湖北省荊門市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

荊門市2023—2024學(xué)年度上學(xué)期期末高一年級(jí)學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知?jiǎng)t()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別討論集合中的和兩種情況,即可求得和之間的關(guān)系.【詳解】①當(dāng)集合中的時(shí),即故此時(shí)②當(dāng)集合中的時(shí),即此時(shí)綜上所述,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了求角的集合之間的關(guān)系,解題關(guān)鍵是掌握角集合的表示方法和集合間的關(guān)系,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組可得函數(shù)的定義域.【詳解】由.所以函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：B3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零點(diǎn)存在性定理求解即可【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上連續(xù).因?yàn)?，，所以，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B4.“”是“且”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過特例說明充分性不成立，根據(jù)不等式的性質(zhì)說明必要性是成立的.【詳解】可令，，，則滿足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分條件；根據(jù)不等式的性質(zhì)：由且，可得：.所以“”是“且”的必要條件.故選：A5.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號(hào).當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時(shí)折扇所在扇形的弦長(zhǎng)與弧長(zhǎng)之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，求出弦長(zhǎng)，應(yīng)用弧長(zhǎng)公式即可求解【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，如圖，取的中點(diǎn)圓心角為，則所以弦又弧長(zhǎng)所以弦長(zhǎng)與弧長(zhǎng)之比故選：C6.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求函數(shù)在時(shí)函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)?，確定時(shí)函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值的范圍，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在的值域是.因?yàn)楹瘮?shù)的值域是.所以當(dāng)時(shí)的函數(shù)值域應(yīng)該包含.即.故選：B7.古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購(gòu)買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）A.大于 B.小于 C.大于等于 D.小于等于【答案】A【解析】【分析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達(dá)式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因?yàn)?，因?yàn)?，所以，?所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于.故選：A8.已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則方程在內(nèi)的所有根之和為（）A.12 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件推出是以4為周期的周期函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性及周期性作出函數(shù)圖像，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像在上所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，函數(shù)的周期為4，又當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在上的圖像如圖所示：方程在內(nèi)的所有根之和即為函數(shù)與函數(shù)的圖像在上所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，如圖所示，兩函數(shù)圖像在上有四個(gè)交點(diǎn)，令橫坐標(biāo)分別為，且，，所以函數(shù)與函數(shù)的圖像在上所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為12.故選：A【點(diǎn)睛】根據(jù)所給條件推出函數(shù)的周期性進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出圖像是解題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列計(jì)算結(jié)果為有理數(shù)的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】逐一計(jì)算結(jié)果進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)椋簽橛欣頂?shù)；為有理數(shù)；為有理數(shù)；為無(wú)理數(shù).故選：ABC10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件，逐一求出各選項(xiàng)的值，再進(jìn)行判斷.【詳解】由.故A正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以為第一或第三象限?若為第一象限角，則，所以；若為第三象限角，則，所以.所以B錯(cuò)誤.故選：AC11.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.是偶函數(shù) B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.最大值為2 D.的周期為【答案】AC【解析】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)得到有關(guān)結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，且，所以為偶函數(shù)，故A對(duì)；當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)的圖象如下：所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)；的最大值為，故C對(duì)；由圖象可知，函數(shù)不是周期函數(shù)，故D錯(cuò).故選：AC12.生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會(huì)更甜.于是得出一個(gè)不等式：，趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)“榶水不等式”判斷下列命題一定正確的是（）A.若，，則B.C.若，，為三條邊長(zhǎng)，則D.若，，為三條邊長(zhǎng)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)糖水不等式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A.由糖水不等式得：，時(shí)，，故A錯(cuò)誤.B.，故B正確.C.，故C正確.D.，，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)可求得實(shí)數(shù)的值，可得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為奇函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，所以.故答案為：.14.若，，且，則的最小值是____________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值為.故答案為：15.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是__________【答案】【解析】【分析】由題意分離常數(shù)可得，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得的值域，即可得解.【詳解】依題意，由可得，即的值域?yàn)椋院瘮?shù)的值域是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化及分離常數(shù)法求函數(shù)值域的應(yīng)用，考查了指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、運(yùn)算求解能力及轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.16.函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，都有，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，求出函數(shù)在各段上解析式，數(shù)形結(jié)合，求的取值范圍.【詳解】.由.當(dāng)時(shí)，；設(shè)，則，所以；設(shè)時(shí)，則，所以，由，即或.由圖象可得：，都有，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，訓(xùn)練了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)交集的運(yùn)算求解；（2）根據(jù)，在數(shù)軸上畫出集合數(shù)形結(jié)合，求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】依題意：整理得，，當(dāng)時(shí)，，∴【小問2詳解】∵，∴根據(jù)題意得：，解得：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若為第三象限角，且，求，.【答案】18.19.，.【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合弦函數(shù)的值域化簡(jiǎn)；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值計(jì)算，注意“符號(hào)優(yōu)先”.【小問1詳解】.【小問2詳解】∵為第三象限角，∴又因?yàn)?故，.19.已知函數(shù)（1）求的定義域，并判斷其奇偶性；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明.【答案】（1），奇函數(shù)；（2）在單調(diào)遞增，證明見解析【解析】【分析】（1）使函數(shù)解析式有意義可求函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)奇偶性的概念判斷函數(shù)的奇偶性.（2）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.【小問1詳解】要使函數(shù)有意義，可得，解得且，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故∴，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故為奇函數(shù).【小問2詳解】時(shí)，，判斷：在單調(diào)遞增，下用定義法證之：任取，且，由得，，，故，即，故在單調(diào)遞增.20.已知函數(shù).（1）求在上的值域；（2），若對(duì)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）采用換元法，把問題轉(zhuǎn)化成為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題解決；（2）先把問題轉(zhuǎn)化成已知函數(shù)的值域，求參數(shù)的取值范圍問題，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】，令，設(shè)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵，∴的值域?yàn)?【小問2詳解】設(shè)的值域?yàn)榧?，的值域?yàn)榧希鶕?jù)題意可得：，由（1）有，又，所以在上單調(diào)遞增，∵，，∴由得，解得：∴的取值范圍是.21.環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車正成為人們購(gòu)車的熱門選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車，在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速.經(jīng)多次測(cè)試得到，該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的下列數(shù)據(jù)：01040600132544007200為了描述國(guó)道上該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車從地駛到地，前一段是國(guó)道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度的關(guān)系是：（），則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？【答案】（1）選擇，（2）當(dāng)這輛車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.【解析】【分析】（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)選出符合的函數(shù)模型，并利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式.（2）先求得耗電量的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【小問1詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，它無(wú)意義，所以不合題意；對(duì)于，它顯然是個(gè)減函數(shù)，這與矛盾；故選擇.根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，解得，當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】國(guó)道路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為:，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；高速路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以：故當(dāng)這輛車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）對(duì)于函數(shù)，若，，，，，為某一三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式，不等式因式分解，利用單調(diào)性即可求解.（2）先將函數(shù)整理并化簡(jiǎn)，根據(jù)函數(shù)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，須由得出，且，即