，5）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函數(shù)圖象上的點，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．（3）若點P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函數(shù)的圖象上，且a＜b．對于某一個實數(shù)n，若b﹣a的最小值為1，則b﹣a的最大值為多少？題型02二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征解題大招：牢記一句話，“點在圖象上，點的坐標(biāo)符合其對應(yīng)解析式”，然后，和哪個幾何圖形結(jié)合，多想與之結(jié)合的幾何圖形的性質(zhì)；【中考真題練】1．（2023?衢州）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點．若點A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．m＞22．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣43．（2023?南充）若點P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，則下列各點在拋物線y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）4．（2023?十堰）已知點A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜15．（2023?濟南）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（x1，y1），當(dāng)點Q（x2，y2）滿足2（x1+x2）＝y(tǒng)1+y2時，稱點Q（x2，y2）是點P（x1，y1）的“倍增點”．已知點P1（1，0），有下列結(jié)論：①點Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是點P1的“倍增點”；②若直線y＝x+2上的點A是點P1的“倍增點”，則點A的坐標(biāo)為（2，4）；③拋物線y＝x2﹣2x﹣3上存在兩個點是點P1的“倍增點”；④若點B是點P1的“倍增點”，則P1B的最小值是；其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023?岳陽）若一個點的坐標(biāo)滿足（k，2k），我們將這樣的點定義為“倍值點”．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t為常數(shù)，t≠﹣1）總有兩個不同的倍值點，則s的取值范圍是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜07．（2023?麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（n，3）且點A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．【中考模擬練】1．（2024?韓城市一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+c（a＞0）圖象上的兩點（﹣5，y1）和（x2，y2），若y1＞y2，則x2的取值范圍是（）A．x2＞﹣5 B．x2＜﹣2 C．﹣5＜x2＜1 D．﹣5＜x2＜﹣22．（2024?秀峰區(qū)校級模擬）二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，，C（0，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y13．（2024?龍湖區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，點B、D的坐標(biāo)分別是（﹣1，﹣2）、（1，2），點C在拋物線y＝﹣x2+bx的圖象上，則b的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，對點M（a，b）和點M′（a，b′）給出如下定義：若b′＝，則稱點M′（a，b′）是點M（a，b）的伴隨點．如：點A（1，﹣2）的伴隨點是A′（1，﹣6），B（﹣1，﹣2）的伴隨點是B′（﹣1，2）．若點Q（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣2的圖象上，則當(dāng)﹣2≤m＜5時，其伴隨點Q′（m，n′）的縱坐標(biāo)n′的值不可能是（）A．﹣10 B．﹣1 C．1 D．105．（2024?浙江一模）對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當(dāng)x＜0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為“陰陽函數(shù)”．例如：一次函數(shù)y＝x+2，它的“陰陽函數(shù)”為y＝，若點P（m，2）在二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3的“陰陽函數(shù)”的圖象上時，則m的值為（）A．﹣1+或﹣1﹣ B． C．或 D．6．（2024?綠園區(qū)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和B（0，3），點P是拋物線上第一象限內(nèi)一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，則OQ+PQ的最大值為．7．（2024?東營區(qū)校級一模）拋物線的圖象如圖所示，點A1，A2，A3，A4，…，A2024在拋物線第一象限的圖象上．點B1，B2，B3，B4，…，B2024在y軸的正半軸上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2023A2024B2024都是等腰直角三角形，則B2023A2024＝．題型03拋物線與x軸的交點 易錯點01：求拋物線與x軸的交點，就是讓拋物線解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判別式、③根與系數(shù)的關(guān)系等性質(zhì)也就分別對應(yīng)①拋物線與x軸交點橫坐標(biāo)、②交點個數(shù)、③交點橫坐標(biāo)與其對稱軸的關(guān)系的考點；易錯點02：求拋物線與直線的交點時，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，得新的一元二次方程時，上述結(jié)論與用法大多依然適用，使用時注意聯(lián)想和甄別?！局锌颊骖}練】1．（2023?甘孜州）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣3的說法正確的是（）A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與x軸沒有交點 C．當(dāng)x＜2時，y隨x增大而增大 D．圖象的頂點坐標(biāo)是（2，﹣3）2．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x23．（2023?寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說法正確的是（）A．點（1，2）在該函數(shù)的圖象上 B．當(dāng)a＝1且﹣1≤x≤3時，0≤y≤8 C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點 D．當(dāng)a＞0時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線x＝的左側(cè)4．（2023?自貢）經(jīng)過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，則線段AB的長為（）A．10 B．12 C．13 D．155．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣2，0），（3，0）．下列結(jié)論：①＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），則y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解為x1＝，x2＝﹣．其中正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．16．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時，CD＝．7．（2023?巴中）規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為．8．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝．9．（2023?赤峰）如圖，拋物線y＝x2﹣6x+5與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點D（2，m）在拋物線上，點E在直線BC上，若∠DEB＝2∠DCB，則點E的坐標(biāo)是．10．（2023?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），頂點為M（﹣1，m），且拋物線與y軸的交點B在（0，﹣2）與（0，﹣3）之間（不含端點），則下列結(jié)論：①當(dāng)﹣3≤x≤1時，y≤0；②當(dāng)△ABM的面積為時，a＝；③當(dāng)△ABM為直角三角形時，在△AOB內(nèi)存在唯一一點P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方為18+9．其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【中考模擬練】1．（2024?太原模擬）關(guān)于二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．對稱軸為直線x＝﹣1 C．與y軸交于點（0，3） D．與x軸有兩個交點2．（2024?西安校級模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C．若點P在拋物線的對稱軸上，線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，則點P的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）3．（2024?郾城區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸交于點A，與x軸負(fù)半軸交于點B，連接AB．將Rt△OAB向左上方平移，得到RtΔO′A′且點O′A′落在拋物線的對稱軸上，點B′落在拋物線上，則直線A′B′的表達(dá)式為（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x+34．（2024?寧波模擬）已知ac≠0，若二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），二次函數(shù)y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于