17.1 第3課時(shí) 勾股定理 教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版八下17.1.3勾股定理（第3課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，搭建起了幾何圖形與數(shù)量關(guān)系之間的橋梁，是平面幾何最重要的定理之一，在實(shí)際生活與數(shù)學(xué)學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).概念解析應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，需先從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形，再利用勾股定理已知兩邊求出第三條邊的長(zhǎng)，最后將數(shù)學(xué)問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.思想方法應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)建模的思想，可以鍛煉學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.知識(shí)類型應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題屬于原理和規(guī)則性知識(shí)，使用勾股定理的前提是在直角三角形中，因此從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形是關(guān)鍵步驟.教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形，并運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算或證明．目標(biāo)解析目標(biāo)達(dá)成的標(biāo)志是對(duì)于問(wèn)題情境中已經(jīng)給出直角三角形的情況，能根據(jù)給定的兩條邊的長(zhǎng)度求出第三條邊的長(zhǎng)度；如果問(wèn)題情境中沒(méi)有給出直角三角形，能正確理解實(shí)際問(wèn)題的情境，抽象出直角三角形，利用勾股定理求出未知邊的長(zhǎng)度，最終轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.教學(xué)問(wèn)題診斷分析具備的基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷探索勾股定理的全過(guò)程，能利用勾股定理在直角三角形中已知兩條邊的長(zhǎng)求出第三條邊的長(zhǎng)度.與本課目標(biāo)的差距分析本節(jié)課是利用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生需要在理解問(wèn)題情境的基礎(chǔ)上使用勾股定理.存在的問(wèn)題有些實(shí)際問(wèn)題中并沒(méi)有直接給出直角三角形，需要在正確理解問(wèn)題情境的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象或構(gòu)造，學(xué)生可能在抽象的過(guò)程中存在障礙.應(yīng)對(duì)策略注重對(duì)實(shí)際情境的分析，可以從問(wèn)題出發(fā)，組織學(xué)生小組合作交流，正確理解實(shí)際問(wèn)題的情境.教學(xué)難點(diǎn)從實(shí)際問(wèn)題情境中抽象出直角三角形.教學(xué)支持條件分析本節(jié)課涉及較多的實(shí)際問(wèn)題，包含文字、圖形等信息，在PPT演示的基礎(chǔ)上，可以印制學(xué)生活動(dòng)方案便于學(xué)生審題和分析.在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)準(zhǔn)備三角板以便于作圖.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)課前檢測(cè)1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB.2.已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求AC.3.若一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊長(zhǎng)為__________.設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)直接應(yīng)用勾股定理求直角三角形未知邊長(zhǎng)的掌握情況，包括已知兩直角邊和已知一直角邊一斜邊兩種情況.復(fù)習(xí)引入問(wèn)題1：我們已學(xué)習(xí)完勾股定理，勾股定理是如何表述的？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：文字語(yǔ)言：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2

.符號(hào)語(yǔ)言：如圖，在Rt△ABC中，

BC2+AC2

=AB2

或

a2＋b2

＝

c2

.設(shè)計(jì)意圖：回顧勾股定理的內(nèi)容和表述方式，為應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題做鋪墊.實(shí)際應(yīng)用歸納總結(jié)勾股定理建立起了幾何圖形與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，在實(shí)際生活中也有廣泛的應(yīng)用.【例題1】一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò)？為什么？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生審題，小組內(nèi)交流對(duì)問(wèn)題的理解.教師巡視，參與學(xué)生的交流討論.若存在困難的學(xué)生較多，教師展開追問(wèn)；若大部分學(xué)生能找到解決問(wèn)題需要的直角三角形ABC，則請(qǐng)小組代表進(jìn)行展示、講解.設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)大部分學(xué)生的理解水平設(shè)計(jì)兩種應(yīng)對(duì)方案，教師進(jìn)行啟發(fā)性追問(wèn)或?qū)W生代表展示解題思路.追問(wèn)1：薄木板可以豎著通過(guò)門框嗎？橫著呢？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生經(jīng)過(guò)審題可以發(fā)現(xiàn)，木板的寬為2.2m，大于門框的長(zhǎng)，因此無(wú)論豎著或橫著都不能通過(guò).只能嘗試傾斜著通過(guò)門框.設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解問(wèn)題情境，根據(jù)題中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)木板只能嘗試傾斜著通過(guò)門框.追問(wèn)2：若木板傾斜著通過(guò)門框，門框能通過(guò)的最大長(zhǎng)度是多少？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC的長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度，可以在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度.，

，設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC的長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度，找到Rt△ABC，進(jìn)而使用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度.追問(wèn)3：木板能斜著通過(guò)門框嗎？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：因?yàn)锳C大于的木板的寬度，所以木板能從門框內(nèi)通過(guò).設(shè)計(jì)意圖：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程.【例題2】如圖，一架2.6米長(zhǎng)的梯子AB

斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO

為2.4米．（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：對(duì)于第（1）問(wèn)，學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)在Rt△AOB中，直接利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)度即可.

，則OB=1，即梯子的底端B距墻角O為1米.設(shè)計(jì)意圖：在題中給定的直角三角形中直接使用勾股定理求出線段的長(zhǎng)度，從而將實(shí)際問(wèn)題解決.追問(wèn)1：對(duì)于第（2）問(wèn)，在梯子下滑的過(guò)程中，有沒(méi)有什么不變量？你能畫出示意圖表示下滑0.5米之后的狀態(tài)嗎？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：在梯子下滑過(guò)程中，梯子的長(zhǎng)度始終不變，由此作出示意圖，頂端A下滑至C，底端B外移至D，構(gòu)成Rt△COD，AC=0.5米，CD=AB=2.6米，求出BD的長(zhǎng)度就能求出底端外移的長(zhǎng)度.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把握變化過(guò)程中的不變量，畫出示意圖，構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.追問(wèn)2：如何求出BD的長(zhǎng)度？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：在Rt△COD中，OC=OA-AC=2.4-0.5=1.9，根據(jù)勾股定理得，，因此

所以梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，梯子底端B不是外移0.5米，而是約為0.77米.設(shè)計(jì)意圖：在構(gòu)造出的直角三角形中使用勾股定理，求出未知線段的長(zhǎng)，最終將實(shí)際問(wèn)題解決.

培養(yǎng)學(xué)生從身邊的事物中抽象出幾何模型的能力，使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并能服務(wù)于生活．【例題3】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？問(wèn)題可以翻譯為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：在前兩個(gè)例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，交流討論自己的想法和解法，教師參與學(xué)生的討論，最終請(qǐng)學(xué)生代表進(jìn)行展示.如圖，根據(jù)題意，BC=5，AB的長(zhǎng)度即為水深，AC的長(zhǎng)度為蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度，因?yàn)槔瓌?dòng)蘆葦?shù)倪^(guò)程中蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度保持不變，因此AC=AB+1.在Rt△ABC中，可設(shè)AB=x,則AC=x+1，根據(jù)勾股定理得：，可列方程

，解得x=12，即水深為12尺，蘆葦高13尺.設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生閱讀提取信息的能力，感受我國(guó)古代的數(shù)學(xué)文化.根據(jù)題意抽象出直角三角形后，是已知一邊長(zhǎng)和另外兩邊的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)勾股定理可以列出方程求解.本題由學(xué)生小組探究完成，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力以及合作交流的精神.歸納